Giới hạn của dãy số (bồi dưỡng HSG) 2017
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (15.33 MB, 69 trang )
WWW.VIETMATHS.COM
WWW.VIETMATHS.COM
Gioi han cua
dãy sô ( bôi
dưỡng HSG
§2. GIỚI HẠN CUA DAY SO
1. Dãy số {z„} gọi là có giới hạn bằng ⁄ khi „—> +œ và kí hiệu là
L=
lim u, =a,
n>+o
nếu như với mọi £ >0, tồn tại số nguyên duong n, sao cho với mọi ? > mạ, ta có :_
H„ —d|<£.
2. Giả sử tồn tại
lim
?#”+œ
u, =a;
.
lim
#n+œ
v„=b,
thi:
a) lim (u,+v,)= lim „+ lim v,=ath;
n—>+00
b)
n-»>+o0
lim (u,-v, ) =
n-> +0
lim u,. lim v, =ab;
n-»+œ
n->+œ
n+
u
lim u,
a
lim -*#=”ˆ”—=
c)Néu b#0, thi
FO
3. Nếu u, Sv,, Vn
y,
lim
n>+0
v,
5b
Và tồn tại :
a=
lim
n> +00
u,; b=
lim
n~»+œ
v,,thi a
4. a) Nếu {u,} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M, thì tồn tại giới
hạn hữu hạn :
L= n>lim+00 w„ và L
b) Néu {u,} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi m, thì tồn tại giới hạn
hữu hạn :
L=
4
lim u,, va L2m.
n->+œ
5. (Nguyên lí kẹp").
Néu v,
nN
Wn va tén tại các giới hạn hữu hạn`
lim v,,
n->+©
lim w,,.
n-+œ
lim v, = lim w, =a.
>+o0
Khiđó
n>+oœ
lim
n—>+œ
u, =a.
15
Chương 2.-
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
BÀII. — Xét dãy số {z„} xác định như sau:
Chứng minh rằng dãy {u„} có giới hạn và hãy tim lim uw,.
n-po
Bài giải
Ta có
:
i
Hạ
Hy)
+
=u,
2
-M“
3+„„
=
=!
+3u,
+]
=
3+H,
(1)
*
với moi n=0, 1, 2, ...
Bay gid ta ching minh rang u, >
(2) được chứng minh bằng quy nạp như sau :
- Với n=0, thì „y =1; với ø =1, thì
=—
Từ đó dễ dàng suy ra (2) đúng khi ø = 0 và n = Ì.
— Giả sử kết luận (2) đã đúng đến n=k,
Khi đó :
84
3+
>
-3+2/5
2
+3=
tite u, >
345
2
-3+J5
2
*
(2)
Vậy (2) cũng đúng với k+l.
mọi n. Vi u, > -3+⁄5
3+u, >0
Do
u, >
Theo nguyên lí quy nạp suy ra (2) đúng với
với moi n, nén 3+u, > HH,
tức là
véi moi n=0, 1, 2,...
-3+5
(theo (2)), nén theo dinh li thuan về dấu tam thức bậc
hai, thì :
d2 +3, +1>0 với mọi n=0, 1, 2,...
Vậy từ (1) có u, >u„.¡ với mọi ø, nghĩa là {u,} 1a day đơn điệu giảm và bị
chặn dưới bởi l
=3
2
Suy ra tồn tại giới hạn của {z„} khi noo, va dat:
lim w„ = x.
no
Ti u, =
©
và lay gidi han 2 vé khi n 3.0, tacé:
n-|
‘
.
-1
n~»œ
3+ lim u,_,
#
: lm w¿=———————
ha
.
no
x=
y
-1
3+x
Ẳ©x3 Ì+3x+l=0.
Dé y rang u, >
gees
`
với mọi n, nén x= lim u, >= =
Sa
(3)
(4)
Bây giờ từ (3), (4) đi đến :
:
lim w„ =
n->o
-3+v5
2.
.
85
BÀI2.
Day s6 {z„} xác định như sau:
„<1
3
tu
1
n+l = 5!
Hãy tìm giới hạn sau : L=
;n=1,2,...
-
lim u,.
n—>+œ
Bài giải
Ta thấy với mọi n>2, thì -1
a?
a=——-1e
-
a? —2a-2=0.
Do -l<as0>a=1-V3.
