Phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học sinh lớp 10 trong DH một số bài toán có nhiều hướng giải ở trường THPT

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

PH

Phát hiện

GQVĐ

Giải quyết vấn đề

NL

Năng lực

HS

Học sinh

THPT

Trung học phổ thông

DH

Dạy học

VĐ

Vấn đề

PPDH

Phương pháp dạy học

PT

Phương trình

HPT

Hệ phương trình

ĐVĐ

Đặt vấn đề

ĐK

Điều kiện

TMYCBT

Thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 1


MỞ ĐẦU

1.

Lý do chọn đề tài

1.1. Đâu đó trong cuộc sống chúng ta luôn bắt gặp những VĐ nảy sinh cần GQ.
VĐ do chủ quan hay khách quan đem lại, VĐ cần GQ của cá nhân, của tập thể, của
xã hội, của thế giới hay của cả hành tinh,... Các VĐ được GQ nhanh hay chậm,
chưa GQ hoặc không GQ được phụ thuộc rất nhiều yếu tố nhưng trong đó có yếu
tố quan trọng đó là phụ thuộc vào NLGQVĐ của con người. Bởi vậy việc phát
triển NL GQVĐ cho HS THPT là một vấn đề thiết thực, thường xuyên, đây cung là
định hướng mà cả xã hội đang quan tâm và đặt mục tiêu cho giáo dục nước nhà.
1.2 Một người được coi là có NL nếu trong một hồn cảnh nhất định người đó
nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để GQVĐ nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất.
Năng lực GQVĐ là một thể hiện của NL toán học là khả năng vận dụng những
kiến thức đã học đã được lựa chọn vào GQ các VĐ tốn học. Vì thế, phát triển
năng lực GQVĐ tốn học là rất cần thiết, điều này không những giúp HS hứng thú
học tập mơn Tốn nói riêng mà cịn giúp người học có những phẩm chất, NL GQ
cơng việc trong thực tiễn cuộc sống đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ đào tạo con
người mới.
1.3 Phát triển năng lực GQVĐ tốn học trong DH một số bài tốn có nhiều
hướng giải lớp 10 THPT có ý nghĩa và vai trị rất quan trọng trong việc DH tốn ở
trường phổ thơng. Tuy nhiên, phát triển năng lực GQVĐ toán học trong DH một số
bài tốn có nhiều hướng giải ở trường THPT nói chung, ở trường THPT vùng HS
là người dân tộc thiểu số chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ. Với những lý do
nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển năng lực GQVĐ toán học
cho học sinh lớp 10 trong DH một số bài toán có nhiều hướng giải ở trường
THPT”
2.

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất biện pháp phát triển năng lực GQVĐ toán học phù hợp với
lý luận DH toán và thực tiễn giáo dục Toán học ở trường THPT hiện nay, nhằm
phát triển NL tốn học cho HS, góp phần nâng cao chất lượng DH mơn Tốn ở
trường phổ thơng.
3.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những VĐ lý luận có liên quan đến VĐ phát triển NL Toán học và
năng lực GQVĐ Toán học;
- Nghiên cứu một số biện pháp phát triển năng lực GQVĐ toán học trong DH
một số bài toán có nhiều hướng giải nhằm phát triển NL tốn học;
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất;
Trang 2


4.

Giả thuyết khoa học

Nếu có biện pháp phù hợp để phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS trong
DH một số bài tốn có nhiều hướng giải ở trường THPT thì sẽ phát triển được NL
tốn học nói chung, năng lực GQVĐ tốn học nói riêng, đồng thời, góp phần nâng
cao chất lượng DH Toán ở trường THPT.
5.

Phương pháp nghiên cứu

15.1. Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan trực tiếp đến đề tài.
5.2. Điều tra - quan sát
Tìm hiểu thực trạng việc phát triển NL GQVĐ tốn học trong DH một số bài
tốn có nhiều hướng giải nhằm phát triển NL toán học cho HS bằng điều tra-quan
sát.
5.3. Thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các
biên pháp luận văn đề xuất.
6. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số bài tốn có nhiều hướng giải ở lớp 10 trường THPT nhằm
phát triển năng lực GQVĐ cho HS.
7.

Đóng góp của đề tài

- Về lý luận: Góp phần làm rõ một số yếu tố có liên quan đến phát triển năng
lực GQVĐ toán học cho HS lớp 10 trong DH một số bài tốn có nhiều hướng giải
ở trường THPT.
- Về thực tiễn: Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực GQVĐ
toán học cho HS lớp 10 trong DH một số bài toán có nhiều hướng giải ở trường
THPT thuộc miền núi khu vực Trung bộ, Việt Nam
Đề tài có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV Toán nhằm góp
phần năng cao hiệu quả DH Tốn ở trường THPT.
8.

Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, nội
dung chính của luận văn gồm các chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc phát triển năng lực GQVĐ

toán học cho HS lớp 10 trong dạy học một số bài tốn có nhiều hướng giải ở
trường THPT
Trang 3


Chương 2. Biện pháp góp phần phát triển năng lực GQVĐ toán học cho HS
lớp 10 trong dạy học một số bài tốn có nhiều hướng giải ở trường THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC
SINH LỚP 10 TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ NHIỀU
HƯỚNG GIẢI Ở TRƯỜNG THPT
1.1. Đổi mới PPDH theo xu hướng phát triển năng lực
Dạy học Toán theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ
Dạy học toán theo định hướng năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực
toán học của người học. Một trong các năng lực toán học cơ bản là năng lực
GQVĐ. Năng lực chỉ có thể có thơng qua học và luyện tâp.
Xét cho cùng thì tốn học là GQVĐ. GQVĐ là kĩ năng xử lý. Dạy học toán
theo hướng dạy học phát triển năng lực GQVĐ tiếp cận theo quan điểm:
* Năng lực GQVĐ coi là một trong các mục tiêu GD tốn học: mục tiêu GD
mơn Tốn khơng chỉ là giúp HS kiến tạo kiến thức, hình thành kĩ năng, mà HS học
cách PH và GQVĐ.
* Năng lực GQVĐ coi là một trong các nội dung GD toán học: GQVĐ là kĩ
năng có thể dạy được. Vấn đề là nên dạy khi nào? Nó thay thế cái gì? Nó cần được
tích hợp với các nội dung GD khác..
* Năng lực GQVĐ coi là một trong các tri thức phương pháp: quá trình
GQVĐ thường gồm một số bước, nên dạy cho HS biết cách sử dụng các bước khi
GQVĐ.
Bước 1
Tiếp cận và phát hiện VĐ

