Đề thi HSG 11 07-08 (tự biên soạn)

Phạm Quang Trờng A7ĐS1
Sở GD - ĐT Thanh hoá đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 11
Trờng thpt đông sơn i năm học: 2007-2008
đề chính thức (Thời gian làm bài 180, phút không kể thời gian giao đề)
Số báo danh:..
Bài 1: (4 điểm)
a) Tính giới hạn:
2
4
0
sin 2 sin sin 4
lim
x
x x x
x
A


=
b) Giải phơng trình:
4 2
1 2
(1 cot 2 .cot ) 48
cos sin
x x
x x
+ + =
Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh phơng trình:
5 4 3 2
4 5 2 5 11 0

7
x x x x
x
+ + + + =
luôn có nghiệm.
b) Giải phơng trình:
2 2
3 1 ( 3) 1x x xx + + = + +
Bài 3: (4 điểm)
a) Tổng
1 1 1 1 1 1
.... ....
1!2007! 3!2005! 1005!1003! 1007!1001! 2005!3! 2007!1!
S + + + + + + +=
có thể
viết dới dạng
2
!
a
b
với a, b nguyên dơng. Tìm cặp số (a, b) .
b) Tìm hệ số của số hạng chứa
20
x
trong khai triển nhị thức Newton của
9
5
1
n
x

x

ữ

+
biết :

20
2 1
1 2
2 1 2 1
2 1....
n
n
n n
C CC
+
+ +
= + + +
(
;
n
k
Cn Z
+

là tổ hợp chập k của n phần tử).
Bài 4: (4 điểm)
a) Cho hàm số
( ) ( 1)( 2)....( 2000)f x x x x x= + + +

. Tính
'( 1000)f
.
b) Cho
ABCV
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
4cos 5cos 5cosT A B C= + +
.
Bài 5: (2,5 điểm)
Cho parabol (P):
2
xy =
và đờng thẳng (d):
2xy =
.
a) Xác định toạ độ giao điểm
,A B
của (d) và (P).
b) Tìm điểm
M
trên cung
ẳ
AB
của parabol (P) sao cho tổng diện tích hai phần hình phẳng giới
hạn bởi (P) và hai dây cung
,MA MB
nhỏ nhất.
Bài 6: (2,5 điểm)
Cho hình chóp
SABCD

có
( )SA ABC
và
2SA a=
,
ABCV
vuông tại
C
với
2AB a=
.
0
30BAC =
. Gọi
I
là một điểm di đông trên cạnh
AC
,
J
là hình chiếu vuông góc của
S
trên
BI
.
a) Chứng minh
AJ
vuông góc với
BI
.
b) Đặt

AI x=
(
30 x a
). Tính khoảng cách từ
S
đến
BI
theo
a
và
x
. Tìm các giá trị của
x
để khoảng cách này có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
***Hết***

Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!