Một số phương pháp giải toán về tỉ lệ thức

Sáng kiến kinh nghiệm

Trường THCS Lao Bảo

PHẦN THỨ NHẤT
A. MỞ ĐẦU
1)Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học tự nhiên, nó rèn luyện và phát triển tư duy cho
người học, là môn học không thể thiếu trong nhà trường phổ thông. Đồng thời nó còn
là môn học đặc biệt quan trọng trong nhà trường phổ thông, giúp học sinh rèn luyện
và phát triển tư duy, tính độc lập sáng tạo, tính suy luận khoa học. Việc hình thành
năng lực giải toán cho học sinh là THCS là một việc làm quan trọng bậc nhất đối với
mỗi người thầy. Toán học được coi như là một môn học cơ bản, là nền tảng để các em
phát huy được năng lực bản thân, góp phần tạo điều kiện để các em học tốt các môn
khoa học tự nhiên khác. Vậy dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến
thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phải được nâng cao phát triển để các em có
hứng thú say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô luôn đặt ra cho mình. Tuy
nhiên để học tốt môn toán thì người giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức,
phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát.
Năm học 2012-2013 và năm học 2013-2014 tôi được nhà trường phân công
giảng dạy toán lớp 7. Các bài toán về tỉ lệ thức rất phong phú và đa dạng. Các dạng
toán như chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, chia một số thành các
phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của chúng. Các dạng
toán thực tế như tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. Các bài toán hình học vận dụng tính chất của
tỉ lệ thức ... Tôi nhận thấy đa số các em thường gặp khó khăn trong các bài toán về
dạng này, các em thường ngại khó, không giám làm và khi làm cũng rất sợ sai. Để
giải quyết vấn đề trên tôi quyết định chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là “
Một số phương pháp giải các bài tóan về tỉ lệ thức”.
2) Lịch sử của sáng kiến kinh nghiệm
Năm 2008 khi đang học Cao đẳng sư phạm Quảng trị, tôi được nhà trường
phân công đi thực tập tại trường THCS Hải Chánh – Hải Lăng – Quảng Trị. Trong

suốt thời gian thực tập của mình tôi được phân công dạy thực tập toán 7- chương “Số
hữu tỉ - Số thực”. Tôi nhận thấy đa số các em gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệ
thức. Tôi đã dành thời gian của mình để tìm ra một số biện pháp để giúp đỡ các em
trong việc giải các bài toán dạng này. Sau khi ra trường tôi được nhà trường phân
công dạy toán 7, đây cũng là điều kiện thuận lơi để tôi tiếp tục tìm ra nhiều phương
pháp giúp các em giải các bài toán về tỉ lệ thức.
3)Mục đích nghiên cứu
-Học sinh vận dụng được định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức khi giải bài toán về tỉ
lệ thức. Các dạng bài tập như chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước, chia
một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước và tìm hai số biết tích và tỉ số của
chúng. Các dạng toán thực tế như tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch.
- Rèn luyện cho học sinh giải các dạng bài tập cơ bản. Từ đó hướng dẫn, bồi
dưỡng các em làm các bài tập nâng cao. Hình thành kỉ năng giải toán về tỉ lệ thức cho
các e nhằm nâng cao hiệu quả của các tiết dạy ở trên lớp.
Giáo viên: Bùi Ngọc Thành

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Trường THCS Lao Bảo

- Giới thiệu và tranh thủ sự góp ý của đồng nghiệp để hoàn chỉnh sáng kiến kinh
nghiệm để nhân rộng và đưa vào áp dụng cho các năm sau.
4.Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:
a) Nhiệm vụ:
Về chuyên môn: - Nêu ra được các dạng bài tập và các phương pháp giải các
bài toán về tỉ lệ thức.
Về tình hình thực tế: - Tìm hiểu thực trạng học sinh.

