Vi ét không đối xứng (hay nhất)

HỆ THỨC VI-ÉT KHÔNG ĐỐI XỨNG

x 2   2m  1 x  m 2  1  0
Bài 1: Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2 .
1

2

2
Bài 2: Cho phương trình: x  2 x  m  1  0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn 2 x1  x2  7 .

x 2   2m  5  x  2m  1  0

Bài 3: Cho phương trình:

(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức

x 2   2m  1 x  m 2  1  0

Bài 4: Cho phương trình:

trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x

2

1

 2mx1  m

2

P

x1  x2

đạt giá trị nhỏ nhất.

(m là tham số). Tìm các giá trị củam để phương

x

2

 1  1

.

2
Bài 5: Tìm m để phương trình: x  5 x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn

x12  2x1 x2  3 x2  1 .
Bài 6: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x   2m  1  0

(1) (m là tham số)

a) Chưng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình (1) luôn có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 7: Cho phương trình x – x – m  2  0 (m là tham số).
2

a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

 x1  x2  thỏa mãn

2 x1  x2  5 .
Bài 8: Cho phương trình:
trình có 2 nghiệm x1; x2

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

x
thỏa mãn:

Bài tập: Cho phương trình

2
1

(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

 2mx1  2m  1  x2  2   5

x 2  2  m  1 x  m 2  2m  3  0

(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị của m để

1

x1  1  x2


2
Bài 9: Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  5  0

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm

x1 , x2 với mọi m.

2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

x

2
1

x1 , x2 thỏa mãn điều kiện

 2mx1  2m  1  x22  2mx2  2m  1  0

2
2
Bài 10: Cho phương trình x  2mx  m  m  1  0 (1) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để
2
phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x1  2mx2  3 x1 x2  3  0

1

2

2
Bài tập: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x1  x2  x2  2

Tìm m sao cho phương trình

x2   m  2 x  m2  1  0

có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x12  2 x22  3x1 x2

Bài 11: Cho phương trình

x 2 –  2m  1 x  m  0

(x là ẩn số, m là tham số)

a/ Chứng minh rằng phương trình luon có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

b/ Tìm tổng và tích của hai nghiệm x1, x2 theo m.
2
c/ Cho biểu thức A  x1  x1  2mx2  x1 x2 Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12: Cho phương trình:

x 2   2  m  1 x  m2   3  0

(x là ẩn, m là tham số).

2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho x1  4 x1  2 x2  2mx1  1

Bài tập: x  2mx  m  m  1  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
2

mãn hệ thức:

2

x22  2mx1  13

Bài 13: x  2 x  3  m  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ
2

3
2
2
x


m

1
x
 16


1
2
thức:

2
Bài 14: Tìm m để phương trình x  5 x  3m  1  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x13  x23  3 x1 x2  75
2
Bài 15: Tìm m để phương trình x  3x  2m  1  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x13  x23  3x1 x2  9

Bài 16: Tìm m nguyên để đường thẳng (d):

y  2  m  1 x  m2

 x  m
biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn 1

2

 x2  3m

2

.

2
cắt parabol (P): y  x tại 2 điểm phân


2
Bài 17: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x1  x2  x2  2

Bài 18: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x2  x2  2

2
Bài 19: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x2  x1  x1  2

Bài 20: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  x1  x1  2

Bài 21: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m  2  0

(x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình

đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  2 x  x1  1
2
1

Bài 22: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2
cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  3 x2  13
2

1

2

Bài 23: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2

2
cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 x1  x2  7

Bài 24: Cho phương trình x  2mx  2 m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình
2
đã cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2  7
2

1

2

Bài 25: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2

2
2
cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  3 x1 x2  6

Bài 26: Cho phương trình

x 2   3m  1 x  3m  2  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương

2
2
trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  4 x1 x2  2

Bài 27: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x1  x2  5  2m

Bài 28: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  m 2  0

(x là ẩn, m là tham số).

3


Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

 x1  m 

2

 x2  3m

Bài 29:
a) Tìm m để phương trình 2 x  2mx  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt
2

2

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của nó, tìm GTLN của biểu thức:

A  2 x1 x2  x1  x2  4
Bài 30: Cho phương trình

.

x 2   m  1 x  1  0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho
x12 x2  2 x13 x23  x1 x22  3
2
Bài 31: Cho phương trình x  6 x  2m  3  0

a) Giải phương trình với m = 4.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

x

2
1

 5 x1  2m  4   x22  5 x2  2m  4   2

Bài 32: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  x  m  1 cắt parabol (P):
biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

2 y1  3 x1  y22 

y

1 2
x
2 tại 2 điểm phân

1
x2
4 .

