đáp án đề thi đại học- đề số 1 - đề thi môn toán

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

___________________________________________________________
Câu 1
1) Bạn đọc tự giải nhé!
2) Lấy A(0, b) là một điểm trên Oy. Đờng thẳng qua A, với hệ số góc k có phơng trình :
y = kx + b.
Ta có
2
xx1 1
yx
x1 x1
+
==+

;
2
1
y' 1
(x 1)
=


Hoành độ tiếp điểm của đờng thẳng y = kx + b với đồ thị (C) là nghiệm của hệ
2
1
xkxb
x1
1
1k
(x 1)

+=+





=





2
11
x1 xb
x1
(x 1)

+= +







2
bx2(1b)x(1b)0+ ++=

(1)
y b = 0 : (1) trở thành 2x + 1 = 0
1
x
2
=

y b 0 : (1) có nghiệm khi

2
'(1b) b(1b)0= + +
b 1 (b 0)
Thành thử các điểm trên Oy từ đó có thể đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C) là các điểm có
tung độ b 1.
3) Hoành độ tiếp điểm của parabol
2
yx a
=+
với đồ thị (C) là nghiệm của hệ :
2
o
2
1
xxa
x1
1
12x
(x 1)

+=+

=




Từ phơng trình thứ hai, suy ra :
2
x(2x 5x 4) 0+=


x = 0.
Thay vào phơng trình đầu thì đợc a = - 1.
Câu II. Đặt S = x + y, P = xy, ta đi đến hệ :
2
SP m
S2Pm
+=



=



1) Với m = 5 ta đợc :

2
SP5
S2P5
+=



=




P = 5

S


2
S2S150+ =

S = 5, S = 3.
Với S = 5, ta có P = 10, loại vì điều kiện
2
S4P
không đợc nghiệm đúng.
Với S = 3, ta có P = 2 và đợc
x2,
y1,
=

=


x1
y2.
=


=


2) Trong trờng hợp tổng quát, P = m - S
2
S2S3m0+ =
.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

___________________________________________________________
Để phơng trình có nghiệm, cần phải có :
1
'13m0 m
3
= +
.
Khi đó gọi
1
S
và

2
S
là các nghiệm :
1
S113m= +
,
2
S113m= + +
.
a) Với
1
SS=

1
PmS=
, điều kiện
2
S4P
trở thành
2
(1 13m) 4(m1 13m)++ +++



(m 2) 2 1 3m+ +
,
không đợc nghiệm vì
1
m
3

m + 2 > 0.
b) Với
2
SS=

2
PmS=
, điều kiện
2
S4P
trở thành :
2
( 1 1 3m) 4(m 1 1 3m)+ + + +



21 3m m 2+ +
.
Vì m + 2 > 0, có thể bình phơng hai vế của bất phơng trình này và đi đến
2
0m 8m 0m8
.
Cùng với
1
m
3

suy ra đáp số : 0 m 8.
Câu III. 1) Hiển nhiên với x = 0 bất phơng trình đợc nghiệm với mọi y. Xét x > 0

2
1x
cosy sin y
2x
+
+
.
Hàm f (y) = cosy + siny có giá trị lớn nhất bằng
2
, giá trị nhỏ nhất bằng
2
, vậy phải có :
2
2
1x
2x22x10
2x
+
+





0x 21<
,
x21+
.
Xét x < 0
2

1x
cosy sin y
2x
+
+



2
2
1x
2x22x10x21
2x
+
+ +
,
21x0+<
.
Tóm lại các giá trị phải tìm là :
x21
,
21x 21+
,
21x+

hay :
|x| 2 1+
,
|x| 2 1

2) Điều kiện :
xk
2

+
( k Z). Chia hai vế cho
2
cos x
ta đợc phơng trình tơng đơng :
22
tg x(tgx 1) 3tgx(1 tgx) 3(1 tg x)+= + +


2
tg x(tgx 1) 3(tgx 1) 0+ +=


2
(tgx 1)(tg x 3) 0+=


tgx 1
tgx 3
=


=


xk

4
xk
3


= +




= +


( k Z)

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu IVa. Cần để ý rằng các đỷờng thẳng (D), (D) vuông góc với nhau và chúng có phỷơng trình tham số
(D) :
xbt
yat
=
=



(D) :
xat
ybt
=

=



'
'
1) Thay biểu thức của (D) vào phỷơng trình của (E), ta đỷợc các giá trị của tham số t ứng với các giao điểm M, N. Từ
đó suy ra chẳng hạn (do có sự trao đổi vai trò của M, N):
M
6b
9a + 4b
,
6a
9a + 4b
,N -
6b
9a + 4b
,-
6a
9a + 4b
22 22 22 2








2

.
Tỷơng tự:
P
6a
4a + 9b
,-
6b
4a + 9b
,Q -
6a
4a + 9b
,
6b
4a + 9b
22 22 22 2

2








.
2) Tứ giác MPNQ là hình thoi, với diện tích
S = 2OM.OP =
72(a + b )
(9a + 4b )(4a + 9b )
22
2222
. (1)
3) Để ý rằng các phỷơng trình của (D) và (D) có dạng thuần nhất (hay đẳng cấp) đối với a, b, tức là thay cho a và b,
ta viết ka và kb với k ạ 0. Do vậy, có thể coi rằng a
2
+b
2
= 1. Khi đó (1) trở thành
S=
72
(4 + 5a )(4 + 5b )
=
72
36 + 25a b

72
6
= 12,
22 22

dấu=chỉcóthểxảyrakhiab=0,tứclàhoặca=0hoặcb=0.(Khi đó cặp đỷờng thẳng (D) và (D) trùng với cặp hệ trục
tọa độ).
4) Vẫn với giả thiết a
2
+b
2
= 1, theo trên ta có
S=
72
36 + 25a b
22
suyraminS=
144
13
, xảy ra khi |a| = |b|, tức là cặp đỷờng thẳng (D), (D) là cặp các phân giác y x = 0 của hệ
trục tọa độ Oxy.
Câu IVb. (Hình bên)
1) BK AC, BK AM ịBK (ACM) ịBK CM.
Cùng với BH CM, suy ra (BKH) CM ị BN CM.
2) Do (BKH) CM ị KH CM. Vậy K là trực tâm tam giác CMN, và ta đỷợc MK CN. Cùng với BK CN ị
(BMK) CN ị BM CN.
3) Vì K là trực tâm tam giác CMN, nên AM.AN = AK.AC
Vậy khi M di chuyển trên d, tích AM.AN không đổi ị MN==AM+ANnhỏnhất khi AM = AN. Khi đó
AM
2

= AK.AC, AM là đỷờng cao trong tam giác vuông CMK, cạnh huyền CK, K là điểm đối xứng của K qua A.
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Vì 2|ab| Ê a
2
+b
2
= 1 suy ra a
2
b
2
Ê
1
4
, dấu = chỉ xảy ra khi |a| = |b|, vậy S
72
36 +
25
4
=
144
13
,