Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 , SA 2 và SA vuông góc với mặt phẳng
đáy ABCD . Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB , AD sao cho
mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC . Tính tổng T
1
1
2
AN
AM 2
khi thể tích khối chóp S . AMCN đạt giá trị lớn nhất.
A. T 2 .
B. T
5
.
4
C. T
2 3
.
4
D. T
13
.
9
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A 0;0;0 , B 2;0;0 , D 0; 2;0 ,
S 0;0; 2 .
Suy ra C 2; 2;0 . Đặt AM x , AN y , x, y � 0; 2 , suy ra M x;0;0 , N 0; y;0 .
uuur
uuu
r
uuu
r
SM x;0; 2 , SC 2; 2; 2 , SN 0; y; 2 .
ur
uuur uuu
r
uu
r uuu
r uuu
r
� 4; 2 x 4; 2 x , n2 �
� 4 2 y; 4; 2 y .
� n1 �
SM
,
SC
SN
,
SC
�
�
�
�
ur uu
r
Do SMC SNC nên n1.n2 0 � 4 4 4 y 4 2 x 4 4 xy 0 � xy 2 x y 8 .
8 2x
8 2x
�۳
2
x 1.
, do y �2 nên
x2
x2
S ABCD S BMC S DNC 4 2 x 2 y x y .
� y
S AMCN
1
2
2 � 8 2 x � 2 x2 8
Do đó VS . AMCD SA.S AMCN x y �x
.
�
3
3
3� x2 � 3 x2
2 x2 4x 8
2 x2 8
�
f
x
Xét f x
với x � 1; 2 ,
.
3 x 2 2
3 x2
f�
x 0 � x 2 4 x 8 0 � x 2 2 3 ; x 2 2 3 (loại).
f x f 1 f 2 2 .
Lập BBT ta suy ra max
0;2
�
�x 1
�
�
1
1
1
1 5
�y 2
�
�T
2 2 .
Vậy max VS . AMCN 2 � �
2
2
AM
AN
x
y
4
�x 2
�
�
�y 1
�
Cách 2: Đặt AM x , AN y . Gọi O AC �DB ; E BD �CM ; F BD �CN .
H là hình chiếu vuông góc của O trên SC , khi đó: HO
2
.
3
�SC OH
�SC HE
� SC HBD � �
Ta có: �
.
�SC BD
�SC HF
Do đó góc giữa SCM và SCN bằng góc giữa HE và HF . Suy ra HE HF .
1
2
Mặt khác VS . AMCN SA.S AMCN x y .
3
3
Tính OE , OF :
Ta có: x 0 , y 0 và nếu x �2 , y �2 thì gọi K là trung điểm của AM , khi đó:
OE KM
x
OE
EB
OB
x 2
.
�
� OE
EB MB 4 2 x
x
4 2x 4 x
4x
Tương tự: OF
y 2
2
. Mà OE.OF OH � x 2 y 2 12 .
4 y
2
Nếu x 2 hoặc y 2 thì ta cũng có OE.OF OH � x 2 y 2 12 .
Tóm lại: x 2 y 2 12 .
1
2
2
2�
12
�
�
4 �.
x 2 y 2 4�
x 2
Suy ra: VS . AMCN SA.S AMCN x y �
�
�
3
3
3
3�
x2
�
Do đó max VS . AMCN
�
�x 1
�
�
1
1
1
1 5
�y 2
�
2�
�T
2 2 .
2
2
�
AM
AN
x
y
4
�x 2
�
�
�
�y 1
Câu 2: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình
a 5
chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành có AB a, SA SB SC SD
2
(tham khảo hình vẽ). Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp S . ABCD bằng
A.
a3 3
.
6
B.
a3
.
3
C.
2a 3 3
.
3
D.
a3 6
3
Lời giải
Chọn B
Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD .
Ta có: SAO SBO SCO SDO
SB SC SD ).