- Những phương pháp thực hiện.
- Những chuyển biến sau khi áp dụng.
- Bài học kinh nghiệm.
b) Phương pháp:
*Sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- phương pháp quan sát
- Phương pháp đàm thoại, nghiên cứu vấn đề
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo.
- Phương pháp kiểm tra, thực hành.
5. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu.
- Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về tỷ lệ thức trong SGK toán 7 tập 1
-Đối tượng khảo sát: HS lớp 7A, 7E, 7G trường THCS Lao Bảo.
6.Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
- Sau khi thực hiện đề tài thì tôi nhận thấy:
+ Đa số các em đã giải toán dạng này một cách thành thạo, các em đã nhận ra được
dạng toán một cách nhanh nhẹn.
+ Kỉ năng giải toán về tỉ lệ thức được nâng cao hơn nhiều, việc biến đổi khi giải toán
ít sai sót hơn nhiều.
PHẦN THỨ HAI
B.NỘI DUNG
I.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
- Trong năm học 2012-2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy ba lớp
7A, 7E, 7G. Ba lớp này có sự khác biệt về năng lực học tập (Lớp 7A là lớp của các
em đồng bào dân tộc, lớp 7E là lớp có năng lục học tập trung bình, lớp 7G là lớp
chọn) nên việc lựa chọn phương pháp phù hợp là rất khó khăn cho giáo viên. Bên
cạnh đó nhiều học sinh còn tự thỏa mãn về khả năng của mình, các em không chịu
khó làm các bài tập nâng cao, không chịu khó tìm tòi những kiến thức mới.
Nhiều em vận dụng sai tính chất dãy tỉ số bàng nhau
VD: (Bài 62 trang 31 – SGK NXBGD – 2003): Tìm hai số x, y biết:
HS giải: Ta có:

Giáo viên: Bùi Ngọc Thành

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Trường THCS Lao Bảo

y
xy
x
90
 

9
2 5 2.5 10
 x 2.9 18
y 5.9 45

 x 2k
x y
 k  
2 5
 y 5k
Mà xy = 90 
2k . 5k = 90
10k2 = 90

Lời giải đúng: Đặt

 k 3
k2 = 9  
 k  3
* Với k = 3 
x = 2.3 = 6

* Với k = -3 

y = 5.3=15
x = 2.(-3) = -6

y = 5.(-3) = -15
Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15)
(Học sinh mắc sai lầm do chưa hiểu rõ tính chất của dãy tỉ số bằng nhau).
Qua một thời gian tôi đã tiến hành điều tra cơ bản và thu được kết
quả như sau:
+ Lớp 7A: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 60%,
số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm
khoảng 10%.
+ Lớp 7E: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 30%,
số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm
khoảng 50%.
+ Lớp 7G: Số em lười học bài, lười làm bài tập chiếm khoảng 20%,
số học sinh nắm được kiến thức và biết vận dụng vào bài tập chiếm
khoảng 60%.
II.Nguyên nhân:
Nguyên nhân của vấn đề trên là do các em chưa có ý thức tự
giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học ở nhà, học
còn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức

toán học, không tự ôn luyện thường xuyên một cách hệ thống,
không chịu tìm tòi kiến thức mới qua sách nâng cao, sách tham
khảo, còn hiện tượng dấu dốt, không chịu học hỏi bạn bè, thầy cô.
Đứng trước thực trạng trên tôi thấy cần phải làm thế nào để
khắc phục tình trạng trên nhằm nâng cao chất lượng học sinh, làm
cho học sinh thích học toán hơn Vậy tôi thiết nghĩ đề tài của tôi
Giáo viên: Bùi Ngọc Thành

3


Sáng kiến kinh nghiệm

Trường THCS Lao Bảo

nghiên cứu về vấn đề này là bước đi đúng đắn với tình trạng và sức
học của học sinh hiện nay
III .Biện pháp giải quyết vấn đề nghiên cứu.
Để đạt được hiệu quả khi giải các bài toán nói chung và giải
các bài toán về tỷ lệ thức nói riêng. Sau khi học xong tính chất của tỉ lệ thức,
tôi đã cho học sinh củng cố để nắm vững và hiểu thật sâu về định nghĩa, các tính chất
cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ thức, của dãy tỷ số bằng nhau, của đại lượng tỉ lệ
thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch, sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán cùng
loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc chọn lời
giải, có thể minh hoạ điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ đơn giản đến
phức tạp .
1. Lý thuyết:
a. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số

a c

 .
b d

Ta còn viết:
a : b = c : d.
trong đó a và d là các ngoại tỉ(số hạng ngoài); b và c là các trung tỉ(số hạng trong).
b. Tính chất của tỉ lệ thức:
Tính chất 1: Nếu

a c

b d

a c
 thì a.d = b.c
b d

Tính chất 2: Nếu a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
 ;  ;  ;  .
b d c d b a c a

