Đề học sinh giỏi Toán 7 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THIỆU HÓA

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ
NĂM HỌC: 2018-2019
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang

Bài 1:(4 điểm) Tính giá trị của biểu thức
a) A =

4 5.94 −2.69
10 8
8
.3 +6 .20

2

;

b) B = 1 + 3 + 3 + 3 + ... + 3
2

3

2015

32016
−
2

Bài 2:(4 điểm)
a) Tìm x biết:

15
3
5
− x−
=−
28
14
12

b) Tìm x, y nguyên biết: 25 − y 2 = 4( x − 2016) 2
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho đa thức: f(x) = ax2 + bx + c

Biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh f(-2). f(3) ≤ 0
b) Cho các số thực x, y, z ≠ 0 thỏa mãn:

xy
yz
xz
=
=
x+y y+z x+z

x2 + y 2 + z 2
Tính giá trị cuả biểu thức: M =
.
xy + yz + xz

Bài 4: (8 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Gọi M,
N lần lượt là hình chiếu của D, E trên BC
a) Chứng minh tam giác ABM cân.
b) Chứng minh MN = AB + AC – BC
c) Tính góc MAN.
d) Gọi G, K lần lượt là giao điểm của BD và AN; CE và AM. Tia AI cắt GK ở H.
Tính góc AHG.
-----------------------------------Hết--------------------------------Họ và tên thí sinh:………………………………………………Số báo danh:…………


Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi môn toán 7
Năm học 2018-2019
----------o0o---------Bài

Câu
a)
2đ

1
b)
2đ

a)
2đ

Tóm tắt cách giải
A=

Điểm

2 .3 −2 .3
2 .3 (1 −3)
1
= 10 8
=−
10
8
10
8
2 .3 +2 .3 .5
2 .3 (1 +5)
3
10

8

10

9

10

8

Đặt M = 1+3+32+…+32015
Ta có 3M=3+32+33+…+32016
32016 1
3M - M=32016 – 1 => M =
−
2
2
2016
2016
1
3
1 3
Khi đó B =
=− 2
2
2
2
3 15 5
3 80
x−
=
+ <=> x −
=
14 28 12
14 84
3 80
3
80
x− =
hoặc x − = −

14 84
14
84
3 80
3 80
x= +
x= −
14 84
14 84

1,5
0,5
0,5
0,5
0,5

a)
2đ

7
31
x=
6
42
7
31
Vậy x = ; x =
6
42
Ta có 4 ( x – 2016)2 ≥ 0 với mọi x nên 25 - y2 ≥ 0 => y2 ≤ 25

Mà 4 ( x – 2016)2 là số chính phương chẵn => 25 - y2 chẵn
=>y lẻ.
y2 là số chính phương lẻ, y2 ≤ 25 => y2 ∈ {1;9;25}
+ Nếu y2=25 => 4 ( x – 2016)2=0 => x=2016
+ Nếu y2=9 => 4 ( x – 2016)2=16 => x=2016
=> ( x – 2016)2= 4
x-2016 =2 hoặc x-2016 = -2
x = 2018 hoặc x = 2014
+ Nếu y2 =1 => 4 ( x – 2016)2= 24 không phải là số chính phương (loại )
Vậy với y = ± 3 thì x = 2018; x = 2014
Với y = ± 5 thì x = 2016.
Ta có f(3)= 9a+3b+c ;
f(-2)= 4a-2b+c
f(3)+ f(-2) =13a+b+2c = 0 => f(3)= -f(-2)
 f(3).f(-2) = -f(3)2 ≤ 0

b)
2đ

Vì x, y, z ≠ 0 nên theo bài ra ta có: x. y = y.z = x.z

x=

2

b
2đ

3

2

x+ y

y+z

1 1 1
= =

=> x = y = z.
x y z
Thay x = y = z vào M ta được M = 1.

0,5

0,5
1,0

0,5
0,5
0,5
1,0

x+ z
1,5
0,5


Bài

Câu

a) 2đ
b) 2đ

4

c) 2đ

d) 2đ

Tóm tắt cách giải

Điểm

VABD = VMBD (cạnh huyền – góc nhọn) => AB = AM => VAMB cân ở B.

Ta có VAEC = VNEC => CN = CA
Khi đó AB + AC = BM + CN = BM + MC + MN = BC + MN
 MN = AB + AC - BC
¼
180o − ¼
ABC
ABC
Từ VAMB cân ở B => ¼
AMB =
= 90o −
2
2
o

¼
¼
180 − ACB
ACB
Từ VANC cân ở C => ¼
ANB =
= 90o −
2
2
o
¼
¼
¼
V
AMN
Trong
có MAN = 180 − AMB − ANC
¼
¼
ABC
ACB
= 180o − (90o −
) − (90o −
)
2
2
¼
ABC ¼
ACB 90o
=

+
=
= 45o
2
2
2
¼
¼
(Vì VABC vuông tại A nên ABC + ACB = 90o )
¼ = 45o
Vậy MAN
Vì VAMB cân ở B nên đường phân giác BD đồng thời là đường cao =>
BD ⊥ AM hay GI ⊥ AK
VANC cân ở C => đường phân giác CE đồng thời là đường cao =>
CE ⊥ AN hay KI ⊥ AG
Trong VAKG có 2 đường cao xuất phát từ G, K cắt nhau ở I => I là trực
tâm của VAKG .
 AI ⊥ GK ở H => ¼
AHG = 90o

2,0
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5

1,0

0,5

0,5
0,5
0,5