Bước 2
Định hướng
GQVĐ

Bước
ước3 3
Tìm và trình bày câu trả lời
Tìm và
trình bày
câu trả lời

Bước 4

Kiểm tra và
giải thích

*
Năng lực GQVĐ có thể đánh giá được.
Có thể tiến hành dạy học PH và GQVĐ trong môn Tốn theo quy trình:
i) GV đưa ra tình huống có VĐ;
ii) GV tổ chức cho học sinh PH và GQVĐ (theo 4 bước ở hình trên);
iii) GV xác nhận kết quả GQVĐ và phát triển.
1.2. Thực tiễn phát triển năng lực GQVĐ toán học trong DH ở trường
THPT hiện nay.
1.2.1. Về phía học sinh
Trang 4


Thực trạng HS học mơn Tốn tại trường THPT Kỳ Sơn (Phụ lục).

Chúng tôi đã điều tra việc học tập mơn Tốn nói chung, tình hình phát triển
NLGQ vấn đề của 194 HS trường THPT Kỳ Sơn, tỉnh Nghệ An.
Khối lớp

Số lớp

Số HS

Lớp 10

2

88

Lớp 11

2

74

Lớp 12

1

32

Tổng cộng

194

Kết quả điều tra cho thấy:
1) 100% số HS được hỏi ý kiến cho rằng, học Tốn giúp ích các em
trong việc rèn luyện tư duy nhất là NL GQVĐ.
2) Có 86 HS (44%) HS cho rằng học yếu, kém mơn Tốn do kiến thức
lớp dưới nắm khơng vững.
3) Có 182 HS (94%) cho rằng bị hổng kiến thức ở lớp dưới.
4) Có 141 HS (73%) thỉnh thoảng đọc thêm sách tham khảo.
5) Có 132 HS (68%) cho rằng “Nếu có chiếc điện thoại có ứng dụng
internet thì sử dụng chức năng chủ yếu để giải trí”.
6) Trả lời câu hỏi “Bạn có muốn đậu vào trường đại học không?”.
113 HS (62%) trả lời “có”, 63 HS (34%) trả lời “Muốn nhưng biết
chắc là khơng đậu”.
7) Có 122 HS (63%) gia đình gặp nhiều khó khăn.
8 Khả năng tiếp thu bài giảng trên lớp chậm: 152 HS (78%).
9) Có 124 HS (64%) khơng xem lại bài cũ và làm bài tập ở nhà?
10) Có 100 HS (52%) cho rằng GV chưa quan tâm đến ngun nhân
dẫn đến tình trạng yếu kém mơn Tốn của từng em?
Tính đến hết năm 2017, huyện Kỳ Sơn là 62 huyện nghèo nhất cả
nước (hơn nữa là 1 trong 10 huyện nghèo nhất trong 62 huyện nghèo này),
trên 57% hộ gia đình là gia đình nghèo đặc biệt khó khăn. HS của trường
chủ yếu là con em dân tộc thiểu số Thái, H’mông, Khơmú. Sinh sống ở các
bản làng nghèo nàn, lạc hậu, người dân vẫn mang nặng tâm lý trơng chờ, ỷ
lại vào các chính sách trợ cấp của Nhà nước. Đa số HS chỉ đến năm học cấp
ba các em mới rời làng bản ra thị trấn học nên các em còn nhiều hạn chế.
Trang 5


Những HS học tốt thì về học nội trú tỉnh. Phần còn lại HS học cấp 1, 2 ở thị
trấn chủ yếu là gia đình cán bộ miền xi lên cơng tác có điều kiện chuyển
con về học trường cấp 3 dưới xuôi.

Chất lượng đầu vào lớp 10 rất thấp. Số HS có kết quả thi vào lớp 10
mơn Tốn dưới thiết bị dạy học rất nhiều. Đặc biệt nhiều em chỉ được 0,25
điểm mơn Tốn đã đủ điểm vào lớp 10. Tình trạng ngồi nhầm lớp vẫn cịn
làm ảnh hưởng đến việc tiếp thu kiến thức của các em. Vì vậy HS hổng kiến
thức rất nặng nề. Có HS viết, đọc chưa thạo, bảng cửu chương chưa thuộc.
Chỉ đến năm học cấp ba các em mới rời làng bản ra thị trấn học,khơng
có gia đình bên cạnh một số em lại lao vào các quán game, quán internet,
bida... dẫn đến sao nhãng việc học.
Một số HS có hồn cảnh đặc biệt về gia đình, về hồn cảnh kinh tế.
Một số phụ huynh chưa thực sự quan tâm đến việc học tập của con em mình.
Một số em vì nhiều lí do khác nhau đã rỗng kiến thức cũ, nay lại phải tiếp
thu kiến thức mới nên rất vất vả, đâm ra chán nản, chây lười, quậy phá dẫn
đến chất lượng yếu kém. Đa số HS không định hướng được tương lai của
mình sau khi học xong sẽ làm gì. Trong giờ học GV hỏi câu dễ nhất HS
không trả lời được, chỉ ngồi im và chép bài. Kiểm tra bài tập về nhà thì HS
trả lời: “Em khơng được làm”. HS bỏ tiết, bỏ học chính khố và học phụ đạo
nhiều. nhất là trước và sau tết hoặc là các ngày nghỉ lễ.
HS tính tốn những phép tính đơn giản khơng được. Học trước qn
sau. Kĩ năng giải tốn và tư duy kém. Nhận thức chậm, chậm hiểu. Khả năng
học thuộc và ghi nhớ kiến thức kém.
Không nắm vững kiến thức, kỹ năng cơ bản theo yêu cầu tối thiểu của
chuẩn kiến thức, kĩ năng. Hạn chế trong tư duy lơgíc và khả năng so sánh, tổng
hợp, khái qt hố. Khơng làm hoặc làm rất ít bài tập, khơng đảm bảo yêu
cầu.Việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập khó khăn.
Bị nhiều điểm kém và thường có tính tự ti hoặc bất cần. Nguyên nhân
học kém của HS: HS bị hổng kiến thức từ lớp dưới; HS không có hứng thú
học tập. NL HS có hạn nên nghĩ chỉ cần tốt nghiệp là lập gia đình và làm rẫy.
Nghe lời một số cá nhân đi làm công ty ở các thành phố với mức lương cao.
Một số HS nghĩ “Học cũng như thế không học cũng như thế”. Theo bạn bè
chơi các quán internet và đi chơi bạn khác giới. Một bộ phận HS chưa xác