Tính chất 3: Từ tỉ lệ thức

a c
a b d c d b
 suy ra các tỉ lệ thức:  ,  , 
b d
c d b a c a

c. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

a c
a c a c a c
 suy ra
 

, (b ≠ ± d)
b d
b d bd bd
a

c

i

Tính chất 2: từ dãy tỉ số bằng nhau b  d  j ta suy ra:
a c i a c i
a c i
  

, (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d j bd  j bd  j
a

a

a

a

3
n
1
2
Tính chất 3: nếu có n tỉ số bằng nhau(n �2): b  b  b  ...  b thì
1
2
3
n

a
a  a  a  ...  an a1  a2  a3  ...  an
a1 a2 a3

  ...  n  1 2 3

b1 b2 b3
bn b1  b2  b3  ...  bn
b1  b2  b3  ...  bn

Giáo viên: Bùi Ngọc Thành

4


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

(gi thit cỏc t s u cú ngha)
Lu ý: Nu t du - trc s hng trờn ca t s no thỡ cng t du -
trc s hng di ca t s ú. Tớnh cht ca dóy t s bng nhau cho ta mt kh
nng rng rói t mt s t s bng nhau cho trc, ta lp c nhng t s mi
bng cỏc t s ó cho, trong ú s hng trờn hoc s hng di ca nú cú dng thun
li nhm s dng cỏc d kin ca bi toỏn.
chỳ ý: khi núi cỏc s x, y, z t l vi a, b,c tc l ta cú:

x y z
. Ta cng vit:
a b c

x:y:z=a:b:c
2. Cỏc gii phỏp thc hin:
Qua thc t khi cha nghiờn cu theo ti ny hc sinh gp nhiu sai sút trong
quỏ trỡnh gii toỏn . Vớ d cỏc em hay sai nht trong cỏch trỡnh by li gii , s nhm
ln gia du = vi du =>
Vớ d:

x y
x
y
()

thỡ cỏc em li dựng du = l sai.
d
9 5
9.3 5.3

Hóy tỡm x, y, z bit
Gii:

x y z
v x +y + z = 12
5 3 4

x y z
x y z 12
x
()
1 vy 1 x 5.1 5
5 3 4 S 5 3 4 12
5

trờn cỏc em dựng du => l sai.
3. Cỏc dng toỏn v phng phỏp gii
Các dạng toán và phơng pháp giải:
Dạng I: LP Tỉ L THC:
Bi toỏn 1: Cỏc t s sau õy cú lp thnh cỏc t l thc hay khụng?
a) 0,5 : 15 v 0,15 : 50

b) 0,3 : 2,7 v 1,71 : 15,39
Gii:

a) Ta cú: 0,5 : 15 =
Vỡ

0,5 1

15 30

v

0,15 : 50 =

0,15
3

50
1000

3
1
nờn các tỉ số 0,5 : 15 v 0,15 : 50
1000 30

lệ thức

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

5

không lập thành tỉ


Sỏng kin kinh nghim

b) Ta có : 0,3 : 2,7 =

Trng THCS Lao Bo

0, 3 1

2, 7 9

v 1,71 : 15,39 =

1, 71 1

15,39 9

Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39
Vậy 0,3 : 2,7 v 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 2: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức có thể có đợc từ các số
sau.
a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8

b) 1; 2; 4; 8
Giải:

( Sử dung tinh chất 2: điều kiện để 4 số lập thành tỉ lệ thức)
a) Ta có: 0,16 . 0,8 = 0,32 . 0,4 ( = 0,128)
Suy ra ta lập đợc các tỉ lệ thức sau:
0,16 0, 4

0, 32 0,8

;

