Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (767.46 KB, 90 trang )
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.
Bài 1.
Cho dãy số ( an )
1
a1 = a + a
3
2
an +1 = 2an − 2an − 2
3an 2 − 4an − 1 . Chứng minh rằng với mọi số thực
xác định bởi :
a ≠ 0 thì dãy ( an ) hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy ( an ) .
Hướng dẫn giải
Nếu
a > 0 thì
a+
1
≥2
a
(do bất đẳng thức AM-GM).
−a +
1
1
≥2
a + ≤ −2
−a
(do bất đẳng thức AM-GM) nên
a
.
Nếu
a < 0 thì
Nếu
*
a = 1 thì a1 = 2 . Ta chứng minh: an = 2, ∀ n ∈ ¥ .
Hiển nhiên a1 = 2 .
2.23 − 2.2 2 − 2
ak = 2 ⇒ ak +1 =
=2
Giả sử
.
3.2 2 − 4.2 − 1
Vậy
lim an = lim 2 = 2
.
a > 0
*
. Nếu a ≠ 1 thì a1 > 2 . Ta chứng minh an > 2 ∀ n ∈ ¥ .
Rõ ràng a1 > 2 . .
Giả sử ak > 2 . Ta chứng minh ak +1 > 2 .
2 ak 3 − 2 a k 2 − 2
2
ak +1 > 2 ⇔
> 2 ⇔ 2 ak ( a k − 2 ) > 0
2
3ak − 4ak − 1
( đúng).
Ta chứng minh ( an ) là dãy giảm, thật vậy :.
2
−an 3 + 2an 2 + an − 2 − ( an − 1) ( an − 2 )
∀n, an +1 − an =
=
<0
3an 2 − 4an − 1
3an 2 − 4an − 1
.
( do tử âm, mẫu dương vì.
Trang 1
2+ 7
an >
3
3an 2 − 4an − 1 > 0 ⇔
2− 7
an <
3 .
Mà
an > 2 >
( an )
2+ 7
⇒ 3an 2 − 4an − 1 > 0
).
3
giảm và bị chặn dưới ⇒ ( an ) có giới hạn là L .
2an 3 − 2an 2 − 2
2 L3 − 2 L2 − 2
lim an +1 = lim
⇒
3an 2 − 4an − 1
3L2 − 4 L − 1
⇒ L = 2 ( an > 2 ⇒ L ≠ −1 )
.
Vậy lim an = 2 .
. Nếu
a > 0 thì a1 ≤ − 2 . Tương tự, ta có:.
2
−an 3 + 2an 2 + an − 2 − ( an − 1) ( an − 2 )
∀n, an +1 − an =
=
>0
3an 2 − 4an − 1
3an 2 − 4an − 1
.
nên ( an ) tăng. Hơn nữa ( an ) bị chặn trên bởi − 1 , thật vậy.
2 ak 3 − 2 a k 2 − 2
2
ak +1 < −1 ⇔
< −1 ⇔ ( ak + 1) (2a − 3) < 0
2
3ak − 4ak − 1
.
Vậy ( an ) tăng và bị chặn trên ⇒ ( an ) có giới hạn là L .
an < −1, ∀n , an +1 − an > 0, ∀n
2 L3 − 2 L2 − 2
L= 2
⇒ L = −1 ( an < −1⇒ L ≠ 2 )
3L − 4 L − 1
.
Vậy lim an = − 1 .
Tóm lại: + Nếu
a = 1 thì lim an = 2 .
a > 0
+ Nếu a ≠ 1 thì lim an = 2 .
+ Nếu
a < 0 thì lim an = − 1 .
Trang 2
x1 > 0
1 2 3
2015
*
xn +1 = xn + x + x 2 + x3 + L + x 2015 ( n ∈ ¥ )
n
n
n
n
được xác định bởi
. Tìm giới
Cho dãy số ( xn )
Bài 2.
α
hạn của dãy nxn khi
n → +∞ ,
với
α
là số thực cho trước.
Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được xn > 0, ∀n ≥ 1 bằng qui nạp.
Ta có.
2
1
1
1
xn +1 > xn + , ∀ n ≥ 1 ⇒ xn2+1 > xn + ÷ = xn2 + 2 + 2 > xn2 + 2 ; ∀ n ≥ 1
xn
xn
xn
.
Bởi vậy ∀ n ∈ N, n ≥ 2 thì xn > xn −1 + 2 > xn − 2 + 4 > … > x1 + 2 ( n − 1) .
2
2
⇒ xn > 1, ∀ n ≥ 2 và lim xn = +∞
n → +∞
Với n ∈ N , đặt
*
xn +1 = xn +
xn > 1; ∀ n ≥ 2 ⇒ 0 < tn <
2
2
.
1
2 3
2015
tn = 2 + 3 + … + 2015
+ tn
xn
xn xn
xn .
trong đó
t
xn2 , với t = 2 + 3 + … + 2014 + 2015 (1), suy ra.
2
2
n +1
x
2t
1
1
− x = xn + + tn ÷ − xn2 = 2 + tn2 + 2 + 2 xntn + n → 2
xn
xn
xn
. khi n → +∞ .
2
n
b1 = x12
2
2
b
(
)
b
=
x
−
x
,
∀
n
≥
2.
n
n −1
Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy n với n
.
ta có
lim bn =
n → +∞
b1 + b2 + … + bn
= lim bn = 2.
n → +∞
2 suy ra n→ +∞
.
n
lim
2
2
2
2
2
2
2
n 1
xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn−1 − xn− 2 ) +…+ ( x2 − x1 ) + x1 b1 + b2 +…+ bn
lim 2 = .
=
=
Mà n
suy ra n→ +∞ xn 2 .
n
n
n 1
=
2
Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp n→ +∞ xn 2 như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro).
lim
Xét dãy ( cn ) : c1 = x1 − 2; cn = xn − xn −1 − 2 với n = 2,3… .
2
lim cn = 0
n → +∞
Gọi
2
2
ε
cn < , ∀ n ≥ m.
nên ∀ ε > 0 tồn tại m ∈ N sao cho
2
.
*
M = max { ci } với 1 ≤ i ≤ m − 1 .
Trang 3
ε
Với
2 ( m − 1) M
2 ( m − 1) M
( m − 1) M < ε
m′ =
+1
< m'
ε
ở trên tồn tại
thì
hay
ε
m′
2.