(tam giác vuông, SO là cạnh chung, SA
Nên OA OB OC OD suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Suy ra ABCD là hình chữ nhật có O là tâm.
1
1 2
a x2
Đặt AD x � AO AC
2
2
Nên SO SA2 AO 2
VS . ABCD
5a 2 a 2 x 2
x2
2
a
4
4
4
2
2
� 1 3
1
1
x2 1
x
x 2 �1 a �x �a 2 x �
2
ABCD.SO a.x. a 2
� �
� a .
a.2. . a
�
3
4
4
3
3
4
3
2
4
�
� �
� 3
Câu 3: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng SBC , với 45�. Tìm giá trị lớn nhất
của thể tích khối chóp S . ABCD .
A. 4a 3 .
B.
8a 3
.
3
C.
Lời giải
Chọn C
4a 3
.
3
D.
2a 3
.
3
Gọi D�là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD�
.
//SA mà SA SBC (vì SA SB , SA BC ) nên D�là hình chiếu vuông góc của
Khi đó DD�
D lên SBC .
� �
� , do đó SA AD.tan 2a.tan .
Góc giữa SD và SBC là DSD
SDA
Đặt tan x , x � 0;1 .
1
1 2
Gọi H là hình chiếu của S lên AB , theo đề ta có VS . ABC D .S ABC D .SH 4a .SH .
3
3
V
SH
SAB
Do đó S . ABCD đạt giá trị lớn nhất khi
lớn nhất. Vì tam giác
vuông tại S nên
SH
SA.SB SA. AB 2 SA2 2ax 4a 2 4a 2 x 2
x2 1 x2
a
2ax 1 x 2 �2a
AB
2
AB
2a
2
.
2
1
4
.a.4a 2 a 3 .
3
3
Từ đó max SH a khi tan
Suy ra max VS . ABCD
Câu 4: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD ,
trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC 3BM ,
BD
3
BN , AC 2 AP . Mặt phẳng MNP chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể
2
tích là V1 , V2 . Tính tỉ số
A.
V1 26
.
V2 13
V1
.
V2
B.
V1 26
.
V2 19
C.
V1 3
.
V2 19
Hướng dẫn giải
Chọn B
D.
V1 15
.
V2 19
Gọi VABCD V , I MN �CD , Q IP �AD ta có Q AD � MNP .
Thiết diện của tứ diện ABCD được cắt bởi mặt phẳng MNP là tứ giác MNQP .
Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và ACD ta có:
ID PC QA
QA
NB ID MC
ID 1
.
.
1 �
4.
. .
1 �
và
IC PA QD
QD
ND IC MB
IC 4
Áp dụng bài toán tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác, ta có:
VANPQ
AP AQ 2
2
2
1
2
1
.
� VANPQ VANCD V . Suy ra VN . PQDC V V V .
VANCD AC AD 5
5
15
3
15
5
và
VCMNP CM CP 1
1
2
.
� VCMNP VCBNA V .
VCBNA
CB CA 3
3
9
Suy ra V2 VN . PQDC VCMNP
V 26
19
26
V . Do đó V1 V V2 V . Vậy 1
.
V2 19
45
45
---------HẾT---------
Câu 5: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC
� BCS
� 90�
có AB a , AC a 3 , SB 2a và �
. Sin của góc giữa
ABC BAS
đường thẳng SB và mặt phẳng
S . ABC .
2a 3 3
A.
.
9
Chọn C
B.
a3 3
.
9
SAC
bằng
11
. Tính thể tích khối chóp
11
a3 6
.
6
Lời giải
C.
D.
a3 6
.
3
- Dựng SD ABC tại D .
�BA SA
� BA AD .
Ta có: �
�BA SD
�BC SD
� BC CD
Và: �
�BC SC
� ABCD là hình chữ nhật � DA BC a 2 , DC AB a .
�
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng SAC � BSH
là góc
giữa SB và mặt phẳng SAC
1
11
11
� BH d B; SAC d D; SAC � 2
2 1 .
sin BSH
d D; SAC SB
11
SB
SB
SB
- Lại có :
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2 .
