MỘT số vấn đề về dạy TOÁN BẰNG TIẾNG ANH ở cấp THCS

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY TOÁN BẰNG TIẾNG ANH Ở CẤP THCS
MATH VOCABULARY
Prepare by Nguyễn Thanh Dũng
1. Set (tập hợp)
2. Arithmetic (số học)
3. Geometry (Hình học)
4. Function-Polynomial (Hàm số- Đa thức)
5. Other Terminology (Thuật ngữ khác)
6. Words in a proof
1. Set (Tập hợp)
set
subset
proper subset
element
empty set
countable set
uncountable set
discrete set
infinite set
open set
closed set
interval
open interval
closed interval
bounded set
card
ordered set
boundary of set
connected set
union of (sets)
intersection of (sets)

complement
difference of sets

tập hợp
tập con
tập con thực sự
phần tử
tập hợp rỗng
tập đếm được
tập không đếm được
tập hợp rời rạc
tập vô hạn
tập mở
tập đóng
khoảng
khoảng mở
khoảng đóng
tập bị chặn
lực lượng
tập sắp thứ tự
biên của tập hợp
tập liên thông
hợp của (các tập hợp)
giao của(các tập hợp)
phần bù
hiệu của các tập hợp
2. Arithmetic (Số học)

number
digit

natural number
integer
odd number
even number
positive number
negative number

số
chữ số
số tự nhiên
số nguyên
số lẻ
số chẵn
số dương
số âm


rational number
irrational number
imaginary number
complex number
perfect square
prime number (prime)
decimal number
relatively prime
consecutive
reminder
term
factor
factorial

canonical factorization
LCM (least common multiple)
GCD (greatest common divisor)
floor
fractional part
triple
triplet
next, back number
decimal representation
decimal system
binary system
adjacent numbers?
absolute value
residue
modulo
residue classes
congruent modulo (m)
linear congruence system
complete set of residue classes
congruence
simplified residue system

số hữu tỉ
số vô tỉ
số ảo
số phức
chính phương
số nguyên tố
số thập phân
nguyên tố cùng nhau

liên tiếp
số dư
số hạng
nhân tử, thừa số
giai thừa
biểu diễn chính tắc
bộ chung lớn nhất
ước chung nhỏ nhất)
phần nguyên
phần lẻ
bội ba
bộ ba
số liền trước, số liền sau
biểu diễn thập phân
hệ thập phân
hệ nhị phân
số cạnh nhau
giá trị tuyệt đối
thặng dư
mô đun
lớp thặng dư, hệ thặng dư
cùng đồng dư modun (m)
hệ đồng dư tuyến tính
hệ thặng dư đầy đủ
đồng dư
hệ thặng dư thu gọn

2.1 Kinds Number (các loại số)
decimal (number)
integer

real number
rational number
irrational number
imaginary number
complex number
decimal (number)
finite decimal (number)
infinite decimal (number)

số tự nhiên
số nguyên
số thực
số hữu tỉ
số vô tỉ
số ảo
số phức
số thập phân
số thập phân hữu hạn
số thập phân vô hạn


periodical infinite decimal

số thập phân vô hạn tuần hoàn

2.2 Operation (Phép toán)
add, plus (v)
addition
subtract, minus (v)
subtraction

difference
multiply, time (v)
multiple (multiple of)
multiplication
multiplicand
multiplier
product
division
divide (v)
dividend
quotient
divisible by
remainder
divisor (divisor of)
root
square root (of)
cube root (of)
n-th root (of)
exponent
power
(to the) n-th power
base
reciprocal

cộng
phép cộng
trừ
phép trừ
hiệu số
nhân

bội (bội của)
phép nhân
số bị nhân
số nhân
tích
phép chia
chia
số bị chia
thương
chia hết cho
dư
số chia, ước số (ước của)
căn bậc (nghiệm)
căn bậc hai (của)
căn bậc ba
căn bậc n (của)
số mũ
lũy thừa
lũy thừa n
số được lũy thừa lên
lũy thừa âm (nghịch đảo)

2.3 Fraction (phân số)
fraction
denominator
numerator
proper fraction
improper fraction
mixed fraction
equivalent fraction

simplified fraction
ratio

phân số
mẫu số
tử số
phân số nhỏ hơn 1
phân số lớn hơn 1
hỗn số
phân số bằng nhau
phân số tối giản
tỉ số

2.4 Number-digit (số- chữ số)
first digit
final digit
number of digit

chữ số đầu tiên
chữ số cuối cùng
số các chữ số


numerical system

hệ thống số
3. Plane Geometry (Hình học phẳng)

3.1 Common terminology (Thuật ngữ chung)
plane

mặt phẳng
point
điểm
line
đường thẳng
segment
đoạn thẳng
end point
điểm đầu mút của đoạn thẳng
midpoint
trung điểm
ray
tia
circle
đường tròn
curve
đường (cong, thẳng)
triangle
tam giác
quadrilateral
tứ giác
polygon
đa giác
vertex (vertices)
đỉnh (các đỉnh)
side (edge)
cạnh
vector
véc tơ
3.2 Triangle (tam giác)

similar triangles
Congruent Triangles
altitude
foot (feet)
side
base triangle
median
midline
bisector angle
internal bisector
external bisector
midperpendicular (perpendicular bisector)
isosceles triangle
acute triangle
obtuse triangle
equilateral triangle (regular triangle)
right triangle
centroid
orthocenter(orthocentre)
incenter (incentre)
circumcentre (circumcenter)
excentre (opposite A)
3.3 Polygon (đa giác)

tam giác đồng dạng
tam giác bằng nhau
đường cao
chân đường cao
cạnh
đáy tam giác

đường trung tuyến
đường trung bình
đường phân giác
phân giác trong
phân giác ngoài
trung trực
tam giác cân
tam giác nhọn
tam giác tù
tam giác đều
tam giác vuông
trọng tâm
trực tâm
tâm nội tiếp
tâm ngoại tiếp
tâm bàng tiếp (đỉnh A)


vertex (vertices)
side (edge)
diagonal
regular polygon
n-gon
quadrilateral
parallelogram
square
rhombus
trapezoid
median of trapezoid
rectangle