Xét n > max { m, m '} . ta có.
| ∑ i =1ci |
n
n
∑
≤
n
c
i=m i
n
| ∑ i =1ci |
∑
+
m −1
i =1
| ci |
n
<
( n − m + 1)
n
ε
2 + ( m − 1) M < ε + ( m − 1) M < ε + ε = ε .
o đó theo định
n
2
m′
2 2
n
nghĩa
lim
n → +∞
n
=0
.
2
2
2
2
2
2
2
n 1
xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn−1 − xn− 2 ) +…+ ( x2 − x1 ) + x1 c1 + c2 +…+ cn
lim 2 = .
=
=
+ 2
. suy ra n→ +∞ xn 2 .
n
n
n
1
n.xnα = n.xn−2 → khi n → +∞
Nếu α = − 2 thì
2
.
α
α +2
−2
α
α +2
−2
Nếu
α > −2
thì n.xn = xn .n.xn → +∞ khi n → +∞ .
Nếu
α < −2
thì n.xn = xn .n.xn → 0 khi
Bài 3.
Cho hai số
a1 , b1 với 0 < b1 =
n → +∞ .
a
1
< 1 .Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2,.. .Theo quy tắc
1
an +1 = (an + bn ) b = a .b
lim a
lim b
n +1 n Tính: n → ∞ n và n → ∞ n .
sau: giải nghĩa cái đó là:.
2
, n +1
.
Hướng dẫn giải
π
Tính a2 , b2 với 0 < b1 = a1 < 1 ta có thể chọn 0 < a < 2 sao cho: b1 = cosa ,.
2
Suy ra a1 = cos a .
1
1
a
a2 = (cos 2 a + cos a) = cos a(cos a + 1) = cos a.cos 2
2
2
2.
a
a
b2 = cos a.cos 2 .cos a = cos a.cos
2
2.
Bằng quy nạp, chứng minh được:.
a
a
a
a
a
an = cos a.cos ...cos n −1 cos n −1 (1) bn = cos a.cos ...cos n −1 (2)
2
2
2
2
2
.
Nhân hai vế của (1) và (2) cho
sin
a
2n −1 và áp dụng công thức sin 2a được:.
Trang 4
a
2n −1 ,
a
2n.sin n −1
2
sin 2a.cos
an =
bn =
sin 2a
a
2n.sin n −1
2 .
Tính giới hạn:.
lim an =
n →∞
sin 2a
,
2a
lim bn =
n →∞
sin 2a
2a .
Cho dãy số ( an ) , a1 = 1 và
Bài 4.
an+1 = an +
1
a
lim n = 2
an .Chứng minh: n →∞ n
.
Hướng dẫn giải
a
2
k +1
n
n −1
n −1
1
1
2
2
= a + 2 + 2 ⇒ ∑ ai = ∑ a j + ∑ 2 + 2(n − 1).
ak
i =2
j =1
j =1 a j
.
2
k
n −1
1
.
2
2n − 1 , ∀ n ≥ 2. .
j =1 a j Vậy an >
an2 = 2n − 1 + ∑
ak2 > 2k − 1 ∀ k ≥ 2 ⇒
1
1
1
1
<
<
=
=
a 4k (2k-1)2 (2k-1)2 − 1 4k(k+1)
1 1
1
− ÷
4 k −1 k .
n −1
1 1
1
1 n−1 1
1 5
< (1 −
) < ⇒ ∑ 4 < 1+ =
∑
4
n −1 4
4 4.
j =1 a j
Suyra: k = 2 ak 4
n −1
n −1
1
1
5
≤
(
n
−
1)
∑j =1 a 2
∑j =1 a 4 < (n − 1) 4 (n ≥ 2).
j
j
Suyra:
.
Vậy:
5( n − 1)
(n ≥ 2)
2
.
an2 < 2n − 1 +
Suyra:
n ≥ 2;
lim
an
Dođó: n → ∞ n
2n-1
2
5(n-1)
5(n-1)
1 a
⇒ 2- < n < 2n-1+
2
n
2
n
.
.
π
Bài 5.
π
a1 = cos 2
b1 = cos
a
,
b
Cho hai số 1 1 với
8,
8 . Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2,... theo quy
1
an +1 = (an + bn ) b = a .b
lim a lim b
n +1 n . Tính: n → ∞ n và n → ∞ n .
tắc sau:.
2
, n +1
Hướng dẫn giải
+Tính
a2 , b2 :.
Trang 5
1
π
π
1
π
π
π
π
a2 = (cos 2 + cos ) = cos (cos x + 1) = cos .cos 2
2
8
8 2
8
8
8
16 .
π
π
π
π
π
b2 = cos cos 2 cos = cos cos
8
16
8
8
16 .
+ Bằng quy nạp, chứng minh được:.
an = cos
π
π
π
π
π
π
π
cos 2 ...cos n cos n (1) bn = cos cos 2 ...cos n (2)
2.4
2 .4
2 .4
2 .4
2.4
2 .4
2 .4
.
+Nhân hai vế của (1) và (2) cho
π
π
sin .cos n
4
2 .4 ,
an =
π
2n.sin n
2 .4
sin
π
2n .4 và áp dụng công thức sin 2a được:.
π
4
bn =
π
2n.sin n
2 .4 .
sin
+Tính giới hạn:.
lim an =
n →∞
Bài 6.
4sin
π
π
4 ,
lim bn =
n →∞
4sin
π
π
4
.
Cho dãy số ( un ) biết:.
u1 = 1
*
u = un , ∀ n ∈ N
n +1 1 + u 2
n
.
lim (un n )
Hãy tính n→ +∞
.
Hướng dẫn giải
Ta có: u1 > 0 => un
> 0 ,∀n ∈ N* .
un + 1 − un = un / (1 + un2 ) − un = (− un3 ) / (1 + un2 ) < 0 ∀ n ∈ N * .
⇒ ( un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 .
⇒ lim un = a (a ∈ R, a ≥ 0)
n → +∞
Từ un + 1 = un / (1 + un ), cho
2
.
n → +∞
ta được:.
un = 0
a = a / (1 + a3 ) ⇔ a = 0. Vậy xlim
→ +∞
.
Trang 6
*
Đặt vn = 1/ (un + 1) − 1/ (un ), n ∈ N .
2
2
Ta có vn = ((1 + un ) / un ) − 1/ (un ) = 2 + un → 2 khi n → +∞ ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:.