Xét hiệu sau đây :
torts) = [4-1] (0-8)
— 4#HE#-]
l¿ 0-7
2
2
_=2lw~(I=M3)
Do u, <0 va 1-V3 <0, nén:
u, +(1-V3)|=
u, +(1-V3)].
|
Hạ
+h — V3
| =|s4|+V5~1<5 (đo Jz|<1)
=>
86
Unst (1-3) <2 fu, (¡|
(*)
Lap lai bất đẳng thức (*) m lần ta đi đến :
(BY --V<( BY.
tas
2
Đời -t-v8]<| SE} vn=k2...
Như thế ta có: 0 <|u
Dolà
lim
nate
(85)
=0
nên theo "nguyên lí kẹp" suy ra :
lim (u,, -á-48))-6
n-»+œ
hay
- lìm w = lim) Ung =1n>+0
BÀI 3.
n—>+0
Xét các nụ SỐ với SỐ hạng
1) u, =14+4—=
5
2) U, -i
J'
Bt
21"
ms quát như sau:
-2Vn, VneN
+
1... ac,
nì
3) „<(+J)f+.)›
1
27)
3.
VneNĐ
\
Gc
+)
on
VneNĐ.
Chứng minh rằng các dãy số trên đều có giới hạn hữu hạn
rit
1. Ta có : u,, ~4=(1 Be + i
{ tư
—
~jn+1)-
nrựy nh]= y7 2dnt1rajh
“Tu 2n
_vn+itvn-2Vvn+1 =
=
lim u,.
Vn+i(vn+t+vn)
=
JSnai(Vnvi+Vn)
<0
=> Uy)
Dễ thấy :
1
Sis Vi = mee ce
Trong (1) lần lượt thay È = 1, 2,..., +1
_
>22-2I
5
ta có :
1
eee
pin > an
n+l
-2Vn+1
Cong từng vế các bất đẳng thức trên, ta có :
1
1
l+—=+--+—=+
”
ị
©l+-=+...+—=
%
re
1
vs
Ten
T7 2Nn+1>2Vn+2~2jn+1~2
1
.
-2ln+l>2————=-2>-2
=u, >-2, Vn=0, 1, 2...
Vnt+2+Vn+1
Nhu vay day {u,} bi chặn dưới bởi —2. Theo nguyên lí giới hạn, tổn tại giới
hạn hữu hạn
lim Hạ.
note,
Đó là đ.p.c.m.
2. R6 rang u,,, >u,, vay {u„} là dãy đơn điệu tăng. Ta chứng minh rằng
u, <2, WneN.
:
|
(2)
| Thật vậy (2) đúng khi ø =1 và z =2 lao th =L=I; Hy -t+t=3]
1!
Chi
y 1a:
|
3!=2.3>27,
4!=2.3.4>2?
_nl=2.3.4...n>
21
88
I!
2!
2
va
tu
Do
1
1
]!,
21
=o tpt
11
1+—+—
2
; 2
1
1
1
1
n
2
22
23
1
+ —
1
+--+
2”
,
1
1727
1).
p2—Bna[1-4) <2-94,
ji
2”
2
han
(
2m
*
|
<2, vneN,
,
Day {u,} 1a don diéu tang và bị chặn trên bởi 2. Suy ra tôn tại giới hạn hữu
lim u,. Dé 1a d.p.c.m.
n»+œ
3. Ta sử dụng kết quả đã biết sau : "Nếu z là số hữu tỉ đương, thì l+r <3",
Xét dãy u„ -(1+ a )(1+ n° (+2)
I!
2!
n!
R6 rang {u,} 1a day đơn điệu tăng. Theo nhận xét trên ta có :
1
+
1+— <3!
JL!
-
14
2!
<32!
.
1+-L <3"
.
I
n!
Nhân các bất đẳng thức trên vế theo ye, ta đi đến
u, <3
Tay
t
2!....“! (do mọi thừa số đều dương)
Áp dụng các tính tốnn trong
phần 2, ta đi đến:
H„< 3?=0,
. Vậy dãy {u,} bị chặn trên bởi 9. Theo nguyên lí giới hạn suy ra tồn tại giới
hạn hữu hạn
lim
n—+œ
w„. -
Đó là đ.p.c.m.
89
)
Vậy u,
Do
hạn
—
nate.
