Năng khiếu TP HCM 2009-2010

ĐỀ THI VÀO LỚP 10 PTNK 2008 - 2009
MƠN TỐN AB
(chung cho các lớp Tốn, Tin, Lý, Hố, Sinh)

Câu 1. Cho phương trình:
( )
2 2
x mx 2m
2m  1 x 6   
x 2m
+ −
= − +
+
(1)
a)Giải phương trình (1) khi m = -1.
b)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 2. a) Giải phương trình:
2x – 1 – 2 x – 1 1.= −
b)Giải hệ phương trình:
2
2
2x –x 2y 4xy
x 2xy 4

+ =


+ =


Câu 3. a) Chứng minh rằng biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến x ( với x > 1):

A=
( ) ( )
( )
( ) ( )
x x 4x 3 x x x – 1
x 1 x x x x x 3
+ +
− + + +
b) Cho a, b, c là các số thực khác 0 và thoả mãn điều kiện:
a + 2b – 3c = 0
bc + 2ac – 3ab = 0
Chứng minh rằng: a = b = c.
Câu 4. Cho tứ giác nội tiếp ABCD có góc A nhọn và hai đường chéo AC, BD vng góc nhau. Gọi M là giao điểm
của AC và BD, P là trung điểm của CD và H là trực tâm của tam giác ABD.
a) Hãy xác định tỉ số PM:DH.
b) Gọi N và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D của tam giác ABD; Q là giao điểm của hai
đường thẳng KM và BC. Chứng minh rằng MN = MQ.
c) Chứng minh rằng tứ giác BQNK nội tiếp được.
Câu 5. Một nhóm học sinh cần chia đều một lượng kẹo thành các phần q để tặng cho các em nhỏ ở một đơn vị
ni trẻ mồ cơi. Nếu mỗi phần q giảm 6 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 5 phần q nữa, còn nếu mỗi phần q
giảm 10 viên kẹo thì các em sẽ có thêm 10 phần q nữa. Hỏi nhóm học sinh trên có bao nhiêu viên kẹo?
GIẢI
Câu 1: Vơi m = - 1 thì (1) trở thành:
2
x x 2
3x 6 ĐK : x 2
x 2
− −
= − + ≠
−

⇔ x + 1 = - 3x + 6 (vì x
2
– x – 2 = (x + 1)(x – 2))
⇔ x =
5
4
(thỏa)
b) ĐK: x ≠ - 2m, (1) có thể viết:
( ) ( )
( )
x m x 2m
2m 1 x 6
x 2m
− +
= − +
+
⇔ x – m = (2m – 1)x + 6
⇔ 2(1 – m)x = 6 + m (2)
(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm khác – 2m ⇔
( )
2
1 m 0
m 1
m 1
6 m
3
x 2m
2m 2m 3 0
m 2hoặc m
2 1 m

4

− ≠

≠

≠

 
+
⇔ ⇔
  
−
= ≠ −
− − ≠
≠ ≠


 
−


Câu 2: a) Phương trình có thể viết lại:
2x 1 1 2 x 1 đk :x 1− + = − ≥
. Bình phương 2 vế , thu gọn được:
2x 1 x 2− = −
. Điều kiện x ≥ 2, bình phương 2 vế phương trình được 2x – 1 = x
2
– 4x + 4
hay x

2
– 6x + 5 = 0 ⇔ x = 1(loại) hoặc x = 5 (thỏa). Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 5.
b) Phân tích phương trình 1 thành (x – 2y)(2x – 1) = 0 ⇔ x = 2y hoặc 2x – 1 = 0.
Giải 2 hệ
2 2
x 2y 0 2x 1 0
hoặc
x 2xy 4 x 2xy 4
 
− = − =
 
 
+ = + =
 
 
⇔
2 2
x 2
2
1 1
y
x x
x 2y
2
2 2
hoặc hoặc
15 15
4y 4y 4
x 2
y y

4 4
2
y
2


=




 
=

= =

 

=
  


⇔
  

+ =



= −

 
= =


 
 


= −




Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm:
2 2 1 15
2; ; 2; ; ;
2 2 2 4
   
 
−
−
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Câu 3: a) với x > 1:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
3
x x x 3x 3 x x 1
x x 1 x 3 x 1 x x 1
A 1
x 1 x 1 x x x 1 x 3 x 1 x 1 x x x 1 x 3
 
 
+ + + −
+ + − + +
 
 
 
 
= = =
− + + + + − + + + +
b) a + 2b – 3c = 0 ⇔ a – c = 2(c – b) (1)
bc + 2ac – 3ab = 0 ⇔ bc – ab + 2ac – 2ab = 0 ⇔ b (c – a) + 2a( c – b) = 0 (2)
(1), (2) ⇒ b( c – a) + a(a – c) = 0 ⇔ (c – a)(b – a) = 0 ⇔ c = a hoặc a = b.
Nếu c = a thì (1) ⇒ c = b. Vậy a = b = c.
Nếu a = b thì (1) ⇒ 3b – 3 c = 0 ⇔ b = c. Vậy a = b = c.
Câu 4:
a)
·
·
»
(
)
·
·

·
(
)
·
·
CDB CAB cùng chắn BC ;BDH CAB cùng phụ ABD CDB BDH= = ⇒ =
∆CDH có DM là đường cao vừa là đường phân giác nên là ∆ cân
⇒ DM cũng là trung tuyến ⇒ MC = MH, mà PC = PD
⇒ MP là đường trung bình của ∆CHD ⇒ PM:DH = ½
b) ABCD nội tiếp ⇒
· ·
·
(
)
QCD BAD cùng bù BCD=
(1)
AKHN nội tiếp ⇒
·
· ·
(
)
BAD NHD cùng bù KHN=
(2)
∆DCH cân ⇒
·
·
DCM MHD=
(3)
(1), (2), (3) ⇒
·

·
QCM MHN=
(*)
ABMN nội tiếp ⇒
·
·
ABN AMN=
; BKHM nội tiếp ⇒
·
·
ABN KMH=
⇒
·
·
·
KMH HMN CMQ= =
(**)
MC = MH (***)
(*), (**), (***) ⇒ ∆MCQ = ∆MHN (g.c.g) ⇒ MQ = MN.
c) AKHN nội tiếp ⇒
·
·
·
·
·
· ·
BAH KNH,mà BAH BNM KNB BNM BQM= = ⇒ = =
⇒ BQNK nội tiếp.
Câu 5: Gọi x là số viên kẹo của mỗi phần quà. ĐK: x > 10, x nguyên.
y là số phần quà mà nhóm hs có , y nguyên dương.

Tổng số viên kẹo của nhóm là xy (viên).
Ta có hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
x 6 y 5 xy
5x 6y 30 x 30
5x 5y 50 y 20
x 10 y 10 xy

− + =
 
− = =

⇔ ⇔
  
− = =
− + =
 


Vậy nhóm học sinh có 30. 20 = 600 viên kẹo.
C
A
M
B
D
/
P
H
K

Q
N