2
2
2
2
1
−
v1 + v2 +…+ vn
u
= 2 ⇔ lim
n
→+
∞
n
n
2
n +1
lim
n →+∞
1
1
2 − 2
u
un
⇔ lim n +1
u
lim
2
n +1
−
n
Mà n→+∞
1
u n2
=2
.
1 1
÷+ 2 − 2
u n u1 = 2
.
n
n →+∞
1
1
u12
1
v
u2
1
= lim n = 0 lim 1 = lim = 0
n →+∞ n
; n→+∞ n n →+∞ n
.
1
un2
1
1
lim
= 2 ⇒ lim
= 2 ⇒ lim (un n ) =
n →+∞ n
n →+∞ n.u 2
n →+∞
2.
⇒
n
Cho dãy { U n }
Bài 7.
U1 = 2
*
U n2 + 2009U n ( n ∈ N )
U n +1 =
2010
xác định bởi:
.
n
Ui
S
=
n ∑
lim S
i =1 U i +1 − 1 .Tính x →∞ n .
Ta lập dãy { S n } với
Hướng dẫn giải
Tacó
a1 = −
Giả sử
a0
>0
2
.
a1 , a2 ,..., an −1 > 0 .
Tacó.
a0
an an −1
1 + 2 + ... + n + 1 = 0
1
1 1
1 1
1
⇒ an = − ÷an −1 + − ÷an −2 + ... + −
÷a0
1 2
2 3
n n +1
an −1 + an − 2 + ... + a0 = 0
1
2
n
.
Hay
Do
an =
an −1 an − 2
a0
a1
+
+ ... +
+
1.2 2.3
(n − 1)n n(n + 1) .
a1 , a2 ,..., an−1 > 0 nên.
Trang 7
an −1 an −2
a1 2an −1 3an−2
na
+
+ ... +
+
+ ... + 1 ÷
÷
(n − 1)n 1
2
n −1
1.2 2.3
2
a
a
a a2
≥ n −1 + n −2 + ... + 1 ÷ = 02
2
( n − 1) n
1
.
a
a
a02
a1
⇒ n −1 + n − 2 + ... +
≥
÷
3a
na
( n − 1) n
2a
1.2 2.3
n 2 n −1 + n −2 + ... + 1 ÷
2
n −1 .
1
Ta lại có.
2an −1 3an − 2
3a
na
a
2a
+
+ ... + 1 = n n −1 + n − 2 + ... + 1 ÷
1
2
n −1
2n
n −1
n
a
a
a
a
≤ n n −1 + n − 2 + ... + 1 ÷ = n − 0 ÷ = − a0 .
2
n −1
1
n
.
a
a
a0
a1
⇒ n −1 + n − 2 + ... +
÷≥ − 2
(n − 1)n
n .
1.2 2.3
⇒ an =
an −1 an− 2
a0
a
a0
a1
+
+ ... +
+
≥ − 02 +
>0
1.2 2.3
(n − 1) n n(n + 1)
n n(n + 1)
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8.
Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1,
un +1 =
1 + un2 − 1
un
, ∀n ≥ 1.
a) Chứng minh:.
un = tan
π
, ∀ n ≥ 1.
2 n +1
.
b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của ( un ) .
HƯỚNG DẪN GIẢI
a) Chứng minh bằng quy nạp toán học.
b) Nhận xét
0<
π
π
π
≤ , ∀n ≥ 1
0; ÷
n +1
và hàm số tanx đồng biến trên 4 .
2
4
nên dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới bởi số
và bị chặn trên bởi số
Bài 9.
tan
tan 0 = 0 .
π
= 1.
4
.
Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:.
Trang 8
x1 > 0; xn +1 = xn +
1 2 3
2014 2015
+ 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 , ∀n ∈ ¥ * .
xn xn xn
xn
xn
.
1.Với mỗi n ∈ ¥ ,đặt
*
2.Tìm các số
yn =
n
xn2 .Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0 .
α
HƯỚNG DẪN GIẢI
1.Từ giả thiết suy ra
xn +1 > xn +
1
1
> 0 ⇒ xn2+1 > xn2 + 2 + 2 > xn2 + 2
xn
xn
.
xn2+1 > xn2 + 2 > xn2−1 + 2 > ... > x12 + 2n do đó lim xn = +∞
Suy ra
.
Xét
.
1 2 3
2014 2015 1 2 3
2014 2015
xn2+1 − xn2 = ( xn +1 + xn ) ( xn +1 − xn ) = 2 xn + + 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 ÷ + 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 ÷
xn xn xn
xn
xn xn xn xn
xn
xn
1 2 3
2014 2015 2 3
2014 2015
= 2 + 2 + 3 + 4 + ... + 2015 + 2016 ÷ 1 + + 2 + ... + 2013 + 2014 ÷
xn xn xn
xn
xn xn xn
xn
xn .
Suy ra
lim ( xn2+1 − xn2 ) = 2
.
2
2
2
2
2
2
2
xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn − 2 ) + ... + ( x2 − x1 ) + x1
=
Ta có n
.
n
Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có.
xn2 − xn2−1 ) + ( xn2−1 − xn2− 2 ) + ... + ( x22 − x12 ) + x12
(
xn2
lim = lim
=2
.
n
n
lim
Do đó
2.Xét
n 1
=
xn2 2 .
zn = nxnα =
n α +2
xn
xn2
.
Từ đó:.
+) Nếu
α > −2
thì
lim zn = +∞ .
+)Nếu
α < −2
thì
lim zn = 0 .
Trang 9
+) Nếu
Vậy
α = −2
α = −2
thì
lim zn =
1
2.
là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.
3
Cho dãy số { yn } thỏa mãn y1 > 0, yn +1 = y1 + y2 + ... + yn , ∀ n ≥ 1 .
Bài 10.
yn
Chứng minh rằng dãy số n có giới hạn bằng 0 khi n → +∞ .
Hướng dẫn giải
3
3
Từ giả thiết ta có yn +1 = yn + yn , ∀ n ≥ 2 , do đó dãy số { yn } n ≥ 2 là dãy tăng, vì.
vậy yn +1 = yn + yn = yn ( yn + 1) < yn + 1 ( yn + 1) .
3
3
2
2
⇒ yn2+1 < yn2 + 1 , ∀ n ≥ 2 ⇒ yn2+1 < yn2 + 1 < ... < y22 + n − 1 .
2
y22 + n − 1
y22 + n − 1
yn +1
lim
=0
⇒
÷ < (n + 1)2
(n + 1) 2
n +1
. Mà
nên theo định lý kẹp ta có.