(regular) hexagon
convex polygon
concave polygon
exterior region
interior region
boundary of polygon
exterior point
interior point
boundary point

đỉnh
cạnh
đường chéo
đa giác đều
n-giác
tứ giác
hình bình hành
hình vuông
hình thoi
hình thang
đường trung bình hình thang
hình chữ nhật
hình lục giác (đều)
đa giác lồi
đa giác lõm
Miền ngoài
miền trong
biên của đa giác
điểm ngoài
điểm trong

điểm biên

3.4 Angle (góc)
complement of an angle
complementary angles
supplement of an angle
supplementary angles
corresponding angles
alternate angles
acute angle
obtuse angle
right angle
straight angle
reflex angle
full rotation
interior angle
exterior angle
vertex angle
leg
base angle
tangent chord angle
central angle
inscribed angle
angles on the same arc
angle of rotation
directed angle

góc phụ nhau của một góc
các góc phụ nhau
góc bù của một góc

các góc bù nhau
góc đồng vị
góc so le
góc nhọn
góc tù
góc vuông
góc bẹt
góc lớn lơn 180
góc 360 (góc tròn)
góc trong
góc ngoài
góc ở đỉnh
cạnh bên
góc ở cạnh đáy
góc tiếp tuyến và dây
góc ở tâm
góc nội tiếp
các góc chắn cùng một cung
góc quay
góc định hướng


3.5 Circle (đường tròn)
center (centre)
radius
chord
diameter
arc
major arc
minor arc

circular arc
concentric (adj)
tangent
secant
contact (n, v)
touch (v)
point of contact
external contact
internal contact
common tangent
internal common tangent
external common tangent
semi-circle
circumcircle
circumscribed circle
circumcenter
circumradius
circumference
incenter
incircle
inradius
excenter
excircle
exradius
power (of a point)
radical axis
radical center

tâm đường tròn
bán kính

dây cung
đường kính
cung
cung lớn
cung nhỏ
cung tròn
đồng tâm
tiếp tuyến
cát tuyến
tiếp xúc
tiếp xúc
tiếp điểm
tiếp xúc ngoài
tiếp xúc trong
tiếp tuyến chung
tiếp tuyến chung trong
tiếp tuyến chung ngoài
nửa đường tròn
đường tròn ngoại tiếp
đường tròn ngoại tiếp
tâm đường tròn ngoại tiếp
bán kính đường tròn ngoại tiếp
chu vi đường tròn
tâm nội tiếp
đường tròn nội tiếp
bán kính đường tròn nội tiếp
tâm đường tròn bàng tiếp
đường tròn bàng tiếp
bán kính đường tròn bàng tiếp
phương tích (của một điểm)

trục đẳng phương
tâm đẳng phương

3.6 Cartesian coordinates system (hệ tọa độ đề các)
coordinate axes
các trục tọa độ
x-axis (horizontal axis)
trục hoành
y- axis (vertical axis)
trục tung
origin (of coordinates)
gốc tọa độ
coordinates
tọa độ
x-coordinate
hoành độ
y-coordinate
tung độ
positive x-axis (y-axis)
phần dương trục hoành (trục tung)


negative x-axis, y-axis
quadrant I, II, III, IV
horizontal distance
vertical distance
coordinate grid

phần âm trục hoành (trục tung)
góc phần tư thứ nhất, hai, ba, bốn

khoảng cách hoành độ
khoảng cách tung độ
lưới tọa độ

3.7 Measure (các đại lượng đo)
distance
perimeter
area
magnitude (length)
ratio
radian

khoảng cách
chu vi
diện tích
độ dài
tỉ số
đơn vị radian

3.8 Interrelationship in Geometry (sự tương giao trong Hình học)
equal (adj)
bằng nhau
congruent (adj)
bằng nhau (trùng nhau)
different (adj)
khác nhau
distinct (adj)
phân biệt
equidistant (adj)
cách đều

similar (adj)
đồng dạng
intersect, cut (v)
cắt, giao
parallel (adj)
song song
perpendicular (adj, n)
vuông góc
collinear (adj)
thẳng hàng
concurrent (adj)
đồng quy
concurrence (n)
sự đồng quy
tangent (adj)
tiếp xúc
tangential (adj)
tiếp tuyến
inside (inward)
bên trong
outside (outward)
bên ngoài
interior (adj, n)
trong, phần trong
exterior (adj, n)
ngoài, phần ngoài
common (adj)
chung
intersection (n)
giao điểm, phần giao

inscribed (adj)
nội tiếp
circumscribed (adj)
ngoại tiếp
cyclic (adj)
đồng viên (thuộc một đường tròn)
outward, outside (adj)
phía ngoài
inward, inside (adj)
phía trong
lie inside
nằm trong
lie outside
nằm ngoài
external tangent
tiếp xúc ngoài
internal tangent
tiếp xúc trong
bisect (v)
chia hai, phân đôi
go through, pass through (v)
đi qua