2
2
2
DA DC 2 SB 2 BD 2 DA2 DC 2 SB 2 3a 2 2a 2
d D; SAC DS
�
�
SB a 6
�
SB 2 6a 2
11
1
3
�
�
�
- Từ 1 và 2 suy ra:
11 � �
11
�
SB 2 SB 2 3a 2 2a 2
SB 2 a 2
SB a
�
�
3
3
�
Theo giả thiết SB 2a � SB a 6 � SD a 3 .
1
1
a3 6
Vậy VSABC SD. BA.BC
.
3
2
6
Câu 6: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và
ABCD
bằng 60o . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết rằng hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông ABCD . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và AC là
A.
a 5
.
5
B.
a 5
.
10
C.
3a 5
.
10
D.
5a 3
.
3
Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB đều, góc giữa SCD và
ABCD
bằng 60o . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Biết rằng hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên mặt phẳng ABCD nằm trong hình vuông ABCD . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SM và AC là
A.
a 5
.
5
B.
a 5
.
10
3a 5
.
10
Hướng dẫn giải
C.
D.
5a 3
.
3
Chọn A
�AB SM
� AB SMI .
Gọi I là trung điểm cạnh CD , khi đó �
�AB MI
� .
Do CD //AB nên CD SMI � (( SCD ), ( ABCD)) SIM
Vẽ SH MN tại H �MN thì SH ABCD .
� � 3a 2 4a 2 SI 2 2a.SI
Tam giác SMI có SM 2 MI 2 SI 2 2.MI .SI .cos SIM
� SI 2 2a.SI a 2 0 � SI a .
Cách 1:
Theo định lý Pythagore đảo thì SMI vuông tại S � SH
SM .SI a 3
.
MI
2
Vẽ SH MN tại H �MN thì SH ABCD .
Gọi N là trung điểm cạnh BC ta có AC //MN
� d AC , SM d AC , SMN d C , SMN
3VSMNC
.
SSMN
1
1
1 a 3
a3 3
Ta có VSMNC VS .MNB .SH . .BM .BN .
.
.a.a
3
2
6 2
12
Tam giác SIC có SC SI 2 IC 2 a 2 a 2 a 2 .
Tam giác SBC có SN 2
SB 2 SC 2 BC 2
2a 2 � SN a 2 .
2
4
Tam giác SMN có nửa chu vi p
Và diện tích SMN là S SMN
Vậy d AC , SM
Cách 2:
3VSMNC
S SMN
SM SN MN a 3 a 2 a 2
.
2
2
p p SM p SN p BC
a3 3
3�
a 5
2 12
.
5
a 15
4
a 2 15
.
4
SM .SI a 3
3a
; HM
.
MI
2
2
Gọi O AC �BD ; N là trung điểm cạnh BC ta có AC // SMN .
Ta thấy SM 2 SI 2 MI 2 nên SMI vuông tại S . Suy ra SH
Do đó, d AC , SM d AC , SMN d O, SMN
2
d H , SMN .
3
Gọi K là hình chiếu của H lên MN , ta có HKM vuông cân tại K nên HK
HM 3a 2
.
4
2
2
SH .HK
a 5
Vậy d AC , SM .
.
2
2
3 SH HK
5
B C D cạnh 2a , gọi M là
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. A����
trung điểm của BB�và P thuộc cạnh DD�sao cho
1
B
DP DD�
. Mặt phẳng AMP cắt CC �tại N . Thể tích
4
khối đa diện AMNPBCD bằng
M
A. V 2a 3 .
B. V 3a 3 .
9a 3
11a 3
C. V
.
D. V
.
4
3
B�
A
D
C
A�
P
D�
C�
B C D cạnh 2a , gọi M là trung điểm của BB�và P thuộc cạnh
Câu 9: Cho hình lập phương ABCD. A����
1
. Mặt phẳng AMP cắt CC �tại N . Thể tích khối đa diện
DD�sao cho DP DD�
4
AMNPBCD bằng
A
D
C
B
M
A�
B�
A. V 2a .
9a 3
C. V
.