0,16 0,32

;
0, 4
0,8

0,32 0,8

0,16 0, 4

;

0, 4
0,8

0,16 0,32

b) Tơng tự ta có : 1. 8 = 2 . 4( = 8)
Suy ra ta lập đợc các tỉ lệ thức sau:

1 4

2 8

;

1 2

4 8

;

2 8

1 4

;

4 8

1 2

Bài tập áp dụng
Bài 1: Trong các tỉ số sau, hãy chọn các tỉ số thích hợp để lập
thành một tỉ lệ thức :
10 :15;16 : ( 4);14 : 21; 5 :15;12 : ( 3); 1, 2 : 3, 6

Bài 2: Có thể lập đợc một tỉ lệ thức từ 4 trong các số sau không
(mỗi số chọn một lần). Nếu có lập đợc bao nhiêu tỉ lệ thức?
a) 3; 4 ;5 ;6 ;7

b) 1; 2; 4; 8; 16

243.
Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

6

c) 1; 3; 9; 27; 81;

Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Dạng II: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
Bài toán 1:Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:

x 15

2 3
b) 1,5 : x 4,5 : 0,3
a)

Giải:

( Bài toán này các em có thể sử dung kiến thức tìm một thành
phần cha biết của tỉ lệ thức : Nếu biết 3 trong 4 số hạng của tỷ lệ
thức ta tìm đợc số hạng còn lại trong tỷ lệ thức.

a

b.c
b.c
a.d
a.d
;d
;b
;c
d

a
c
b

a) Ta có:

x 15
2.15 30

x

10
2
3
3
3
Vậy x = 10
b) -1,5 : x = 4,5 : 0,3

4,5 . x = -1,5 . 0,3

4,5 . x = - 0,45


x = - 0,45 : 4,5



x = - 0,1

.

Vậy x = 0,1
Bài toán 2: Tìm hai số x và y biết

x y
và x y 20
2 3

Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt

x y
k
2 3

, suy ra: x 2k

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

, y 3k
7


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4

Do đó: x 2.4 8

y 3.4 12
KL: x 8 , y 12
Cách 2: ( Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x y 20

4
2 3 23 5
Do đó:

x
4 x 8
2

;

y
4 y 12
3

KL: x 8 , y 12
Cách 3: (phơng pháp thế)
Từ giả thiết

x y
2y
x

2 3
3

mà x y 20

Do đó: x

2y
y 20 5 y 60 y 12
3

2.12
8
3

KL: x 8 , y 12
Bài toán 3: Tìm x, y, z biết:

y z
x y
,
và 2 x 3 y z 6
3 4
3 5
Giải:

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

8

Sỏng kin kinh nghim

Cách 1:

Trng THCS Lao Bo

Từ giả thiết:

x y
x y

3 4 9 12

(1)

;

y z
y
z


3 5
12 20

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Ta có:

x y z

9 12 20

(*)

x y z 2x 3y z 2x 3y z 6

3
9 12 20 18 36 20 18 36 20 2

( áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Do đó:

x
3 x 27
9

y
3 y 36
12

z
3 z 60
20

KL: x 27 , y 36 , z 60
x
y
z

k
9 12 20

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt

( sau đó giải

nh cách 1 của VD1).
Cách 3: (phơng pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

y
z
3z
y
;
3
5
5

mà 2 x 3 y z 6 2.
Suy ra: y

3z
x y
3y
9z
x

5
3 4
4
4
20
3.

9z
3z
z
3 . z 6
60 z 60
20
5
10

3.60
36 ,
5

x

9.60
27
20

KL: x 27 , y 36 , z 60
Bài toán 4: Tìm hai số x, y biết rằng:
Giải:
Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

9

x
y

2
5

và x. y 40


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt

x
y

k 0
2
5

, suy ra x 2k

, y 5k

Theo giả thiết: x. y 40 2k .5k 40 10k 2 40 k 2 4 k 2

y 5.2 10

+ Với k 2 ta có: x 2.2 4
+ Với

k 2 ta có: x 2.( 2) 4 ; y 5.( 2) 10

KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x 0

x y
x 2 xy 40
với x ta đợc:
Nhân cả hai vế của
8
2
5
5
2 5

x 2 16
x 4
+ Với x 4 ta có

4 y
4.5
y

10
2 5
2

+ Với x 4 ta có

4 y
4.5
y
10
2 5
2

KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10
Cách 3: (phơng pháp thế) làm tơng tự cách 3 của ví dụ 1
Bài toán 5: Tìm x, y, z biết
a)