compose (v)
right-hand (adj)
left-hand (adj)
orthogonal (adj)
concentric (adj)
fixed point

focus (foci)
arbitrary point

hợp thành
bên phải
bên trái
trực giao
đồng tâm
điểm cố định
quỹ tích
điểm bất kì

3.9 Grammar of Geometry
meet at X
meet X at Y
intersect at X
perpendicular to X
perpendicular from X to Y
parallel to X
similar to
image of
reflection of X across Y
image of X across Y
go through X
pass through X
join X to Y
tangent to
tangent line to circles
lie on
belong to

on X
bisect
subtend (an angle)

cắt tại X
gặp X ở Y
cắt tại X
vuông góc với X
vuông góc từ X tới Y
song song với X
đồng dạng với
ảnh của
ảnh của X qua Y
ảnh của X qua Y
đi qua X
đi qua X
nối X với Y
tiếp xúc với
tiếp tuyến với đường tròn
nẳm trên
thuộc về, thuộc vào
nằm trên X (thuộc X)
chia đôi (đi qua trung điểm)
chắn (góc)

4. Map-Function-Polynomial (Ánh xạ- Hàm-Đa thức)
4.1 Map and Function (ánh xạ và hàm)
map
injective (adj)
surjective

bijective
variable
Increasing function
Decreasing function
rational function
irrational function
one variable function
multiple variable function

ánh xạ
đơn ánh
toàn ánh
song ánh
biến số
hàm đồng biến
hàm nghịch biến
hàm hữu tỉ
hàm vô tỉ
hàm một biến
hàm nhiều biến


continue function
discrete function
root (solution)
double root (solution)
multiple root(solution)
trivial solution
non-trivial solution
value

domain of determinacy
doubly periodic function
graph of function
constant function
odd (even) function
function of function (1)
composite function (2)
signum function
carrier function
monotone function
concave (convex) function
exponential function
logarithmic function
identity map
identity function

hàm liên tục
hàm rời rạc
nghiệm
nghiệm kép
nghiệm bội
nghiệm tầm thường
nghiệm không tầm thường
giá trị
miền xác định
hàm tuần hoàn
đồ thị của hàm số
hàm hằng
hàm lẻ (chẵn)
hàm hợp

hàm hợp
hàm dấu
hàm đặc trưng
hàm đơn điệu
hàm lõm (lồi)
hàm mũ
hàm lôgarit
ánh xạ đồng nhất
hàm đồng nhất

4.2 Polynomial (đa thức)
coefficient
variable
free coefficient
exponent
solution (root)
reducible
irreducible
degree (of polynomial)
polynomial of degree n
homogeneous polynomial
minimal polynomial
symmetric polynomial

hệ số
biến số
hệ số tự do
số mũ
nghiệm
khả quy

bất khả quy
bậc (của đa thức)
đa thức bậc n
đa thức thuần nhất
đa thức đặc trưng
đa thức đối xứng

5. Other Terminologys (thuật ngữ khác)
5.1 Theorem terminology (Thuật ngữ
định lí)
definition
theorem
inverse theorem
corollary

định nghĩa
định lí
định lí đảo
bổ đề, hệ quả


proposition
inverse proposition
proof
solution

mệnh đề
mệnh đề đảo
chứng minh
phép giải

5.2 Other terminologys (thuật ngữ khác)
value
vary
semi (half)
evaluate
arbitraty
finite
infinite
disc
grid
boundary
pairwise
sign
condition
necessary condition
sufficient condition
unique
sign
induction

giá trị
biến thiên
nửa
ước lượng
bất kì
hữu hạn
vô hạn
đĩa
lưới

biên
từng cặp, từng đôi
dấu
điều kiện
điều kiện cần
điều kiện đủ
duy nhất
kí hiệu, dấu
quy nap

6. Words in a proof
Assumption
From (by) the assumption
Conclusion
Proof, solution
Prove that
this is done
assume that, suppose that
We have
We obtain
We receive, we get
We see that
We consider that
It is easy to see (show)
Such that,so that
Imply
Yield
Hence
Since
Because

giả thiết
Từ giả thiết
kết luận
lời giải, chứng minh
chứng minh rằng
điều phải chứng minh
giả sử rằng
ta có
ta đạt được
ta nhận được
ta thấy rằng
ta nhận xét rằng
dễ thấy, dễ chỉ ra
sao cho, để cho
suy ra
suy ra, dẫn tới
do đó
vì
bởi vì


So
Moreover, further more
In the other hand
For

vì thế
hơn nữa
mặt khác

với
trường hợp 1, second case: trường
hợp 2
Nếu… thì
khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu
thay bởi, thay thế
tổng hợp (1) và (2)
từ (1) và (2)
vô lí, mâu thuẫn
thỏa mãn
theo điều kiện (giả thiết).
không mất tính tổng quát
hệ điều kiện
tồn tại
với mọi
duy nhất
tương tự
tương đương
tương ứng
áp dụng
Sử dụng
lấy, chọn

The first case
If… then …
If and only if (iff)
Instead of
Combining (1) and (2)
From (1) and (2)
Contradict (v), contradiction (n)

Satisfy
follow the condition (assumption)
Without loss of generality
System conditions
Exist
Forall
unique
Similarly
Equivalent (adj), equivalently (adv)
Respectively (corresponding)
Apply
Use
Take, chose

MẪU CÂU THƯỜNG DÙNG TRONG VĂN BẢN TOÁN
Stt
Form
1. Definition.
Let … be …
If … then …

Examples

Meaning

- Let f be a continuous function.
- Let n be a non-negative integer.
- Let p be a prime.
- If
- If

∆>0

a>b

Đặt,
định
nghĩa …

then the equation has two distinct roots.
and

b>c

then

a>c

.
m
n

- If m and n are relative prime then
is
irreducible.
Suppose (that) … - Suppose that n is a non-negative integer.
a≥b
is/are (have/can/could)
- Suppose that
.