4
3
P
D�
C�
B. V 3a 3 .
11a 3
D. V
.
3
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Sử dụng công thức tỉ số thể tích khối hộp
B C D , gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AA�
Cho hình hộp ABCD. A����
, BB�
,
CC �
. Mặt phẳng MPN cắt cạnh DD�tại Q . Khi đó:
VMNPQ. A����
1 �MA� PC �
� 1 �NB� QD�
�
BCD
�
.
� � �
�
�
�
�
VABCD. A����
2 �AA CC � 2 �BB DD �
BCD
Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCD �AMNP. ABCD ta có:
VAMNP. ABCD
1 �MB PD � 1 �1 1 � 3
�
� � � .
VA����
2 �B�
B D�
D � 2 �2 4 � 8
B C D . ABCD
3
3
3
Vậy VAMNPBCD VAMNP. ABCD VA����
2a 3a3
B C D . ABCD
8
8
Cách 2:
B C D là V 2a 8a 3 .
Thể tích khối lập phương ABCD. A����
B C D , gọi K OO�
�MP , khi đó
Gọi O , O�lần lượt là tâm hai hình vuông ABCD và A����
N AK �CC �
.
1 � a � 3a
1
3a
a �
Ta có OK DP BM �
. Do đó CN 2OK
.
2� 2� 4
2
2
Diện tích hình thang BMNC là
1
1 � 3a �
5a 2 .
S BMNC BM CN .BC �
a �
.2a
2
2� 2 �
2
Thể tích khối chóp A.BMNC là
1
1 5a 2
5a 3 .
VA. BMNC .S BMNC . AB .
.2a
3
3 2
3
3
Diện tích hình thang DPNC là
1 �a 3a �
1
.2a 2a 2 .
S DPNC DP CN .CD � �
2 �2 2 �
2
Thể tích khối chóp A.DPNC là
1
1
4a 3 .
VA. DPNC .S DPNC . AD .2a 2 .2a
3
3
3
Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng
5a 3 4a 3
V VA. BMNC VA. DPNC
3a 3 .
3
3
Câu 10: Cho tứ diện ABCD có AB CD 4 , AC BD 5 , AD BC 6 . Tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng BCD .
A.
3 6
.
7
B.
3 2
.
5
C.
3 42
.
7
D.
7
.
2
Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB CD 4 , AC BD 5 , AD BC 6 . Tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng BCD .
A.
3 6
.
7
B.
3 2
.
5
3 42
.
7
Lời giải
C.
D.
7
.
2
Chọn C
Xây dựng bài toán tổng quát
Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam
giác cân, suy ra: AI NC , AI DM � AI (CDMN )
1
1
1
1
Ta có: VABCD VA.MNDC .4VA. IMN 2VA. IMN IA.IM .IN h.m.n
2
2
3
3
2
2
2
� 2 a b c
�m
2
�h 2 m 2 c 2
�
2
2
�2
�2 a b c2
2
2
h
n
b
�
Từ �
�n
2
�m 2 n 2 a 2
�
2
�
� 2 a b2 c 2
�h
2
�
1
a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2
Suy ra: VABCD
6 2
1
52 62 4 2 52 62 42 52 62 15 6 .
6 2
4
BC CD DB 4 5 6 15
Ta có p
2
2
2
15 7
� S BCD p p 4 p 5 p 6
4
15 6
3VA. BCD 3. 4
3 42
Ta có d A, BCD
.
S BCD
15 7
7
4
Câu 12: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc
4
2
với mặt phẳng ABC . Trên d lấy điểm S và đặt AS x , x 0 . Gọi H và K
lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC . Biết HK cắt d tại điểm
S�
. Khi SS �ngắn nhất thì khối chóp S . ABC có thể tích bằng
A.
a3 6
.
