đáp án đề thi đại học- đề số 2 - đề thi môn toán

www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
Câu I.1)ĐặtA=(x
1
+x
3
)(x
1
+x
4
)(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)
Ta có (x
1
+x
3
)(x
1
+x
4
)=
x+x(x+x)+xx=
1
2

13 4 34
-(ax
1
+b)-cx
1
+d=(d-b)-(a+c)x
1
,
(x
2
+x
3
)(x
2
+x
4
)=(d-b)-(a+c)x
2
,
dođóA=[(d-b)-(a+c)x
1
][(d-b)-(a+c)x
2
]=(d-b)
2
+ (a + c)(b - d)(x
1
+x
2
)+(a+c)

2
x
1
x
2
=
=(b-d)
2
-(a+c)(b-d)a+(a+c)
2
b.
Vai trò hai phỷơng trình là nhỷ nhau trong biểu thức của A, nên ta cũng có:
A=(b-d)
2
-(a+c)(b-d)a+(a+c)
2
b.
Cộng hai biểu thức này của A thì suy ra kết quả.
2) Không giảm tổng quát có thể xem a Ê b Ê c khi đó theo bđt Côsi ta có
(a+b+1)(1 - a)(1 - b) Ê
a+b+1+1-a+1-b
3
=1






Suy ra (1 - a)(1 - b) Ê

1
a+b+1
ị (1 - a)(1 - b)(1 - c) Ê
1-c
a+b+1
Từ đó
a
b+c+1
+
b
a+c+1
+
c
a+b+1
+ (1 - a)(1 - b)(1 - c)
Ê
a
a+b+1
+
b
a+b+1
+
c
a+b+1
+
1-c
a+b+1
=1
.
Câu II.1)Tacósin

3
x + cos
3
x Ê sin
2
x + cos
2
x=1,2-sin
4
x 1.
Vậy dấu = chỉ có thể xảy ra khi ta có đồng thời
sin cos
sin
33
4
1
21
xx
x
+=
=



sinx = 1 ị x=

2
+2k (k ẻ Z).
2) Giả sử k, l, m là độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C thế thì
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

________________________________________________________________________________
2k
2
+
a
2
=b +c
2
22
,
2l
2
+
b
2
2
=a
2
+c
2
,





ị k
2
+l
2

+m
2
=
3
4
(a
2
+b
2
+c
2
).
2m
2
+
c
2
2
=a
2
+b
2
Mặt khác a
2
+b
2
+c
2
=4R
2

(sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C),
4sin
2
A + 4sin
2
B + 4sin
2
C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos
2
C) =
= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos
2
C=8+cos
2
(A - B) - [2cosC - cos(A - B)]
2
Ê 9,
suy ra:
k+l+m
3
9R
4
22 2 2
.

Nh vậy:
k+l+m
3
k+l+m
3
9R
4
2
22 2 2







ị k+l+mÊ
9R
2
.
Câu III. 1) Vì M thuộc P, nên M có tung độ a
2
, vậy
AM
2
=(x
M
-x
A
)

2
+(y
M
-y
A
)
2
=a
4
+(a-3)
2
.
Hàm f(a) =a
4
+(a-3)
2
có đạo hàm
f(a) = 4a
3
+ 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a
2
+2a+3),
suyrakhia=1,f(a) đạt giá trị nhỏ nhất. Vậy đoạn AM ngắn nhất khi M M(1,1).
2)VớiM(1,1)đỷờng thẳng AM có hệ số góc
k=
y-y
x-x
=-
1
2

MA
MA
.
VìPcóphỷơng trìnhy=x
2
ị y = 2x, nên tại M tiếp tuyến của P có hệ số góc k = 2, suy ra tiếp tuyến ấy vuông góc
với đỷờng thẳng AM.
_
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________


Câu IVa.
Xét hai trờng hợp sau :
a) p = q :
2
2
o
I cos pxdx

=



2
o
2
o
11sin2px

(1 cos 2px)dx x
222p



=+ =+ =




b) p q :
2
o
1
I [cos(p q)x cos(p q)x]dx
2

=++


2
o
1 sin(p q)x sin(p q)x
0
2pq pq


+
=+ =

+


Câu Va. Phơng trình
1
(C )
và
2
(C )
lần lợt đợc viết lại dới dạng :
222
1
(C : (x 3) y 2+=
,
222
2
(C ):(x 6) (y 3) 1+=