Bài 33: Cho phương trình với là tham số.
1) Giải phương trình khi .
2) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:
x  2 x2  x1 x2  8
2
1

.

Bài 34: Cho phương trình:

x 2  2 x   m – 3  0  

(ẩn x)

a)

Giải phương trình với m = 3.

b)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện:

x12 – 2 x2  x1 x2  12

Bài 35: Cho phương trình:

x 2  2 x   m – 3  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện:

x12  2x 2  x12 x 22  16

4


Bài 36: Cho phương trình

x 2  2  m  2  x  m 2  5m  4  0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương

2
2
A

x

2
m


2
x

m
 5m  4 đạt giá trị nhỏ nhất


1
2
trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho

Bài 37: Cho phương trình x  2mx  3m  0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai
2

nghiệm x1, x2 sao cho

x12  2mx2  5m  20

Bài 38: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x: x  2mx  m  2m  3  0
2

2

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2, .
b) Cho biểu thức

A  12  2 x1 x2  x22  2mx1  10m . Tìm m để A = 0.

Bài 39: Cho phương trình ẩn x: x – 5 x  7 – m  0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai
2

nghiệm x1 ; x2 thoả mãn đẳng thức

Bài 39: Cho phương trình

x12  4 x2  1

x 2   m  1 x  m 2  2  0 (1),

với m là tham số thực.

a) Chứng minh: phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 với mọi giá trị
của m .
3

3

�x � �x �
T  � 1 � � 2 �
�x2 � �x1 �

b) Tìm m để biểu thức
đạt giá trị lớn nhất.
2
2
Bài 40: Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: x  2(m  1)x  2m  9m  7  0 (m là
tham số).

Chứng minh rằng :

7(x1  x 2 )
 x1 x 2 �18
2

2
Bài 42: Cho phương trình x  x  m  1  0 (m là tham số).

1. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho
x12  x1 x2  3x22  7

Bài 43: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y  2 x  m  3 và parabol (P) :
y  x2 .

1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).

5


2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
2
x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  x1 x2  16 .

2
Bài 44: Tìm m nguyên để đường thẳng (d): y  4 x  m  2 cắt parabol (P): y  x tại 2 điểm

phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1  2 x1 x2  2 x2  1 .
2
Bài 45: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  4 x  m  2 cắt parabol (P): y  x tại 2

điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1  2 x1 x2  4 x2  7 .

Bài 46:

Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  x  m  1 cắt parabol (P):

điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

2 y1  3 x1  y22 

y

1 2
x
2
tại 2

1
x2
4

2
Bài 47: Tìm m để phương trình x  x  2m  3  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm
3
3
x1,x2 thỏa mãn x1  x2  8 x1 x2  44

2
Bài 48: Tìm m để phương trình x  x  2m  3  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm
3

3
x1,x2 thỏa mãn x1  x2  3x1 x2  3
2
2
Bài 49: Tìm m để phương trình x   2m  1 x  m  m  6  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2

3
3
nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1  x2  65

2
x
Bài 50: Cho phương trình:  4 x   2m – 3  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn
2
2 2
điều kiện: x1  4x 2  3x1 x 2  20
2
Bài 51: Cho phương trình: x  2 x  3  m  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn
2
2 2
điều kiện: x1  2x 2  3x1 x 2  8

Bài 52: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  2 x2  x1  7  2m

Bài 53: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  2m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  4 x2  x1  5  2m

6


Bài 54: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x1  x2  6  2m

2
Bài 55 : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y  2x  m  1 cắt Parabol

2

2
2
(P) : y  x tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ), B(x 2 ; y 2 ) sao cho y1  y 2  x1  3x 2  2  0 .

2
Bài 56: Cho phương trình: x  x  3  m  0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

x13  (m 1) x 22  11
2
Bài 57: Cho phương trình: x  2x  2  m  0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

2x13  (m  2) x 22  5
Bài 58

2
: x  2 x  3  m  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,

3
2
x2 thỏa mãn hệ thức: 2 x1   m  1 x2  16

HỆ THỨC VI-ÉT KHÔNG ĐỐI XỨNG

x 2   2m  1 x  m 2  1  0
Bài 1: Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm m để phương trình có hai

nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2 .
1

2

2
Bài 2: Cho phương trình: x  2 x  m  1  0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn 2 x1  x2  7 .

Bài 3: Cho phương trình:

x 2   2m  5  x  2m  1  0

(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức
Bài 4: Cho phương trình:

x 2   2m  1 x  m 2  1  0

trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x

2
1

P

x1  x2

đạt giá trị nhỏ nhất.