24
B.
a3 6
a3 3
.
C.
.
6
8
----------HẾT----------
D.
a3 2
.
27
1
A
26
B
2
C
27
B
3
C
28
B
4
A
29
A
5
D
30
A
6
B
31
A
7
C
32
A
8
D
33
A
9
D
34
C
10
D
35
D
BẢNG ĐÁP ÁN
11 12 13 14 15
D B A C D
36 37 38 39 40
A C B A A
16
B
41
A
17
C
42
D
18
A
43
C
19
D
44
A
20
A
45
B
21
A
46
D
22
D
47
A
23
A
48
A
24
D
49
B
25
C
50
A
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 13: Cho tam giác ABC đều cạnh a , gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc
với mặt phẳng ABC . Trên d lấy điểm S và đặt AS x , x 0 . Gọi H và K
lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC . Biết HK cắt d tại điểm
S�
. Khi SS �ngắn nhất thì khối chóp S . ABC có thể tích bằng
a3 6
A.
.
24
a3 6
B.
.
6
a3 3
C.
.
8
a3 2
D.
.
27
Lời giải
Chọn A
S có H là trực tâm, ta có
Xét tam giác SA��
S �
AH ∽ A�
AS �
AS � AH
a 3 a 3 a2
� AS �
. AS AA�
. AH
.
AA� AS
2
3
2
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: SS �
SA AS �
�2 AS . AS � 2
Dấu “ ” xảy ra khi SA AS �
x
Câu 14: Do đó SS’ ngắn nhất khi x
a2
a 2
2
a 2
.
2
a 2
1
1 a 2 a2 3 a3 6
. Khi đó VS . ABC SA.S ABC .
.
.
2
3
3 2
4
24
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị C của hàm số y x 3 3x m cắt trục hoành
tại đúng 3 điểm phân biệt.
A. m � 2; � .
B. m � 2; 2 .
C. m ��.
D. m � �; 2 .
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị C của hàm số y x 3 3x m cắt trục hoành tại
đúng 3 điểm phân biệt.
A. m � 2; � .
B. m � 2; 2 .
C. m ��.
Lời giải
Chọn B
D. m � �; 2 .
Xét hàm số y x 3 3 x m .
x 1� y m 2
�
3x 2 3 0 � �
Ta có y �
.
x 1 � y m 2
�
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt điều kiện cần và đủ là
yCÑ . yCT 0 � m 2 . m 2 0 � m � 2; 2 .
bằng
B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC �
Câu 16: Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
B�
và BCC �
bằng với cos
a, góc giữa hai mặt phẳng ABC �
1
2 3
(tham khảo hình vẽ
B C bằng
dưới đây). Thể tích khối lăng trụ ABC. A���
2
2
2
.
C. 3a 3
.
D. 3a 3
.
2
2
8
bằng
B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC �
Câu 17: Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
A. 3a 3
2
.
4
B. a 3
B�
và BCC �
bằng với cos
a, góc giữa hai mặt phẳng ABC �
1
2 3
(tham khảo hình vẽ
B C bằng
dưới đây). Thể tích khối lăng trụ ABC. A���
A. 3a 3
2
.
4
B. a 3
2
.
2
C. 3a 3
2
.
2
D. 3a 3
2
.