- Suppose that the sets A and B have no element
in common.
p >1
We define … to be …
We
define
an
integer
to be a prime if its
if…(clause)


positive divisors are 1 and itself.
- We define a to be multiple of b if b divides a.
It is easy to see/show - It is easy to see that m and n are not relative
that … (clause)
prime
- It is easy to show that the inequality is hold for
all x.
- It is easy to see that the equation has two
distinct roots for all m.
From … we have…
- From (1) we have the following inequality.
- From the hypothesis (hypotheses) we have the
equality.
- From (1) and (2) we have expression…
By substituting … into - By substituting (2) into (3) we obtain:
… we have/obtain … - By substituting y into (1) we obtain:
2. Notation.
We will denote by …

the …
Let us denote by …
the …
Denote by … a/the…
Let … denote a/the…
3. Assumption, condition

We will denote by A the set of event integers.
Let us denote by A the set of event integers.
Denote by A a set of event integers.
Let A denote the set of event integers.

- We will make the following assumption:
- From now on we make the assumption:
- The following assumption will be needed
throughout the proof.
We assume … to be - In the proof, we assume n to be an event integer.
…
4. Proof: Beginning.
Prove that … (clause)
Prove a reduced form of the problem.
We first
Firstly, we
Give the main ideas of the proof.
Examine the first equation.
To prove this, let
But

A= B

f = ...

This is proved by writing
We prove this as follows:
Our proof starts with the observation that…
Is straightforward
Is by induction by n.

The proof

Trong

chứng

g = ...

Quan
rằng

sát

Quy
theo n

nạp

Is based on the following observation
Will be divided into 3 steps. Firstly… secondly
… thirdly …
minh Conversely (to obtain a contradiction), suppose Ngược

lại


phản chứng.

that …

(để
thu
được mâu
thuẫn).

Trong chứng minh qui Assume the formula hold for the degree k, we will
k +1
nạp
prove it for
.
n=3
Trong chứng minh các
We
give
the
proof
for
the
case
, the other
trường hợp tương tự.
cases are similar.

5. Poof: arguments
definition, …
the definition of … (sth)
the assumption, …
By
a similar argument, …
the lemma above, …
uniquely, …
Since/As …, we
lim f ( x ) = f ( x0 )
x→ x
have/it follows
- Since f is continuous we have
that/we conclude
n +1
- As n is odd we conclude that
is event.
that…
6. Proof consecutive steps
Let us evaluate/
- Let us evaluate the left side first.
compute/ apply the
- Let us compute the value of the second
formula to/ regard s as expression.
fixed and …
- Let us apply the formula (1) to the following
equation.
- Let us regard s as fixed and let n tend to infinity.
V_ing + n + we - Adding g to the left hand side
obtain...

- Subtracting (3) from (5)
0

f = gh

- Taking
- Substituting (4) into (6)
- Combining (1) with (2)
- Replacing (2) by (3)

We obtain …

n→∞

- Letting
- Exchanging f and g.

Đánh giá
Tính toán
Áp dụng
Xem (coi).
Cộng
Trừ
Lấy
Thay vào
Kết hợp
Thay bởi
Cho
Chuyển đổi

7. Proof: it is sufficient to…
Show that
It is sufficient to
Make the following observation
Use (1) together with the observation that
We need only to consider 3 cases: firstly… secondly … thirdly…
We need to show that…
What is left is to show that
The proof is completed by showing that
If we prove that … the assertion follows.
8. Proof: It is easily seen that
Easily seen that…
It is
Easy to check that…
A simple matter to …

Khẳng định

Vấn đề


It follows easily that…
We see at once that…
It follows immediately that…
An easy computation shows that…
(2) makes it obvious that …
9. Proof conclusion and remarks
Is impossible
Proves the problem
Completes the proof

…, which
Establishes the formula
Is the desired conclusion
Is our claim
The proof is complete.
…, and
The lemma follows
(2) is proved
This contradicts our assumption
This contradicts the facts that, …

Thiết lập
Kết
luận
mong muốn
Khẳng định

CẤU TRÚC CÂU TRONG HÌNH HỌC
I.

Một số quan hệ trong quan hệ Hình học

A- Cấu trúc đối tượng
Gọi các đối tượng là X, Y (đường thẳng, đường tròn, điểm, tứ giác….)
Kiểu 1: Gọi tên đối tượng, cho đối tượng
Let X be (đặt X là), given X (cho X), X is called (X được gọi là), denote X by Y,
denote by (X) +(Y) (kí hiệu X là Y)
Exam: Let ABC be an isosceles and M, N, P be the midpoints of BC, CA, AB
respectively. Denote G by (denote by G) the intersection of AM, BN, CP, then G is
called centroid of triangle ABC.