It. 2!
tated
2
. Ị tepid
n2
2
2
2
2
15.
1
2ml
_
¬ =—2=2ÍI-;]<2=w
ii
2
2"
(*)
|
<2, VneN.
Dãy {u } là đơn điệu tăng và bi chặn trên bởi 2. Suy ra tồn tại giới hạn hữu
lim u,. D6 1a d.p.c.m.
n>+œ
3. Ta sử dụng kết quả đã biết sau : "Nếu r là số hữu tỉ duong, thi 1+r-<3”",
Xét day u, “(ởA )(+z}-(144))
I!
n!
2!
R6 rang {u,} 14 day đơn điệu tăng. Theo nhận xét trên ta có :
1
4
1
+
I+—<3"
v1!
1+— <3?!
2!
1+-L <3"
1
nỉ
Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta đi đến
1
a
w, <3!" ?! "5" (do mọi thừa số đêu dương)
Áp dụng
các tính toán trong phần 2, ta đi đến:
u„ <3” =9,
. Vậy dãy {u„} bị chặn trên bởi 9. Theo nguyên lí giới hạn suy ra tồn tại giới
hạn hữu hạn
lim u,.
n~>+œ
Đó là đ.p.c.m.
89
BÀI4.
— Dấy số {z„} xác định như sau :
u, =1
Hi
Tìm giới hạn sau:
2
“+,
2005
¡ với n= TL, 2,...
lim [Heat
motel
Uy
Ug
a
na,
}
-_ Bài giải
.
y2
Uns}
2005
)sv6ines 2,0.
° =2005{ J.
hay
= Ì, 2,...
; VỚI
=——”—
— H„
Từ hệ thức đã cho, ta có : w„.¡
Uu,
Hàn
Trong đẳng thức trên lần lượt cho n=1, 2,...,k rồi cộng k đẳng thức trên
vế theo vế, ta có :
Mtge
Hy
Uy
He = 2008{
l )=2005{1-
Ug]
Uy
Uy
-—
I }
Mười
~
()
Theo cơng thức xác định dãy {u,}, hiển nhiên ta có :
Ì=uM,
1. Nếu {u,} bị chặn trên. Theo nguyên lí giới hạn, tồn tại giới han hữu hạn :
a=
lim
n—+œ®
Hạ:
2
Từ #„.¡ = so sp
sau khi lấy giới hạn (với ø => +œ`), ta có phương trình :
2
2005
=>a=0.
90
+a
Đó là điêu vơ Ii vi {u,} là đấy đơn điệu tăng và „ =1.
2. Nếu {u„Ì khơng bị chặn trên. Do {„} là dãy đơn điệu tăng, nên ta có :
lim
n->+o0
w„ =+œ.
Vì thế từ (1) có: lim [iif
k>+0\
BAIS.
by
Mạ
200s
Ug
Day s6 {u,} thoả mãn các điều kiện sau :
0<, <1
Una,
(1- k n)>
1
a
với moi n=1, 2, ... Tim giới hạn sau: L=
lim u,
n>+œ
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Có- -s¡ cho hai số &
giả thiết ta có: ”„ +(L—,)>2 (áo
u,,,; Và 1—u,„ và kết hợp với
(1-u,) >22=I
—= „Vi >H„, Vn=ÏT, 2,...
Vay {u,} là day đơn điệu tăng. Ngoài ra theo giả thiết thứ nhất thì {u,} bi
chặn trên bởi 1. Vậy theo nguyên lí giới hạn, tồn tại giới hạn hữu hạn
L=
Do
lim
n>+0
u,.
My (Im t,) >, Wn 1 2,...
1
=> lim [ Uy, (1-u wl?
n-»+œ
1
LU-L)2— 4
=L(~L)
2
¬[r-;]
2
Vậy
a
<0=L=+.
2
lim u, ==
n->+œ
91
BÀI 6.
Dãy số {u,}, véi moin=1, 2,... xác định như sau :
a
Hạ
+ =1+uuy...u, 3 Vi moin=1, 2,...
Dat $=S
k=l
Tìm
Mu
lim S,.
n->+œ
Bài giải
TY u,,, =l+u,u,...u,
voi i=1, 2,... suy ra:
Uj, ~L= UU, ..U; = H, (M2 .... H, _ +1-1)
Uj,
hay
1 =; (u, -1) véi mọi i= 1, 2,...
Theo cách xác định dãy và w; = l, nên hiển nhiên ta có :
u, >1, Vi=2, 3,...
Từ cách lập luận trên suy ra :
:
=
MT
Vì thế
:
M(M —1)
=
|
§Q=S-O=-—+
kate
1
=——
<
My
1
uy —1
1
_
k=2\M,—1
1
uy
ZanUy
1
a
4,
`
My
+
- J6 Vi=2,3,...
;—1
Hi -Ì
1
Uns
— 1
q)
Do uw, =1; 4 =1+u, =2, nên từ (1),
ta có :
|
_Từ(2)điđến
§=2-———.
.
lim §,=2-
n>+0
Ung
lim
A>tOU
— 1
—]
Vì „uy — Í= MịM;....Hựy > tị (i+u,)"" =2"!
nén
92
Him (Hn —1)= +400,
(2)
(3)
Vì lẽ ấy từ (3) có :
lim §„ =2...
n—y+œ
Chú ý : 1. Do uy =1
+
; uy =T+ mức =1+u(L+im,)>
+,
Tương tự có u, >1+u
Vw=2,3,... Vì thế mư,...ư„ >(I+,)"”
2. Ta có bài toán tương tự sau :
Dãy số {u,} ;n= 1, 2, ...dugc xác định như sau :
u, =1
Ụ NI =/4, (u, +1)(u, +2)(u, +3)+1; n=], 2,...
m
(n=1, 2,...)
+2
Tìm giới hạn lim v'.
Hào
0
.Ta có :
“=
(u 2 +3u, )(u2 +3u, +2)+I
a
=
(„2 +3„,+1}
(1)
Để ý rằng từ cách xác định đấy suy ra w„ >0 với mọi n, do đó từ (1 có
đụ, =u
+ 3u, +1
Uy, +1=(u,+1)(u, +2)
hay
=
vilgds
ut)
1
(u, +1)(u, +2)
td
u,+1
|
Do đó :
_
ay, S Xu, +1 a ‘i+l mỊ |
v __
i
uy+1
uy, tl
1
=——
2 m„¡+Ì
Si,
u,+2
&
Te u,,) =u,
2
+3u, +1 suy ra u,,, >3u,
2
2)
‘
93
Kết hợp với w =1 ta có w„ >3”'” với mọi n
Do đó
=0
lim
novo
Mười +
Kết hợp với (2) suy ra lịm v„ = ;
nwo
BÀI7.
Gidsit a>b>0. Lap hai day s6 sau day {u,}, {v,}:
uj =a;v,=b;
4
_U, tv,
n+)
2
¬
2’
Chimg minh rang
2H„V„
net
~
với
U, + V,
n=l,
2
lim u, = fim V„ = Jab.
n—>+œ
N+
Bài giải
-Từ cách xác định dãy ta suy ra với mọi ø = Ì, 2,... thì „,¡V„.¡ = M„V„.
Vì lẽ đó với mọi ø = l, 2,..., thì u,v, =ab.
|
(1)
Bây giờ ta chứng minh rằng với mọi n= Ï, 2,..., thì
„ —|B,,
es (ty
u, +4]
(2)
a+ Jab
Thật vậy:
gil
~ Với n=1, thì^
ay
«ae
2
ca
a+VJab
Vay (2) ding khi n=1.
— Giả sử (2) đã đúng đến ø.
~ Xét với n+1. Theo cách xác định dãy và sử dụng (1), ta có :
_w
Yrs
~ V4 nts
Una
tna
Yaa
+V
2
>.
—
Un
2
Vn
fn¥n
uv
non
`
_(W%-⁄}
(fu
n
+
(8)
2
n
/ damit }
H„
94
+x|H„V
~
Ni
Yn
+
|
©
Từ (3) và theo giả thiết quy nạp (xem (2)), ta có :
2"
M att Vn
Hư
TA
Vast
-(4
ie
=
nVz¿i
(4)
a+xlab
Từ (4) suy ra (2) đúng với mọi ø = Í, 2,...
Do z>b >0, nên w +vị >0, vì thế:
U, =1⁄L—¬ >0 và Vv, = 2w
|
=
Utv,
2h
> 0.
uty,
Từ đó bằng quy nap dé dang suy ra u, > 0, v, > 0 véi moi n=1, 2,...