(m là tham số). Tìm các giá trị củam để phương

 2mx1  m2   x2  1  1

.

2
Bài 5: Tìm m để phương trình: x  5 x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn

x12  2x1 x2  3 x2  1 .
Bài 6: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x   2m  1  0

7

(1) (m là tham số)


a) Chưng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình (1) luôn có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 7: Cho phương trình x – x – m  2  0 (m là tham số).
2

a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

 x1  x2  thỏa mãn

2 x1  x2  5 .
Bài 8: Cho phương trình:

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn:
Bài tập: Cho phương trình

x

2
1

(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

 2mx1  2m  1  x2  2   5

x 2  2  m  1 x  m 2  2m  3  0

(m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị của m để

x1  1  x2

2
Bài 9: Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  5  0

3) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm

x1 , x2 với mọi m.

4) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

x

2
1

x1 , x2 thỏa mãn điều kiện

 2mx1  2m  1  x22  2mx2  2m  1  0

2
2
Bài 10: Cho phương trình x  2mx  m  m  1  0 (1) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để
2
phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x1  2mx2  3 x1 x2  3  0

1

2

2
Bài tập: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x1  x2  x2  2

Tìm m sao cho phương trình

x2   m  2 x  m2  1  0

có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x12  2 x22  3x1 x2

Bài 11: Cho phương trình

x 2 –  2m  1 x  m  0

(x là ẩn số, m là tham số)

a/ Chứng minh rằng phương trình luon có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

8


b/ Tìm tổng và tích của hai nghiệm x1, x2 theo m.
2
c/ Cho biểu thức A  x1  x1  2mx2  x1 x2 Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12: Cho phương trình:

x 2   2  m  1 x  m2   3  0

(x là ẩn, m là tham số).

2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho x1  4 x1  2 x2  2mx1  1

Bài tập: x  2mx  m  m  1  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
2

mãn hệ thức:

2

x22  2mx1  13

Bài 13: x  2 x  3  m  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ
2

thức:

2 x13   m  1 x22  16

2
Bài 14: Tìm m để phương trình x  5 x  3m  1  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x13  x23  3 x1 x2  75
2
Bài 15: Tìm m để phương trình x  3x  2m  1  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x13  x23  3x1 x2  9

Bài 16: Tìm m nguyên để đường thẳng (d):

y  2  m  1 x  m2

 x  m
biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn 1

2

 x2  3m

2
cắt parabol (P): y  x tại 2 điểm phân

.

2
Bài 17: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x1  x2  x2  2

Bài 18: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x2  x2  2

2

Bài 19: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x2  x1  x1  2

Bài 20: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  x1  x1  2

Bài 21: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m  2  0

(x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình

đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  2 x  x1  1
2
1

9


Bài 22: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2

2
cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  3 x2  13

Bài 23: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2
cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn 2 x1  x2  7
2

1

2

Bài 24: Cho phương trình x  2 mx  2 m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình
2
đã cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2  7
2

1

2

Bài 25: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2
2
cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2  3 x1 x2  6
2

1

2

Bài 26: Cho phương trình

x 2   3m  1 x  3m  2  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương

2
2
trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  4 x1 x2  2

Bài 27: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x1  x2  5  2m

Bài 28: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  m 2  0

(x là ẩn, m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

 x1  m 

2

 x2  3m

Bài 29:
a) Tìm m để phương trình 2 x  2mx  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt
2

2

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của nó, tìm GTLN của biểu thức:

A  2 x1 x2  x1  x2  4
Bài 30: Cho phương trình

.

x 2   m  1 x  1  0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho
x12 x2  2 x13 x23  x1 x22  3
2
Bài 31: Cho phương trình x  6 x  2m  3  0

a) Giải phương trình với m = 4.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

x

2

1

 5 x1  2m  4   x22  5 x2  2m  4   2

10


Bài 32: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  x  m  1 cắt parabol (P):
biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

2 y1  3 x1  y22 

y

1 2
x
2 tại 2 điểm phân

1
x2
4 .

Bài 33: Cho phương trình với là tham số.
1) Giải phương trình khi .
2) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:
x  2 x2  x1 x2  8
2
1

.