định được động cơ, thái độ học tập, chưa thực sự có tinh thần vượt khó,
vươn lên mà cịn chây lười, thụ động trong học tập.
Do đặc điểm của mơn Tốn là bộ mơn suy luận lơgic, địi hỏi HS
khơng những phải nắm vững kiến thức về định nghĩa, định lý, hệ quả, tính
Trang 6


chất, quy tắc,… một cách cơ bản có hệ thống mà cịn phải biết suy luận,
phân tích, tổng hợp, lập luận. Là bộ mơn hơi khó học nên tỉ lệ HS yếu kém
tương đối cao. Về GV và cán bộ quản lí nhà trường: PPDH chậm đổi mới,
kiểm tra đánh giá chưa nghiêm túc, chưa có tác dụng khích lệ HS học tập,
thậm chí tạo điều kiện cho HS chây lười. Chúng tôi đã thu thập ý kiến của
HS đối với GV và nhà trường bằng câu hỏi “Em hãy nói những ý kiến đề
nghị của mình về GV và nhà trường để em học tập tốt mơn Tốn hơn”. Kết
quả thu được:
Đối với GV: Ra bài tập nhiều nhưng phù hợp với HS, thường xuyên
kiểm tra bài. Ôn lại kiến thức đã học ở lớp dưới có liên quan trước khi học
bài mới. Giảm nhẹ lí thuyết, lấy nhiều ví dụ minh hoạ. Tạo khơng khí học
tập vui vẻ, thoải mái và hứng thú trong giờ học. Dành 5 phút cuối giờ để trau
đổi với HS xem có gì thắc mắc không. Cần quan tâm, động viên, giúp đỡ HS
học tập và đời sống. Cần kiểm tra bài cũ và vở bài tập thường xuyên.
Đối với nhà trường: Cần quan tâm, giúp đỡ những HS khó khăn và
HS cá biệt, đặc biệt là HS có nguy cơ bỏ học (HS lấy chồng). Phân chia lớp
học theo khá, trung bình, yếu, kém. Cần mở phòng đọc, phòng thư viện, cho
HS mượn sách tham khảo. Đoàn trường cần quan tâm nhiều tới đời sống của
đoàn viên. Thành lập câu lạc bộ toán học. Tổ chức ngoại khoá về hướng dẫn
phương pháp học cho HS.
1.3. Thực trạng dạy học mơn Tốn
Xuất phát từ yêu cầu nâng cao chất lượng GD và đào tạo, Bộ GD và
Đào tạo quyết tâm đổi mới nội dung và phương pháp GD. Việc đổi mới

PPDH được xem là chìa khóa của VĐ nâng cao chất lượng. Thế nhưng ở các
trường phổ thông hiện nay, các PPDH được GV sử dụng chủ yếu vẫn là các
phương pháp truyền thống; nặng về giảng giải thuyết trình. VĐ cải tiến
PPDH theo hướng phát huy tính tích cực của HS đã được đặt ra nhưng kết
quả chưa được như mong muốn. GV đã có ý thức lựa chọn PPDH chủ đạo
trong mỗi tình huống điển hình ở mơn Tốn nhưng nhìn chung cịn nhiều
VĐ chưa được GQ. Phương pháp thuyết trình cịn khá phổ biến. Những
PPDH phát huy được tính tích cực, độc lập sáng tạo ở HS như DH PH và
GQVĐ, DH bằng các hoạt động khám phá có hướng dẫn, DH chương trình
hóa thì GV ít sử dụng. Có tình trạng đó là do phần đơng GV chưa thực sự
nắm vững PPDH này. GV chưa nắm vững quy trình, chỉ dẫn hành động để
thiết kế bài giảng phù hợp; một mặt khả năng tự học, tự nghiên cứu tìm hiểu
các PPDH mới ở một số GV còn hạn chế. Vì vậy khi vận dụng các PPDH
mới, khó hồn thành nội dung chương trình DH trong khn khổ thời lượng
đã ấn định. VĐ thu hút số đông HS yếu kém tham gia các hoạt động cũng
Trang 7


gặp khơng ít khó khăn. Kết quả là hiệu quả DH chẳng những khơng được
nâng cao mà nhiều khi cịn giảm sút. Thực tế hoạt động DH Toán hiện nay ở
nhiều trường THPT có thể mơ tả như sau:
DH phần lý thuyết: GV dạy từng chủ đề theo các bước, đặt VĐ, giảng
giải để dẫn HS tới kiến thức, kết hợp với đàm thoại nhằm uốn nắn những
lệch lạc nếu có, củng cố kiến thức bằng ví dụ, hướng dẫn công việc học tập
ở nhà.
Dạy phần bài tập: HS chuẩn bị ở nhà hoặc ít phút ở lớp, GV gọi một
vài HS lên bảng trình bày lời giải, những HS khác nhận xét lời giải, GV sửa
và đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho HS. Một số bài toán
sẽ được phát triển theo hướng đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa cho
đối tượng HS khá giỏi.