Vậy
1
(C )
có tâm
1
I(3,0)
, bán kính
1
R2=
,
2
(C )

có tâm
2
I(6,3)
, bán kính
2
R1=
.
Ta tìm đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2
(C )
dới dạng x = m.
Từ điều kiện tiếp xúc ta có hệ :
|3 m| 2
|6 m| 1
=


=



m = 5.
Vậy đờng thẳng đúng x = 5 là đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2

(C )
. Mọi đờng thẳng tiếp xúc
với
1
(C )
và
2
(C )
khác với đờng thẳng đứng đều có dạng
ax

y + b = 0
Theo điều kiện tiếp xúc, ta có
2
2
3a b
2
a1
6a 3 b
1
a1

+

=

+

+
=


+




22
(3a b) 4(a 1)
|3a b| 2|6a 3 b|


+= +

+ =+




22
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +

hoặc
22
(3a b) 4(a 1)
3a b 2(6a 3 b)


+= +

+= +





+
==



+
==



==

917 33917
a,b

88
917 33917
a,b
88
a0,b2

Vậy phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn
1
(C )
,
2
(C )
trong trờng hợp này
là :
_
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________


1
917 33917
(d ) : y x
88
++
=
,
2
917 33917
(d ) : y x

88

=

3
(d ) : y 2=
.
Tóm lại, ta có 4 đờng thẳng tiếp xúc với
1
(C )
và
2
(C )
là
123
(d ),(d ),(d )
và x = 5.
Câu IVb.
1) AC'là đờng cao trong tam giác cân SAC, do đó để C' thuộc đoạn SC, S phải là góc nhọn,
muốn vậy phải có OC < SO h > 2a.
Tứ giác AB'C'D' có các đờng chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau. Gọi K là giao điểm các
đờng chéo ấy. Ta có :
22
4ah 2dt(SAC) AC'.SC AC'. h 4a===+




22
4ah

AC'
h4a
=
+

Mặt phẳng (AB'C'D') cắt BC tại
1
B
với
1
AB // BD
,
1
AB 2a=
.
Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'KC' là nửa tam giác đều, vậy
1
BAC'
là nửa tam giác đều, suy ra :
1
22
4ah
AC' AB . 3
h4a
==
+

2a 3 h 2a 3==
.
Khi đó

SO h 3OA==
, suy ra SAC là tam giác đều, vậy C' là
trung điểm của SC.
2) Hình chóp S.ABCD có thể tích :
2
14
V SO.dt(ABCD) ha
33
==
.
Tam giác SAB có cạnh
AB a 5=
và đờng cao hạ từ đỉnh S
22
4a 5h
SH
5
+
=
,
do đó có diện tích
22
a
s4a5h
2
=+
. Từ đó suy ra diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD :
S = 4s + dt (ABCD) =
222
4a 2a 4a 5h++

, thành thử :
22
3V 2ah
r
S
2a 4a 5h
==
++
.
Câu Vb.
Trớc hết ta hãy chứng minh rằng :
AB
2tg tgA tgB
2
+
+

dấu = chỉ xảy ra khi A = B. Quả vậy :
sin(A B) 2sin(A B)
tgA tgB
cosAcosB cos(A B) cos(A B)
++
+= =
++

_
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0

_______________________________________________________


2
AB AB
4sin cos
2sin(A B) A B
22
2tg
AB
cos(A B) 1 2
2cos
2
++
++
= =
+
++

Để ý rằng kết quả này chỉ đúng với giả thiết A, B là góc nhọn, vì
khi đó :
0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A

B)

cos (A + B) + 1.
Trở về với điều kiện của bài toán :
22 2 2
AB 1
tgAtgB2tg (tgAtgB)
22
+
+= +


2
(tgA tgB) 0
tgA = tgB A = B