Bài 34: Cho phương trình:

x 2  2 x   m – 3  0  

(ẩn x)

c)

Giải phương trình với m = 3.

d)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện:

x12 – 2 x2  x1 x2  12

Bài 35: Cho phương trình:

x 2  2 x   m – 3  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện:

x12  2x 2  x12 x 22  16
Bài 36: Cho phương trình

x 2  2  m  2  x  m 2  5m  4  0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương

2
2

A

x

2
m

2
x

m
 5m  4 đạt giá trị nhỏ nhất


1
2
trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho

Bài 37: Cho phương trình x  2mx  3m  0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai
2

nghiệm x1, x2 sao cho

x12  2mx2  5m  20

Bài 38: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x: x  2mx  m  2m  3  0
2

2

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2, .
b) Cho biểu thức

A  12  2 x1 x2  x22  2mx1  10m . Tìm m để A = 0.

Bài 39: Cho phương trình ẩn x: x – 5 x  7 – m  0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai
2

nghiệm x1 ; x2 thoả mãn đẳng thức

Bài 39: Cho phương trình

x12  4 x2  1

x 2   m  1 x  m 2  2  0 (1),

với m là tham số thực.

c) Chứng minh: phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 với mọi giá trị
của m .
11


3

3

�x � �x �
T  � 1 � � 2 �
�x2 � �x1 �

d) Tìm m để biểu thức
đạt giá trị lớn nhất.
2
2
x
,
x
Bài 40: Gọi 1 2 là hai nghiệm của phương trình: x  2(m  1)x  2m  9m  7  0 (m là
tham số).

Chứng minh rằng :

7(x1  x 2 )
 x1 x 2 �18
2

2
Bài 42: Cho phương trình x  x  m  1  0 (m là tham số).

1. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho
x12  x1 x2  3 x22  7

Bài 43: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y  2 x  m  3 và parabol (P) :
y  x2 .

1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).
2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
2

x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  x1 x2  16 .

2
Bài 44: Tìm m nguyên để đường thẳng (d): y  4 x  m  2 cắt parabol (P): y  x tại 2 điểm

phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1  2 x1 x2  2 x2  1 .
2
Bài 45: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  4 x  m  2 cắt parabol (P): y  x tại 2

điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1  2 x1 x2  4 x2  7 .

Bài 46: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):
điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

y  x  m  1 cắt parabol (P):

2 y1  3 x1  y22 

y

1 2
x
2
tại 2

1
x2
4

2

Bài 47: Tìm m để phương trình x  x  2m  3  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm
3
3
x1,x2 thỏa mãn x1  x2  8 x1 x2  44
2
Bài 48: Tìm m để phương trình x  x  2m  3  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm
3
3
x1,x2 thỏa mãn x1  x2  3x1 x2  3

12


2
2
Bài 49: Tìm m để phương trình x   2m  1 x  m  m  6  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2

3
3
nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1  x2  65

2
Bài 50: Cho phương trình: x  4 x   2m – 3  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn
2
2 2
điều kiện: x1  4x 2  3x1 x 2  20
2
Bài 51: Cho phương trình: x  2 x  3  m  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn
2
2 2
điều kiện: x1  2x 2  3x1 x 2  8

Bài 52: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  2 x2  x1  7  2m

Bài 53: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  2m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  4 x2  x1  5  2m

Bài 54: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x1  x2  6  2m

2
Bài 55 : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y  2x  m  1 cắt Parabol

2
2
2
(P) : y  x tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ), B(x 2 ; y 2 ) sao cho y1  y2  x1  3x 2  2  0 .

2
Bài 56: Cho phương trình: x  x  3  m  0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

x13  (m 1) x 22  11
2
Bài 57: Cho phương trình: x  2x  2  m  0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

2x13  (m  2) x 22  5
Bài 58

2
: x  2 x  3  m  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,

3
2

x2 thỏa mãn hệ thức: 2 x1   m  1 x2  16

13


HỆ THỨC VI-ÉT KHÔNG ĐỐI XỨNG

x 2   2m  1 x  m 2  1  0
Bài 1: Cho phương trình:
(m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2 .
1

2

2
Bài 2: Cho phương trình: x  2 x  m  1  0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn 2 x1  x2  7 .

x 2   2m  5  x  2m  1  0

Bài 3: Cho phương trình:

(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức

x 2   2m  1 x  m 2  1  0

Bài 4: Cho phương trình:

trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x

2
1

P

x1  x2

đạt giá trị nhỏ nhất.