‹
Unsl
Ta có ‘
=
(u,
Vie
=
2U,V,
u,+v,
uty,
2
Vụ ý —4u,v,
2(u,+v,)
=
(u, —
Ỷ
;
>0
2(u, +v, )
(do u,+v, >0, Vn).
Nói cách khác „„ > v„ với mọi n =1,2,...
Ta có „ =-
_¬
—
(5)
(do v,
= Uy < Uy.
Từ đó kết hợp với (5) và dùng quy nạp suy ra {u,} la day don diéu giam.
Mat khéc day nay bi chặn đưới bởi 0, vì thế tồn tại giới hạn hữu hạn
i, = lim u,.
n>+0
|
(6)
Do u,v, =ab véi moi n, ma {u,} 1a day don diéu giam, nén {v, }- 1a day
don diéu tang (chú ý u, >0, v, >0, Vn).
Do u,v, >v? (vi u, >v,),nén v,
I,= n+œ
lim vụ.
|
(2)
95
Do
2"
a—2b
<1, nên
at+Jab
im
|
n—œ
=0.
Từ đó theo (2) suy ra: lim [aie
ye =0, hay lim (u,-Vab)=0.
n5
Mà TAJH„V,
Vì lẽ đó dẫn dén lim u,=Vab.
nro
.
ao
|
(8)
nok
t
2u,v
Từ công thức xác định dẫy : v„., =————,
u,+v,
;
"kết hợp với (6) và (7), suy ra :
l= nto
lim v,,,=2
lim
15 =2-12_,
©
A>tOUu +V,
bth
|
(9)
Do /, = lim u, = Jab (xem @), nên từừ (9) có:
nooo
` 2b Jab
`
:
Rõ ràng
b >b>0
(10)
|, +Vab-
(vi b=v,
I, +Vab =2Vab
=> 1, = Jab.
Tóm lại ta có: n->+œ
lim u,= n—>t+o
lim v, =Vab.
Đó là đ.p.c.m.
BAI8. — Cho trước 3 số ø, b,c. Xác định 3 day {z„}, {v„}, {w„} như sau :
Mu, =a;vịạ=b;
H
wị=C
Vv, tw,
n+]
=——;YV
2
_W,th,
2
"n+l
=
.
H„
+
(khi ø =1, 2,...).
n
96
Tìm các giới hạn sau:
lim u,;
n+œ
lim v, ; lim w,.
¡n¬+œ
Nn >to
Bai gidi
Từ cách xác định dãy suy ra với mọi n = 1, 2, ..., thi:
Uns}
+W,4) =U, tv, +W,-
+ Vài
(1)
Vì m =đ; vị =b; wị =c, nên từ (1) suy ra với mọi øị = l, 2,... thì
u, tv, +w, =atbte.
. Mu—V
nr
Ta CĨ .: Hài —_ Vy —_
=
2
my
(2)
n
Vì lẽ đó suy ra w„.¡ — Vu. [;)
(m —v,)
mata (Her
Từ đó ta đi đến hệ thức sau :
lim (4, —v,)=0.
Hoàn toàn tương tự, có:
(3)
_
lim (v,—w„)=0 ˆ
im
(w, » M„
(4)
=0.
|
@G)
Mặt khác theo (1), thì :
a+b+c
Hạ —
=u,
_
—
M„+Vv„+W,
3
Từ đó có :
0<|„_-#†?+c
=
|2„—v, —w, |
1
3
3
1]
Tir (3), (5), (6) và theo "ngun li kep", suy ra:
lim Ẹ
.
|
3
+
H„ —W, |
3
|
(6)
|
=“a_.
đ~»+œ
hay
«| | 3
[Mea Ye] , Man
3.
|u„ —v,
=
3
.
a+b+c
Rt
3
lim u, =
.
(7)
Bây giờ từ (3), (4), (Š) và (7) ta có :
.
lim u,=
n>+œ
7-CDBDHSG...VE DAY S6-A
.
lim v,=
n~+œ
na
lim w, =
n->+©œ
a+b+c
3
.
97
BÀI 9.