2
y
y
y
lim n +1 ÷ = 0 ⇒ lim n +1 = 0 ⇒ lim n = 0
n +1
n
n + 1
.
un ∈ (0;1)
∀n ≥ 1
Tìm tất cả các hằng số c > 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: un +1 (1 − un ) > c
Bài 11.
.
đều hội tụ. Với giá trị
c
tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) .
Hướng dẫn giải
Ta xét các trường hợp sau.
+ Nếu
c>
cun
c
1
un +1 >
=
≥ 4cun ; ∀ n ≥ 1
1 − un un (1 − un )
4 , thì từ giả thiết, ta có
.
n −1
Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra un > (4c) u1 . Do
không thỏa mãn.
4c > 1 nên un → +∞ khi n → +∞ . Do đó,
c>
1
4
1 − 1 − 4c 1 + 1 − 4 c
a(1 − b) > c
1
a
,
b
∈
;
÷÷, a < b
0
2
+ Nếu
4 , thì tồn tại
sao cho b(1 − a) > c . Thật vây, lấy
1 − 1 − 4c 1 + 1 − 4c
a ∈
;
÷÷,
2
2
đặt b = a + x ( x > 0) , thì.
Trang 10
a (1 − a ) − c
a
.
a (1 − b) > c ⇔ a (1 − a − x ) > c ⇔ x <
Chú ý là b(1 − a ) > a (1 − a ) > c. Do đó, ta chỉ cần chọn
thức nêu trên.
x > 0 như trên và b = a + x, thì được 2 bất đẳng
Xét dãy số (un ) xác định bởi.
a nêu n = 2m
un =
b nêu n = 2m + 1 .
1
0
4 cũng không thỏa mãn.
+ Nếu
c=
un
1
1
u n +1 >
=
≥ un
4(1 − un ) 4un (1 − un )
4 , thì
. Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ.
1
1
1
x(1 − x ) ≥
x= .
lim un = .
Đặt x = lim un , thì từ giả thiết ta có
4 hay
2 Vậy
2 .
Bài 12.
1
x1 = 2
2
x = x + xn ; ∀n ≥ 1
n +1
n
n2
Cho dãy số (xn) thỏa mãn:
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn.
Hướng dẫn giải
*) Ta chứng minh xn + n
Thật vậy:
2
≥
n ( n + 1)
2
với mọi
n ≥ 1 (1).
n = 1 đúng.
Giả sử (1) đúng với
n = k ≥ 1: xk + k
⇒ xk +1 + ( k + 1) = xk +
2
xk2
2
+ ( k + 1)
2
k
2
=
≥
k ( k + 1)
2
.
xk
2
x + k 2 ) + ( k + 1)
2 ( k
.
k
3 ( k + 1) k ( k + 1)
2
k + 1 k ( k + 1)
≥
− 1÷
+ ( k + 1) ≥
−
2
2
k 2
2 .
2
≥
k + 1) ( k + 2 )
k + 1 3 ( k + 1)
− k ÷≥ (
2
2
2
(đpcm).
*) Ta chứng minh ( xn ) có giới hạn.
NX: ( xn ) tăng và xn > 0 với mọi
n.
Trang 11
1
1
1
2
1 1
1
1
−
=
≤
⇒ − ≤ 2 1 − ÷ < 2 ⇒ xn <
2
n ( n + 1)
x1 xn
n
2 − 2 với mọi n ≥ 1.
Ta có xn xn +1 xn + n
Vậy ( xn ) có giới hạn.
Bài 13.
Cho
dãy
số
( un )
xác
định
bởi
u1 = 2014,
un4 + 20132
un +1 = 3
, ∀n ∈ ¥ *
un − un + 4026
.
n
1
, ∀n ∈ ¥ *
k =1 u + 2013
. Tính lim vn .
vn = ∑
3
k
Hướng dẫn giải
un4 + 20132
(un − 2013)(un3 + 2013)
− 2013 = 3
3
(un + 2013) − (un − 2013) (1).
+ Ta có un +1 − 2013 = un − un + 4026
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un > 2013, ∀ n ∈ ¥ .
*
1
1
1
1
1
1
=
− 3
=
−
3
+ Từ (1) suy ra un +1 − 2013 un − 2013 un + 2013 ⇒ un + 2013 un − 2013 un +1 − 2013 .
n
1
1
1
1
1
vn = ∑
−
−
= 1−
÷=
uk +1 − 2013 u1 − 2013 uk +1 − 2013
uk +1 − 2013 .
k =1 uk − 2013
Do đó
+ Ta chứng minh lim un = +∞ .
un2 − 4026un + 20132 (un − 2013) 2
un +1 − un =
= 3
> 0, ∀n ∈ ¥ *
3
un − un + 4026
un − un + 4026
Thật vậy, ta có
.
Suy ra ( un ) là dãy tăng, ta có 2014 = u1 < u2 < ... .
a 4 + 20132
a= 3
Giả sử ( un ) bị chặn trên và lim un = a thì a > 2014 . Khi đó
a − a + 4026 .
⇒ a = 2013 < 2014 ( vô lí). Suy ra ( un ) không bị chặn trên, do đó lim un = +∞ .
Vậy lim vn = lim
Bài 14.
(1 −
1
) =1
uk +1 − 2013
.
Cho dãy số ( un )
u1 = 2013
un2+1
lim
2
*
2 2
2
xác định bởi: un +1 = un − 2, ∀ n ∈ ¥ . Tìm n →+∞ u1 .u2 ...un .
Hướng dẫn giải
1
u1 = a + , a > 1
- Vì u1 = 2013 > 2 nên đặt
a
.
Trang 12
Đặt
2
1
1
u2 = u − 2 = a + ÷ − 2 = a 2 + 2
a
a .
Ta có
2
1
Bằng quy nạp, ta chứng minh được.
n
u n +1 = a 2 +
1
a2
n
, ∀n ∈ ¥
.
- Xét.
1
i−1
ui = ∏ a 2 + 2i−1
∏
a
i =1
i =1
n
n
−1
1
1 n 2i−1
1
÷ = a − a ÷ a − a ÷∏ a + 2i−1
i =1
a
2
1 n 1
a − ÷ a 2 + 2n
2
u
a
a
⇒ 2 n2+1 2 =
2
u1 .u2 ...un
2n 1
a − 2n ÷
a
Bài 15.