(m là tham số). Tìm các giá trị củam để phương

 2mx1  m 2   x2  1  1

.

2
Bài 5: Tìm m để phương trình: x  5 x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn

x12  2x1 x2  3 x2  1 .
Bài 6: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x   2m  1  0

(1) (m là tham số)

a) Chưng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình (1) luôn có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Bài 7: Cho phương trình x – x – m  2  0 (m là tham số).
2

a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

 x1  x2  thỏa mãn

2 x1  x2  5 .
x 2  2  m  1 x  2m  5  0
Bài 8: Cho phương trình:
trình có 2 nghiệm x1; x2

x
thỏa mãn:

Bài tập: Cho phương trình

2
1

(m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương

 2mx1  2m  1  x2  2   5

x 2  2  m  1 x  m 2  2m  3  0

14

(m là tham số)


a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị của m để

x1  1  x2

2
Bài 9: Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  5  0

5) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm

x1 , x2 với mọi m.

6) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

x

2
1

x1 , x2 thỏa mãn điều kiện

 2mx1  2m  1  x22  2mx2  2m  1  0

2
2
Bài 10: Cho phương trình x  2mx  m  m  1  0 (1) (với m là tham số). Tìm các giá trị của m để

2
phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1  2mx2  3 x1 x2  3  0

2
Bài tập: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x1  x2  x2  2

Tìm m sao cho phương trình

x2   m  2 x  m2  1  0

có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x12  2 x22  3x1 x2

Bài 11: Cho phương trình

x 2 –  2m  1 x  m  0

(x là ẩn số, m là tham số)

a/ Chứng minh rằng phương trình luon có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
b/ Tìm tổng và tích của hai nghiệm x1, x2 theo m.
2
c/ Cho biểu thức A  x1  x1  2mx2  x1 x2 Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12: Cho phương trình:

x 2   2  m  1 x  m2   3  0

(x là ẩn, m là tham số).

2
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 sao cho x1  4 x1  2 x2  2mx1  1

Bài tập: x  2mx  m  m  1  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
2

mãn hệ thức:

2

x22  2mx1  13

Bài 13: x  2 x  3  m  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ
2

thức:

2 x13   m  1 x22  16

2
Bài 14: Tìm m để phương trình x  5 x  3m  1  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x13  x23  3 x1 x2  75
2
Bài 15: Tìm m để phương trình x  3x  2m  1  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn

x13  x23  3x1 x2  9

15


Bài 16: Tìm m nguyên để đường thẳng (d):

y  2  m  1 x  m2

 x  m
biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn 1

2

 x2  3m

2
cắt parabol (P): y  x tại 2 điểm phân

.

2
Bài 17: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x1  x2  x2  2

Bài 18: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x2  x2  2

2
Bài 19: Cho phương trình x  mx  6  m  0 . Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2
2
thỏa mãn x2  x1  x1  2

Bài 20: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  5  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.
2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  x1  x1  2

Bài 21: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m  2  0

(x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình

đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  2 x  x1  1
2
1

Bài 22: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2
cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  3 x2  13
2

1

2

Bài 23: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2
cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn 2 x1  x2  7
2

1

2

Bài 24: Cho phương trình x  2mx  2 m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình
2
đã cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2  7
2

1

2

Bài 25: Cho phương trình x  mx  m  1  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương trình đã
2
2

cho có 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  2 x2  3 x1 x2  6
2

1

2

Bài 26: Cho phương trình

x 2   3m  1 x  3m  2  0 . (x là ẩn, m là tham số).Tìm m sao cho phương

2
2
trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  4 x1 x2  2

Bài 27: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  0

(x là ẩn, m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

16


2
b) Tìm m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x1  x2  5  2m

Bài 28: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  m 2  0

(x là ẩn, m là tham số).

 x  m
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1

2

 x2  3m

Bài 29:
a) Tìm m để phương trình 2 x  2mx  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt
2

2

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của nó, tìm GTLN của biểu thức:

A  2 x1 x2  x1  x2  4
Bài 30: Cho phương trình

.

x 2   m  1 x  1  0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho
x12 x2  2 x13 x23  x1 x22  3

2
Bài 31: Cho phương trình x  6 x  2m  3  0

a) Giải phương trình với m = 4.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

x

2
1

 5 x1  2m  4   x22  5 x2  2m  4   2

Bài 32: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  x  m  1 cắt parabol (P):
biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

2 y1  3 x1  y22 

y

1 2
x
2 tại 2 điểm phân

1
x2
4 .

