Đề-ĐA hsg12 bảng B(07-08) NA

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng b
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x

>
ữ

, với
x (0; )
2


.
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
2
y x 1 x= +
b) Giải hệ:
x y
sinx

e
sin y
sin 2y cos2y sin x cos x 1
x, y 0;
4


=



= +






ữ



Bài 3. (2,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
( )
2
cos 3x 9x 160x 800 1.
8

+ + =


Bài 4. (5,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết A(2; - 3),
B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x y 8 = 0.
Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x
2
+ y
2

2x 4y + 4 = 0 và đờng thẳng có phơng trình: x y 1 = 0. Từ điểm M bất kỳ thuộc đ-
ờng thẳng kẻ hai tiếp tuyến MT
1
, MT
2
đến (C) (T
1
, T
2
là tiếp điểm) .
Chứng minh rằng: đờng thẳng T
1
T
2
luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên .

-----------Hết -----------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B1
Đề chính thức
Sở Gd&Đt Nghệ an
Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng B
----------------------------------------------
Bài Nội dung
Biểu
điểm
Bài 1:
6,0
a.
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1).
3,0
ĐK: x 0; Đặt t =
x
, t 0.
0,5
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t
2
+ 3 - m = 0 <=> m =
2
2

2t 3t 3
t t 1
+
+
(2)
0,5
Xét f(t) =
2
2
2t 3t 3
t t 1
+
+
, t 0 ; f
/
(t) =
2
2 2
t 2t
(t t 1)

+
.
0,5
f
/
(t) = 0 <=>
t 0
t 2
=

=

0,5
Bảng biến thiên
t 0 2
+
0,5
f
/
(t)

0 +
f(t)
3
2
5
3
Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0.
0,25
<=>
5
m 3
3

.
0,25
b.

3
sinx
cosx
x

>
ữ

(1).
3,0
(1) <=> tgx.sin
2
x - x
3
> 0.
Xét f(x) = tgx.sin
2
x - x
3
; x
(0; )
2


.
0,25
f
/
(x) = tg
2

x + 2sin
2
x - 3x
2
.
f
//
(x) = 2tgx.
2
1
cos x
+ 4sinx.cosx - 6x =
3
2sin x
cos x
+ 2sin2x - 6x.
f
///
(x) =
4 2 2
6
2cos x 6sin x.cos x
4cos2x 6
cos x
+
+
0,25
0,25
0,25
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B2

=
2 2
2
4
2cos x 6sin x
8cos x 10
cos x
+
+
=
6 4 2
4
8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x
+
=
2 2 2
4
2(cos x 1) (4cos x 3)
0
cos x
+
>
;
x (0; )
2


.
0,5

=> f
//
(x) đồng biến trên
(0; )
2

=> f
//
(x) > f
//
(0) = 0 ,
x (0; )
2


.
0,5
=> f
/
(x) đồng biến trên
(0; )
2

=> f
/
(x) > f
/
(0) = 0 ,
x (0; )
2

.
0,5
=> f(x) đồng biến trên
(0; )
2

=> f(x) > f(0) = 0 ,
x (0; )
2


.
0,5
Bài 2.
6,0
a.

3,0
ĐK: - 1 x 1.
0,5
Xét hàm số y = x +
2
1 x
trên đoạn [-1; 1], ta có:
y
/
= 1 -
2

x
1 x
=
2
2
1 x x
1 x


.
0,5
y
/
không xác định tại x = 1
0,25
y
/
= 0 <=>
2
1 x x =
0,25
<=>
2 2
x 0
1
x
2
1 x x

<=> =

=


0,5
Khi đó y(-1) = - 1 ; y(
1
) 2
2
=
; y(1) = 1.
0,5
Vậy max y =
2
khi x =
1
2
min y = - 1 khi x = - 1.
0,25
0,25
b.
3,0

x y
sinx
e (1)
sin y
cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)

x, y 0; (3)
4


=



+ = +






ữ



Ta có (1) <=>
/
x y
sin x sin y
(1 )
e e
=
0,5
Xét f(t) =
t
sin t

e
, t
0;
4



ữ

0,25
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B3
f
/
(t) =
t
2t t t
2.cos(t )
e (cos t sin t) cos t sin t
4
0 , t (0; )
4
e e e

+

= = >
.
0,25
=> f(t) đồng biến trên
0;

4


ữ

. Khi đó từ (1
/
) => x = y.
0,5
Thay vào (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1
<=> 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0
<=> 2sin
2
x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
<=> 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0
<=> (sinx + cosx) (2sinx - 1) = 0 0,5
<=> sinx =
1
2
(do sinx + cosx > 0
x (0; )
4


)
0,25
<=>
x k2
6
5

x k2
6


= +




= +


0,25
Do x
(0; )
4


nên x =
6

.
0,25
Vậy hệ có nghiệm:
;
6 6


ữ

0,25
Bài 3.
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

( )
2
cos 3x 9x 160x 800 1
8


+ + =


(1)
2,5
Ta có (1) <=>
2
(3x 9x 160 800) k2
8

+ + =
, k Z
<=>
2
9x 160 800+ +
= 3x - 16k
0,5
<=>
2

169x 800 (3x 16k)
2
3x - 16k 0
9x




+ + =


<=>
2
16k
x (1)
3
8k 25
x (2)
3k 5







=

+

0,5
Ta có (2) <=> 9x = 24k - 40 -
25
3k 5+ 0,5
Do k và x nguyên nên 3k + 5 là ớc của 25
Suy ra 3k + 5 {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25}
0,5
Giải ra ta đợc x = - 7 ; x = - 31.
0,5
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B4
Bài 4.
5,5
a.
Gọi C(a; b)
2,5
S =
1
2
CH.AB (1).
Ta có: AB =
2
0,25
Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =
a b 5
2

do đó: (1) <=>
a b 5
3 1
. . 2 a b 5 3

2 2
2

= =
.
<=>
a b 8
a b 2
=


=

0,25
0,25
0,25
Toạ độ G(
a 5 b 5
;
3 3
+
)
Ta có: G <=>
3(a 5) b 5
8 0
3 3
+
=
<=> 3a - b = 4.
0,5

TH
1
:
a b 8 a 2
3a b 4 b 10
= =



= =

=> C(-2; -10)
0,25
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 65 89+ +
=> r =
2S 3
2p
2 65 89
=
+ +
.
0,25
TH
2
:
a b 2 a 1
3a b 4 b 1
= =

= =

=> C(1; -1)
0,25
Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA =
2 5 2+
=> r =
3
2 5 2+
.
0,25
b
3,0
Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1.
d(I, ) =
2 2
1 2 1
2 R
1 ( 1)

= >
+
=> nằm ngoài (C) => từ M luôn
kẻ đợc hai tiếp tuyến với (C).
(học sinh phải vẽ hình)
0,5
Ta có: MT
1

IT
1
, MT
2
IT
2
=> T
1
, T
2
thuộc đờng tròn (C), đờng kính MI
=> T
1
T
2
là trục đẳng phơng của (C) và (C).
0,5
Do M nên M(m + 1; m) => trung điểm của IM là K(
m 2 m 2
;
2 2
+ +
)
0,25
Trang / 5 - Toán 12 THPT - Bảng B
I
M
T
2
T

1
5