Dạy phần ơn tập: Ơn lý thuyết; GV đặt câu hỏi cụ thể VĐ nào đó nằm
trong chương cần ôn tập, cho HS trả lời và GV trình bày lên bảng theo tuần
tự theo các câu hỏi mình đặt ra và theo thứ tự được sắp xếp trong sách giáo
khoa. Củng cố kiến thức thông qua bài tập; sau khi hỏi kiểm tra trí nhớ về lý
thuyết tiếp tục ra bài tập cho HS chuẩn bị ít phút, gọi lên bảng trình bày hoặc
đứng tại chỗ trả lời.Từ thực tế của cách DH trên đã cho thấy những tồn tại như
sau:
Việc rèn luyện tư duy logic cho HS không đầy đủ, thường chú ý đến
việc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp. GV ít chú ý đến
việc giải Tốn bằng cách tổ chức các tình huống có VĐ, địi hỏi dự đốn,
nêu giả thuyết, tranh luận những ý kiến trái ngược hay các tình huống chứa
các điều kiện xuất phát rồi yêu cầu HS đề xuất các giải pháp.
Hầu hết các GV cịn sử dụng nhiều phương pháp thuyết trình và đàm
thoại chứ chưa chú ý đến nhu cầu, húng thú của HS trong quá trình học.
Hình thức DH chưa đa dạng, chưa phong phú, cách thức truyền đạt
chưa sinh động, chưa tạo ra được sự hứng thú cho HS. HS tiếp nhận kiến
thức chủ yếu còn bị động. Những kỹ năng cần thiết của việc tự học chưa
được chú ý đúng mức. Do vậy việc DH tốn ở trường phổ thơng hiện nay
còn bộc lộ nhiều điều hạn chế mà cần đổi mới. Đó là học trị chưa thật sự
hoạt động một cách tích cực, chưa chủ động và sáng tạo, chưa được thảo
luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn còn yếu. Vai trị của thầy vẫn chủ yếu là người thơng báo sự kiện, là
người dạy cách chứng minh, cách phán đốn và một thói quen làm việc nhất
định chứ chưa phải là người "khơi nguồn sáng tạo", "kích thích HS tìm
đốn", “tự chủ trong việc GQVĐ”.
Trang 8


Kết luận chương 1
Lý luận và thực tiễn việc phát triển năng lực GQVĐ toán học cho học

sinh trong dạy học một số bài tốn có nhiều hướng giải ở lớp 10 trường
THPT cho thấy: Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát triển năng lực
GQVĐ toán học cho học sinh là cần thiết, đồng thời đáp ứng được mục tiêu
đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo theo tinh thần Nghị quyết số
29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013.
Muốn phát triển cho HS năng lực toán học nói chung, năng lực
GQVĐ nói riêng cần phải tạo ra các hoạt động, thúc đẩy được yếu tố của
quá trình DH: Xác định mục tiêu dạy học một số bài tốn có nhiều hướng
giải ở lớp 10; Các khâu cơ bản của q trình DH một số bài tốn có nhiều
hướng giải ở lớp 10; Nội dung DH một số bài tốn có nhiều hướng giải ở lớp
10 trường THPT; Những thành tố cơ sở của phương pháp DH toán; là cơ sở
cho việc định hướng, xây dựng các biện pháp phát triển năng lực GQVĐ cho
HS THPT.

Trang 9


Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 TRONG DẠY
HỌC MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ NHIỀU HƯỚNG GIẢI Ở TRƯỜNG THPT
2.1. Thực hiện theo tinh thần của việc Phát triển chương trình giáo dục
nhà trường
1) Rà sốt nội dung chương trình, SGK hiện hành để loại bỏ những thông tin
cũ, lạc hậu đồng thời bổ sung, cập nhật những thông tin mới phù hợp. PH và xử lý
sao cho khơng cịn những nội dung DH trùng nhau; những nội dung, bài tập, câu
hỏi trong SGK yêu cầu vận dụng kiến thức quá sâu, không phù hợp trình độ nhận
thức nhất là đối với HS vùng dân tộc thiểu số.
2) Vận dụng các phương pháp, hình thức tổ chức DH, hoạt động GD tích
cực. Triển khai các phương pháp, hình thức tổ chức DH, GD theo hướng phát huy
tính chủ động, tích cực, tự học, phát triển NL HS. Ngoài việc tổ chức cho HS thực

hiện các nhiệm vụ học tập ở trên lớp, cần coi trọng giao nhiệm vụ và hướng dẫn
HS học tập ở nhà, ở ngồi nhà trường.
3) Vận dụng các hình thức kiểm tra, đánh giá theo hướng coi trọng phát triển
NL. Kiểm tra, đánh giá không chỉ tập trung vào việc xem HS học cái gì mà quan
trọng hơn là kiểm tra HS đó học như thế nào, có biết vận dụng không.
2.2. Lập kế hoạch DH theo định hướng phát triển NL GQVĐ
* Xác định mục tiêu học: Nên chú trọng đến một số mục tiêu thực sự, đặc
biệt là mức độ về kĩ năng PH và GQVĐ đối với từng nhóm đối tượng HS (yếu,
trung bình, khá, giỏi).
* Tạo VĐ của bài học: dựa vào SGK, các tài liệu tham khảo, căn cứ vào
chuẩn đầu ra về kiến thức, kĩ năng tương ứng, trình độ của HS và điều kiện DH để
tạo ra VĐ.
* Xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt HS PH và GQVĐ, nên đặt các câu hỏi
“mở”, khơi dậy sự thích thú, chỉ ra được sự phong phú, phức tạp của VĐ. Đây là
Trang 10