8
Lời giải
Chọn C
Gọi O là trung điểm của AB , E là trung điểm của BC
CO kẻ CH C �
Trong mp C �
O tại H
CH a
Khi đó d C , ABC �
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, gọi 2x là độ dài cạnh của tam giác ABC ta có
1
1
1
2
2
CH
C 'C
CO 2
1
1
1
1
1
3x2 a 2
2
2
CH 2 CO 2 a 2 �2 x 3 �
3a 2 x 2
� C 'C
�
�
� 2 �
3x 2 a 2
� C 'C
ax 3
Khi đó,
�
3 x 2 a 2 � �x x 3 �
A x; 0; 0 , B x; 0;0 , C 0; x 3;0 , C ' �
0; x 3;
;
;0�
�, E �
�
�
� �
2
2
ax
3
�
�
�
�
ur uuuu
r uuur
�
�
2ax 2 3
�
�
�
�
ABC
0;
; 2 x2 3 �
n
OC
,
AB
mặt
phẳng
là
�
VTPT của
1
�
� �
�
3x 2 a2
�
�
uu
r uuur �3x x 3 �
B�
là n2 AE �
VTPT của mặt phẳng BCC �
�2 ; 2 ;0 �
�
�
�
ur uu
r
n1.n2
1
1
cos
� ur uu
�
r
2 3
n1 n2 2 3
�
VABC . A���
B C C C .SABC
3ax 3
3x 2 a 2
12a 2 x 4
9 x 2 3x 2
4
12
x
.
3x 2 a 2
4
4
1
2 3
� xa
a 6 2
3a 3 2
.a 3
.
2
2
B C có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm
Câu 18: Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
A�tại E �
; đường thẳng CE cắt đường thẳng C �
, đường thẳng CF cắt đường
AA�và BB�
B ' tại F �
thẳng C �
. Thể tích khối đa diện EFA����
B E F bằng
A.
3
.
6
B.
3
.
2
C.
3
.
3
D.
3
.
12
Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ), là góc giữa
hai mặt phẳng AMN và SBD . Giá trị sin bằng
A.
1
A
2
B
3
B
2
.
3
B.
2 2
.
3
C.
7
.
3
D.
1
.
3
BẢNG ĐÁP ÁN
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C D C D D D C D B A B D C D D D C A C B B D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A C D A A B B B B D A D A C A A C A C B A C A B B
HƯỚNG DẪN GIẢI.
B C có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E , F lần lượt là trung điểm
Câu 20: Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
A�tại E �
; đường thẳng CE cắt đường thẳng C �
, đường thẳng CF cắt đường
AA�và BB�
B ' tại F �
thẳng C �
. Thể tích khối đa diện EFA����
B E F bằng
A.
3
.
6
B.
3
.
2
C.
3
.
3
D.
3
.
12
Lời giải
Chọn A
B C là
Thể tích khối lăng trụ đều ABC. A���
�
VABC . A���
B C S ABC . AA
3
3
.
.1
4
4
A�
và CM 3 . Do đó, thể tích khối chóp
Gọi M là trung điểm AB � CM ABB�
2
C. ABFE là
1
1 1 3
3.
VC . ABFE SC . ABFE .CH .1. .
3
3 2 2
12
B C EFC là
Thể tích khối đa diện A���
3
3
3.
VA���
B C EFC VABC . A���
B C VC . ABFE
4 12
6
, BCC �
B ' 2d A�
, BCC �
B ' 2. 3 3 .
E �nên d E �
Do A�là trung điểm C �
2
.
SCC ��
F SF�
B ' F S FB ��
C C S FBC S FB��
C C S BCC �
B � 1
.CC ��
F là
Thể tích khối chóp E �
1
1
3.
�
�
VE �.CC ��
SCC ��
.1. 3
F
F .d E , BCC B '
3
3
3
Thể tích khối đa diện EFA����
B E F bằng
3
3
3
VEFA����
.
B E F VE �
.CC ��
F VA���
B C EFC
3
6
6
Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham khảo hình vẽ), là góc giữa
hai mặt phẳng AMN và SBD . Giá trị sin bằng
A.
2
.
3
B.
2 2
.
3
C.
Lời giải
Chọn B
7
.
3
D.
1
.
3
Gọi O AC �BD , trong mặt phẳng ( SAC ) , gọi K SO �MN , suy ra K là trung điểm của
SO .
Ta có AMN � SBD MN .
�BD AC
� BD SAC mà MN //BD nên MN SAC , suy ra MN AK .
Ngoài ra �
�BD SA
Mặt khác SO BD nên SO MN hay KO MN .
chính là góc giữa KA và KO , suy ra sin sin �
AKO .
Gọi H là hình chiếu của A lên SO .
Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao nên
2
SA. AO
2 a
AH
.
2
2
3
SA AO
a2
2
a
2
Xét tam giác SAO vuông tại A có AK là đường trung tuyến nên
a.a
AK
SO
2
a2
2 a 6.
2
4
a2
a 3
AH
2 2
AKO
3
Xét tam giác AHK vuông tại H ta có sin sin �
.
AK
3
6
a
4
Câu 22: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
256 3
m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để
3
xây bể là 500000 đồng/ m3 . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí
thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể
đó là bao nhiêu?
A. 48 triệu đồng.
B. 47 triệu đồng.
C. 96 triệu đồng.
D. 46 triệu đồng.
bằng
Câu 23: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích
256 3
m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để
3
xây bể là 500000 đồng/ m3 . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí
thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể
đó là bao nhiêu?
A. 48 triệu đồng.
B. 47 triệu đồng.
C. 96 triệu đồng.
D. 46 triệu đồng.
Lời giải
Chọn A
Gọi x m là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2 x m và h m là chiều
bằng
cao bể.
256 3
256
128
� h 2 .
m � 2 x2h
3
3
3x
128
256
2
2
2x2 .
Diện tích cần xây là S 2 xh 2 xh 2 x 6 x 2 2 x
3x
x
256
256
2x2 , x 0 � S �
Xét hàm S x
x 2 4x 0 � x 4 .
x
x
Lập bảng biến thiên suy ra S min S 4 96 .
Bể có thể tích bằng
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng S min 96 .
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 96.500000 48000000 đồng.
Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể
S
256
128 128
2 x2
2x 2 �3 3 1282.2 ۳ S
x
x
x
96 � S min 96 khi
128
2x 2 � x 4 .
x
A
Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai
BC
BD
3
10 . Gọi V1 , V2
BM
BN
lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABMN và ABCD . Tìm
đoạn thẳng BC và BD sao cho 2
V1
giá trị nhỏ nhất của
.
V2
A.
3
.
8
N
B
M
B.
5
.
8
C.
2
.
7
D.
D
C
6
.
25
Câu 25: Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M , N lần lượt di động trên hai đoạn thẳng BC và BD sao cho
2
BC
BD
3
10 . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của các khối tứ diện ABMN và ABCD .
BM
BN
Tìm giá trị nhỏ nhất của
V1
.
V2
A
N
B
M
A.
3
.
8
B.
5
.
8
D
C
C.
2
.
7
D.
6
.
25
Lời giải
Chọn D
1
d A; BMN .SBMN
S
V1 3
BMN .
Ta có
1
V2
S BCD
d A; BCD .SBCD
3
Gọi H là hình chiếu của M lên BD và K là hình chiếu của C lên BD , khi đó ta có
S BMN MH .BN BM BN
.
S BCD CK .BD BC BD
BC
10 �
2
BM
Suy ra
Vậy
3
BD
BN
6.
BC BD
.
BM BN
BC BD
.
BM BN
BM BN
25
.
BC BD
6
6
.
25
S BMN
6
� .
S BCD 25
V1
6
nhỏ nhất bằng
.
V2
25
bằng
B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC �
Câu 26: Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
a , góc giữa hai mặt phẳng ABC �
B�
và BCC �
bằng với cos
1
(tham khảo hình vẽ
3
dưới đây).
B C bằng
Thể tích khối lăng trụ ABC. A���
A.
3a 3 15
.
10
B.
3a 3 15
.
20
C.
9a 3 15
.
10
D.
9a 3 15
.
20
bằng
B C . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC �
Câu 27: Cho hình lăng trụ đều ABC. A���
1
a , góc giữa hai mặt phẳng ABC �
B�
và BCC �
bằng với cos (tham khảo hình vẽ
3
dưới đây).
B C bằng
Thể tích khối lăng trụ ABC. A���
A.
3a 3 15
.
10
B.