−1
1 2n 1
=
a
−
÷ a + 2n ÷ 1.0
÷
a
a
÷
⇒ lim
2
2
un2+1
1
1
= a − ÷ = a + ÷ − 4 = 20132 − 4 1.0
2
2
2
n →+∞ u .u ...u
a
a
1 2
n
.
Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an +1 − 3an ) = 4 . Tính lim an .
Hướng dẫn giải
Đặt an = 2 + bn . Từ giả thiết suy ra lim (5bn +1 − 3bn ) = 0 .
Với số dương
5bn +1 − 3bn <
ε
bé tùy ý, tồn tại số
N sao cho với n > N thì ta có:.
ε
5 (1).
- Nếu bn +1.bn ≤ 0 thì từ (1) dẫn đến
5bn +1 + 3bn <
ε
⇒ bn < ε
5
.
- Xét trường hợp bn +1.bn > 0 hay bn +1 , bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.
. Nếu 2bn +1 − bn ≤ 0 thì kết hợp với (1):
Mà từ (1) ta có
3bn − 5bn +1 <
ε
5
3(2bn+1 − bn ) − bn+1 <
ε
ε
bn +1 <
5 dẫn đến
5.
⇒ b <ε
n
.
5
1
ε
(bn +1 − bn ) − bn <
2
5 dẫn đến bn < ε .
. Nếu 2bn +1 − bn > 0 thì kết hợp với (1): 2
Tóm lại luôn có bn < ε , hay lim(bn ) = 0 .
Vậy lim(an ) = 2 .
Trang 13
Bài 16.
(un ) xác
Cho dãy
định như sau:
n
n , đặt
nguyên dương
vn = ∑
i =1
1
u
2014
i
u1 = 3
và
un2015 + 2un + 4
un+1 = 2014
,
un − un + 6 n = 1, 2,3... .
Với mỗi số
vn
+ 4 . Tìm nlim
→ +∞
.
Hướng dẫn giải
Đặt
α = 2014 ta có
un +1 − 2 =
un2015 + 2un + 4
(un − 2)(unα + 4)
−
2
=
, (*)
un2014 − un + 6
(unα + 4) − (un − 2)
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được un > 3,
∀n > 1.
unα +1 + 2un + 4
(un − 2) 2
un+1 − un = α
− un = α
> 0, ∀un ≥ 3
u n − un + 6
un − un + 6
Xét
.
Do đó (un ) là dãy tăng và 3 = u1 < u2 < L < un < L .
aα +1 + a + 4
a= α
lim u = a
Giả sử (un ) bị chặn trên, suy ra n→ +∞ n
, a > 3 . Khi đó ta có
a − a + 6 ⇒ a = 2 < 3 (vô lí), suy ra
un = +∞
(un ) không bị chặn trên. Vậy nlim
→ +∞
.
1
1
1
1
1
1
=
− α
=
−
α
Từ (*) suy ra un +1 − 2 un − 2 un + 4 , hay un + 4 un − 2 u n+1 − 2 .
1
1
1
=
−
÷ = L = 1−
∑
2014
+ 4 i =1 ui − 2 ui +1 − 2
un+1 − 2 .
i =1 ui
n
vn = ∑
Vậy
n
1
lim vn = lim (1 −
n → +∞
Bài 17.
n → +∞
1
un +1 − 2
) =1
.
u1 = 3
3
được xác định bởi un+1 − 3un+1 = 2 + un , ∀n ≥ 1 . Chứng minh rằng dãy ( un )
Cho dãy số ( un )
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Dãy số ( un )
u1 = 3
3
được xác định bởi un +1 − 3un +1 = 2 + un , ∀n ≥ 1 .
Ta chứng minh un > 2, ∀n ≥ 1 .
Thật vậy ta có u1 = 3 > 2 .
Trang 14
Giả sử uk > 2, ∀k ≥ 1 , khi đó uk +1 − 3uk +1 = 2 + uk > 2 + 2 = 2 nên.
3
uk3+1 − 3uk +1 − 2 > 0 ⇔ ( uk +1 + 1) ( uk +1 − 2 ) > 0 ⇔ uk +1 > 2 .
2
Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un > 2, ∀n ≥ 1 .
Xét hàm số f ( t ) = t − 3t trên khoảng ( 2, + ∞ ) .
3
Ta có f ' ( t ) = 3t − 3 > 0, ∀ t > 2 .
2
Do đó hàm số f ( t ) đồng biến trên khoảng ( 2, + ∞ ) .
Mặt khác ta có u1 − 3u1 = 18 > 5 = u2 − 3u2
3
3
Giả sử uk > uk +1 ( k ≥ 1) ⇒
⇔ f ( u1 ) > f ( u2 ) ⇒ u1 > u2 .
2 + uk > 2 + uk +1 ⇔ uk3+1 − 3uk +1 > uk3+ 2 − 3uk + 2 .
⇒ f ( uk +1 ) > f ( uk + 2 ) ⇒ uk +1 > uk + 2 .
Do đó un > un +1 , ∀ n ≥ 1 ⇒ Dãy ( un ) là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy ( un ) có giới hạn hữu
hạn.
3
Giả sử lim un = a ( a ≥ 2 ) . Từ hệ thức truy hồi un +1 − 3un +1 = 2 + un chuyển qua giới hạn ta được:.
5
4
3
2
3
a 3 − 3a = 2 + a ⇔ ( a − 3a ) = 2 + a ⇔ ( a − 2 ) ( a + 2a − 2a − 4a + a + 1) = 0 .
2
(
)
⇔ ( a − 2 ) a 2 ( a 3 − 4 ) + 2a3 ( a − 1) + a + 1 = 0 ⇔ a = 2 ( a ≥ 2 )
.
Vậy lim un = 2 .
Bài 18.
( xn ) thỏa
Cho dãy số
n
Tìm:
x = xn .
mãn: x1 = 2015 và n +1
1
xi + 1 .
lim ∑
i =1
Hướng dẫn giải
* Ta có: xn > 0 ∀ n ∈ N .
*
xn +1
=
x
Và: n
* Đặt un =
(
)
2
xn + 1 > 0 ∀ n ∈ N *
⇒ ( xn ) là dãy số tăng.
xn .
Trang 15
(
)
xn + 1
2
( ∀n ∈ N )
*
(*).
⇒ un
*
xác định vì xn > 0 ∀ n ∈ N và un > 0 ∀ n ∈ N .
*
⇒ un +1 = xn +1 ⇒ xn +1 = un2+1 .
