Đề thi và đáp án môn Toán tuyển vào lớp 10

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2008– 2009
- Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (1 điểm)
Hãy rút gọn biểu thức:
A =
a a 1 a a 1
a a a a
− +
−
− +
(với a > 0, a  1)
Câu 2. (2 điểm)
Cho hàm số bậc nhất y =
(
)
1 3−
x – 1
a) Hàm số đã cho là đồng biến hay nghòch biến trên R? Vì sao?
b) Tính giá trò của y khi x = 1 3+ .
Câu 3. (3 điểm)
Cho phương trình bậc hai:
x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Giải phương trình khi m = 0.
Câu 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh BA
lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP. Chứng minh rằng:
a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.
Câu 5. (1 điểm)
Cho một tam giác có số đo ba cạnh là x, y, z nguyên thỏa mãn:
2x
2
+ 3y
2
+ 2z
2
– 4xy + 2xz – 20 = 0
Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều.

GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1.(1 điểm)
Rút gọn:
A =
a a 1 a a 1
a a a a
− +
−
− +
(a > 0, a  1)
=
(
)
(
)
(
)

(
)
3 3
a 1 a 1
a a 1 a a 1
a a
a a 1 a a 1
− +
+ + − +
− = −
− +

=
a a 1 a a 1 2 a
2
a a
+ + − + −
= =
(a > 0, a  1)
Câu 2.(2 điểm)
a) Hàm số y =
(
)
1 3−
x – 1 đồng biến trên R vì có hệ số a =
(
)
1 3−
< 0.
b) Khi x =

1 3+
thì y =
(
)
(
)
1 3 1 3 1− + −
= 1 – 3 – 1 = - 3.
Câu 3.(3 điểm)
a) Phương trình x
2
– 4x + m + 1 = 0
Ta có biệt số 
’
= 4 – (m + 1) = 3 – m.
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

’
> 0  3 – m > 0  m < 3.
b) Khi m= 0 thì phương trình đã cho trở thành: x
2
– 4x + 1 = 0

’
= 4 – 1 = 3 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
= 2 -
3

, x
2
= 2 +
3
.
Câu 4.(3 điểm)
a) Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP
Ta có: O là giao điểm ba đường phân giác của ABC nên từ điều kiện giả thiết suy ra:
OBM = OMN (c.g.c)
⇒
OM = ON (1)
A
N
B
M
C
P
O
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
OCM = OCP (c.g.c)
⇒

OM = OP (2)
Từ (1), (2) suy ra OM = ON = OP.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP.
b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp
Ta có OBM = OMN
⇒

¶
µ
1 1
M N=
, OCM = OCP
⇒

µ
¶
2 2
P M=
Mặt khác
µ
µ
¶
¶
0
1 2 1 2
P P 180 M M+ = = +
(kề bù)
⇒

µ

¶
1 1
P M=
⇒

µ
µ
1 1
P N=
Vì
µ
µ
1 2
N N+
= 180
0
nên
µ
µ
1 2
P N+
= 180
0
.
Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.
Câu 5. (1 điểm)
Chứng minh tam giác đều
Ta có: 2x
2
+ 3y

2
+ 2z
2
– 4xy + 2xz – 20 = 0 (1)
Vì x, y, z  N
*
nên từ (1) suy ra y là số chẵn.
Đặt y = 2k (k  N
*
), thay vào (1):
2x
2
+ 12k
2
+ 2z
2
– 8xk + 2xz – 20 = 0  x
2
+ 6k
2
+ z
2
– 4xk + xz – 10 = 0
 x
2
– x(4k – z) + (6k
2
+ z
2
– 10) = 0 (2)

Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x.
Ta có:  = (4k – z)
2
– 4(6k
2
+ z
2
– 10) = 16k
2
– 8kz + z
2
– 24k
2
– 4z
2
+ 40 =
= - 8k
2
– 8kz – 3z
2
+ 40
Nếu k  2, thì do z  1 suy ra  < 0: phương trình (2) vô nghiệm.
Do đó k = 1, suy ra y = 2.
Thay k = 1 vào biệt thức :
 = - 8 – 8z – 3z
2
+ 40 = - 3z
2
– 8z + 32
Nếu z  3 thì  < 0: phương trình (2) vô nghiệm.

Do đó z = 1, hoặc 2.
Nêu z = 1 thì  = - 3 – 8 + 32 = 21: không chính phương, suy ra phương trình (2) không
có nghiệm nguyên.
Do đó z = 2.
Thay z = 2, k = 1 vào phương trình (2):
x
2
– 2x + (6 + 4 – 10) = 0  x
2
– 2x = 0  x(x – 2) = 0  x = 2 (x > 0)
Suy ra x = y = z = 2.
Vậy tam giác đã cho là tam giác đều.