thiết kế sàn bê tông ứng lực trước

Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

CHAPITRE 4 : CALCUL DU PLANCHER
- Solution de la structure :
Plancher- champignon en béton précontraint post – tendu.
- Approximativement, les planchers sont infiniment rigides dans leur plan, ils ne
subissent que les charges verticales et transmettent la charge horizontale aux voiles et
aux poteaux. Les calculs seront réalisés pour un étage courant (6 e étage) qui supporte
seulement les charges verticales.
X1

X3

X2

X5

X4

X6

d 22x60
Y6

Y6

D40x90

D40x90

D40x90
D40x90

D40x90

D40x90

D40x90

D40x90
Y5

d 35x90

D40x90

Y5

d 30x90

D40x90

Y4

d 22x60

Y4

Y3

D40x90

d 35x90

Y3

Y2

D40x90

D40x90

D40x90

D40x90

D40x90

D40x90

D40x90

D40x90

Y2

D40x90

D40x90

Y1

Y1

c7

Da m 40x90

X1

X2

X3

X4

X5

X6

Figure 4.1: Plan structural du plancher- champignon précontraint

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

48


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

4.1 Règle de calcul
4.1.1 Méthode de calcul
Il existe trois méthodes de calcul des éléments précontraintes comme la
méthode de calcul selon théorie plastique, méthode de calcul selon l’état limite,
méthode de la charge équivalente. Dans ce projet, on va utiliser la méthode de la
charge équivalente pour calculer.
Dans la méthode de la charge équivalente, l’effet de la précontrainte sur le
béton est présenté par un jeu de force, constitué d’une part des forces d’ancrages qui
agissent aux extrémités du câble et d’autre part des forces de déviation qui sont
produites par les changements de direction du câble. Cette méthode, complétée par la
notion de balancement et de compensation des déformations permet de tenir compte de
l’effet de la précontrainte d’une manière particulièrement pratique et intuitive. Elle
simplifie fortement le projet de constructions précontraintes compliquées, comme les
poutres hyperstatiques, les dalles ou les coques. Le système de forces équivalentes
est P et P.tan : composantes des forces d’ancrage
La force de déviation par unité de longueur :
u P

8f
l2

u
P.tan 
P

1

P.tan

f

2

P

f
l /2

l /2

Figure 4.2 : Charges équivalentes
4.1.2 Principe de distribution des câbles
Les deux disposition principale de la précontrainte dans les plancher sont la
précontrainte répartie et la précontraint par bande d'appui. Je choisis la précontrainte
répartie pour cet ouvrage.
Dans cette disposition, un certain nombre de câbles sont répartis sur toute la
largeur du champ alors que d'autres sont concentrés dans les bandes d'appui. Les
câbles de champ d'une direction chargent les câbles de la bande d'appui dans l'autre
direction, ce qui fait que la même charge doit être reprise deux fois avant d'être
transmise à la colonne.
Les avantages du précontraint répartir :
 Le plus grande nombre de câbles permet d'utiliser des unités plus petites
(dans ce cas, ce sont des mono - torons gainés graissés), et par conséquent de disposer
d'une plus grande hauteur utile.
 Un meilleur balancement des charges uniformément réparties

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

49

Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

4.1.3 Précontrainte répartie
Pour la simplification, on suppose que chaque bande d'appui ne comporte qu'un
câble, et que sa largeur est donc négligeable. La charge balancée par des câbles
répartis dans le champ de largeur l x , ly est d'abord transmise aux câbles des bandes
d'appui de l'autre direction, qui la reprennent et la transmettent aux colonnes.
uy.ly/2

D

ux.lx/2

C
uy=0.5u
ux=0.5u

A

u'y=ux.lx/2

B

u'x=uy.ly/2

ly

lx

Figure 4.3 : Balancement des charges par la précontrainte répartie.
La quantité de précontrainte répartie requise en fonction de la charge
équivalent u = q ( - degré de balancement). La charge équivalente u se compose de
forces de déviation ux selon la direction x, et uy selon la direction y. Si l’on suppose
que c’est le cas d’une trame carrée, les charges équivalents des câbles de chaque
direction valent : ux=0,5.u et uy=0,5.u. Les réactions ½ux.lx=0,25.u.lx des câbles que
produisent les charges équivalentes ux sont transmises aux des bandes d’appui A-D et
B-C. En conséquence, les charges équivalentes u’y de ces câbles doivent balancer les
réaction 0,25.u.lx provenant des câbles de champ de la direction x. De même, les
réactions 0,25.u.ly de la charge équivalent uy doivent reprise par les charges équivalent
u’x. Les charges équivalentes uxtot et uytot pour un champ complet valent donc :
uxtot = ux.ly + 2.u’x = 0,5.u.ly + 2.0,25.u.ly = u.ly
uytot = uy.lx + 2.u’y = 0,5.u.lx + 2.0,25.u.lx = u.lx
Cela signifie que les câbles de chaque direction doivent balancer la charge
totale u. On constate que la qualité de précontrainte ainsi déterminée doit être répartie
pour moitié dans le champ et pour moitié dans la bande d’appui. Il est toujours
nécessaire dans les planchers-dalles de transmettre l’intégralité de la charge dans les
deux directions.
ul 2
Px  x
8 fx

et Py 

ul y2
8 fy

Le nombre des câbles dans chaque direction peut calculer par les formules :
nx 

Px l y

 p A p

et n y 

Py l x

 p A p

Dans cette formule, p représente la contrainte finale après pertes.

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

50


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

La quantité de précontrainte doit être répartie pour moitié dans le champ et pour
moitié dans la bande d'appui.
Cependant, en practice, la largeur de la bande d'appui n'est pas infiniment
étroite et plusieurs câbles y sont disposés. D'autre part, les tracés paraboliques des
câbles continus ne présentent pas de cassure à l'axe des appuis, mais sont raccordés
aux câbles des travées adjacentes par des tronçons de courbure convexe. Ça conduit à

la constitution de différentes zones dans lesquelles agissent diverses charges
équivalentes. Mais, un calcul précis des forces agissant dans ces diverses zones n'est
en général pas nécessaire. Lors du dimentionnement d'un plancher - champignon,
l'approche de la figure ci-dessus est suffisante.

4.2 Matériaux
4.2.1 Béton
Pour les éléments en béton précontraint, on prend le béton de marque 350.
Les caractéristiques du béton suivant la norme vietnamienne :
- Résistance de calcul à la compression de calcul
Rn = 155 kG/cm2 = 15,5 MPa
- Résistance de calcul à la traction
Rbt = 11 kG/cm2 = 1,1 MPa
- Module d'élasticité
Eb = 310 000 kG/cm2 = 31 000 Mpa
Les caractéristiques du béton suivant la norme française :
- Résistance caractéristique
fc28 = fcn(1-k.s)/ =35.(1-1,64.0,135)/1,2=22,7 MPa
Où: fcn - marque du béton (ou moyenne arithmétique des résultats d'essais)
k = 1,64 (avec une probabilité sur cinq d'être dépassé)
s = 0,135 - écart-type
 = 1,2 - coefficient qui transmue le résultat d'essai sur des éprouvettes
cylindriques circulaires (D=16 cm. H = 32 cm) en celui des éprouvettes cubiques
(a=H=15cm)
- Résistance à la traction : ft = 0,06fc + 0,6 = 0,06.22,7 + 0,6 = 1,96 MPa
- Module d'élasticité : Ei = 11000

3

f c 28 = 31146 MPa

4.2.2 Armature
- Armature passive
Je choisis les acier du type AII avec fe = 280 MPa
- Armature précontrainte
J'utilise le câble non - adhérent du type T15.
Les paramètres techniques des câbles selon ASTM A416-94 :
 Aire de la section Ap = 1,4 cm2
 Diamètre de la gaine D = 15,2 mm

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

51


Bureau à louer






Partie 2: STRUCTURE

Poids par mètre g = 1,095 kG/m
Module d'élasticité Ep = 190 000 MPa
Contrainte de rupture garantie fprg=1860 MPa
Limite élastique conventionnelle à 1‰ fpeg=1580 MPa
Tension à l'origine maximale:
Selon BPEL 91 : po max = min (0,8 fprg ; 0,9 fpeg) = 1422 MPa

Selon TCVN 5574-91 : po+ P0,8Rac
avec P= 0,05po , Rac = 1860 Mpa  po1417MPa
Choix po = 1400 Mpa

4.3 Calcul du plancher
4.3.1 Général
4.3.1.1 Détermination de la charge équivalente
On recommande de prendre la valeur de charge équivalente u environ de 0,8 à
1,0 fois de la charge permanente. Dans ce cas, les charges permanentes sont :
 Poids propre des couches constructives : 0,94 kN/m2
 Poids propre de la dalle en BA : 0,25.25 = 6,25 kN/m2
 Poids propre du mur : 0,855 kN/m2
La valeur totale des charges permanentes est g = 8,045 kN/m2.
Choix u=8 kN/m2
4.3.1.2 Schéma des câbles

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

52


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

x1

x3

x2

x5

x4

x6

y6

y6

y5

C4

C1

C1

C1

C2

C2

y5

C1

y4

y4

C3
C1
C3

y3

y3

C3

C2

C5

y2

C4

y2

y1

y1

x1

x2

x3

x4

x5

x6

Figure4.4 : Schéma des câbles du plancher – champignon précontraint
Le plan du plancher est symétrique, on va calculer d’après la direction de l’axe
X. La direction de l’axe Y est disposée identiquement.
4.3.2 Tracée théorique des câbles
4.3.2.1 Déterminer l’excentricité maximale et la flèche du câble
L’épaisseur de l’enrobage abv est de 20mm, le diamètre de l’armature passive est
préliminaire choisi de 12mm, le diamètre de l’acier précontraint  est de 20mm.
 L’excentricité maximale au appui :
hs
 250
20
emax 

2

 abv  d 

2



2

 20  12 

2

 L’excentricité maximale à la travée :
hs
 250
20
emax 

-

2

 abv  d 

2



2

 20  12 

2

83mm

83mm

 Déterminer la flèche du câble:
À la travée au rive :
f rive 83  83 / 2 125mm

-

À la travée intermédiaire :
f int 83  83 166mm

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

53


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

4.3.2.2 Tracée du câble C1

y1

y3

Figure : Tracée théorique du câble C1
À la travée Y1 – Y2 , on prendre la flèche égale à la flèche maximale, donc la
valeur de la force d’ancrage P :
P

uL2 8 x10,5 2

664kN / m
8f
8 x0,166

Du fait que la force de précontrainte ne change pas suivant la longueur du
câble, la flèche à la travée Y3 – Y4 est égale à :
f 

uL2 8 x8,4 2

0,106m  0,166m
8 P 8 x664

Angle de déviation :
4 f 4 x166

0,0632rad
l
10500
4 f ' 4 x106
3 

0,0404rad
l
10500
 4 x0,0632  2 x0,0404 0,334rad

 1  2 

4.3.2.3 Tracée du câble C2

y1

y3
Figure : Tracée théorique du câble C2

À la travée Y1 – Y2 , on prendre la flèche égale à la flèche maximale, donc la
valeur de la force d’ancrage P :
P

uL2 8 x10,5 2

882kN / m
8f
8 x0,125

Du fait que la force de précontrainte ne change pas suivant la longueur du
câble, la flèche à la travée Y3 – Y4 est égale à :

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

54


Bureau à louer
f 

Partie 2: STRUCTURE

uL2 8 x8,4 2

0,08m  0,166m
8 P 8 x882

Angle de déviation :
4 f H 4 x125
83



0,0397 rad
l
l 10500 10500
4 f H 4 x125
83
2 
 

0,0555rad
l
l 10500 10500
4f '
4 x80
3 

0,0305rad
l

10500
 2 x(0,0397  0,0555  0,0305) 0,251rad

1 

4.3.3 Tracée réelle des câbles
4.3.3.1 Principe de calcul
Pour obtenir un tracé de câble constructible, in supprimera les angles vifs sur
appui par des fractions de paraboles sur une longueur 0,1l. Le point de contact des
deux morceaux de parabole situé à l’abscisse à 0,1l et 0,9l a une tangente commune.
Ce point se trouve sur la droite joignant les sommets des deux paraboles.
Travée de rive
Comme l’indique la figure, on a la position des points comme suivant :
h/2
h

d

C
A

h/2

2e

e B
d
zB

zA

0,414.l

1,66e

0,486.l

D
zD

zC

0,1.l

l

zA= h/2 ; zB = d ; zC = 1,66.e ; zD = h - d
Travée intermédiaire:
h/2
h
h/2

D

d
E

E'

0,8f

f

zE

0,1l

zE

F

d

D'
zD

zF
0,4l

0,4l

0,1l

l

zD = h – d ; zF = zD – f ; zE = zF + 0,8f

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

55

Bureau à louer
Où :

Partie 2: STRUCTURE

d - enrobage, d= abv + dcable +  = 20+20+12 = 42mm
h - épaisseur de la dalle, h = 250mm
f - flèche maximale de câble.

4.3.3.2 Tracé réel du câble C1
b

f

e

c

g

a

h
d

y1

y3

Figure : Tracée réel du câble C1
Point A : zA= h/2 = 250/2 = 125 mm
Point B, F : zB = zF = h - d = 250-42 = 208 mm
Point D : zD = d = 42mm
Point C, E : zC = zE = zD + 0,8f = 42 + 0,8x166 = 175mm
Point H : zH = zF – f = 208 - 106 = 102mm
Point G : zG = zH + 0,8f = 102 + 0,8x106 = 187mm
4.3.3.3 Tracé réel du câble C2

a

d

c

e

b

y1

f

y3

Figure : Tracée réel du câble C2
Point A : zA= h/2 = 250/2 = 125 mm
Point B : zB = d = 42 mm
Point C : zC = 1,66.e = 1,66x83 = 138 mm
Point D : zD = h – d = 250 - 42 = 208mm

Point F : zF = zD - f= 208 - 80 = 128mm
Point E : zE = zF + 0,8f= 128 + 0,8x80 = 192mm

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

56


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

4.3.4 Disposition des câbles
Pour le plancher - dalle, je peux en première approximation admettre que
l'ensemble des pertes de précontrainte dans les câbles est égale à 20% de la force
initiale de précontrainte à l'ancrage.
 p 0,8 po 0,8 x1400 1120 Mpa
Les câbles sont disposés selon le règle : 60% de nombre de câbles sont disposés
à la bande d’appui et 40% sont disposés à la bande en travée.
4.3.4.1 Câble C1
Nombre de câbles C1
pl
664 x10  3 x16,8
n

71,1
 p A p 1120 x1,4 x10  4

Choix n = 70
4.3.4.2 Câble C2

Nombre de câbles C2
n

pl
882 x10  3 x6,3

35.4
 p A p 1120 x1,4 x10  4

Choix n = 35
4.3.5 Calcul des pertes de tension du câble C1
4.3.5.1 Pertes de tension suivant TCVN 356-2005
- Perte de tension par frottement
La formule à prendre :  fr  po (1 

1
e

x 

)

Où :
, - coefficient, en consultant le table 7 page 26 du Norme on a des
valeurs:  = 0,0015, =0,05
- somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et le point
étudié,  = 0,334rad
- distance entre l’ancrage et le point étudié,  = 16,3m (pour la milongueur)
 fr  po (1 

1
e

x 

) 1400 x(1 

1
e

0 , 0015 x16 , 30 , 05 x 0 , 334

) 56,44MPa

-Perte de tension par recul à l'ancrage
Nous avons :  anc 
Où :

l1  l 2
Ep
l

l1- déformation des plaque, l1 = 2x1 = 2mm( 2 bouts d’ancrage)
l2- déformation des écrous, l2 = 2x1 = 2mm

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

57

Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

l - longueur du câble, l = 32600mm
 anc 

l1  l 2
(2  2)10  3
Ep 
x190000 23,31MPa
l
32,6

 Pertes instantanées totales :
i = 56,44 + 23,31 = 79,75MPa
-Perte de tension due au retrait du béton
Puisque le béton utilisé est de marque 350 inférieur à 400, on peut prend la
valeur forfaitaire  r = 40 MPa
-Perte de tension due à la relaxation de l'acier
 po
1400
 0,1) po (0,22 x
 0,1)1400 91,83MPa
Rac
1860
Dans laquelle Rac = 18600 kG/cm2 est la résistance nominale de la précontrainte
 p (0,22

-Perte de tension due au fluage du béton

Elle est prise égale à :  fl 150

b
lorsque b  0,75.Ro
Ro

 - coefficient, =1 au cas de durcissement naturel.
Ro - résistance nécessaire du béton avant la mise en tension, R o doit
satisfaire la condition Ro  0,8 marque du béton = 0,8.350 = 280 kG/cm2  Ro = 300
kG/cm2
b- contrainte moyenne du béton au niveau du câble en tenant compte
des pertes instantanées.
( po   i ) Ap n (1400  79,75) x1,4 x10  4 x70
b 

2,73MPa
Où :

Ab

16,8 x0,25
b
2,73
150 x1x
13,65MPa
  fl 150
Ro
30

Pertes totales différée:

d = 40 + 91,83 + 13,65 = 145,48MPa

Pertes totales :
perte = d + i = 145,48+ 79,75 = 225,23 Mpa
Contrainte finale : p = 1400 – 225,23 = 1174,77MPa > 1120 MPa
4.3.5.2 Pertes de tension suivant BPEL91
- Perte de tension par frottement
La formule à prendre :
 fr  po ( f   x)
Où :

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

58


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

f, - coefficient, on a des valeurs: f = 0,001, =0,05
- somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et le point
étudié,  = 0,334rad
x- distance entre l’ancrage et le point étudié, x = 16,3m (pour la milongueur)
  fr  po ( f   x) 1400 x(0,05 x0,334  0,001x16,3) 46,2MPa
- Perte par non - simultanéité de mise en tension des torons
(raccourcissement élastique du béton)

 n 0,5 E p bco
Ebi

Où :
Ep=190 000 MPa pour les torons
bco - contrainte moyenne de béton au niveau du câble sous charge
permanente. Comme nous avons choisi d’équilibrer les charges permanentes par la
précontrainte, cette contrainte est constante, quelle que soit la position du câble et
vaut :
 po A p n 1400 x1,4 x10  4 x70
 bco 

3,27 MPa
Ab

16,8 x0,25

Ebi- Module d’YOUNG du béton le jour de mise en tension, lorsque
celui-ci aura une résistance d’au moins 20Mpa
Ebi 11000 3 f ci 11000 3 20 29858,59 Mpa

  n 0,5E p

 bco
3,27
0,5 x190000 x
10,39MPa
Ebi
29858,59

- Perte de tension par recul à l'ancrage
Nous avons : g = 2.p.(-x)

Où :
p- perte due au frottement par unité de longueur,
pf = f /L = 46,2/16,3 = 2,834MPa/m
- la longueur de répercussion du recul à l’ancrage


gEb
0,006 x190000

20,06 m
pf
2,834

g- glissement par rentrée de l’ancrage, g = 0,006m
x= 16,3m pour la mi-longueur du câble
 g = 2x2,834x(20,06-16,3)=21,31MPa

 Pertes instantanées totales :
i =46,2 + 10,39 + 21,31 = 77,9MPa
- Perte de tension due au retrait du béton
Pour le climat humide à Hanoi, r = 3.10-4
r = rEp = 3.10-4.190000 = 57 MPa

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

59


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

- Perte de tension due à la relaxation de l'acier
Elle est donnée par :

6
 
1000 ( pi   o ) pi
100
f prg

Où:

1000 = 2,5% pour les armatures TBR
o = 0,43 pour les armatures TBR
fprg = 1860 MPa - contrainte de rupture garantie
pi - tension initiale de l'acier après les pertes instantanées,
pi =1400 – 77,9= 1322,1Mpa
6
1322,1
  
2,5(
 0,43)1322,1 55,69 MPa
100
1860

- Perte de tension due au fluage du béton
Elle est prise égale à :  fl 2,5 bc

Ep

Eij

Où :
Eij - résistance Module d’YOUNG du béton à 28 jours, Eij=31146 MPa
Ep- résistance Module d’YOUNG de l’acier précontrainte, Ep=190 000
MPa pour les torons
bc- contrainte moyenne du béton au niveau du câble que l’on peut
supposer calculée à un temps infini.
P 0,664

2,66MPa
S
0,25
Ep
190000
2,5 bc
2,5 x 2,66 x
40,51MPa
E ij
31146

 bc 

  fl

 Pertes totales différée:
d = 57 + 40,51 + 5/6x55,69 = 143,92MPa
 Pertes totales :
perte= d + i = 143,92+ 77,9 = 221,8 MPa
Contrainte finale : p = 1400 – 221,8 = 1178,2MPa > 1120 MPa

4.3.5.3 Comparaison deux Normes
Tableau : Comparaison entre deux Normes (en MPa)
No

La perte de tension due à

BPEL.91

TCVN 256-2005

1

Le frottement

46,2

56,44

2

La non - simultanéité de mise en tension

10,39

3

Le recul à l'ancrage

21,31

23,31

4

Le retrait

57

40

5

La relaxation de l'acier

55,69

91.83

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

60


Bureau à louer
6

Partie 2: STRUCTURE

Le fluage du béton
Total

40,51

13,65

221,8 (15,84%)

225,23 (16,09%)

La valeur totale des pertes des deux Normes est environ de 20% de la contrainte
initiale. La différence entre ces Normes est petite, car les formules de calcul, la
conception sont différentes
Après de comparer les deux Norme, je choisi calculer les pertes de tous les
câble selon la Norme BPEL-91, qui est plus claire et simple.
4.3.6 Calcul des pertes de tension du câble C2
- Perte de tension par frottement
La formule à prendre :
 fr  po ( f   x)
Où :
f, - coefficient, on a des valeurs: f = 0,001, =0,05
- somme des variations d’angle du câble entre l’ancrage et le point
étudié,  = 0,251rad
x- distance entre l’ancrage et le point étudié, x = 14,7m (pour la milongueur)
  fr  po ( f   x) 1400 x(0,05 x0,251  0,001x14,7) 38,15 MPa
- Perte par non - simultanéité de mise en tension des torons
(raccourcissement élastique du béton)

 n 0,5 E p bco
Ebi

Où :

Ep=190 000 MPa pour les torons
bco - contrainte moyenne de béton au niveau du câble sous charge
permanente. Comme nous avons choisi d’équilibrer les charges permanentes par la
précontrainte, cette contrainte est constante, quelle que soit la position du câble et
vaut :
 po A p n 1400x1,4 x10  4 x35
 bco 

4,36 MPa
Ab

6,3 x0,25

Ebi- Module d’YOUNG du béton le jour de mise en tension, lorsque
celui-ci aura une résistance d’au moins 20Mpa
Ebi 11000 3 f ci 11000 3 20 29858,59 Mpa

  n 0,5E p

 bco
4,36
0,5 x190000 x
13,86 MPa
E bi
29858,59

- Perte de tension par recul à l'ancrage
Nous avons : g = 2.p.(-x)

Où :

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

61


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

p- perte due au frottement par unité de longueur,
pf = f /L = 38,15/14,7 = 2, 60MPa/m
- la longueur de répercussion du recul à l’ancrage


gEb
0,006 x190000

20,94m
pf
2,6

g- glissement par rentrée de l’ancrage, g = 0,006m
x= 14,7m pour la mi-longueur du câble
 g = 2x2,6x(20,94-14,7)=32,45MPa

 Pertes instantanées totales :
i =38,15 + 13,86 + 32,45= 84,46MPa
- Perte de tension due au retrait du béton

Pour le climat humide à Hanoi, r = 3.10-4
r = rEp = 3.10-4.190000 = 57 MPa
- Perte de tension due à la relaxation de l'acier
Elle est donnée par :

6
 
1000 ( pi   o ) pi
100
f prg

Où:
1000 = 2,5% pour les armatures TBR
o = 0,43 pour les armatures TBR
fprg = 1860 MPa - contrainte de rupture garantie
pi - tension initiale de l'acier après les pertes instantanées,
pi =1400 – 84,46= 1315,54Mpa
6
1315,54
  
2,5(
 0,43)1315,54 54,7 MPa
100
1860

- Perte de tension due au fluage du béton
Elle est prise égale à :  fl 2,5 bc

Ep
Eij

Où :

Eij - résistance Module d’YOUNG du béton à 28 jours, Eij=31146 MPa
Ep- résistance Module d’YOUNG de l’acier précontrainte, Ep=190 000
MPa pour les torons
bc- contrainte moyenne du béton au niveau du câble que l’on peut
P 0,882

3,528MPa
S
0,25
Ep
190000
2,5 x3,528 x
53,8MPa
Eij
31146

supposer calculée à un temps infini ;  bc 
  fl 2,5 bc

 Pertes totales différée: d = 57 + 53,8 + 5/6x54, 7 = 156,38MPa
 Pertes totales :
perte= d + i = 156,38+ 84,46 = 240,8 MPa

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

62

Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

Contrainte finale : p = 1400 – 240,8 = 1159,2MPa
perte / po = 17,2 %

4.4 Vérification
4.4.1 Méthode de vérification
C’est la dalle à portées inégales, on utilise donc la méthode « cadre équivalent »
pour calculer le moment du plancher.
X1

X3

X4

X6

Y6

Y5

Y4

Y3

Y2

Y1

c7

Cette méthode consiste à remplacer la dalle du panneau dans une direction pour
une poutre équivalente sur plusieurs appuis, la largeur de la poutre équivalente est
égale à la moitié de la somme des travées voisines à la file des poteaux considérés dans
la direction perpendiculaire.
B

l '1 l ' '1 10.5  8.4

9.45m
2
2

Cette poutre équivalente avec le poteau aboutissant forme un cadre équivalent
dont les poteaux sont supposées encastrés à l’extrémités opposés.

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

63


Bureau à louer

Y1

Partie 2: STRUCTURE

Y3

Y4

Y6

Figure : Cadre équivalent
Les moments obtenus dans le cadre équivalent (Calcul par le logiciel SAP2000)
sont distribués aux bandes de travées et bandes sur d’appuis suivant le taux :
Moment négatif
Moment positif

Bande sur appuis
70 ÷ 75%
55%

Bande de travée
30÷25%
45%

Le calcul est à effectuer en section brute non fissurée comme une section de
béton armé en flexion composée. La contrainte du béton doit satisfaire les conditions :
- Condition de compression : |b min| < 0,6fcj = 0,6.22,7 = 13,6 MPa
-

Condition de traction : b max < 1,5ftj = 1,5.1,96 = 2,94 Mpa
La contrainte du béton est calculée comme suivant :
 b max, min 

Où :

P M

A W

P- effort de précontrainte (tenant compte des pertes instantanées)
M - moment maximal
A- aire du béton, dans ce cas on considère une bande de 1m de largeur.
A = bh = 1x0,25 = 0,25m2
W – module de flexion de la section de bande
W=bh2/6 = 1x0,252/6 = 10,417x10-3 m3

4.4.2 Vérification lors de la mise en tension
On a:

P =(po –σi )nAp b/ B

Pour le câble C1 : P1 = (1400 – 77,9)  70× 140.10-6 × 1/16,8 = 0,771 MN
Pour le câble C2 : P2 = (1400 – 84,46)  35 × 140.10-6 × 1/6,3 = 1,023 MN
Le poids propre de la dalle en BA se traduit par une charge répartie :
q = 1,1 . 0,25 . 25 = 6,875 kN/m2
 La charge de calcul :
qcalcul = q – u = 6,875 – 8 = -1.125kN/m2

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

64


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

 qcalcul B = - 1,125×9.45 = -10.6 kN/m = -1.06T/m

Grâce au logociel SAP 2000, on a le digramme du moment fléchissant :

Le moment maximal à l’appui et à la travée :
Mappui = 9.75Tm ; Mtravee = 4.89Tm
Ils sont distribués ( pour une section de largeur de 1m ) aux bandes de travées et
bandes sur d’appuis comme suit :
- Bande sur appuis :
M appui 0.7

9.75 0.7 2
1.44Tm / m
B/2
9.45
M
0.55 4.89 0.55 2

0.57Tm / m
Moment positif : M   traveei
B/2
9.45

Moment négatif : M  



- Bande de travée :
M appui 0.3

9.75 0.3 2
0.62Tm / m
B/2
9.45
M
0.45 4.89 0.45 2

0.47Tm / m
Moment positif : M   traveei
B/2
9.45

Moment négatif : M  



 |M|max = 1.44Tm/m = 14.4×10-3 MNm/m
1.023 14.4 10  3

 5.47 MPa
0.25 10.417 10  3
 b min 5.47 MPa  13,6 MPa

 b min 

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

65


Bureau à louer
 b max 

Partie 2: STRUCTURE
0,771 14.4 10  3

 1.70 MPa  2,94 MPa
0,25 10,417 10  3

La condition est satisfaire.
4.4.3 Vérification globale en états-limites de service
On a:

P =p nAp b/ B

Pour le câble C1 : P1 = 1178,2 70 × 140.10-6 × 1/16,8 = 0,687 MN
Pour le câble C2 : P2 = 1159,2 35 × 140.10-6 × 1/6,3 = 0,902 MN
La somme des charges nominales réparties sur le plancher :
qn = 6,25 + 0,94 + 0,855 + 2 = 10,045 kN/m2
 La charge de calcul :
qcalcul = q – u = 10,045 – 8 = 2.045kN/m2

 qcalcul B = 2.045×9.45 = 19.3 kN/m = 1.93T/m

Grâce au logociel SAP 2000, on a le digramme du moment fléchissant :

Le moment maximal à l’appui et à la travée :

Mappui = 17.76Tm ; Mtravee = 8.90Tm
Ils sont distribués ( pour une section de largeur de 1m ) aux bandes de travées et
bandes sur d’appuis comme suit :
- Bande sur appuis :
Moment négatif : M  

M appui 0.7
B/2

17.76 0.7 2

2.63Tm / m
9.45

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

66


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

Moment positif : M  

M traveei 0.55 8.9 0.55 2

1.04Tm / m
B/2
9.45

- Bande de travée :
M appui 0.3

17.76 0.3 2

1.13Tm / m
B/2
9.45
M
0.45 8.9 0.45 2

0.85Tm / m
Moment positif : M   traveei
B/2
9.45

Moment négatif : M  

 |M|max = 2.63Tm/m = 26.3×10-3 MNm/m
0,902
26.3 10  3

 6.13MPa
0,25 10,417 10  3
  b min 6.13MPa  13,6 MPa

 b min 

 b max 

0,687
26.3 10  3

 0.22 MPa  2,94 MPa
0,25 10,417 10  3

La condition est satisfaire.
4.4.4 Calcul des armatures passives
-

Armature du type AII avec fe = 280 MPa
 su = fe/1,15 = 243,5 MPa

-

Béton de marque 350 avec fc = 22,7 MPa
0,85f c 0,85.227

 bu =
= 12,8 MPa
b
1.1,5

La détermination de la quantité nécessaire des armatures passives se base sur le
travail en flexion composée à état limite ultime de résistance, selon BPEL.
À l'état de rupture, l'allongement du câble non-adhérent n'est pas concentré au
droit d'une rotule plastique mais se répartir sur toute la longueur entre 2 ancrages. C'est
pourquoi l'augmentation de la contrainte de l'armature précontrainte à la rupture est
modeste. À défaut de justification, on admet une surtension forfaitaire de 100 Mpa

pour les acier de précontrainte.( BPEL – annexe 9)
Le processus de détermination la quantité des armatures passives est fait :
M1 = Mu + P'(0,5h – ac)
Où : P’ - effort de précontrainte en tenant compte la surtension.
M1 - moment par rapport aux aciers tendus
Mu - moment traduit par le poids propre de la dalle en béton armé et la
charge répartie de l’action précontrainte. On prend le moment à la section qui a la
valeur absolue du moment plus grande.
ac = 0,042m