3x = 5y = 8z và x + y + z = 158

b)

2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z - 7y = 60

c)

2x = 3y = 5z và x + y - z = 95
Giải:

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

10


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Đối với bài toán 5 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song

tôi đã nhắc các em lu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức
giữa hai tích hoặc đến tính chất của đẳng thức. Từ đó các em
có hớng giải và chọn lời giải cho phù hợp.
Cách 1: Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai
tích ta có lời giải sau:
Ta có: 3x = 5y
5y = 8z


y
y
x
x 1 y 1
x

. . hay

5
3
5 8 3 8

40 24

y z y 1 z 1
y
z
. . hay
8 5 8 3 5 3
24 15

x y z
x y z
158


2
40 24 15 40 24 15 79

x = 40 . 2 = 80
y = 24 . 2 = 48
z = 15 . 2 = 30
Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Cách 2: Dựa vào tính chất của phép nhân của đẳng thức. Các em
đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3; 5; 8. Từ đó các em có lời
giải của bài toán nh sau:
Ta có BCNN(3; 5; 8) = 120
Từ 3x = 5y = 8z
Hay

3x.

1
1
1
5y.
8z.
120
120
120

y
x y z
x
z
158


2
40 24 15 40 24 15 79

(Tơng tự nh trên có ...)
Vậy x = 80; y = 48; z = 30

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

11


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Cách 3: Tôi đã đặt vấn đề: Hãy viết tích giữa hai số thành 1 thơng. Điều đó đã hớng cho các em tìm ra cách giải sau:
Từ 3x = 5y = 8z





x=

1
.24080
3

y=

1
.24048
5

z=

1
.24030
8

x y z
x y

z
158


240
1 1 1 1 1 1
79

3 5 8 3 5 8 120

Vậy x = 80; y = 48; z = 30
Qua ba hớng giải trên, đã giúp các em có công cụ để giải toán
và từ đó các em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng
từ đó giúp các em phát huy thêm hớng giải khác và vận dụng để
giải các phần b và c.
Để giải đợc phần b có điều hơi khác phần a một chút yêu cầu
các em phải có t duy một chút để tạo lên tích trung gian nh sau:
+ Từ 2x = 3y 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y

(1)

+ Từ 5y = 7z 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z

(2)

Từ (1) và (2) ta có:

10x = 15y = 21z

y
3x 5z 7y
x
z
60




840
1
1
1
1
1
1
15
3.
5.
7.
10 15 21
10
21
15 210



x=

1
.84084
10

y=

1
.84056
15

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

12


Sỏng kin kinh nghim
1
.84040
z=
21

Trng THCS Lao Bo

Vậy x = 84; y = 56; z = 40.
Kết quả thu đợc: Các em đã tìm hớng giải cho phần c và tự cho đợc
ví dụ về
dạng toán này.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biết rằng

\

a)

x 1 y 2 z 2


vàx 2y z 12
5
3
2

b)

x 1 y 2 z 3


và2x 3y z 50
2
3
4

Để tìm đợc lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem
làm thế nào để xuất hiện đợc tổng x + 2y - z = 12 hoặc 2x + 3y z = 50 hoặc2x + 3y- 5z =10
Với phơng pháp phân tích, hệ thống hoá đã giúp cho các em nhìn
ra ngay và có
hớng đi cụ thể.
Cách 1: Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số
bằng nhau có lời
giải của bài toán nh sau:
x 1 y 2 z 2 2( y 2) 2 y 4

5
3
2
2.3
6

a) Ta có :





x 1 2 y 4 ( z 2) x 2 y z 3 12 3


1
562
9
9

x-1=5
x-2=3

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

x=6

y=5
13


Sỏng kin kinh nghim

z-2=2

Trng THCS Lao Bo

z =4

Cách 2: Dùng phơng pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau:
Đặt

x 1 y 2 z 2


k
5
3
2


Ta có:

x - 1 = 5k

x = 5k + 1

y - 2 = 3k

y = 3k + 2

z - 2 = 2k

z = 2k + 2

x + 2y - z = 12

2k + 1 + 2(3k + 2) - (2k + 2) =



12


9k + 3 = 12



k=1

Vậy x = 5 . 1 + 1 = 6
y=3.1+2=5
z=2.1+2=4
Với các phơng pháp cụ thể của từng hớng đi các em đã vận
dụng để tự
giải phần (b) và của bài toán 5.