điểm mấu chốt, là ý tưởng cốt lõi của việc phát triển năng lực GQVĐ?
* Dự kiến cách đánh giá kết quả học tập của HS trong quá trình tiến hành
bài học. GV nên tự đặt ra câu hỏi: điều gì chứng tỏ HS hiểu bài và đạt được mục
tiêu đã đề ra? Có thể bằng sự giải thích, hoặc bằng vận dụng, được thể hiện dưới
dạng nói, viết, hoặc dưới dạng sản phẩm khác.
Thực hiện kế hoạch bài học theo hướng DH phát triển NL GQVĐ
Yêu cầu sư phạm đặt ra là: về mặt tổ chức, HĐ của GV và HS nhịp nhàng,
rành mạch, hợp lí về thời gian; về mặt logic, các “VĐ” sắp xếp một cách hợp lí; về
mặt tâm lí, tạo cho HS hứng thú học tập, muốn hiểu biết và có ý chí để tiến bộ
trong học tập.
2.3. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho các em khi giải bài toán so
sánh nghiệm của tam thức bậc hai hoặc của phương trình với một số ở lớp 10:
Các đặc điểm về dạng của bài tốn là phần hình thức của bài tốn. Do sự

thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức của bài
tốn về thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung của bài tốn.
Chính vì thế, nhiều bài tốn có được nhiều lời giải hoặc có lời giải hay là nhờ vào
việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài tốn từ đó việc GQVĐ sẽ đạt
được theo ý muốn. Mặt khác, do tính phong phú của hình thức nên các đặc điểm về
dạng biểu hiện muôn màu mn vẻ, địi hỏi người giải Tốn phải biết cách nhìn bài
tốn đó. Xem mấu chốt vấn đề cần GQ là gì? Nên GQ vấn đề đó như thế nào? Có
bao nhiêu cách GQ? Chúng ta cùng xem xét một số bài tốn sau:
2
Bài 1: (Mức độ thơng hiểu) Cho phương trình: x − 2mx + 4m − 3 = 0 (1)

Tìm m dể phương trình có 2 nghiệm phân biệt dương (hoặc lớn hơn khơng).
Gặp dạng tốn này Hs khá trong lớp có thể GQVĐ một cách khơng mấy khó khăn.
Hs phát hiện ra việc áp dụng định lí Vi-ét

Trang 11


Lời giải: Tmycbt


m ∈ (−∞;1) ∪ (3; +∞)
 m − 4m + 3 > 0
∆ > 0

3


⇔ S > 0 ⇔ 
m>0

⇔
m>0
⇔ m ∈ ( ;1) ∪ (3; +∞)
4
P > 0
 4m − 3 > 0

3



m ∈ ( ; +∞)

4
2

Nhưng khi gặp câu hỏi tìm m dể phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Chắc chắn HS sẽ gặp khó khăn để GQVĐ trên, cụ thể:
2
Bài 2: (Mức độ vận dụng) Cho phương trình: x − 2mx + 4m − 3 = 0 (1)

Tìm m dể phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2?
ĐVĐ: để so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với 1 số khác không ta GQ như
thế nào? Vấn đề đặt ra ở đây là ta có thể chuyển bài tốn về dạng quen thuộc
khơng? Liệu ta có thể đưa VĐ so sánh nghiệm với số 2 về VĐ so sánh nghiệm với
số khơng quen thuộc khơng? HS giỏi có thể sẽ liên tưởng đến vấn đề đặt ẩn phụ.
Cụ thể lời giải như sau:
Cách 1: (Mức độ vận dụng) Đặt X=x-2 khi đó phương trình trở thành:
( X + 2) 2 − 2m( X + 2) + 4m − 3 = 0 ⇔ X 2 − 2( m − 2) X + 1 = 0 (2)

VĐ cần GQ bây giờ đã quen thuộc: tìm m để pt (2) có 2 nghiệm phân biệt dương
m 2 − 4m + 3 > 0
∆ > 0


⇔ P > 0 ⇔ 
1> 0
⇔ m>3
S > 0
 2m − 1 > 0



Cách 2: (Mức độ vận dụng) Tiếp tục ĐVĐ cho Hs xem có hướng nào GQVĐ này
nữa khơng? VĐ này có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để GQ
Trang 12


không? Hoặc dựa vào đồ thị của hàm số bạc 2 chúng ta GQ bài toán này như thế
nào? GV minh họa trục số (hoặc phác họa đồ thị của hàm số bậc 2) sau đó nếu HS


 ∆>0

⇔  af (2) > 0 ⇔ ... ⇔ m > 2
 s

>2
khơng phát hiện được thì GV gợi ý để tìm ra đk  2

Cách 3: (Mức độ vận dụng) Nếu dùng đồ thị ta có thể GQVĐ một cách trực quan
và dễ dàng hơn, GV có thể mơ tả dạng của đồ thị trong bài toán này như sau:

GQVĐ: phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn
hơn 2 sẽ xuất hiện 2 vấn đề nảy sinh: f (2). f ( xD )
mang dấu gì? ngồi ra xD có mối liên hệ như thế
nào với số 2? Nếu Hs không phát hiện ra GV có thể gợi ý điều kiện:

Tmycbt

1> 0
 f (2) > 0


 2
⇔  f ( x D ) < 0 ⇔  − m + 4m − 3 < 0 ⇔ m > 3
 x >2

m>2
 D


( xD là hoành độ đỉnh parabol)

Cách 4: (Mức độ vận dụng cao) Nếu là Hs lớp 12 GV ĐVĐ để giải bài tốn lớp
10 này ta có thể dùng cơng cụ bảng biến thiên (hoặc dựa vào sự tương giao của 2
đồ thị) khơng? Nếu giải quyết được thì ai có thể nêu phương pháp?