. Cho trước ba số dương 4, b, c. Xác định ba dãy số {u,}, {v,}, {w„}
như sau :
uy =a;v,=b;w,=c
Mua
=
NYnWp
> Vag
=
VW,
> Was
=
VnYn
;H=
1, 2,
°“
Tìm các giới hạn sau :` lim „„, lim v,, lim w„.
n+œ
n>+œ
n-y+œ
~
Bài giải
Dễ dàng thấy rằng với mọi ø = Ì, 2,..., ta có :
(1)
H„V„W„ = dc.
Theo cách xác định dãy, thì : “HH = l2)
"
Từ đó dễ dàng đi đến hệ thức sau : “#1. = ụ
a
hay
Mo
n+l
n
Do
lim
n~»+œ
(--)
:
=0
và z>0, b>0,
;
nên ta có :
¬..Ấ
lim —#+ =1.
(2)
AHO
Lap ludn hoan toan tuong tu, va cé:
lim
mn+œ
oy
_
WwW
th = lim —##L =1.
Wrst
n+œ
.
. (3)
Uns)
Mặt khác dễ thấy từ(l) Up
Yabc
98
yn
3Ju,v,W;,
Mn
v,
VW,
(4)
7-CDBDHSG...VE DAY S6-B
Từ (2), (3) và (4), suy ra :
lim „y = Ÿabc.
(5)
Bây giờ kết hợp (2), (3) và (5), ta thu được :
lim u, = lim v„= lim w„ =Đabc.
n—>+0
đ~>+œ
n+œ
BÀI 10. - Cho hai dãy s6 {u,}, {v,} sao cho:
lim
n-»+œ
u, =a;
lim v, =b.
n-»+œ
Day s6 {w„} được xây dựng như sau :
_ MỊ‡, + UV, | +, V2 + UY
n
lim w, =ab.
n
Chứng minh rằng
n—+œ
Bài giải
Xay dựng hai day {a,} va {8,} nhu sau:
a, =U, ~ a; B,=v,-b ;n=l, 2,...
Từ giả thiết suyra
lim ø„=
n->+œ
lim Ø, =0.
n>+o
Ta có thể viết lại w„ dưới dạng sau:
w, =ab+a
Bị + B+
+B,
n
-
\
+pối†14
1 +ế, -
n
4
Bn +O By t+
n
Đưa vào xét thêm ba dãy nữa như sau :
Xn
t+: +B,
= A +h,
n
Zz
và
_
28,
|y y = Att
n
+08,
)
OB
+++. a,B,
ta,
n
.
n
Từ đó ta có :
w, =ab+ax, +by, +Z,.
(1)
99
Vì
lim
N>+0
„=0,
nên với mọi e > 0, tồn tại nọ sao cho với mọi
0> ứạ ta có
|B, |<.
Như vậy với mọi
Ấn
A
=|
ø > mạ, thì :
+B, +--+ B,,
|
¬
+ Brot
tot B,
\s
„|Ư¡+8,+---+
+8; +-:-+Ø
|,
Từ đó đi đến : |x,| <| —
n
|
“Ì+z
_nn
|
|B +B,
e <| ere
Từ bất đẳng thức trên, theo định nghĩa giới hạn suyra
Tương tựcó
lim y„=
n+œ.
Vì vậy tir (1) suy ra
eee
+ B,,+1
n
|
,
Bry
(Ba
n
n
++ 8
n.
LIÊN:
lim x„ =0.
n—»+œ
lim z„=0.
n>+0
lim w, =ab.
n->+œ
Đó là đ.p.c.m.
BÀI 11.
Cho trước hai số ø, đ. Lập hai dãy số {z„}, {v„}, nñ=0,1,2,...
như sau : ưạ =
; vụ =ổ;
` Với mọi nø =l, 2,..., thì u, = Au,_, -Bv,_, 3> v,v, = Bu,_, + AV,_1
& day A va B là hai số cố định sao cho A* +B? <1.
Chứng minh rằng lim uw, = lim v, =0.
n—.œ
¡n->œ
Bài giải
Đưa vào xét dãy số {Wa} n=0,1,2,... như sau :
Ww, =u tye,
+ B?.
Khi d6 tir (1) c6 wy = up +v2 =a?
w, = ur +vP
.
(1)
(2)
|
= (Au, — Bvạ Ỷ +(Bup + Avy Ỷ
=(ø°+8?)(A? +8?).
100
|
|
3)