Kiểu 2: Quan hệ song song hai đối tượng X, Y
X and Y + are + adj
Exam: Given a triangle ABC. Let M, N be the points lying on segments AB, AC
respectively such that AM/AB=AN/AC. It is easy to show that MN and BC are parallel.
Kiểu 3: Quan hệ một chiều của đối tượng X với đối tượng Y
X +is +adj +to Y
Exam: Given a right triangle ABC. Let D be the foot of altitude at vertex A. Prove that
BA is tangent to circumcircle of triangle ACD.
Kiểu 4: Điều kiện (giải thích) cho đối tượng
Clause A +so that, such that+ clause B
Exam: On diagonal AC of parallelogram ABCD points P and Q are taken so that AP =
CQ. Let M be a point on AD. Let us draw through point M line EF such that EF is
parallel to CD (points E and F lie on lines BC and AD).


Kiểu 5: Dựng đối tượng chưa có: Draw, take (kẻ, vẽ, lấy)
Exam: Given a triangle ABC. We draw a line d passing through A and parallel to BC,
and take E, F on d (A is between E and F) such that AE=AF. Drawing a circle with
center A and radius AE. Two tangents draw from E and F respectively intersect at M.

B- Quan hệ liên thuộc và tương giao trong Hình học
1- Quan hệ liên thuộc
Kiểu 1: lie on (nằm trên), is on (nằm trên), lie in (nằm trong), belong to (thuộc về),
contain (chứa).
Exam: Given a triangle ABC. Let (O; R) be circumcircle of triangle ABC and M be
intersection of line AO and (O). Let I be reflection of O across line BC. Prove that
a, The orthocenter of triangle ABC lies on the line connecting M and midpoint of BC.
b, The orthocenter of triangle is on the circle with center I and radius R.
Kiểu 2: go through; pass through (đi qua)
Exam: The line goes through the centroid and the circumcentre of the triangle ABC is

called Euler line. Euler line also passes through orthocenter.
Kiểu 3: inscribed (nội tiếp); circumscribed, tangential (ngoại tiếp), cyclic (đồng
viên)
Exam: A quadrilateral ABCD is inscribed in a circle iff the sum of opposite angles is
180. We say that points A, B, C, D are cyclic or ABCD is inscribed quadrilateral. If
there is a circle which is tangent to four sides of quadrilateral ABCD then ABCD is
circumscribed quadrilateral.

2- Quan hệ tương giao
Kiểu 1 (vị trí): bisect (chia đôi), separate (tách đôi, chia rẽ), same side (cùng phía),
other side (khác phía), toward (về phía), lie closer (nằm ở), lie away (nằm ở xa),
move away (di chuyển ra xa), move closer (di chuyển đến gần), inside (inward) (bên
trong), outside (outward) (bên ngoài)
Exam 1: if a point A lies on the other side of d from B, then d separates the points A
and B. if A and B lie on the same side of d, then segment AB does not meet d.
Exam 2: If we move F towards A along the angle bisector of angle ACD at A, the
intersection of DF with l moves away from C, but the intersection of the parallel to CF
through A with l moves closer to C.
Exam 3: Equilateral triangles ABK, BCL, CDM, DAN are constructed inside the
square ABCD and squares ABPQ, BCRS, CDTU and DAVW are constructed outside
square ABCD
Kiểu 2 (so sánh): collinear (thẳng hàng), perpendicular (vuông góc), concurrent
(đồng quy), similar (đồng dạng), congruent (bằng nhau, trùng nhau)


Exam: Given a triangle ABC. Let M, N, P be the feet perpendiculars from A, B, C to
BC, CA, AB, respectively. Assume that NP meet BC at X; PM meet CA at Y and MN
meet AB at Z. Prove that
a, The triangles ABC and ANP are similar.
b, The points X, Y, Z are collinear.

Kiểu 3 (giao điểm): meet; intersect
Exam: The altitude from vertex A of triangle ABC intersects again the circumcircle of
this triangle at A’. Then, the segment AA’ meets BC at D.
Kiểu 4 (tiếp xúc): tangent (tiếp xúc), touch (tiếp xúc), contact (tiếp điểm)
Exam: AB is tangent to circle (O). We say that circle (O) touches AB. Two circle (O)
and (O’) touch at M, then M is called the point of contact.

II.

Một số lưu ý trong khi đọc, viết câu Hình học bằng tiếng Anh

1, Chia động từ số ít một số từ đặc biệt hay dùng:
Động từ: touch (touches), go (goes), pass (passes)…
Danh từ: Radii (Radius), focus (foci)…
2, Sử dụng mạo từ: “a”, “an” và “the” trong câu.
+ “an” đứng trước một số từ như: isosceles, in center, inradius, excenter, arbitrary,
+ “the” được đặt ở trước hầu hết trong mô tả các yếu tố xuất hiện duy nhất, họ các đối
tượng
hoặc các danh từ được nhắc tới trước đó.
Exam: (IMO 2009, G6): Let the sides AD and BC of the quadrilateral ABCD (such
that AB
is not parallel to CD) intersect at point P. Points O1 and O2 are the circumcenters and
points H1 and H2 are the orthocenters of the triangles ABP and DCP, respectively.
Denote the midpoints of segments O1H1 and O2H2 by E1 and E2, respectively. Prove
that the perpendicular from E1 on CD, the perpendicular from E2 on AB, and the line
H1H2 are concurrent.
(IMO2 2008, G2): Given a trapezoid ABCD with parallel sides AB and CD, assume
that there exist points E on line BC outside the segment BC, and F inside the segment
AD, such that ∠DAE = ∠CBF. Denote by I the intersection point of CD and EF and
by J the intersection point of AB and EF. Let K be the midpoint of the segment EF.