Gợi ý để HS GQVĐ biến đổi

(1) ⇔

x2 − 3
=m
2x − 4
, từ đó VĐ đặt ra ở đây cần GQ?

x2 − 4x + 3
x2 − 3
'
f
(
x
)
=
f ( x) =
2( x − 2) 2
2 x − 4 ta có
Đặt

Trang 13


x =1
f ' (x) = 0 ⇔ 
 x = 3 lập bảng biến thiên

x

2

-

f ' ( x)

+∞

3
0

+

+∞

+∞

f(x)
3
f(x) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi và chỉ khi m > 3
Rút kinh nghiệm: Để toàn bộ các em học sinh trong lớp có thể GQ được VĐ
tương tự thì GV có thể lật dấu so sánh như nhỏ hơn, nhỏ hơn hoặc bằng, hay
nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2,… nhằm phát triển NL GQVĐ cho cả lớp nhờ vào
việc cho các em lên sửa ngay trên lời giải cũ.
2
VD: Cho phương trình: x − 2mx + 4m − 3 = 0 (1)

Tìm m dể phương trình có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn hoặc bằng 2?
Ở mức độ vận dụng cao GV có thể ra bài tốn:
2
Bài 3: Cho pt x + mx + 2 = 2 x + 1

(1)

Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
Hs nhận dạng và dễ dàng biến đổi được (1)
1

2x + 1 ≥ 0
x≥−


⇔ 2
⇔
2
2
 x + mx + 2 = (2 x + 1)
 x 2 + mx + 2 = (2 x + 1) 2
1

x≥−

⇔
(2)
2
3x 2 − (m − 4) x − 1 = 0 (*)

Trang 14


nhưng việc Hs GQVĐ (2) có 2 nghiệm phân biệt là hơi khó. VĐ cần GQ ở đây là
gì? (*) phải có đk như thế nào thì tmycbt?

Hs cần GQVĐ ở đây là pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

≥−

1
2

Đến đây ta đã chuyển được về bài toán quen thuộc và yêu cầu Hs GQVĐ theo 4
cách khác nhau như bài toán trên.
Lời giải cụ thể như sau:
1
Cách 1: Đặt X=x+ 2 khi đó phương trình trở thành:
1
1
2m − 9
3( X − ) 2 − (m − 4)( X − ) − 1 = 0 ⇔ 3 X 2 − (m − 1) X +
=0
2
2
4
(3)

VĐ cần GQ bây giờ đã quen thuộc, tìm m để pt (3) có 2 nghiệm phân biệt không âm
m 2 − 8m + 28 > 0
∆ > 0
9


⇔ S ≥ 0 ⇔ 

m −1 ≥ 0
⇔m≥
2
P ≥ 0


 2m − 9 ≥ 0

Cách 2: Tiếp tục ĐVĐ cho HS xem có hướng nào GQVĐ này nữa khơng? VĐ này
có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để GQ không? GV minh họa
trục số sau đó nếu HS khơng phát hiện được thì GV gợi ý để tìm ra đk


 ∆>0

1
9

⇔ af (− ) ≥ 0 ⇔ ... ⇔ m ≥
2
2

1
 s
 2 ≥ − 2

Trang 15


Cách 3: Nếu dựa vào đồ thị của hàm số bậc 2 trong trường hợp này ai có thể vẽ

phác thảo đồ thị và đưa ra điều kiện để GQ? Gợi ý để Hs GQVĐ như sau:
2
Đặt f ( x) = x − 2mx + 4m − 3 ta có f(x) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi và chỉ

1

 f (− 2 ) ≥ 0

1
9

⇔ ... m ≥
 xD ≥
2
2

 f ( xD ) < 0

khi 
( xD là hoành độ đỉnh parabol).

Cách 4: Các em giải tương tự VD trên theo cách tách m về một vế sau đó sử dụng
bảng biến thiên để đánh giá sự tương giao của 2 đồ thị.
Bài tập cho HS tự PTNL GQVĐ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 x 2 − 2(m + 4) x + 5m + 10 + 3 − x = 0

(1)

(m - tham số)

ĐS: m ≥ 3
Tổng qt: Thơng qua 3 bài tốn trên GV có thể ĐVĐ cho HS GQ bài tốn tổng
quát so sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với một số α bất kỳ.

2.4. Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho các em khi giải một số
phương trình vơ tỷ ở lớp 10:
Để khơi dậy sự tị mò, sáng tạo cũng như tạo niềm tin cho HS, GV có thể bắt
đầu bằng một VD từ đề thi học sinh giỏi Tỉnh Nghệ an năm học 2016-2017 như
sau:
Bài 1: Giải pt: x x + 1 − 3 x + 3 = 0

(1)

Trang 16


ĐVĐ: Khi chúng ta nhìn vào phương trình thì dễ thấy được hướng GQVĐ nhưng
thực ra để nhận ra có bao nhiêu hướng GQ, để khử dấu căn lại là một vấn đề không
dễ nhận thấy đối với HS, nhất là đối với HS vùng cao. Để các em thảo luận và tìm
ra các hướng GQVĐ cùng với sự gợi ý của GV là một điều kích thích được sự tìm
tịi, đề xuất các phương án. Cùng với sự hợp tác, giao tiếp các em sẽ nêu được vấn
đề, cùng nhau đề xuất các cách giải.
Với ĐK x ≥ −1
Cách 1: (Mức độ vận dụng) Đặt 1 ẩn phụ từ đó chúng ta có thể khử được căn
thức rồi đưa pt về dạng quen thuộc đã có cách giải. Cụ thể:
Đặt t = x + 1 ≥ 0 ta có:
(t 2 − 1)t − 3(t 2 − 1) + 3 = 0 ⇔ t 3 − 3t 2 − t + 6 = 0 ⇔ (t − 2)(t 2 − t − 3) = 0


t=2


 1 − 13
⇔ t =
(L)
2


1 + 13
 t=

2
ta được

 x=3

 5 + 13 
T = 3;
 x = 5 + 13

2 


2

. Vậy pt có 2 nghiệm

Cách 2: (Mức độ vận dụng) chuyển vế rồi bình phương quen thuộc:
2
(1) ⇔ x x + 1 = 3x − 3 ⇒ ( x − 3)( x − 5 x + 3) = 0 ⇔ .... thử lại ta được 2 nghiệm.