Nên từ giả thiết (*) ta có:.
un2+1 = un2 . ( un + 1) = ( un . ( un + 1) ) .
2
2
⇒ un+1 = un2 + un
∀ n ∈ N * (1).
* Xét dãy số ( un ) ta có:.
2
*
. un +1 − un = un > 0 ∀ n ∈ N ⇒ ( un ) tăng.
. Giả sử ( un ) có giới hạn là
a . Từ (1) ta có:.
a = a 2 + a ⇔ a = 0 (loại).
⇒ ( un )
tăng và không bị chặn ⇒ lim un = +∞ .
* Ta có:.
un2
u −u
u −u
1
=
= 2n +1 n = n +1 n = 1 − 1
2
un + 1 ( un + 1) un ( un + un ) .un un +1.un
un un +1 .
n
⇒
1
1
∑ u +1 = u
i1=1
i
1
−
1
u n +1 .
1
1
1
1
= lim −
÷=
2015 .
i =1 ui + 1
u1 un +1
n
⇒ lim ∑
n
Vậy:
lim ∑
Bài 19.
i =1
1
1
=
.
xi + 1
2015 .
u1 = 5
.
u
=
u
+
12
u
{
}
n
Cho dãy số n ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi: n +1
Chứng minh dãy số { un } có
giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:.
a ≥ 0
a = a + 12 ⇔ 2
⇒a=4
a
=
a
+
12
.
Nhận xét u1 = 5 .
Trang 16
u2 = u1 + 12 = 17 < u1 .
u3 = u2 + 12 =
17 + 12 < u2 ... .
Ta dự đoán dãy số { un } là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un ≥ 4 .
Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un ≥ 4 .
khi n = 1, u1 = 5 ≥ 4 vậy
n = 1 đúng.
Giả sử uk ≥ 4 , ta chứng minh: uk +1 ≥ 4 .
Thật vậy ta có:.
uk +1 = uk + 12 > 0 ⇔ uk2+1 = uk + 12 ⇔ uk2+1 − 12 = uk ≥ 4 ⇔ uk2+1 ≥ 16 ⇒ uk +1 ≥ 4 .
Vậy dãy số un bị chặn dưới.
Ta chứng minh dãy số { un } là dãy số giảm.
Ta có:.
un +1 − un = un + 12 − un =
− un2 + un + 12
un + 12 + un
⇔ un +1 − un =
−(un − 4)(un + 3)
un + 12 + un
Vậy dãy số { un } giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn.
Đặt lim un = a thì lim un +1 = a. .
Ta có:.
un +1 = un + 12 ⇔ lim un +1 = lim un + 12 ⇔ a = a + 12 ⇒ a = 4 .
Vậy lim un = 4. .
Bài 20.
Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi.
x1 = 2,1
xn − 2 + xn2 + 8 xn − 4
( *) , n = 1, 2,...
xn +1 =
2
.
n
Với mỗi số nguyên dương n, đặt
yn = ∑
i =1
1
x − 4 . Tìm lim yn .
2
i
Hướng dẫn giải
Ta có kết quả sau: với số thực a > 2 bất kì, ta có.
Trang 17
≤0
(vì un ≥ 4 ).
a− 2+
a + 8a − 4
2
>
2
a−2+
a + 4a + 4
2
2
=
a − 2 + ( a + 2)
2
=a
.
⇒ ( x ) là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn
Do đó 2,1 < x1 < x2 < ...
n
lim xn = L > 2 .
Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình.
x=
x− 2+
x + 8x − 4
2
⇔ x − 4 = ( x + 3) ( x − 2 )
2
2
.
phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2.
Suy ra dãy ( xn ) tăng và không bị chặn trên nên lim xn = +∞ .
xn +1 =
Ta có
xn − 2 +
xn + 8 xn − 4
2
2
⇔ 2 x n +1 − x n + 2 =
xn + 8 xn − 4
2
.
⇔ ( 2 xn + 1 − xn + 2 ) = x n + 8 xn − 4 ⇔ x n + 2 − 4 = ( xn + 3 ) ( xn − 2 ) .
2
⇔
⇔
1
xn − 2
=
1
xn +1 − 4
2
Suy ra
2
xn + 3
xn + 1 − 4
=
1
xn − 2
xn + 2 + 1
=
2
−
xn + 1 − 4
2
1
xn + 1 − 2
+
1
xn + 1 − 4 .
2
xn +1 − 2 .
1
i =1
xi − 4
2
=
1
n
yn = ∑
2
=
1
x1 − 2
−
1
x n +1 − 2
= 10 −
1
xn+ 1 − 2 .
Vậy lim yn = 10 .
Bài 21.
2
Cho dãy số ( xn ) được xác định bởi x1 = 2016, xn +1 = xn − xn + 1, n = 1, 2,3,... .
a)Chứng minh rằng ( xn ) tăng và lim xn = +∞ .
1 1
1
yn = 2016 + + ... + ÷.
xn Tính lim yn . .
x1 x2
b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt
Hướng dẫn giải
2
a)Ta có xn +1 − xn = xn − 2 xn + 1 = ( xn − 1) ≥ 0 ⇒ xn +1 ≥ xn , ∀ n ≥ 1. Do đó ( xn ) tăng.
2
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn > n + 1, ∀n ≥ 1 (1).
Thật vậy, (1) đúng với
xn +1 = xn ( xn − 1) + 1 > n ( n + 1) + 1 = n 2 + n + 1 > n + 2 .
Trang 18
n = 1 .Giả sử (1) đúng với n (n > 1) thì.
Vậy (1) đúng với mọi n. Từ ( xn ) tăng ngặt và xn > n + 1, ∀n ≥ 1 suy ra lim xn = +∞ . .
1
b)Ta có xn +1 − 1 = xn ( xn − 1) . Suy ra xn +1 − 1
=
1
1
1
=
−
xn ( xn − 1) xn − 1 xn .
1
1
1
=
−
Từ đó xn xn − 1 xn +1 − 1 .
1 1
1
1
1
1
1
⇒ yn = 2016 + + ... + ÷ = 2016
−
−
÷ = 2016
÷
xn
x1 x2
x1 − 1 xn +1 − 1
2015 xn +1 − 1 .
Từ
lim xn = +∞ ⇒ lim
Bài 22.
1
2016
=0
lim yn =
.
xn
. Vậy
2015 .
1 2 1
1
2
2
∞
a
=
sin1
+
2
sin
+
3
sin
+
...