M1
 0,39
bh02 bu

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

67


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

avec h0 = h - a = 0,25-0,026 = 0,224m : hauteur utile
z 0,5(1  1  2  )h0 : bras de levier

L’aire de l’armature : As 

M 1 / z  P'

 su

P’ = 0,902 + 100 × 35 × 140.10-6 × 1/ 6,3 = 0,980 MN
D’après le Norme BPEL, les coefficients de combinaison sont :1,35 pour la
charge permanente et 1,5 pour la charge d’exploitation.
qn = (6,25 + 0,94 + 0,855)x1,35 + 1,5x2 = 12,861 kN/m2
La charge de calcul : qcalcul = q – u = 12.861 – 8 = 4.861 kN/m2

 qcalcul B = 4.861×9.45 = 45.9 kN/m = 4.59T/m

Grâce au logociel SAP 2000, on a le digramme du moment fléchissant :

Le moment maximal à l’appui et à la travée :
Mappui = 42.24Tm ; Mtravee = 21.16Tm
Ils sont distribués ( pour une section de largeur de 1m ) aux bandes de travées et
bandes sur d’appuis comme suit :
- Bande sur appuis :
M appui 0.7

42.24 0.7 2
6.26Tm / m
B/2
9.45
M
0.55 21.16 0.55 2

2.46Tm / m
Moment positif : M   traveei
B/2
9.45

Moment négatif : M  



- Bande de travée :

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

68


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE
M appui 0.3

42.246 0.3 2
2.68Tm / m
B/2
9.45
M
0.45 21.16 0.45 2

2.02Tm / m
Moment positif : M   traveei
B/2
9.45

Moment négatif : M  



 |Mu|max = 6.26Tm/m = 0.0626MNm/m
 M1 = 0,0626+0,98x(0,5x0,25-0,042) = 0,1439MN.m/m


M1
0,1439

0,224  0,39
2
bh0  bu 1 0,224 2 12,8

z 0,5(1  1  2  )h0 0,195m
As 

M 1 / z  P' 0,1439 / 0,195  0,98

10 4  9.9cm 2  0
 su
243,5

C’est pourquoi, on dispose l’armature passive selon la construction 12a300.
4.4.5 Vérification du poinçonnement
Vérifier la résistance au poinçonnement du poteau à l’intersection del’axe X 3 et
l’axe Y3 avec la dimension minimale est de 0,9x0,9m.
V = q[l1.l2-(c1+2.h0).(c2+2.h0)]
= 11,443x[9,452 - (0,9+2.0,23)(0,9+2.0,23)]=1000,7 kN
Grâce aux câbles précontraints qui transmettent les charges verticales

directement à l'intérieure du périmètre de poinçonnement (un cône à 45 o), on tient
compte de la composant vertical de la précontrainte au droit du poteau (selon Traité de
Génie Civil – Volume8). Ce soulagement est estimé comme ci-dessous :
Y4

Y3

Y2

Y1

X1

X2

X3

X4

Figure : Schéma de calcul au poinçonnement

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

69


Bureau à louer

Partie 2: STRUCTURE

D’après le sens transversal et le sens longitudinal, on a :
V1 V2  P(sin  1  sin  2 )ncable
= 1120x140x10-6x(sin0,0632 + sin0,0404)x8x1000 = 130kN
1

2

P.sin1

P.sin2

P

Figure : Effet de la précontrainte sur le poinçonnement
L'effort tranchant (charge de poinçonnement) réduite :
Vréd = V - V1 - V2 = 1000,7 – 2x130 = 740,7kN
Selon le règle BPEL 91, on vérifie la condition de non - poinçonnement sur un
contour à mi-hauteur déduit du contour du poteau avec un décalage égale à h o/2
 périmètre à distance ho/2 du contour du poteau :
u = 2(c1+c2+2.ho) = 2(0,9+0,9+2x0,23) = 4,52 m
D'après BPEL 91, la condition de non – poinçonnement :
Vred
740,7
1,5
1068,7 kN / m 2
uh
4,52 0,23
0,09 f c 0,09 22,7 1000



1362kN / m 2
b
1,5

 u 1,5

La condition de non - poinçonnement est satisfaite.

NguyÔn Lîng S¸ng - 47XF-ENSGC

70