Cách 3: (Mức độ vận dụng cao):

( 1) ⇔ x (

)

x + 1 − 2 − ( x − 3) = 0 ⇔ x

(

) (

x +1 − 2 −

x +1 − 2

)(

)

x +1 + 2 = 0

Trang 17


⇔

(

 x +1 − 2 = 0

x +1 − 2 x − x +1 − 2 = 0 ⇔ 
 x − 2 − x + 1 = 0

)(

)

( 1a )
( 1b )

( 1a ) ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3
x ≥ 2

( 1b ) ⇔ 

2
 x − 5x + 3 = 0

⇔x=

5 + 13
2

 5 + 13 
T = 3;

2 


Đối chiếu điều kiện, (2) có tập nghiệm

Nếu bài tốn được sử dụng máy tính bỏ túi thì việc GQVĐ sẽ có hiệu quả nhanh.
2
Bài 2: Giải pt: x − 1 = x + 1

ĐK: x ≥ −1
Cách 1: (Bình phương 2 vế)


x2 ≥ 1
x2 ≥ 1
x −1 = x + 1 ⇔  4
⇔
2
2
 x − 2x − x = 0
 x( x + 1)( x − x − 1) = 0
2

 x2 ≥ 1


 x = −1
  x = 0
⇔ 
⇔
x = 1+ 5
  x = −1

2


1
±
5

 x=
 
2
. Vậy pt có 2 nghiệm

 x = −1

x = 1+ 5

2

Cách 2: (Đặt ẩn phụ)
2
Đặt t = x + 1 ≥ 0 ta được t = x + 1

Trang 18


Hướng 1: (Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn đưa pt về hệ pt)

kết hợp với pt ban đầu ta có

t 2 = x + 1
 2
x = t +1

đây là hệ pt đối xứng loại 2 trừ vế theo vế ta


x −1 = x
 x=t
( x − t )( x + t + 1) = 0 ⇔ 
⇔
x + t +1 = 0
 x − 1 = − x − 1
được

Đến đây ta dễ dàng giải được
Hướng 2: Biến đổi pt về dạng bậc 4 ẩn t và giải như cách 1
Cách 3: (Biến đổi về phương trình tích)

x +1 = 0
x 2 − 1 = x + 1 ⇔ x + 1( x + 1( x − 1) − 1) = 0 ⇔ 
 x x + 1 − x + 1 − 1 = 0 (*)

Đến đây dễ thấy để GQ pt (*) ta cũng có rất nhiều hướng:
2
3
Hướng 1: Đặt t = x + 1 ≥ 0 ⇔ x = t − 1 ta có pt t − 2t − 1 = 0

2
3
2
Hướng 2: Thế x + 1 = x − 1 từ pt ban đầu vào ta được pt x − x − 1 = 0

Hướng 3: (Trục căn thức)
(*) ⇔ x x + 1 −

( x + 1 − 1)( x + 1 + 1)
1
= 0 ⇔ x( x + 1 −
)=0
x +1 −1
x + 1 −1

Dễ dàng giải tiếp ta có nghiệm
Cách 4: (Trục căn thức đưa pt về tích)
x 2 − 1 = x + 1 ⇔ x 2 − ( x + 1 + 1) = 0

Trang 19


+) Xét x + 1 − 1 = 0 ⇔ x = 0 không là nghiệm pt

+) Với

x ≠ 0, pt ⇔ x 2 −

( x + 1 − 1)( x + 1 + 1)
x
1
= 0 ⇔ x2 −
= 0 ⇔ x( x −
)=0
x +1 −1

x +1 −1
x +1 −1

Đến đây chúng ta dễ dàng giải để tìm nghiệm.
Bài 3: Giải phương trình:

x + 1 + 1− x = 2

(1)

PH GQVĐ: Nhìn vào phương trình chúng ta có thể thấy đây là một phương trình
chứa 2 dấu căn bậc 2 bình thường, điều quan trọng vấn đề đặt ra ở đây là GQ cái
gì? Khử căn bậc 2 theo hướng nào? Các đại lượng trong căn có mối liên hệ gì đặc
biệt khơng? (Nên tổ chức cho các em thảo luận tìm tịi, PH và tìm ra các phương án
GQ)
Đk

x ∈ [ −1;1]

Cách 1: Bình phương hai vế:
2
2
(1) ⇔ 1 − x = 1 ⇔ 1 − x = 1 ↔ x = 0 (là nghiệm)

Cách 2: Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình với ẩn là ẩn phụ
2
Đặt t = x + 1 với t ∈ [0; 2] ⇒ x = t − 1

2
2

(1) ⇔ t + 2 − t = 2 ⇔ 2 − t = 2 − t

⇔ 2 − t 2 = 4 − 4t + t 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1
⇔ x + 1 = 1 ↔ x = 0 (là nghiệm)
Trang 20


Cách 3: Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình với ẩn là các ẩn phụ

a = x + 1 ≥ 0 a 2 = x + 1
→ 2
⇒ a 2 + b2 = 2

b = 1 − x ≥ 0  b = 1 − x
Đặt 
a + b = 2
⇒ a = b = 1⇒ x = 0
 2
a + b2 = 2

Ta có hệ:
(thỏa mãn là nghiệm)

Cách 4: Nhân liên hợp để đưa về phương trình tích
Do phương trình có 1 nghiệm x = 0 nên (1) ⇔ x + 1 − 1 + 1 − x − 1 = 0
⇔

x
x
1

1


−
=0 ⇔x
−
=0
x +1 +1
1− x +1
1 − x + 1 
 x +1 +1

x = 0
⇔
1
1

=
⇔ x +1 +1 = 1 − x +1 ⇔ x +1 =1 − x ⇔ x = 0
1− x +1
 x + 1 + 1

(thõa mãn là nghiệm)
Cách 5: Nhân liên hợp để đưa về hệ phương trình

x + 1 + 1− x = 2

(1)

TH1: Với

x + 1 − 1 − x = 0 ⇔ x = 0 thay vào (1) đúng nên x = 0 là nghiệm

TH2: Với

x + 1 − 1 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 ta có

(

x +1 + 1 − x

)(

x +1 − 1 − x

x +1 − 1 − x

) =2⇔

2x
=2
x +1 − 1 − x

Trang 21


⇔ x + 1 − 1− x = x
 x + 1 − 1 − x = x
⇒ 2 x +1 = x + 2


x +1 + 1− x = 2
Ta có hệ: 