Bài toán 6: Tìm x, y, z biết rằng:

y z1 x z 2 x y 3
1



x
y
z
x y z
Đối với bài toán 6 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ
đâu? đi từ kiến thức nào? Điều đó yêu cầu các em phải t duy có
chọn lọc để xuất hiện

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

14


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

x + y + z. Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện
dãy tỷ số bằng nhau và đã có lời giải của bài toán nh sau:
Giải:
Điều kiện : x, y, z 0
Ta có:

y z 1 x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 2(x y z)




2
x
y
z
x y z
x y z

1
2
x y z



x+y+z=

1
0,5
2

x + y = 0,5 z
y + z = 0,5 x
x + z = 0,5 y
Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có:

+)

y z 1
0,5 x 1
2
2
x
x
0,5 - x + 1 = 2x
1,5 = 3x
x = 0,5

+)

x z 2 0,5 y 2

2
y
y
2,5 - y = 2y
2,5 = 3y
y=

+)

5
6

x y 3
0,5 z 3

2
2
z
z
-2,5 - z = 2z

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

15


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

-2,5 = 3z
z=

Vậy (x; y; z) = ( 0,5;

5
6

5
5
;- )
6
6

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)

x
y
z

và 5 x y 2 z 28
10 6 21

c)

2x 3y 4z
và x y z 49
3 4 5

e)

x y
và
5 3

y z
x y
,
và 2 x 3 y z 124
3 4
5 7

b)

d)

x 2 y 2 4

f)

x
y
và
2
3

xy 54

x
y
z


x y z
y z 1 z x 1 x y 2

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 3 x 2 y , 7 y 5 z và x y z 32

b)

x 1 y 2 z 3

2
3
4

c) 2 x 3 y 5 z và x y z 95

d)

x y z
và xyz 810
2 3 5

và 2 x 3 y z 50

Dạng 3. Chứng minh tỷ lệ thức
Việc hệ thống hoá, khái quát hoá các kiến thức của tỷ lệ thức còn có
vai trò rất
quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức, với hệ thống các bài
tập từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức
trừu tợng, mở rộng đã cho các em rất nhiều hớng để giải quyết tốt
yêu cầu của bài toán.

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

16


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

A C
Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thờng dùng một số phơng pháp
B D

sau:
Phơng pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phơng pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số

A
C
và
có cùng giá trị.
B
D

Phơng pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)

a na

( n 0)
b nb
n

a c a c
+)
b d b d

n

Bài toán 1: Cho tỷ lệ thức:

Chứng minh :

a c
1 với a, b, c, d 0
b d

a b c d

a
c
Giải

Cách 1: Từ

a
c
a.d b.c
b
d

Xét tích
Thay

(a. b).c a.c b.c

b.c a.d (a b).c a.c a.d (c d ).a

Vậy (a b).c (c d ).a

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

a b c d

a
c

17


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Nh vậy để chứng minh:
ta phải có đẳng thức
Cách 2 : Đặt

Xét

Và

a b c d

a
c

(a b).c (c d ).a .

a
c
k a b.k ; c d .k
b
d

a b b.k b b(k 1) k 1



(1)
a
b.k
b.k
k
c d d .k d d (k 1) k 1



(2)
c
d .k
d .k
k

Từ (1) và (2)

a b c d

a
c

Trong cách này ta chứng minh tỉ số:

a b c d
nhờ tỉ số

a
c

thứ ba. Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá trị tỉ số đã cho bằng giá trị
k. Từ đó tính giá trị của một số hạng theo k.
Cách 3: Từ tỉ số

a c a b

b d c d

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a b a b a a b c d a b




c d c d c c d

c
a

hay

a b c d

a
c

Trong cách này sử dụng hoán vị trung tỉ rồi áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau rồi lại hoán vị ngoại tỉ một lần nữa.
Cách 4:

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

18


Sỏng kin kinh nghim

Từ

Trng THCS Lao Bo

a c b d

b d a c

Xét

a b
b
b
d c d
1 1 1
a
a
a
c
d

Vậy

a b c d

a
c

Cách 5:

Từ

a c
b d

b d
a c

Lấy 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức:

b
d a b c d
1

a
c
a
c

1

Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ.
Rồi lấy số 1 trừ từng vế của tỉ lệ thức rồi biến đổi đẳng thức cần
chứng minh
Cách 6:

Từ tỉ lệ thức

a c
a.d b.c . Ta có:
b d

a b c d (a b).c (c d ).a a.c b.c a.c a.d b.c a.d




a
c

a.c
a.c
a.c
Mà a.d b.c



bc ad
0 vì a, c 0
ac

a b c d
a b c d

0

a
c
a
c

Trong cách này, từ tỉ lệ thức cần chứng minh ta chứng minh hiệu
của hai tỉ số đó bằng 0.

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

19


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Tóm lại từ một tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức khác

bằng cách chứng minh theo nhiều cách khác nhau có thể sử dụng
trong bài tập.
Bài toán 2: Cho tỷ lệ thức

a 2 b 2 ab

c 2 d 2 cd

c d
Chứng minh :

a d
a c
hoặc
b d
b c

Cách 1: Ta sử dụng cách 6:

a 2 b 2 ab
a 2 b 2 ab
Vì
nên 2
0

c d 2 cd
c 2 d 2 cd
(a 2 b 2 )cd ab(c 2 d 2 )

0
(c 2 d 2 )cd
a 2 cd b 2 cd c 2 ab d 2 ab

0
2
2
(c d )cd
(a 2 cd c 2 ab) (d 2 ab b 2 cd ) 0
ac(ad bc ) db(da bc ) 0
(ad bc )(ac db) 0
a c

b d
a d
ac bd 0 ac bd

b c
ad bc 0 ad bc


Vậy

a d
a 2 b 2 ab a c

hoặc



2
2
b
c
cd
b d
c d

a 2 b 2 ab
a 2 b 2 2ab
Cách 2 : Từ 2
2

2
2
cd
2cd
c d
c d
áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

20

Với a, b, c, d 0 và

Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

a 2 b 2 a 2 b 2 2ab (a b) 2 a b
2



2
2
2
2
c d
c d 2cd (c d ) c d

2

a 2 b 2 a 2 b 2 2ab (a b) 2 a b
và




c 2 d 2 c 2 d 2 2cd (c d ) 2 c d
2

a b a b
Từ (1) và (2)

cd c d
Xét trờng hợp :

(1)
2

(2)

2

a b a b

cd c d

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b a b a b 2a a


c d c d c d 2c c
a b a b a b 2b b


c d c d c d 2d d
Xét trờng hợp :

a b
a c

c d
b d

a b
a b b a


cd
c d c d

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b b a a b b a 2b b



c d c d c d c d 2c c
a b b a a b b a 2a a




c d c d c d c d 2d d
Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức

a c

b d

ab a 2 b 2
. Chứng minh rằng:

cd c 2 d 2

Giải:

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

a b
a d

d c
b c

21


Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

a c
ad bc
b d

Cách 1: Từ giả thiết:
Ta có:





(1)



ab c 2 d 2 abc 2 abd 2 acbc adbd



cd a 2 b 2 a 2 cd b 2 cd acad bc.bd







ab c 2 d 2 cd a 2 b 2

Từ (1), (2), (3) suy ra:



Cách 2: Đặt

(3)

ab a 2 b 2

cd c 2 d 2

a c
k , suy ra a bk
b d



(đpcm)