+
n
sin
∀n ≥ 1
n
Cho dãy ( an ) n =1 :
2
3
n
. Chứng minh dãy
hội tụ và tính
lim
an
n2 .
Hướng dẫn giải
1
x > sin x > x − x 3∀ x > 0
Bổ đề 1:
6
.
1 1
1
1 + + + ... +
n =0
lim 2 3
Bổ đề 2:
.
n
Đặt
xn = n 2 sin
1
1
1 1 1
1
> sin > − 3 ⇒ k > xk > k −
n . Áp dụng bổ đề 1: k
k k 6k
6k .
1 1
1
⇒ 1 + 2 + ... + n > an > 1 + 2 + ... + n − 1 + + ... + ÷
6 2
n.
1
1
1 + + ... +
1 an 1
> 2> − 2 2 n
2
Chia các vế cho n : 2 n
.
2
6n
Cho
n → ∞ , và lấy giới hạn, suy ra
Bài 23.
Cho dãy số
u1 = 2, un +1
lim
an 1
= .
n2 2 .
( n + 1)
=
2
un + 1
∀n ≥ 1
un
. Tính giới hạn n → +∞ n .
Hướng dẫn giải
Trang 19
lim
∞
an
2÷
n n=1
n2
≤ un ≤ n + 1 , ∀n ≥ 1
Ta chứng minh quy nạp n + 1
.
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 .
( k + 1) ≤ u ≤ k + 2
k2
≤ uk ≤ k + 1, k ≥ 1
k +1
Giả sử đã có k + 1
. Ta chứng minh k + 2
.
2
(k + 1) 2 ( k + 1)
uk ≤ k + 1 ⇒ uk +1 =
≥
u
+
1
k+2 .
Thật vậy:
k
2
k2
(k + 1) 2 ( k + 1)
1
uk ≥
⇒ uk +1 =
≤ 2
= k + 2− 2
≤ k + 2.
k
k +1
uk + 1
k + k +1
+1
.
k +1
2
u
n2
≤ un ≤ n + 1, ∀n ≥ 1 ⇒ lim n = 1
n →+∞ n
Vậy ta có n + 1
.
Bài 24.
x1 = α
n+3
2
2 x n +1 = 3x n +
x
n
Cho α > 2 và dãy số n với:
( )
(n ∈ N )
*
.
*
a) Chứng minh: x n > 1 với ∀ n ∈ N .
b) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
*
Ta chứng minh x n > 1 với ∀ n ∈ N bằng quy nạp.
Ta có: x 1 = α nên x 1 > 1 .
*
Giả sử: x k > 1 với k ∈ N .
n+3
n +1
3x 2n +
>2
>1
n
Ta có: 3x > 3 và n
nên
. Suyra: x n +1 > 1 .
2
k
*
Vậy x n > 1 với ∀ n ∈ N .
Ta chứng minh
Vì
( xn ) là dãy giảm bằng quy nạp.
α > 2 nên 3α 2 + 4 < 2α .Ta có x 2 < x 1 .
n +1
2
2
Giả sử: x k +1 < x k . Ta có: 3 x k +1 < 3x k và f ( n ) = n là hàm nghịch biến nên:.
Trang 20
3x 2k +1 +
k+4
k+3
< 3x 2k +
k +1
k .
Suy ra: x k + 2 < x k +1 . Vậy
( xn ) là dãy giảm.
( xn ) lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.
2
Đặt lim x n = α .Ta có 2α = 3α + 1 ⇔ α = 1 . ( xn )
x1 = 1
*
*
3 xn + 4 (n ∈ N ) ( un ) un = x2 n −1 ( n ∈ N )
x
=
n +1 x + 1
n
Vậy lim x n = 1 .
Bài 25.
Cho dãy số ( un )
u1 = 2011
n
2 un +1 = 2 n un − 1 , n ∈ N *
được xác định:
.
Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Ta có
2 n un +1 = 2 n.un − 1 ⇔ un +1 = un −
Chứng minh : un > 2
1– n
*với
1
2n .
(bằng quy nạp).
n = 1 ta có u1 = 2011 > 2 .
0
*Giả sử uk > 2
1– k
(với
k > 1 ).
*Cần chứng minh : uk +1 > 2 .
–k
Ta có
uk +1 = uk − 2 − k > 21− k − 2 − k = 2 − k . Suy ra điều phải chứng minh.
Từ đó ta có un – 2
–n
> 0 với mọi n
⇒ u n +1 = u n −
1
2n .
1
1
1
1
u2 = u1 − ; u3 = u2 − 2 ; u4 = u3 − 3 ;...; un = un −1 − n −1
Ta có
2
2
2
2 .
1
1 1 1
⇒ un = u1 − + 2 + 3 + ... + n −1
2 .
2 2 2
1
1−
1
2
un = 2011 − .
1
2
Công thức tổng quát :
2
n −1
1
= 2011 − 1 +
2
Trang 21
n −1
.
.
Vậy
lim un = 2010 .
u1 = a
1 2 2013
u
=
un +
un , ∀ n ∈ Ν ∗
n
+
1
a
∈
0;1
u
(
)
(
)
2014
2014
Cho số thực
, xét dãy số n với:
.
Bài 26.
∗
a) Chứng minh rằng: 0 < un < 1, ∀ n ∈ Ν .
b) Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh: 0 < un < 1, ∀ n ∈ Ν ( 1) .
∗
n = 1: u1 = a ∈ ( 0;1) ⇒ ( 1) đúng với n=1.
Giả sử 0 < uk < 1 với ∀ k ≥ 1, k ∈ Ν . Ta có:
0 < uk < 1 ⇒ 0 <
⇒ 0<
0 < uk2 < 1 ⇒ 0 <
1 2
1
uk <
2014
2014 .
2013
2013
uk <
2014
2014 .
1 2 2013
uk +
uk < 1 ⇒ 0 < u < 1
k +1
2014
2014
.
∗
Vậy: 0 < un < 1, ∀ n ∈ Ν .
b) Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Ta chứng minh: ( un ) là dãy tăng.
∀ n ∈ Ν ∗ , u n +1 − u n =
(
)(
)
1 2 2013
1
un +
un − un =
un − un un + un − 2013 > 0
2014
2014
2014
.
⇒ un +1 > un , ∀ n ∈ Ν ∗ hay ( un ) là dãy tăng.(2).
Từ (1),(2) suy ra ( un ) có giới hạn hữu hạn.Giả sử ( un ) có giới hạn là a, ( o < a ≤ 1) .