⇒ 4x + 4 = x 2 + 4x + 4 ⇔ x = 0 (loại)
KL: Nghiệm x = 0
Cách 6: Sử dụng bất đẳng thức:

(
Ta có:

x +1 + 1 − x

)

2

≤


(

x +1

) +(
2

)

2
1 − x  12 + 12  = 4



x + 1 + 1− x ≤ 2 ⇒ x + 1 + 1− x = 2

Khi

x +1
1− x
=
⇔x =0
1
1
(thỏa mãn là nghiệm)
a)

•

x2 − 7 + 9 − x2 = 2

2
Cho HS giải thêm pt : b) x + 1 + 1 − x = 2 + x

Bài 4: Giải pt: x + 3 + 6 − x = 3 + ( x + 3)(6 − x)
PH GQVĐ: Nhìn vào phương trình ta dễ nhận thấy đây là một phương trình chứa
dấu căn bậc 2 bình thường, điều quan trọng là vấn đề đặt ra ở đây là phải làm gì?
Khử căn bậc 2 theo hướng nào? Bình phương hai vế ta đưa phương trình về dạng
đơn giản. Ngồi ra ta có thể đặt ẩn phụ đưa pt về hệ quen thuộc và giải; hoặc đặt
ẩn phụ đưa về pt đơn giản.
Đk −3 ≤ x ≤ 6
Trang 22

Cách 1 : Pt ⇔ 9 + 2 ( x + 3)(6 − x) = 9 + 6 ( x + 3)(6 − x) + ( x + 3)(6 − x)
 x=6
⇔ ( x + 3)(6 − x)( ( x + 3)(6 − x) + 4) = 0 ⇔ 
 x = −3
 x=6

Vậy pt có 2 nghiệm  x = −3

Cách 2: Đặt t = x + 3 + 6 − x ≥ 0 , pt viết lại theo ẩn t:
 t =5
t2 − 9
− t − 3 = 0 ⇔ t 2 − 2t − 15 = 0 ⇔ 
⇔t =5
2
t = −3
 x=6

Với t=5 ta được  x = −3

 u = 0

u + v = 3 + uv   v = 3
⇔
 2 2
 u = 3
u = x + 3
 u +v =9



v
=
6
−
x
 v = 0

Cách 3: Đặt 
( u ≥ 0, v ≥ 0 ) ta được hpt:
u = 0

Với  v = 3 ta có x=-3
u = 3

Với v = 0 ta có x=6

•

2
Phát triển NL GQVĐ cho HS giải pt : x + 3 + 6 − x = − x + 3x + 21

Bài 5: Giải trình

x − 1 + 3 − x = x 2 − 4x + 6

(1)

Trang 23

PH GQVĐ: Nhìn vào pt dễ thấy tích của 2 biểu thức trong dấu căn

( x − 1)(3 − x) = − x 2 + 4 x − 3 có mối liên hệ mật thiết với vế phải của pt. Vấn đề đặt ra ở
đây là ta khử dấu căn theo những hướng nào? (có thể cho học sinh nhắc lại những
cách khử dấu căn bậc 2)
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt t = x − 1 + 3 − x > 0 với x ∈[1, 3]

Ta có:

t 2 = 2 + 2 − x 2 + 4x − 3 ⇔ − x 2 + 4x − 3 =

t2 − 2
2

2

 t2 − 2 
⇒ −x + 4x − 3 = 
÷
 2 
2

2

 t2 − 2 
4
2
(1) ⇔ t = − 

÷ + 3 ⇔ t − 4t + 4t − 8 = 0
 2 

t = 2

( t − 2 ) ( t 3 + 2t 2 + 4 ) = 0 ⇔  3

2
 t + 2t + 4 = 0

(vô nghiệm do t > 0)

Vậy t = 2 ↔ x − 1 + 3 − x = 2 ↔ x = 2
Nhận xét: Ta thấy có rất nhiều cách giải phương trình

x − 1 + 3 − x = 2 như đã

trình bày ở bài 4.
Cách 2: Bình phương 2 vế và đặt ẩn phụ
Đk: x ∈[1, 3]
Trang 24


(

(1) ⇒ 2 + 2 − x 2 + 4x − 3 = x 2 − 4x + 6

)

2

⇔ 2 + 2 − x 2 + 4x − 3 = ( − x 2 + 4x − 3) − 3

Đặt

2

t = − x 2 + 4x − 3 ≥ 0 ⇒ 2 + 2t =  t 2 − 3

t = − x 2 + 4x − 3 ≥ 0 ⇒ 2 + 2t =  t 2 − 3

2

2

t 4 − 6t 2 − 2t + 7 = 0 ⇔ (t − 1)(t 3 + t 2 − 5t − 7) = 0
t = 1
⇔ 3 2
 t + t − 5t − 7 = 0

(2)

2
2
3
2
Do t = −x + 4x − 3 = 1 − (x − 2) ∈[0,1] ⇒ t + t − 5t − 7 < 0 nên (2) vô nghiệm

Vậy t = 1 ⇔ x = 2 (là nghiệm)
Cách 3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ với ẩn là các ẩn phụ

a = x − 1 ≥ 0
a 2 = x − 1
→ 2
⇒ a 2 .b 2 = − x 2 + 4x − 3

b = 3 − x ≥ 0  b = 3 − x
Đặt 

Ta có hệ:

a + b = x 2 − 4x + 6
a + b + a 2 .b 2 = 3
 2 2
2
a b = − x + 4x − 3 ⇒  2
2
a + b = 2
 2

2
a + b = 2

 a + b + (ab) 2 = 3
⇔
2
 (a + b) − 2ab = 2 đặt

2
S = a + b S + P = 3

⇒ 2

P
=
ab

S − 2P = 2

Trang 25