Assume that K does not lie on the lines AB and CD. Prove that I belongs to the
circumcircle of △ABK if and only if K belongs to the circumcircle of △CDJ.
3, Giới từ hay sử dụng: to, from, on, in, of, through, by, inside, outside


Exam: Draw the perpendicular from E2 on AB; we construct the perpendicular from B
to AD.
Exam: A point M lies on the segment BC of triangle ABC. Let d be the line passing
through M and perpendicular to BC such that points A and B lie on the same side of d.
Suppose that H is foot of the altitude from M to d.
Exam: Prove that the midpoint of the segment EF lies on the line through the two
intersection points of ω1 and ω2.
Exam: The each sentence in following paragraph has one or two mistakes. Let
repair them!
(1) Suppose that circles with diameters AB and CD meet at points E and F in the
quadrilateral.
(2) Let ωE be the circle through feet of the perpendiculars from E to the lines AB, BC,
and CD.
(3) Let ωF be circle through the feet of the perpendiculars at F to the lines CD, DA, and
AB.
(3) Prove that midpoint of the segment EF lies on the line through the two intersection
points of ωE and ωF.
(3) Let ABC be a acute triangle with circumcircle.
(4) Let D be the foot of the altitude at A, and let G be the centroid in the triangle ABC.
(5) Let ω be a circle through B0 and C0 that is tangent with the circle at a point X
Prove that the points D, G, and X are collinear.

≠

A.

(6) Let D and E be the second intersection points of ω and the lines AI and BI,
respectively. The chord DE meets AC at a point F, and BC at a point G.
(7) Let P be the intersection point of the line pass F parallel to AD and the line pass G
parallel to BE.
(8) Suppose that the tangents of ω at A and at B meet at a point K.
The answers
(1) Suppose that the circles with diameters AB and CD meet at points E and F inside
the quadrilateral.
(2) Let ωE be the circle through the feet of the perpendiculars from E to the lines AB,
BC, and CD.
(3) Let ωF be the circle through the feet of the perpendiculars from F to the lines CD,
DA, and AB.
(4) Prove that the midpoint of the segment EF lies on the line through the two
intersection points of ωE and ωF.
(5) Let ABC be an acute triangle with circumcircle.


(6) Let D be the foot of the altitude from A, and let G be the centroid of the triangle
ABC.
(7) Let ω be a circle through B0 and C0 that is tangent to the circle at a point X
Prove that the points D, G, and X are collinear.

≠

A.

(8) Let D and E be the second intersection points of ω with the lines AI and BI,
respectively. The chord DE meets AC at a point F, and BC at a point G.
(9) Let P be the intersection point of the line through F parallel to AD and the line

through G parallel to BE.
(10) Suppose that the tangents to ω at A and at B meet at a point K.


MỘT SỐ BÀI ĐỌC HIỂU
PERMUTATIONS AND COMBINATIONS
1. Two basics counting principles
Addition and Multiplication Principles are two simple examples of counting problems
related to what are called “Permutations” and “Combinations”. Before constructing
“permutations” and “combinations”, we talk about two principles counting that is
Addition and Multiplication Principles:

Definition 1 (Addition Principle:AP): Assume that there are:
E1

n2

to occur,
k >1

where

ways for the event

E2

to occur, …

nk

n1

ways for the event

ways for the event

Ek

to occur,

. If these ways for the different events to occur are pairwise disjoint, then

the number of ways for at least one of the events

E1 , E2 ,..., Ek −1

, or

Ek

to occur is

k

n1 + n2 + ... + nk = ∑ ni
i =1

.

Example1: One can reach city Hanoi from city Newyork by sea, air and road. Suppose

that there are 20 ways by sea, 10 ways by air and 2 ways by road. How many ways
travel from P to Q?
Solution: Using (AP), the total number of ways from P to Q by sea, air or road is 20 +
10 + 2 = 32.
Note 1: Using ternomilogy of set: Addition Principle is given below:
Let

A1 , A2 ,..., Ak

i.e.,

be any

Ai ∩ Aj = ∅

for

k

finite sets, where

i, j = 1, 2, ..., k i ≠ j

,

k >1

. If the given sets are pairwise disjoint,
k

k

i =1

i =1

U Ai = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak = ∑ | Ai |
, then:

.

Definition 2 (Multiplication Principle:MP): Assume that an Even E can decomposed
in to
event

k

order events

E1

to occur,

occur, where

k >1

n2

E1 , E2 ,..., Ek

(separate events) and that there are

ways for the event

E2

to occur, …

nk

n1

ways for the

ways for the event

Ek

to

. Then the total number of ways for the even E occur is given by:

k

n1.n2 ...nk = ∏ ni
i =1

.

Example 2: In order to reach city D from city A, We have pass through B and C city.
There are 5 ways from A to B, 6 ways from B to C and 10 ways from C to D. How
many ways travel from A to D?


Solution: If there are 5 ways to travel from A to B, 6 ways from B to C, and 10 ways
from C to D, then by (MP), the number of ways from A to D via B and C is given by 5
x 6 x 10 = 300.
2. Permutations and combinations
Definition 3:(Permutation) Let A=
0
* Let

be a given set of n distinct objects. For

, an r-permutation of A is a way of arranging any r of the objects of A in a row.

