Bộ đề HSG Toán 7 thi tháng 4

TRƯỜNG THCS THIỆU ĐÔ

ĐỀ THI ……………HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7
Năm học 2018-2019
(Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề)
......................................................................................

Câu 1 ( 4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

A=

212.35 − 46.92
510.73 − 255.492
−
(22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143

b) Cho hàm số: y = f ( x) = ax 2 + bx + c
f (1) = 2011;
Cho biết: f (0) = 2010;

f (−1) = 2012 .

Tính f (−2) ?

Câu 2 ( 4 điểm) Tìm x , y , biết :
a)

5x − 1
3

=

7y − 6
5

b) x + 5 + ( 3 y − 4 )

=

2010

5x + 7 y − 7
4x
=0

Câu 3 ( 4 điểm)
a) Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y+z−x z+x− y x+ y−z
=
=
x
y
z

 x 
y  z 
Hãy tính giá trị của biểu thức : B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
y 

z  x 

2010
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x − 2010 + ( y + 2011) + 2011 và giá trị

của x, y tương ứng.
Câu 4 ( 6 điểm ) Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối
của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE
= AC.
a) Chứng minh rằng : BE = CD.
b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh M,A,N
thẳng hàng.
c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của
B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK ≤ BC.
d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất.
Câu 5: ( 2 ®iÓm) Tìm các số tự nhiên x và y lớn hơn 1 thỏa mãn cả hai điều kiện
sau:
x + 1 chia hết cho y và y + 1 chia hết cho x.
...........................Hết.................................


ĐÁP ÁN
Câu

Ý
Đáp án
câu

Biểu
điểm

10

1
(4đ)

212.35 − 212.34 510.73 − 5 .7 4
A = 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7
12 4
2 .3 . ( 3 − 1) 510.7 3. ( 1 − 7 )
= 12 5
−
2 .3 . ( 3 + 1) 59.73. ( 1 + 23 )

a

0,5
0,5

212.34.2 5 .7 . ( −6 )
= 12 5 −
2 .3 .4
59.73.9
1 −10 7
= −
=
6
3
2
10

3

0,5
0,5

Theo giả thiết ta có: f (0) = 2010 ⇒ c = 2010
f (1) = 2011 ⇒ a + b + c = 2011 ⇒ a + b + 2010 = 2011 ⇒ a + b = 1
f (−1) = 2012 ⇒ a − b + c = 2012 ⇒ a − b + 2010 = 2012 ⇒ a − b = 2

(1)
(2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 2a = 3 => a = 3/2
b Thay vào (2) ta được: b = - ½
3
2

1
2

Do đó: Hàm số đã cho có dạng: y = f ( x) = x 2 − x + 2010
3
1
2
2
5x − 1 7 y − 6 5x + 7 y − 7
=
=
3

5
4x

Vậy: f (−2) = .(−2) 2 − .(−2) + 2010 = 6 + 1 + 2010 = 2017

0,5
0,5
0,5
0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
5x − 1
3

2
(4đ)

=

7y −6

Do đó:
a

5

=

5x + 7 y − 7

5x + 7 y − 7
8

8
=

=

5x + 7 y − 7

5x + 7 y − 7
4x

- Nếu 5 x + 7 y − 7 ≠ 0 thì 8 = 4x => x = 2, thay vào tính được y = 3
6
1
- Nếu 5 x + 7 y − 7 = 0 => 5x – 1 = 0 và 7y – 6 =0 ⇒ y = ; x = (thỏa
7
5
mãn)
Ta có x + 5 ≥ 0 với mọi x

b

Vậy x + 5 + ( 3 y − 4 )

a

2010

Do đó :

1
1

và (3 y − 4) 2010 ≥ 0 với mọi y

= 0 ⇔ x+5 =0 và 3y - 4 = 0

4
3
y+z−x z+x− y x+ y−z
=
=
Từ
x
y
z
y+z
z+x
x+ y
−1 =
−1 =
−1
⇒
x
y
z
y+z z+x x+ y
=

=
⇒
x
y
z
TH1: với x + y + z ≠ 0Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
y + z z + x x + y 2( x + y + z )
=
=
=
=2
x
y
z
x+ y+z
⇔ x = -5 và y =

3
(4đ)

4x

1
1
0,5

0,5
0,5
0,5

 x 
y  z  y + z z + x x + y
B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷= x . y . z = 2 .2 .2 = 8
y 
z  x 

−x − y −z

TH2: với x + y + z = 0 thì B = x . y . z = −1
Vậy B = -1 hặc B = 8
Ta thấy: x − 2010 ≥ 0 với mọi x và (y + 2011)2010 ≥ 0 với mọi y
2010
b Do đó: A = x − 2010 + ( y + 2011) + 2011 ≥ 2011 với mọi x, y.
Vậy: AMin = 2011. Khi đó: x = 2010 và y = -2011

0,5
0,5
1

D
E

M

N

A

k

K

I

B

C

H

x

c/m được ∆ ABE = ∆ ADC (c.g.c)
4
( 6đ)

a

b

⇒ BE = DC ( 2 cạnh tương ứng)
c/m được ∆ ABM = ∆ ADN (c.g.c) ⇒ AM = AN
và ∠MAB = ∠NAD
0 ⇒
Mà ∠BAN + ∠NAD = 180
∠BAN + ∠BAM = 1800

Vậy M,A,N thẳng hàng.
c Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta có BH ≤ BI ; CK ≤ CI

⇒ BH + CK ≤ BI + CI = BC
Theo câu c) BH + CK ≤ BC nên giá trị lớn nhất của BH+ CK bằng
BC khi BH = BI và CK = CI
d ⇒ H ≡ I; K ≡ I
Do đó Ax ⊥ BC

5
2đ

Giả sử 1 < x ≤ y. Từ x + 1 My ⇒ x + 1 = k.y (k ∈ N*).
Ta có: ky = x + 1 ≤ y + 1 < y + y = 2y ⇒ ky < 2y nên k < 2, mà
k ∈ N* nên k = 1.
Thay k = 1 vào x + 1 = ky, ta được x + 1 = y
Theo bài ra y + 1 Mx nên (x + 1) + 1 Mx ⇒ 2 Mx ⇒ x=2
(do x ∈ N và x > 1)
Với x = 2 thì y = 3
Vậy (x; y) = { ( 2;3) ; ( 3; 2 ) }

1,0
0,5
0,5
0,5

0,5
0,75
0,75

1,5

2

Lưu ý: Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa