4 cấp độ TRẮC NGHIỆM MŨ,LÔGARIT
Câu 1:Cho a > 0, b > 0, b ≠ 1. Đồ thị các hàm số y = a x và y = log b x cho như hình
vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a > 1; 0 < b < 1.
B. 1 > a > 0; b > 1.
C. 0 < a < 1; 0 < b < 1.
D. a > 1; b > 1.
Đáp án A
Quan sát đồ thị ta thấy.
Hàm số y = a x đồng biến ⇒ a > 0
Hàm số y = log b x nghịch biến ⇒ 0 < b < 1
Câu 2 : Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
2
A. Khi x > 0 thì log 2 x = 2 log 2 x.
B. Khi 0 < a < 1 và b < c thì a b > a c .
C. Với a < b thì log a b < log b a < 1.
D. Điều kiện để x
2
có nghĩa là x > 0.
Đáp án C
1 < log a b
⇒ log b a < 1 < log a b
Đáp án C sai vì với a < b ⇒
log b a < 1
2
2
Câu 3 : Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 5 x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26. Tính S = x1 + x2 .
A. S = 10
C. y = ex + e − x .
B. S = 6.
D. y ' = 0
Đáp án A
PT ⇔ 5x −1 +
5
5x−2
5x = 125
x = 3 x1 = 3
= 26 ⇔ 52 x − 130.5 x + 625 = 0 ⇔ x
⇔
⇒
⇒ S = 10
x = 1 x2 = 1
5 = 5
(
)
2
Câu 4 Tổng các nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = 2log 2 x + x + 1 là:
2
B. −2.
A. 9.
C. 1.
D. 0.
Đáp án B
2
( x − 1) > 0
⇔ x ≠1
Điều kiện: 2
x
+
x
+
1
>
0
x −1 = x2 + x + 1
x = 0
PT ⇔ ( x − 1) = ( x + x + 1) ⇔
⇔
2
x − 1 = − x − x − 1 x = −2
2
Câu 5
2
2
2
Tập xác định của hàm số y = −2 x + 5 x − 2 + ln
1
là:
x −1
2
1
C. ; 2 ÷.
2
B. ( 1; 2] .
A. ( 1; 2 ) .
D. [ 1; 2] .
Đáp án B
−2 x 2 + 5 x − 2 ≥ 0
1
≤ x≤2
⇔ 2
⇔1< x ≤ 2
Điều kiện để hàm số có nghĩa là 1
>0
2
x > 1, x < −1
x −1
1
Câu 6 : Cho a ∈ ;3 và M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
9
9 log 31 3 a + log 21 a − log 1 a 3 + 1. Khi đó giá trị của A = 5m + 2M là:
3
3
3
A. 4.
B. 5.
C. 8.
D. 6.
Đáp án C
1 3
2
Rút gọn biểu thức P = − log 3 a + log 3 a + 3log 3 a + 1
3
1
Đặt log 3 a = t , vì a ∈ ;3 ⇒ t ∈ [ −2;1]
9
1 3 2
Ta được hàm số f ( t ) = − t + t + 3t + 1, t ∈ [ −2;1]
3
t = −1
f ' ( t ) = −t 2 + 2t + 3; f ' ( t ) = 0 ⇔
t = 3 ( L )
t
f ' ( t)
f ( t)
⇒M =
−2
−1
−
1
+
0
5
3
14
3
−
2
3
14
−2
;m=
⇒ A = 5m + 2 M = 6
3
3
x
Câu 7 Số giá trị nguyên của m để phương trình ( m − 1) 9 +
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Đáp án D
2
Đặt 3x = t > 0 ta có ( m − 1) t + 2 ( m − 3) t + m + 3 = 0
Nếu m = 1 ⇒ −4t + 4 = 0 ⇔ t = 1 thỏa mãn.
Nếu m ≠ 1 thì phương trình là phương trình bậc 2.
'
Ta có: ∆ = −8m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≤
TH1: Có 1 nghiệm dương:
3
2
c
m+3
<0⇔
< 0 ⇔ −3 < m < 1
a
m −1
2
( m − 3) 3x+1 + m + 3 = 0 có nghiệm là:
3
D. 4.
b
m − 3
− a > 0
m − 1 < 0
3
⇔
⇔ 1 < m < 3 kết hợp với điều kiện của ∆ ' ta có: 1 ≤ m ≤
TH2: Có 2 nghiệm dương:
2
c > 0
m + 3 > 0
a
m − 1
Kết hợp lại đáp án là −3 < m ≤
3
2
3
Câu 8 Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( x − 3x + 2 )
A. D = ( −2;1)
B. D = ( −2; +∞ )
C. D = ( 1; +∞ )
D. D = ( −2; +∞ ) \ { 1}
x ≠ 1
2
3
Hàm số đã cho xác định ⇔ x − 3x + 2 > 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x − 1) > 0 ⇔
x > −2
Câu 9 Tìm tập xác định D của hàm số y = x 2017 .
A. D = ( −∞; 0 ) .
B. D = ( 0; ∞ ) .
D. D = [ 0; +∞ ) .
C. D = ¡ .
Chọn C.
Hàm số y = x 2017 là hàm đa thức nên có tập xác định ( −∞; +∞ ) .
Câu 10 Giá trị của P = log
3
1
a
5
3
A. −
P = log
3
1
3
a
53
20
B. −
a 2 .4 a5
5
a
3
= log
−1
a3
a 2 .4 a5
79
20
a
a3
, ( a > 0, a ≠ 1) là
C. −
2 5 3
+ −
3 4 5
= log
−1
a3
62
15
a
79
60
D. −
= ( −3) .
34
15
79
−79
log a a =
60
20
Chọn đáp án B
)
(
2
2
Câu 11 Tổng các nghiệm phương trình log 2 1 + x − 5x + 5 + log 3 ( x − 5x + 7 ) = 2 là
A. 3
B. 5
C. 6
D. 2
Đáp án B
(
)
log 2 1 + x 2 − 5x + 5 + log 3 ( x 2 − 5x + 7 ) = 2
(
)
⇔ log 2 1 + 1 + ( x − 1) ( x − 4 ) + log 3 ( 3 + ( x − 1) ( x − 4 ) ) = 2
x1 = 1
⇒
⇒ x1 + x2 = 5
x2 = 4
. Câu 12 Phương trình 2 x−3 = 32 có nghiệm là:
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.
Cách 1: Ta có: 2 x −3 = 25 ⇔ x − 3 = 5 ⇔ x = 8.
CALC
Cách 2: Nhập 2 X −3 − 32
→ X = các đáp án thấy X = 8 cho kết quả 0 nên x = 8 là nghiệm.
Câu 13 Hàm số nào sau đây có đạo hàm là y =
A. y = log 4 ( x − 3) .
Ta có: ( log 4 ( x − 3) ) =
'
1
?
( x − 3) ln 4
C. y =
B. y = 4 x −3.
1
( x − 3) .
ln 4
D. Đáp án khác.
1
( x − 3) ln 4
Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 1) > log 1 3 là:
Câu 14
2
A. ( 4; +∞ ) .
B. ( −∞;1) .
2
C. ( 1; 4 ) .
D. ( 1; +∞ ) .
x > 1
BPT ⇔
⇔1< x < 4
x −1 < 3
Câu 15 Đạo hàm của hàm số y =
A.
C.
y' =
3ln ( x + 2 )
( x − 1)
2
x+2
ln ( x + 2 ) là:
x −1
.
B.
1
ln ( x + 2 ) .
x −1
−3
( x − 1)
2
ln ( x + 2 ) +
D.
x − 1 − 3ln ( x + 2 )
( x − 1)
2
−3ln ( x + 2 )
( x − 1)
+
2
.
ln ( x + 2 )
.
x −1
−3ln ( x + 2 )
x+2 1
1
.
=
+
2
x −1 x + 2
x −1
( x − 1)
Có thể dùng CASIO nhập
d X +2
CALC
ln ( X + 2 ) ÷ − A
→X =2
dx X − 1
x =2
Với A là các đáp án, thấy kết quả nào tiến tới 0 hay sát 0 thì chọn.
Câu 16
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. 2 x.2 y = 2 xy.
B. x a , a ∈ ¡ xác định khi x > 0.
C. log 2 b > log 2 c ⇔ b > c > 0.
D.
log a b
= log c b.
log a c
A sai vì 2 x.2 y = 2 x + y.
Câu 17 Nếu a = log 3 5 và log 7 5 = ab thì log175 3 bằng:
2a
.
A.
ab + 2
b
.
B.
2ab + 1
1
D.
b .
3ab − 1
a+
ab
.
C.
ab − 2a + b
Đáp án B
Ta có
log175 3 =
1
1
1
=
=
log 3 175 2log 3 5 + log 3 7 2log 5 +
3
1
log 7 3
=
1
1
2a +
b
=
b
.
2ab + 1
Câu 18 : Cho hàm số y = ex + e − x . Nghiệm của phương trình y ' = 0 là:
A. 0.
C. − 1.
B. 1.
D. 2.
Đáp án C Ta có: y ' = 0 ⇔ e − e − x = 0 ⇔ x = −1.
Câu 19
A.
x −1
Đạo hàm của hàm số y = log 2
÷ là:
ln x
x ln x + 1 − x
.
x ( x − 1) ln 2
x ln x + 1 − x
.
( x − 1) ln x ln 2
B.
C.
x ln x + 1 − x
.
( x − 1) ln 2
D.
x ln x + 1 − x
.
x ( x − 1) ln 2.ln x
'
x −1
÷
x ln x + 1 − x
Đáp án D Ta có: y ' = ln x =
.
x −1
x
x
−
1
ln
2.ln
x
(
)
ln 2
ln x
Câu 20 Giá trị x thỏa mãn 2 x− 2 = ln 2 thuộc:
3
A. 0; ÷.
2
3
B. ; 2 ÷.
2
3
C. ;1÷.
4
5
D. ; 2 ÷.
3
Đáp án A
3
x−2
Cách 1. 2 = ln 2 ⇔ x − 2 = log 2 ( ln 2 ) ⇔ x = 2 + log 2 ( ln 2 ) ∈ 0; ÷
2
Cách 2. Dùng tính chất y = f ( x ) liên tục trong khoảng ( a; b ) xác định tại a, b khi đó nếu
f ( a ) f ( b ) < 0 ⇒ f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
Tập xác định của hàm số y = log 1 ( x − 2 ) là:
Câu 21
2
A. ( 2;3] .
B. [ 3; +∞ ) .
C. ( −∞; 2 ) .
D. ( 2;3) .
x − 2 > 0
x > 2
⇔ 2< x≤3
Đáp án A Ta có: log ( x − 2 ) ≥ 0 ⇔
1
x − 2 ≤1
2
Cho a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1. Mệnh đề nào sau đây sai?
Câu 22
A. log c
a
= log c a − log c b.
b
C. log a b =
log c b
.
log c a
Đáp án D D sai vì log c2
Câu 23
B. log c2 a =
D. log c2
1
log c a.
2
a 1
1
= log c a − log c b.
2
b
2
2
a 1
= log c a − log c b
b2 2
log 2 b
Giá trị của y = a log a 2 .b 2
A. ab 2 .
Đáp án C Ta có: a log a 2 .b 2
B. abln 2 .
log 2 b
là:
C. 2bb .
D. Đáp án khác.
= 2b b
Câu 24 Với giá trị nào của m thì phương trình 4 x − m 2 x + m 2 − 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu?
A. ( −∞; −1) .
Đáp án D
B. ( 0;1) .
C. ( 2;5 ) .
D. Không tồn tại m.
x
Đặt t = 2 ( t > 0 ) . Phương trình đã cho trở thành:
t 2 − mt + m 2 − 1 = 0 ⇔ ( t − 1) + ( 2 − m ) ( t − 1) + m 2 − m = 0 ( ∗)
2
Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì phương trình ( ∗) phải có hai nghiệm dương phân biệt, một
m 2 − m < 0
⇔ Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
nghiệm t lớn hơn 1, một nghiệm t nhỏ hơn 1 ⇔ m > 0
m 2 − 1 > 0
4
2
Tổng tất cả các giá trị của m để phương trình x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt lập
Câu 25
thành cấp số cộng là:
A.
14
.
9
B.
32
.
9
C.
17
.
3
D.
19
.
3
Đáp án B
x = 1
.
Do x − 2 ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 ⇔ x = −1
x 2 = 2m + 1
4
2
−1
2m + 1 > 0
m >
⇔
2.
Nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
2
m
+
1
≠
1
m ≠ 0
2m + 1 = 3
m = 4
2m + 1 − 1 = 1 − (−1)
⇔
Mà 4 nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên
−4
1⇔
m=
1 − 2m + 1 = 2m + 1 − − 2m + 1
2m + 1 =
9
3
(
Do đó, tổng các giá trị của m thỏa mãn điều kiện là:
Câu 26 Đạo hàm của hàm số y =
'
A. y = −
y' = −
ln 2
.
x ln 2 x
( log 2 x )
'
2
ln x
=−
'
B. y =
32
.
9
1
là:
log 2 x
ln 2
.
x ln 2 x
'
C. y = −
x ln 2
.
log 22 x
'
D. y =
x ln 2
.
log 22 x
ln 2
x ln 2 x
Câu 27 Tập xác định của hàm số y = ( x 2 − 1)
A. D = ¡ .
)
B. D = ¡ \ { ±1} .
−
2
3
là:
C. D = ( −1;1) .
D. D = ¡ \ [ −1;1] .
2
2
−
Do − ∈ ¤ ⇒ hàm số y = ( x 2 − 1) 3 xác định khi x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1 hay x > 1
3
Câu 28 Tập nghiệm của bất phương trình 2 log 3 ( x − 1) + log
A. S = ( 1; 2] .
1
B. S = − ; 2 ÷.
2
3
C. S = [ 1; 2] .
( 2 x − 1) ≤ 2 là:
1
D. S = − ; 2 .
2
Điều kiện: x > 1
PT ⇔ 2 log 3 ( x − 1) + 2 log 3 ( 2 x − 1) ≤ 2
⇔ log 3 ( x − 1) + log 3 ( 2 x − 1) ≤ 1
⇔ log 3 ( x − 1) ( 2 x − 1) ≤ 1 ⇔ ( x − 1) ( 2 x − 1) ≤ 3 ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 ≤ 0 ⇔ −
1
≤x≤2
2
Kết hợp điều kiện suy ra ( 1; 2] là tập nghiệm.
Câu 29 Cho log 3 2 = a,log 3 5 = b. Giá trị của biểu thức P = log 3 60 tính theo a và b là:
A. P = a + b − 1.
B. P = a − b − 1.
C. P = 2a + b + 1.
D. P = a + 2b + 1.
log 3 60 = log3 3.20 = 1 + 2 log 3 2 + log 3 5 = 2 a + b + 1
Câu 30
Số nghiệm của phương trình 9 x − 5.3x − 7 = 0 là:
A.0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô nghiệm.
Tập xác định D = ¡
PT ⇔ ( 3x ) − 5.3x − 7 = 0
2
x
2
Đặt t = 3 ⇒ t − 5t − 7 = 0 ( ∗) , do 1( −7 ) < 0 ⇒ ( ∗) luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 31
b
16
Cho a, b > 0, a ≠ 1 thỏa mãn log a b = log 2 a = . Tổng a + b bằng:
4
b
A. 16.
B. 17.
C. 18.
D. 19.
Đáp án C
b
16
Ta có: log a b = ;log 2 a =
nên:
4
b
b
log a b 4
log 2 b =
=
= 4 ⇔ b = 16.
log a 2 b
16
16
⇒ log 2 a = = 1 ⇔ a = 2.
b
⇒ a + b = 18.
Câu 32
Cho a, b ∈ R, a, b > 1; a + b = 10; a12b 2016 là một số tự nhiên có 973 chữ số. Khi đó cặp ( a; b ) là:
A. ( 5;5 ) .
B. ( 6; 4 ) .
C. ( 8; 2 ) .
D. ( 7;3) .
Đáp án D
Xét các trường hợp:
TH1: b ≥ 4 ⇒ b 2016 ≥ 42016 = 161008 ⇒ b 2016 > 101008. Mà 101008 có 1009 chữ số nên b < 4.
TH2: b ≤ 2 ⇒ b 2016 ≤ 22016 = 8672 < 10672. Mà a < 10 ⇒ a12 < 1012 ⇒ a12 .b 2016 < 1012.10672 = 10684.
Mà 10684 có 685 chữ số nên b > 2.
Vậy b = 3 ⇒ a = 7 (thỏa mãn).
x
x
Tích các nghiệm của phương trình 3.4 + ( 3 x − 10 ) .2 + 3 − x = 0 là:
Câu 33
1
C. 2 log 2 .
3
B. − log 2 3.
A. log 2 3.
D. 2 log 2 3.
Đáp án B
Xét phương trình:
3.4 x + (3 x − 10).2 x + 3 − x = 0
x 1
2 = ⇔ x = − log 2 3
⇔
3
x
2 = 3 − x ⇔ x = 1
Vậy tích các nghiệm là − log 2 3.
Câu 34
x.log x 2.log 5 x + 1
giá trị của x là
log x 3.log 3 4.log 5 x + x log 5 x + 1
Cho log 5120 80 =
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Đáp án C.
Sử sụng casio nhập
X logX 2.log5 X + 1
CALC
− log5120 80
→X=
logX 3.log3 4.log5 X + X log5 X + 1
Các đáp án thấy với X = 4 được kết quả 0.
Câu 35 Đạo hàm của hàm số y =
A. y ' =
C. y ' =
1 − 2 ( x + 1) ln 3
2x
3
1 − 2 ( x + 1) ln 9
3
x
x +1
9x
.
B. y ' =
.
D. y ' =
1 − ( x + 1) ln 3
32 x
.
1 − 2 ( x + 1) ln 3
3x
.
Đáp án A.
y' =
( x + 1) '.9x − ( 9x ) '.( x + 1)
92x
9x − 9x ( x + 1) ln9 1− 2( x + 1) ln3
=
=
.
92x
32x
Câu 36 Tập nghiệm của bất phương trình
A. ( 2; +∞ ) .
B. ( −∞;0 ) .
5
x−2
log 1
÷
x
3
<1
là
C. ( 0; 2 ) .
D. ( 0; +∞ ) .
Đáp án B.
ĐK:
x− 2
> 0 ⇔ x < 0∨ x > 2
x
x− 2
log1
÷
x
3
5
x− 2
−2
x− 2
< 1⇔ log1
< 0⇔
> 1⇔
> 0 ⇔ x < 0.
÷
x
x
x
3
Vậy tập nghiệm của BPT là: ( −∞;0) .
x
x
Câu 37 Cho bất phương trình 9 + ( m − 1) .3 + m > 0 ( 1) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
(1) nghiệm đúng ∀x > 1 .
3
A. m ≥ − .
2
3
B. m > − .
2
C. m > 3 + 2 2.
D. m ≥ 3 + 2 2.
Đáp án A
Đặt t = 3x với x > 1 ⇔ t > 3 vậy ta cần tìm điều kiện của m sao cho BPT:
t 2 + ( m − 1) t + m > 0 nghiệm đúng với mọi t > 3
a > 0
2
⇒ ∆ = ( m − 1) − 4m = m 2 − 6m + 1 < 0 ⇔ 3 − 2 2 < m < 3 + 2 2
+) TH1:
∆ < 0
m ≤ 3 − 2 2
m ≥ 3 + 2 2
∆ ≥ 0
−3
≤ m ≤ 3− 2 2
−3
⇔ 2
+)TH2: x1 ≤ x2 ≤ 3 ⇔ f ( 3) ≥ 0 ⇔ m ≥
2
x + x
m ≥ 3 + 2 2
1
2
≤ 3 m ≥ −5
2
Kết hợp hai trường hợp ta có m ≥ −
3
2
2
2
Câu 38 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1 + log 5 ( x + 1) ≥ log 5 ( mx + 4 x + m ) có
nghiệm đúng ∀x.
A. m ∈ ( 2;3] .
B. m ∈ ( −2;3] .
C. m ∈ [ 2;3) .
D. m ∈ [ −2;3) .
Đáp án A
Để BPT nghiệm đúng với ∀x trước hết mx 2 + 4 x + m > 0 vơí ∀x
m > 0
a > 0
⇔
⇔
⇔ m > 2 ( 1)
2
∆ ' < 0
4 − m < 0
Ta có
1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) ⇔ log 5 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m )
⇔ 5 ( x 2 + 1) ≥ ( mx 2 + 4 x + m ) ⇔ ( 5 − m ) x 2 − 4 x + ( 5 − m ) ≥ 0
BPT này nghiệm đúng với ∀x
m < 5
5 − m > 0
m < 5
⇔
⇔
⇔
⇔ m ≤ 3 ( 2)
2
( 7 − m ) ( m − 3) ≤ 0
∆ ' ≤ 0
4 − ( 5 − m ) ≤ 0
Kết hợp hai điều kiên ( 1) và ( 2 ) ⇒ 2 < m ≤ 3
Câu 39 . Chọn khẳng định sai?