Bài 33: Cho phương trình với là tham số.
1) Giải phương trình khi .

2) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:
x12  2 x2  x1 x2  8

.

Bài 34: Cho phương trình:

x 2  2 x   m – 3  0  

(ẩn x)

e)

Giải phương trình với m = 3.

f)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện:

x12 – 2 x2  x1 x2  12

Bài 35: Cho phương trình:

x 2  2 x   m – 3  0   (ẩn x)

17


Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn điều kiện:

x12  2x 2  x12 x 22  16
Bài 36: Cho phương trình

x 2  2  m  2  x  m 2  5m  4  0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương

trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho

A  x12  2  m  2  x2  m 2  5m  4 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 37: Cho phương trình x  2mx  3m  0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai
2

2
x
 2mx2  5m  20
1
nghiệm x1, x2 sao cho

Bài 38: Cho phương trình bậc 2 có ẩn x: x  2 mx  m  2m  3  0
2

2

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2, .
b) Cho biểu thức

A  12  2 x1 x2  x22  2mx1  10m . Tìm m để A = 0.

Bài 39: Cho phương trình ẩn x: x – 5 x  7 – m  0 . Tìm các giá trị của m để phương trình có hai
2

2
x
 4 x2  1
1
nghiệm x1 ; x2 thoả mãn đẳng thức

Bài 39: Cho phương trình

x 2   m  1 x  m2  2  0 (1),

với m là tham số thực.

e) Chứng minh: phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu x1 , x2 với mọi giá trị
của m .
3

3

�x � �x �
T  � 1 � � 2 �
�x2 � �x1 �

f) Tìm m để biểu thức
đạt giá trị lớn nhất.
2
2
Bài 40: Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: x  2(m  1)x  2m  9m  7  0 (m là
tham số).

Chứng minh rằng :

7(x1  x 2 )
 x1 x 2 �18
2

2
Bài 42: Cho phương trình x  x  m  1  0 (m là tham số).

1. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho
x12  x1 x2  3 x22  7

Bài 43: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y  2 x  m  3 và parabol (P) :
y  x2 .

18


1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(2;0).
2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
2
x1, x2 thỏa mãn x1  2 x2  x1 x2  16 .

2
Bài 44: Tìm m nguyên để đường thẳng (d): y  4 x  m  2 cắt parabol (P): y  x tại 2 điểm

phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1  2 x1 x2  2 x2  1 .
2
Bài 45: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d): y  4 x  m  2 cắt parabol (P): y  x tại 2

điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1  2 x1 x2  4 x2  7 .

Bài 46: Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):
điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho

y  x  m  1 cắt parabol (P):

2 y1  3 x1  y22 

y

1 2
x
2
tại 2

1
x2
4

2
Bài 47: Tìm m để phương trình x  x  2m  3  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm
3
3
x1,x2 thỏa mãn x1  x2  8 x1 x2  44

2
Bài 48: Tìm m để phương trình x  x  2m  3  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2 nghiệm
3

3
x1,x2 thỏa mãn x1  x2  3x1 x2  3
2
2
Bài 49: Tìm m để phương trình x   2m  1 x  m  m  6  0 (x là ẩn, m là tham số) có 2

3
3
nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1  x2  65

2
Bài 50: Cho phương trình: x  4 x   2m – 3  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn
2
2 2
điều kiện: x1  4x 2  3x1 x 2  20
2
Bài 51: Cho phương trình: x  2 x  3  m  0   (ẩn x)

Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và thỏa mãn
2
2 2
điều kiện: x1  2x 2  3x1 x 2  8

Bài 52: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  2 x2  x1  7  2m

19


Bài 53: Cho phương trình

x 2   2m  1 x  2m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2  4 x2  x1  5  2m

Bài 54: Cho phương trình

x 2  2  m  1 x  2m  3  0

(x là ẩn, m là tham số). Tìm m sao cho

2
phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2 x1  x2  6  2m

2
Bài 55 : Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y  2x  m  1 cắt Parabol

2
2

2
(P) : y  x tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ), B(x 2 ; y 2 ) sao cho y1  y 2  x1  3x 2  2  0 .

2
Bài 56: Cho phương trình: x  x  3  m  0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

x13  (m 1) x 22  11
2
Bài 57: Cho phương trình: x  2x  2  m  0 (m là tham số)

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức

2x13  (m  2) x 22  5
Bài 58

2
: x  2 x  3  m  0 (1). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,

3
2
x2 thỏa mãn hệ thức: 2 x1   m  1 x2  16

20