Ta có:
Bài 27.
a=
1 2 2013
a +
a ⇔ a =1
2014
2014
. Vậy lim un = 1 .
3
u
=
1
2
u = 1 u 3 − 2 , ∀ n ∈ N ∗
n +1
n
3
3
Cho dãy số(un) xác định như sau:
.
Trang 22
∗
a) Chứng minh rằng: − 1 < un < 2, ∀ n ∈ Ν .
b) Chứng minh rằng ( un ) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
a) Với:
n = 1: u1 =
3
⇒ ( 1)
2
đúng với n=1.
Giả sử: − 1 < uk < 2 với ∀ k ≥ 1, k ∈ Ν .
1
8 1
uk +1 − 2 = uk3 − = ( uk − 2 ) ( uk2 + 2uk + 4 ) < 0 ⇒ uk +1 < 2
Ta có:
3
3 3
.
uk +1 + 1 =
1 3
( uk + 1) > 0 ⇒ uk +1 > −1 .
3
⇒ − 1 < uk +1 < 2 . Vậy: − 1 < un < 2, ∀ n ∈ Ν ∗ .
b)
∀ n ∈ Ν ∗ , u n +1 − un =
1
2
( un + 1) ( un − 2 ) < 0 ⇒ u < u , ∀ n ∈ Ν ∗
n +1
n
3
hay ( un ) là dãy giảm (2).
Từ (1),(2) suy ra ( un ) có giới hạn hữu hạn.
Gọi
a
là giới hạn của ( un ) , − 1 ≤
a < 2.
1
2
a = a3 − ⇔ a = 1
Ta có
3
3
. Vậy lim un = − 1 .
Bài 28.
( un )
Cho dãy số
xác định bởi:
u1 = 1; un +1 =
un2
+ un , n ∈ N *
. Tìm giới hạn sau:
2015
u u
u
lim 1 + 2 + ... + n ÷
n →+∞ u
u n +1 .
2 u3
Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có:
un +1 − un =
1
un
1
un2
= 2015 −
÷
u n u n +1 .
2015 . Suy ra: un +1
1
u
u1 u2
1
1
+ + ... + k = 2015 −
÷ = 2015 1 −
÷
u k +1
u1 uk +1
uk + 1
Ta có: u2 u3
Ta có ( un ) là dãy đơn điệu tăng và u1 = 1 .
Nếu
lim un = α
n → +∞
thì
α=
α2
+α ⇒ α = 0
.
2015
Trang 23
.
( vô lí vì ( un ) là dãy đơn điệu tăng và u1 = 1 ).
Suy ra:
lim un = +∞
n → +∞
.
u u
u
lim 1 + 2 + ... + n ÷ = 2015
n →+∞ u
un +1
2 u3
Kết luận:
.
Bài 29.
u1 = 2013
n∈ N* )
(
2
u
Cho dãy số ( n ) xác định bởi un − 2un .un +1 + 2013 = 0
. Chứng minh rằng dãy (un) có
giới hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un +1 = un + 2013 .
2
Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n.
Do đó ta có:.
un =
un−12 + 2013 1
2013
2013
= un −1 +
= 2013, ∀ n ≥ 1
÷ ≥ un .
2un −1
2
un −1
un
.
Mặt khác ta có :.
un +1 un 2 + 2013 1 2013 1 1
=
= +
≤ + =1
un
2un 2
2 2un 2 2 2 .
(un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi
2013 , do đó (un) có giới hạn hữu hạn.
Đặt lim un = a .
a 2 + 2013
a=
⇒ a = 2013 . Vậy lim un = 2013 .
Ta có :
2a
Bài 30.
Cho dãy số ( xn ) xác định bởi:
a) Chứng minh rằng
lim xn = +∞
n → +∞
x1 = 4, xn +1 =
xn4 + 9
, ∀n ∈ ¥ *
3
xn − xn + 6
.
;.
n
b) Với mỗi số nguyên dương
n , đặt
1
k =1 x + 3 . Tính lim yn .
yn = ∑
3
k
Hướng dẫn giải
( xn − 3) ( xn3 + 3)
xn4 + 9
xn +1 − 3 = 3
= 3
( *)
x
−
x
+
6
x
+
3
−
x
−
3
(
)
(
)
n
n
n
n
a) Xét
.
Trang 24
Bằng quy nạp chứng minh được xn > 3, ∀n ≥ 1 .
xn4 + 9
xn2 − 6 xn + 9
xn +1 − xn = 3
− xn = 3
xn − xn + 6
xn − xn + 6 .
Xét
⇒ xn +1 − xn =
( xn − 3)
2
x − xn + 6
3
n
> 0, ∀n ∈ ¥ *
.
Do đó ( xn ) là dãy tăng và 4 = x1 < x2 < x3 < ... .
Giả sử ( xn ) bị chặn trên ⇒ lim xn = a .
Do đó:
a=
a4 + 9
⇒ a = 3< 4
(vô lý). Suy ra ( xn ) không bị chặn trên. Vậy lim xn = +∞ .
a3 − a + 6
1
b) Từ (*), suy ra: xn +1 − 3
=
1
1
1
1
1
− 3
⇒ 3
=
−
xn − 3 xn + 3 xn + 3 xn − 3 xn +1 − 3 .
n
1
1
1
1
=
−
÷ = 1−
∑
3
xk +1 − 3
xn+1 − 3 .
k =1 xk + 3
k =1 xk − 3
n
Suy ra:
yn = ∑
1
lim yn = lim 1 −
÷= 1
xn +1 − 3 .
Vậy
Bài 31.
x1 = 1
xn2014
x12014 x22014
xn2015
un =
+
+ ... +
+ xn
xn +1 =
x2
x3
xn +1 .
2015
Cho dãy số
. Tìm giới hạn của dãy số un với
Hướng dẫn giải
xn2015
xn2015
xn+1 − xn
xn2015
xn +1 =
+ xn ⇔ xn +1 − xn =
⇔
=
2015
2015
xn +1 xn
2015 xn+1 xn .
1
xn2014
1
1
1 xn2014
⇔ −
=
⇔ 2015 −
÷=
xn xn +1 2015 xn+1
xn xn +1 xn +1 .
1
un = 2015 1 −
÷
xn +1 .
Từ đó
Dễ thấy ( xn ) là dãy tăng và 1 = x1 < x2 < x3 < ... .
Giả sử ( xn ) bị chặn trên ⇒ lim xn = a .
Trang 25