A. Đồ thị hàm số y = a x và y = a − x đối xứng nhau qua trục Oy.
B. Đồ thị hàm số y = a − x luôn nằm dưới trục Oy.
C. Đồ thị hàm số y = a x luôn luôn cắt Oy tại
(0;1).
D. Đồ thị hàm số y = a x luôn luôn nằm phía trên Ox.
Hàm mũ y ' = a − x luôn có giá trị dương với mọi x nên khẳng định B sai.
Câu 40
Mọi số thực dương a, b. Mệnh đề nào đúng?
A. log 3 a < log 3 b ⇔ a > b .
2
2
B. log 2 ( a + b ) = 2 log ( a + b ) .
C. log a 2 +1 a ≥ log a 2 +1 b .
1
2
D. log 2 a = log 2 a .
2
4
Vì
4
3
< 1 nên log 3 a < log 3 b ⇔ a > b .
4
4
4
nb
Câu 41 . Nếu n là số nguyên dương; b, c là số thực dương và a > 1 thì log 1 2 ÷
÷ bằng.
a c
A.
1
1
log a b − log a c .
n
2
B. n log a b − 2 log a c .
C.
1
log a b + 2 log a c .
n
1
D. − log a b + 2 log a c .
n
nb
nb
1
log 1 2 ÷
=
−
log
= − log a b + 2 log a c .
a
2 ÷
÷
÷
n
a c
c
Câu 42 Với a > 0, a ≠ 1 thì phương trình log a ( 3x − a ) = 1 có nghiệm là
B. x =
A. x = 1 .
a
.
3
2a
.
3
C. x =
D. x =
Với a > 0, a ≠ 1 ta có log a ( 3x − a ) = 1 ⇔ 3x − a = a ⇔ x =
a +1
3
2a
3
Câu 43 Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x 2 + y2 + 2 ( 4x + 4y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp
( x; y )
A.
sao cho x 2 + y 2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 .
(
)
2
10 − 2 .
B. 10 + 2 .
C.
(
)
2
10 + 2 .
D. 10 − 2 .
Đáp án A
log x 2 + y2 + 2 ( 4x + 4y − 4 ) ≥ 1 ⇔ 4x + 4y − 4 ≥ x 2 + y 2 + 2 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 2 ) ≤ 2
2
2
Đây là tập hợp tất cả các điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I ( 2; 2 ) và bán kính R = 2
x 2 + y 2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = m
2
2
Đây là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm I ' ( −1;1) bán kính R ' = m
Ta có II ' = 10
m nhỏ nhất để tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 thì hai
đường tròn nói trên tiếp xúc ngoài.
⇒ R + R ' = II ' ⇔ m + 2 = 10 ⇔ m =
(
10 − 2
)
2
Câu 44 Với a là số dương thực bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log ( 3a ) = 3log a .
1
3
B. log a = log a .
3
C. log a 3 = 3log a .
1
D. log ( 3a ) = log a .
3
ĐÁP ÁN A
Vì a > 0 ⇒ log a 3 = 3log a .
Câu 45 Tập nghiệm của bất phương trình 22x < 2 x +6 là
A. ( 0;6 ) .
B. ( −∞;6 ) .
C. ( 0;64 ) .
D. ( 6; +∞ ) .
ĐÁP ÁN B
22x < 2x +6 ⇔ 2x < x + 6 ⇒ x < 6
Câu 46
A.
Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x =
82
9
B.
80
9
C. 9
2
3
D. 0
ĐÁP ÁNA
.
log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x =
⇔ ( log 3 x )
Câu 47
4
2
1
1
1
2
⇔ log 3 x. log 3 x. log 3 x. log 3 x =
3
2
3
4
3
x = 32 = 9
log 3 x = 2
82
= 16 ⇔
⇔
.
Tổng
các
nghiệm
bằng
.
1
−
2
x = 3 =
9
log 3 x = −2
9
2
1
, f ( 0 ) = 1 và f ( 1) = 2 . Giá trị của biểu
Cho hàm số f ( x ) xác định trên R \ thỏa mãn f ′ ( x ) =
2x − 1
2
thức f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 4 + ln15
B. 2 + ln15
C. 3 + ln15
D. ln15
ĐÁP ÁN C
2
1
u ( x ) = ∫ 2x − 1 dx = ln 2x − 1 + C1 x > 2 ÷
2
⇒ f ( x) =
Ta có f ′ ( x ) =
2x − 1
2
1
v ( x ) =
dx = ln 2x − 1 + C1 x < ÷
∫
2x − 1
2
Ta giải phương trình tìm C1 ;C 2 từ hệ. f ( 1) = 2 ⇒ C1 = 2;f ( 0 ) = 1 ⇒ C 2 = 1 .
Từ đó u ( x ) = ln 2x − 1 + 2; v ( x ) = ln 2x − 1 + 1;
f ( −1) + f ( 3) = v ( −1) + u ( 3 ) = 3 + ln15
x
x
x
Câu 48 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16 − 2.12 + ( m − 2 ) 9 = 0 có nghiệm
dương?
A. 1
B. 2
C. 4
ĐÁP ÁN
Cách 1. ( m − 2 ) = 0 ⇔ m = −
16 x − 2.12 x
+ 2 = f ( x ) ta dùng mode 7 với
9x
D. 3
Start 0; end 9; step 0,5 ta nhận thấy f (x) giảm dần và tại x = 0 thì f (x) = 3 nên các giá trị nguyên dương của m
để phương trình có nghiệm dương là m = 1, m = 2 .
Cách 2.
2x
x
x
4
4
4
16 − 2.12 + ( m − 2 ) 9 = 0 ⇔ ÷ − 2. ÷ + m − 2 = 0 đặt ÷ = t
3
3
3
x
x
x
2
2
Khi đó phương trình đã cho trở thành t − 2t + m − 2 = 0 ⇔ m = − t + 2t + 2 = f ( t ) ( 2 )
Để phương trình ban đầu đã cho có nghiệm dương thì phương trình
(2) có nghiệm t > 1 .
Ta dễ có bảng biến thiên của y = f ( t ) từ đó để thỏa mãn đề thì m < 3 .
Vậy tập các giá trị của m thỏa mãn đề là S = { 1, 2}
Câu 49 Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn log u1 + 2 + log u1 − 2 logu10 = 2 log u10 và u n +1 = 2u n với mọi n ≥ 1 . Giá trị
100
nhỏ nhất của n để u n > 5 bằng
A. 247
B. 248
C. 229
D. 290
ĐÁP ÁN B
9
Có u10 = 2 u1 ; log u1 + 2 + log u1 − 2 logu10 = 2 log u10 . Đặt t = 2 log u10 − log u1
PT ⇔ 2 − t = t ⇔ t = 1
1−18log 2
n −1
1−18log 2 n −1
.2 .
Có 2 log u10 − log u1 = 18log 2 + log u1 = 1 ⇔ u1 = 10
. Có u n = u1.2 = 10
100
Giải u n > 5 ⇔ n = 248 là bé nhất thỏa mãn.
Câu 50
2
Nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = 3 là.
A. ±3
C. ±1
B. 2
D. 0
Cách 1: ĐK: x 2 − 1 > 0 ⇔ x < −1, x > 1
2
2
3
2
Khi đó log 2 ( x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 2 ⇔ x = 9 ⇔ x = ±3
Chọn đáp án A.
CALC
2
→ X = ±3
→0
Cách 2: Sử dụng casio nhập log 2 ( X − 1) − 3
⇒ x = ±3 là nghiệm
Câu 51
2
Đạo hàm của hàm số y = log 9 ( x + 1) là
A. y ' =
2x ln 9
x2 +1
B. y ' =
1
( x + 1) ln 9
2
C. y ' =
2x
x
Ta có y ' = x 2 + 1 ln 9 = x 2 + 1 ln 3
(
)
(
)
Câu 52 Tập xác định của hàm số y =
x−2
ln x − 5x + 4
(
2
)
là
x
( x + 1) ln 3
2
D. y ' =
2 ln 3
x2 +1
5 + 13
B. ( 4; +∞ ) \
C. ( 2; +∞ )
2
A. ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ )
D. ( 2; 4 )
x ≥ 2
2
x > 4
5 + 13
⇔ 2
⇔ 4< x ≠
Điều kiện x − 5x + 4 > 0
2
x − 5x + 4 ≠ 1
2
ln x − 5x + 4 ≠ 0
(
)
Câu 53 Cho x, y > 0 và x 2 + y 2 = 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2 xy bằng
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
Ta có x 2 + y 2 ≥ 2xy ⇔ xy ≤ 1 ⇔ 2 xy ≤ 2
Câu 54 Để bất phương trình 16 x − 4x +1 − m > 0 có 2 nghiệm trái dấu thì số giá trị nguyên của m thỏa mãn là
A. 3
B. 4
C. 5
D. Vô số
Đáp án D
Đặt 4 x = t BPT 16 x − 4 x +1 − m > 0 ⇔ t 2 − 4t − m > 0
Do BPT t 2 − 4t − m > 0 luôn có nghiệm với mọi m hơn nữa luôn có nghiệm > 1 và < 1
Nên BPT đã cho luôn có hai nghiệm trái dấu.
Câu 55 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
(điều kiện a, b, c > 0; a ≠ 1 ).
α
β
A. a < a ⇔ α < β ( a > 1)
a > 1
B. log a b > log a c ⇔
b < c
α
β
C. a < a ⇔ α > β ( 0 < a < 1)
α
D. Tập xác định của y = x ( α ∈ R ) là ( 0; + ∞ )
Đáp án D
Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Chọn đán án D.
Câu 56 . Phương trình log 3 ( x − 1) = 2 có nghiệm thuộc khoảng
A. ( 1; 4 )
B. ( 2;5)
C. ( 8;9 )
D. ( 6;15 )
Đáp án D
B sai vì hai biểu thức không tương đương.
2
Câu 57 Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 3 x + 3) > 0 là.
2
A. ( 0;1)
B. ( 1; 2 )
C. ( 2;3)
D. ( 3; 4 )
Đáp án B
2
x − 3 x + 3 > 0
⇔1< x < 2
Ta có PT ⇔ 2
x − 3 x + 3 < 1
Câu 58 . Biểu thức y =
a
a
A.
bc
a
7 +1
2+ 7
B.
.b 2 . c 5
.b
2 cos
b2c2
a
7π
4
.c
1
2
sau khi rút gọn trở thành.
C.
ab 2
c
D.
c2
a
Đáp án D
Sử dụng Casio nhập
A
7 +1
.B 2 . C 5
A2+ 7 .B
2 cos
7π
4
.C
1
2
CACL
→ A = 2, B = 3, C = 4 được kết quả là 8 . Sau đó thay A, B, C vào các
phương án ta chọn được đáp án D.
2
1
2 x +1 1
Cho phương trình log 2 ( x + 2 ) + x + 3 = log 2
+ 1 + ÷ + 2 x + 2 , gọi S là tổng tất cả các
2
x
x
Câu 59
nghiệm dương của nó. Khi đó, giá trị của S là.
A. S = −2
B. S =
1 − 13
2
C. S =
1 + 13
2
D. Đáp án khác
Đáp án C
x + 2 > 0
ĐK: 2 x + 1
>0
x
1
1
(*) <=> log 2 x + 2 + ( x + 2 − 1) 2 = log 2 (2 + ) + (1 + ) 2
x
x
Đặt
x + 2 = t; 2 +
1
= u (t , u > 0)
x
<=> log 2 t + (t − 1) 2 = log 2 u + (u − 1) 2
f (t) = f(u)
<=>
t, u > 0
f (v) = log 2 v + (v − 1) 2 (v > 0)
1
1 + 2(v − 1)v ln 2 1 + 2v 2 ln 2 − 2v ln 2 (1 − v ln 2) 2 + 2v 2 ln 2 − v 2 ln 2 2
+ 2(v − 1) =
=
=
Xét
v ln 2
v ln 2
v ln 2
v ln 2
2
2
2
(1 − v ln 2) + v (2 ln 2 − ln 2)
=
> 0∀v > 0
v ln 2
f '(v) =
=> Hàm số f (v) đồng biến với mọi v>0
=> t = u <=> x + 2 = 2 +
1
1 ± 13
<=> x =
x
2
=> Tổng các nghiệm dương S=
1 + 13
2