Prn

denote the number of r-permutations of A, it’s called “permutations of n
Prn =

Elements r at a time” and
* When

{a1, a2 ,..., an }

r=n

n!
(n − r )!

, an n-permutation of A is simply called a permutation of A. Number of

n-permutation is called “permutations of n” denote it by
0! = 1; n ! = 1.2.3...n

.(

n!

Pn

and

Pn = n !

; with:

is called factorials)

Example 3. Let A = {a, b, c, d}. All the 3-permutations of A are shown follow: abc,
acb, bac, bca, abd, adb, bad, bda, acd, adc, cad, cda,bcd, bdc, cbd, cdb, cab, cba, dab,
dba,dac, dca,dbc, deb. There are altogether

P34 = 24

in number.

Example 4. Let E = {a,b,c,...,x,y,z} be the set of the 26 English alphabets. Find the
number of 5-letter words that can be formed from E such that the first and last letters
are distinct vowels and the remaining three are distinct consonants.
Solution: Solution. There are 5 vowels and 21 consonants in E. A required 5-letter
word can be formed in the following way. Step 1: Choose a 2-permutation of {a, e, i, o,
u} and then put the first vowel in the lst position and the second vowel in the 5th
position. Step 2:Choose a 3-permutation of E\{a, e, i, o, u} and put the 2 nd and 3rd ,4th
consonants of the permutation in the 2nd, 3rd and 4th positions respectively. There are
P25

choices in Step 1 and

1etter words is given by:

P321
5
2

choices in Step 2. Thus by (MP), the number of such 5-

P .P321

= (5 x 4) x (21 x 20 x 19) = 159600.

Definition 4:(combination) Let A be a set of n distinct objects. A combination of A is
simply a subset of A. More precisely, for 0 < r < n, an r-combination of A is an relement subset of A. Number of r-combination is called “combination n choose r” or
“combinations of n Elements r at a time”, we denote it by
n!
Crn =
r !( n − r ) !

Crn

or

( nr )

. The form:

.

Example 5: Given A = {a, b, c, d}, then the following consists of all the 3combinations of A: {a, b, c }, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}. There are 4 in number.
Hence number of 3-combination of A is

C34 = 4

.


Exercises in Permutations and Combinations
1. Find the number of ordered pairs (x, y) of integers such that

x2 + y 2 ≤ 5

.

2. Find the number of positive divisors of 600, inclusive of 1 and 600 itself.
3. Let X = {1, 2, ..., 100} and let S = {( a, b , c) | a, b, c

∈

X, a < b and a < c}.Find

|S|

?

4. Between 20000 and 70000, find the number of even integers in which no digit is
repeated.
27

5. There are
binary sequences of length 7. How many such sequences are there
which contain 3 0's and 4 1's?
6. There are 7 boys and 3 girls in a gathering. In how many ways can they be arranged
in a row so that:
(i) the 3 girls form a single block (i.e. there is no boy between any two of the girls)?
(ii) the two end-positions are occupied by boys and no girls are adjacent?
7. Let S be the set of natural numbers whose digits are chosen from {1, 3, 5, 7} such
that no digits are repeated. Find
(i)

|S |

∑n
(ii)

n∈S

.

THE PIGEONHOLE PRINCIPLE
If three pigeons are to be put into two compartments, then you will certainly agree that
one of the compartments will accommodate at least two pigeons. A much more general
statement of this simple observation, known as the Pigeonhole Principle, is given
below.
The Pigeonhole Principle (PP). Let k and n be any two positive integers. If at least
kn+ 1 objects are distributed among n boxes, then one of the boxes must contain at
least k + 1 objects. In particular, if at least n + 1 objects are to be put into n boxes,
then one of the boxes must contain at least two objects.
Example 1. Among any group of 7 people, there must be at least 4 of the same sex.
Proof: Let us see how (PP) can be applied to this example. We treat the 7 people as 7
objects, and create two "boxes": box (1) for "female" and box (2) for "male". If a
person of the group is a lady (resp., gentleman), then she (resp., he) is put into box (1)
(resp., box (2». Thus the 7(= 3.2+ 1 = kn+ 1) "objects"are put Into 2(= n) "boxes" and
so by (PP), there is a box which contains at least 4(= 3 + 1 = k + 1) objects; i.e., there
are at least 4 people among the group who are of the same sex.
By applying (PP) in a similar way, you should be able to prove the following.
Example 2.. Among any group of 13 people, there must be at least 2 whose birthdays
are in the same month.
Example 3. Among any group of 3000 people, there are at least 9 who have the same
birthday.
As we have just seen, in applying (PP), we have to identify what the "objects" and
what the "boxes" are. Moreover, we must know the values of k and n (number of
boxes) involved in (PP), and to make sure that the number of objects is at least kn + 1.
Example 4. Show that for any set of 10 points chosen within a square whose sides are
of length 3 units, there are two points in the set whose distance apart is at most

2

.

Solution. Divide the 3 x 3 square into 9 unit equal squares. Let A be any set of 10
points (our objects) chosen from the 3 x 3 square. Since each point in A is contained in
(at least) one of the 9 unit squares (our boxes), and since 10 > 9, by (PP), there is a unit
square (box) which contains at least 2 points (objects) of A. Let these 2 points be u and
v. It is easy to verify that the distance between u an d v doe s not exceed the length of a
diagonal of the unit square, which is

12 + 12 = 2

.

