PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Chương 7
PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
_________________________________
7.1

KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x∈X với duy nhất một phần
tử y = f(x)∈Y. Ta đã gặp những ánh xạ đặc biệt. Trong Hình học sơ cấp: phép chiếu, phép quay,
phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm, phép vị tự. Trong Giải tích: phép lấy đạo hàm, phép lấy
tích phân xác định... Những ánh xạ này đều có một tính chất chung, đó là tính tuyến tính.
Định nghĩa Một ánh xạ T từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W được gọi là một phép
biến đổi tuyến tính nếu với mọi v, w∈V và với mọi vô hướng x:
(a) T(v + w) = T(v) + T(w) (b) T(xv)= xT(v).
Chú ý Hai điều kiện (a) và (b) tương đương với một điều kiện (gọi là tính tuyến tính):
(c) T(xv + yw) = xT(v) + yT(w)
với mọi v, w∈V và với mọi vô hướng x và y. Thật vậy, nếu T thỏa hai điều kiện (a) và (b), thì
T(xv + yw) = T(xv) + T(yw) = xT(v) + yT(w).
Ngược lại, nếu T thỏa hai điều kiện (c) thì
T(v + w) = T(v) + T(w) (x = y = 1) và T(xv)= xT(v) (y = 0).
Quy ước Trong bài giảng này, một ánh xạ từ không gian vectơ V vào không gian vectơ W được
ký hiệu là
T:V→W
Khi ký hiệu mũi tên được dùng ta hiểu rằng V và W là những không gian vectơ.
Tính chất 7.1.1 Nếu T là một phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ V vào không gian
vectơ W, thì
(i) T(0V) = 0W (trong đó 0V và 0W là các vectơ-không trong V và W tương ứng).
(ii) T(-v) = -T(v) đối với mọi v∈V.
(iii) Nếu v1, ... , vn là những phần tử của V và x1, ... , xn là các vô hướng, thì
T(x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn) = x1T(v1) + x2T(v2) + ⋅⋅⋅ + xnT(vn).

Chứng minh Từ điều kiện T(xv)= xT(v) ta suy ra (i) (khi cho x = 0) và (ii) (khi cho x = -1). Khẳng
định (iii) có thể dễ dàng chứng minh được bằng phép quy nạp toán học. ☺

Những ví dụ về các phép biến đổi (hầu hết tuyến tính)
Ví dụ về những phép biến đổi trên R2
1) Cho T là ánh xạ xác định bởi T(v) = 3v với mọi v∈R2. Từ
T(xv + yw) = 3(xv + yw) = x(3v) + y(3w) = xT(v) + yT(w)
suy ra T là phép biến đổi tuyến tính. Ta có thể xem T như phép dãn vectơ 3 lần.

2) Xét ánh xạ T xác định bởi T(v) = x1e1 với mọi v = (x1, x2)∈R2. Như vậy T(v) = (x1, 0). Nếu w =
(y1, y2), thì

 xx + yy1 
xv + yw =  1

 xx 2 + yy 2 
nên

T(xv + yw) = (xx1 + yy1)e1 = x(x1e1) + y(y1e1) = xT(v) + yT(w)
Như vậy T là một phép biến đổi tuyến tính. Ta có thể xem T như phép chiếu lên trục Ox.

3) Cho T là ánh xạ xác định bởi T(v) = (x1, -x2) với mọi v = (x1, x2)∈R2. Từ

 xx + yy1

T(xv + yw) =  1

− ( xx2 + yy 2 )
x 

y 
= x  1  + y  1  = xT(v) + yT(w)
− x 2 
− y 2 
suy ra T là một phép biến đổi tuyến tính. Ta có thể xem T như phép lấy đối xứng các vectơ qua trục
Ox.


4) Ánh xạ T xác định bởi

T(v) = (-x2, x1)
là tuyến tính, do
− ( xx2 + yy 2 )
T(xv + yw) = 

 xx1 + yy1

− x 
− y 
= x  2  + y  2  = xT(v) + yT(w)
 x1 
 y1 
Ta có thể xem T như phép quay mỗi vectơ trong R2 một góc 900 theo hướng ngược chiều kim đồng
hồ.

5) Xét ánh xạ T xác định bởi

(

T(v) = x12 + x 22

1/ 2

)

với mọi v = (x1, x2)∈R2. Vì
1/ 2

T(xv) = (x 2 x12 + x 2 x 22 )

= |x|T(v)

nên xT(v) ≠ T(xv) khi x < 0 và v ≠ 0. Do đó, T không phải là một phép biến đổi tuyến tính.
Ví dụ về những phép biến đổi từ Rn vào Rm
6) Ánh xạ T : R2 → R1 xác định bởi

T(v) = x1 + x2
với mọi v = (x1, x2)∈R2, là một phép biến đổi tuyến tính do

T(xv + yw) = (xx1 + yy1) + (xx2 + yy2)
= x(x1 + x2) + y(y1 + y2) = xT(v) + yT(w).
7) Ánh xạ T : R2 → R3 xác định bởi


T(v) = (x2, x1, x1 + x2)
với mọi v = (x1, x2)∈R2, là một phép biến đổi tuyến tính tuyến tính do

T(xv) = (xx2, xx1, xx1 + xx2) = xT(v)
và

T(v + w) = (x2 + y2, x1 + y1, x1 + y1 + x2 + y2)
= (x2, x1, x1 + x2) + (y2, y1, y1 + y2) = T(v) + T(w)
Chú ý rằng nếu ta cho ma trận
0 1
A = 1 0
1 1
thì đối với mỗi v∈R2
 x2 
Av =  x1  =T(v).
 x1 + x 2 
Nói chung, nếu cho A là một ma trận m×n, ta có thể định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính
T từ Rn vào Rm như sau
T(v) = Av
đối với mỗi v∈Rn. Ánh xạ T là tuyến tính do

T(xv + yw) = A(xv + yw) = xAv + yAw = xT(v) + yT(w).
Như vậy ta có thể xem mỗi ma trận A cỡ m×n như một ánh xạ tuyến tính từ Rn vào Rm.
Ví dụ về những phép biến đổi từ V vào W
8) Nếu V là một không gian vectơ, thì ánh xạ I xác định bởi

I (v) = v đối với mọi v∈V,
được gọi là ánh xạ đồng nhất. Rõ ràng I là phép biến đổi tuyến tính từ V vào chính nó.