, c dk

ab bk .b kb 2
b2
Ta có:



cd dk .d kd 2 d 2

(1)

a 2 b 2 (bk ) 2 b 2 b 2 k 2 b 2 b 2 k 2 1 b 2




c 2 d 2 (dk ) 2 d 2 d 2 k 2 d 2 d 2 k 2 1 d 2

ab a 2 b 2
Từ (1) và (2) suy ra:
2
cd c d 2

(2)

(đpcm)

a c
a b
ab a 2 b 2 a 2 b 2
Cách 3: Từ giả thiết:

b d
c d
cb c 2 d 2 c 2 d 2


ab a 2 b 2

cd c 2 d 2

Bài toán 4. Cho tỷ lệ thức

a)

a b c d

a b c d

b)

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

(đpcm)

a c
. Hãy chứng minh
b d

2a 5b 2c 5d

3a 4b 3c 4d

22

(2)

Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ
thống hoá kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng
vào dạng toán để tìm hớng giải cụ thể.
Cách 1: Sử dụng phơng pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng
minh phần a.
Đặt

a c
k
b d



a = bk ;
c = dk

Ta có:

a b bk b b(k 1) k 1



a b bk b b(k 1) k 1
a b c d

(Đ pcm)

c d dk d d(k 1) k 1
a b c d



c d dk d d(k 1) k 1
Cách 2 : Sử dụng phơng pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và
tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải nh sau:
Từ

a c
a b

(hoán vị các trung tỷ)
c d
b d
=

a b a b

( theo tính chất của dãy tỷ số bằng
c d c d

nhau)



a b c d

a b c d

(hoán vị các trung tỷ)

Cách 3: ( Dựa vào tính chất cơ bản của tỷ lệ thức):
Ta có:

(a b)(c d ) ac ad bc bd

(a b)(c d ) ac ad bc bd

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

(1)
(2)

23


Sỏng kin kinh nghim

Từ giả thiết:

Trng THCS Lao Bo

a c
ad bc
b d

Từ (1), (2), (3) suy ra:

(3)

(a b)(c d ) (a b)(c d )


a b c d

a b c d

(đpcm)

Với việc hệ thống hoá các kiến thức về tỷ lệ thức đã đa ra
một số hớng giải, yêu cầu học sinh chọn lựa hớng giải nào thích hợp,
ngắn gọn, dễ hiểu,để trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài,
qua đó để học sinh tự giải các bài tập phần b, c của bài 1.
Bài toán 5. Cho

a)

a c
Hãy chứng minh:
b d

a b 2 ab
c d 2 cd

a b 2 ab
c d 2 cd

b)

c)

a b 2 (a b)2
c d 2 (c d)2
Đối với bài toán 5 hớng giải tơng tự nh bài toán 1, song mức độ
tính toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại
về luỹ thừa, về tính chất mở rộng của tỉ lệ thức để các em dễ
nhận biết, dễ trình bày hơn. Tôi đã
nhấn mạnh lại công thức:
2

Nếu:

2

a c a c
ac
và hớng cho các em trình bày lời giải

b d b d bd

của bài toán phần b.
Giải:

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

24

Sỏng kin kinh nghim

Trng THCS Lao Bo

a c a b
(hoán vị các trung tỷ)
b d c d

Từ
2

2



ab a2 b2 2ab a2 2ab b2
a b

2 2
cd b
d 2cd c2 2cd d2
c d

Hay

a b 2
c d 2

ab
cd

Tơng tự phần (b) học sinh dễ dàng hiểu và trình bày đợc lời
giải phần a, c và hớng cho các em tự tìm hiểu các phơng pháp khác
để chứng minh tỷ lệ thức.

a b
Bài toán 6: Cho . Hãy chứng minh
b c

a2 b2 a

b2 c2 c

Để giải đợc bài toán này yêu cầu học sinh phải có bớc suy luận
cao hơn,
không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ
thức để có hớng
giải phù hợp.
Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức rồi thay thế vào
vế trái, sau đó biến đổi vế trái bằng vế phải .
Từ

a b
b2 = ac. Thay vào vế trái ta có:
b c

a2 b2 a2 ac a(a c) a

(Đpcm)
2
2
2
b c ac c c(a c) c
Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng
thức ta có lời giải sau:

Giỏo viờn: Bựi Ngc Thnh

25