Exercises
1. Show that among any 5 points in an equilateral triangle of unit side length, there are
2 whose distance is at most units apart.


2. Given any set C of n + 1 distinct points (
circle, show that there exist
π
2sin

not exceed

n

a, b ∈ C ; a ≠ b

n∈ N

) on the circumference of a unit

, such that the distance between them does

.

3. Given any set S of 9 points within a unit square, show that there always exist 3
distinct points in S such that the area of the triangle formed by these 3 points is less
than or equal to k. (Beijing Math. Competition,1963)
4. Show that given any set of 5 numbers, there are 3 numbers in the set whose sum is
divisible by 3.
5. Let A be a set of n + 1 elements, where
a≠b

such that

n | ( a − b)

n∈ N

. Show that there exist

a, b ∈ A

with

.

TRÌNH BÀY BÀI TẬP TOÁN BẰNG TIẾN ANH
Question 1. Find the all the integer numbers n that satisfy the equation.

(3

n

− 27 ) + ( 2n − 16 ) = ( 3n + 2 n − 43)
2

2

2

Solution:

(3

n

− 27 ) + ( 2n − 16 ) = ( 3n + 2n − 43)
2

2

2

⇔ ( 3n − 27 ) ( 2n − 16 ) = 0

3n = 27

n = 3
⇔ n
⇔
n = 4
 2 = 16

Question 2. Find the minimum
number.

Solution:

2

 x 4 − 1  ÷

2 1+ 1+ 
÷

2 x2  ÷




2

 x 4 − 1  ÷ 2

2 1+ 1+ 
x +1
2 ÷


≥2
 2x  ÷


x

=

, in which x is a positive real

. The equality holds if and only if x=1.

Question 3. Solve the following system equation:

2
 1
 x +1 + y + 2 = 1


 8 x + 10 y + 28 = 7
 ( x + 1)( y + 2)


Solution: This system is equivalent to
obtain
1

a=


a
+
2
b
=
1


2
⇒

10a + 8b = 7 b = 1

4

. Hence,

 1
 x +1 +


 10 +
 x + 1

( x; y) = (1; 2)

2
=1
y+2
8

=7
y+2

a=

, let

1
1
;b =
x +1
y+2

. We

.

Question 4. Solve the following equation in integer numbers:

xy 2 + 2 x = y 2 + 5

Solution:
xy 2 + 2 x = y 2 + 5 ⇔ ( x − 1) ( y 2 + 2 ) = 3

Hence,

x −1 = 1

and

Question 5. Find

Solution:

y2 + 2 = 3

x∈¢

. From the fact that

. So the solutions of the equation:
2 x 2 + 3x + 8
2x + 1

such that

2 x + 1 ∈{ ± 1, ± 7} ⇒ x ∈{0;-1;3;-4}

and

a≠0

(11 − 7) | ( f (11) − f(7) )

.

It

and

f (11) = 13

is

BC , CD

of triangle

.

2x + 1

divides 7, so

f ( x)

of degree 2 with integer

to

show

f ( x) = ax 2 + bx + c

( x − y ) | ( f ( x) − f ( y ) )

,

with
hence

or 4 divides 2, this is contradiction! Hence, we are done.

. A point

MNP

.

.

easy

Question 7. Let ABCD be a rectangle with
sides

.

.

Solution: Assume that there exists such polynomial f(x). Let
a, b, c ∈ ¢

x −1 > 0

( x; y ) ∈ { ( 2;1) , ( 2; − 1) }

. It follows that

Question 6. Prove that there is no polynomial

f (7) = 11

then

is an integer.

2 x 2 + 3x + 8
7
= x +1+
∈ ¢, x ∈ ¢
2x +1
2x +1

coefficients such that

y2 + 2 ≥ 2

M

lies on the side

AB = 6, AD = 4
AB

such that

. Let

N, P

MB = 2MA

be the midpoints of
. Calculate the area


Solution: it is easy to show AM=2, MB=4. We have area (MNP) =area (ABCD)-area
24 −

(AMPD)-area (BNM)-area (CNP) =

(2 + 3).4 2.4 2.3
−
−
=7
2
2
2

.

Question 8. Let N be the midpoint of side AC of a triangle ABC. Take a point M on the
line BC such that B is the midpoint of MC. Two segments MN, AB intersect at P.

Assume that the area of triangle ABC is

2015
2014

. Calculate the area of triangle APN.

Solution:
AB and MN are medians of triangle AMC; it implies that P is centroid of triangle AMC.

Hence,

PA 2
=
BA 3

. We get

area ( APN ) PA 1 1
1 2013 671
=
. = ⇒ area( APN ) = .
=
area ( ABC ) BA 2 3
3 2014 2014

.

Question 9. Let M and N be the midpoints of sides AD and BC in rectangle ABCD.
Point P lies on the extension of CD beyond D; point Q is the intersection point of the
lines PM and AC. Prove that

∠QNM = ∠MNP

.

Solution: Let O be the center of rectangle ABCD. The line passes O parallel to BC

intersects line segment QN at point K. Since MO//PC, it follows that
KO / / BC

it

follows

QM QK
=
⇒ KM / / NP ⇒ ∠MNP = ∠KMO
MP KN

that

QM QO
=
MP OC

QO QK
=
OC KN

.

.Therefore

(1).

In the other hand, it is easy to show the triangle KMN is isosceles at K, it follows that
∠KMO = ∠QNM

(2). From (1) and (2), we obtain

∠QNM = ∠MNP

.