3a 3 15
.
20
C.
9a 3 15
.
10
Lời giải
Chọn B
Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ABC .
D.
9a 3 15
.
20
CC �
AB
�
� AB CC �
M � CC �
M ABC �
M � ABC �
M
. Mà CC �
C�
Ta có: �
CM AB
�
M thì H là hình chiếu của C trên mặt
nên nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên C �
� d C; ABC �
CH a .
phẳng ABC �
M tại điểm K .
Dựng đường thẳng đi qua G và song song với CH , cắt C �
�
GN ABC �
�
Ta có �
nên góc giữa hai mặt phẳng
B�
�AG BCC �
B�
ABC �
và BCC �
là góc
�
AGN .
1
a
GN
1
1
1
5
a � AB AG 3 a 3 ;
GN CH ; AG
2
2
2
2
3
3
cos
CC � CH
CM
9a
� CC �
2
3a 5
3 3a 2 3
; S ABC a 3 .
.
5
4
4
1
3a 3 15
�
CC
.
S
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng
.
ABC
3
20
Câu 28: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho BC 4 BM ,
AC 3 AP , BD 2 BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia
bởi mặt phẳng MNP .
A.
7
.
13
B.
7
.
15
C.
8
.
15
D.
8
.
13
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3
D D C
4
B
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A C D A D B C D C D C D A C C D A BB B B B
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B B B A D A D B B A C C C A B B C D A C B C B A
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 29: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P thuộc các cạnh BC , BD , AC sao cho BC 4 BM ,
AC 3 AP , BD 2 BN . Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia
bởi mặt phẳng MNP .
A.
7
.
13
B.
7
.
15
C.
8
.
15
D.
8
.
13
Lời giải
Chọn A
Trong mặt phẳng DBC vẽ MN cắt CD tại K .
Trong mặt phẳng ACD vẽ PK cắt AD tại Q .
Theo định lý Mennelaus cho tam giác BCD cát tuyến MNK ta có
�
KC
3.
KD
KC ND MB
.
.
1
KD NB MC
Theo định lý Mennelaus cho tam giác ACD cát tuyến PKQ ta có
�
KC QD PA
.
.
1
KD QA PC
QA 3
QA 3
�
.
QD 2
AD 5
Đặt V VABCD , ta có
�
VB. APQ
VB. ACD
S APQ
S ACD
AP AQ 1
1
4
.
� VB. APQ VB. ACD � VB. PQDC V .
AC AD 5
5
5
VP .BMN S BMN BM BN 1
VP.BCD SCPD CP 2
1
� VP. BMN V .
.
và
VP. BCD
S BCD
V
S ACD CA 3
BC BD 8
12
VQ. PBN
VQ.PBD
VAB.MNPQ
V
V
S
S
S PBN 1
S
2
1
và BQPD DQP DQP . ADP
� VQPBN V .
S PBD 2
V
S ACD S DAP S ACD 15
15
VA. BPQ VP. BNM VQ.PBN
V
7 � VAB.MNPQ 7 .
VCD.MNPQ 13
20
Câu 30: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3 .
Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
64
16
16 6
64 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 31: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3 .
Tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất.
64
16
16 6
64 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Lời giải
Chọn A
S
M
b
3
I
A
O
B
D
a
a
C
Gọi O AC �BD , M là trung điểm SA và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp đều S . ABCD .
Ta có SMI : SOA �
SM SI
b2
a2
.
� 3. b 2
SO SA
2
2
3
1
Ta có VS . ABCD .SO.S ABCD
3
V
�b 2 b 2
b2 �
2
2
2
2
2
�
�
36 b b � b �
1
a2
18 �
. �
2 ��72. �36 36
. b 2 .a 2
18 36 36 � 18 �
3
3
2
�
�
�
�
�
�
64
.
3
MUA TRỌN BỘ 15.000 CÂU TRẮC NGHIỆM THI THPTQG GIÁ 200. GỌI
O93.735.1107