I (xv + yw) = xv + yw = xI (v) + yI (w).
9) Ánh xạ T từ C[a, b] (không gian vectơ gồm tất cả những hàm liên tục trên [a, b]) vào R1 xác định

bởi
b

T(f) =

∫ f (t )dt .
a

Nếu f và g là những vectơ bất kỳ trong C[a, b], thì
b

T(xf + yg) = ∫ ( xf + yg )(t )dt
a


b

b

a

a

= x ∫ f (t )dt + y ∫ g (t )dt = xT(f ) + yT(g).
Vì vậy, T là một phép biến đổi tuyến tính.
10) Cho D là ánh xạ từ C1[a, b] (không gian vectơ gồm tất cả những hàm có đạo hàm là hàm liên

tục trên [a, b]) vào C[a, b] xác định bởi D(f) = f ' (đạo hàm của f). D là một phép biến đổi tuyến tính
do
D(xf + yg) = xf ' + yg' = xD(f) + yD(g).

Ảnh và Hạt nhân

Với A là một ma trận m×n, ta xác định một phép biến đổi tuyến tính T : Rn → Rm là T(v) = Av đối

với mỗi v∈Rn. Ta có
C(A) = {Av | v∈Rn} = {T(v) | v∈Rn} là không gian con của Rm,
N(A) = {v∈Rn | Av = 0} = {v∈Rn | T(v) = 0} là không gian con của Rn,

số chiều của C(A) + số chiều của N(A) = r(A) + n - r(A) = n.
Nhưng khi T : V → W là một phép biến đổi tuyến tính, mà có thể không cho bởi ma trận, mở rộng
khái niệm C(A) và N(A) ta có khái niệm "ảnh" và "hạt nhân"
Định nghĩa Cho T : V → W là một phép biến đổi tuyến tính. Ảnh của T là tập

{T(v) | v∈V}.
Hạt nhân của T là tập

{v∈V | T(v) = 0W}.
Định lý 7.1.2 Nếu T : V → W là một phép biến đổi tuyến tính, thì

(i) Hạt nhân của T là một không gian con của V.
(ii) Ảnh của T là một không gian con của W.
(iii) (số chiều của hạt nhân của T) + (số chiều của ảnh của T) = số chiều của V.
Chứng minh Với mọi v và w thuộc hạt nhân của T, với mọi vô hướng x và y, do
T(xv + yw) = xT(v) + yT(w) = x0W + y0W = 0W,

nên xv + yw thuộc hạt nhân. Vì vậy (i) đúng.
Với mọi u1 và u2 thuộc ảnh của T, thì tồn tại v1 và v2 thuộc V sao cho
T(v1) = u1, T(v2) = u2.
Đối với mọi vô hướng x và y
T(xv1 + yv2) = xT(v1) + yT(v2) = xu1 + yu2,


nên xu1 + yu2 thuộc ảnh. Vì vậy (ii) đúng.
Ta thừa nhận (iii) ☺

Ví dụ 11 Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R2 → R2 xác định bởi
x 
T(v) =  1  với v =
0

 x1 
x  .
 2

Một vectơ v thuộc nhân của T nếu và chỉ nếu x1 = 0. Như vậy hạt nhân của T là
{x2e2 = (0, x2) | x2 ∈R}.
Đây là không gian con của R2 sinh bởi e2. Do T(v) = x1e1 nên ảnh của T là không gian con của R2

sinh bởi e1.
Ví dụ 12 Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R3 → R2 xác định bởi
 x + x2 
T(v) =  1
 với v =
 x 2 + x3 

 x1 
 x  ∈R3.
 2
 x3 

Nếu v thuộc nhân của T thì
x1 + x2 = 0 và x2 + x3 = 0.
Cho biến tự do x3 = a, ta được
x2 = -a, x1 = a
và do đó hạt nhân của T là không gian con của R3 gồm tất cả các vectơ có dạng (a, -a, a). Với mọi

(b, c)∈R2 thì khi v = (b, 0, c) ∈R3, ta có
b 
T(v) =   .
c 

Do đó, ảnh của T là R2.
Ví dụ 13 Cho D : P3 → P3 là ánh xạ đạo hàm xác định bởi

D(p(x)) = p'(x).
Hạt nhân của D gồm tất cả các đa thức có dạng p(x) = c (đa thức hằng). Như vậy hạt nhân là P0.
Đạo hàm của đa thức bất kỳ trong P3 là một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 2. Như vậy, ảnh của D

là P2.

7.2

MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ta đã thấy có rất nhiều phép biến đổi tuyến tính khác nhau. Vấn đề đặt ra ở đây là liệu có thể biểu
diễn chúng ở một dạng chung? Ví dụ 7 mục trước gợi ý cho ta có thể biểu diễn một phép biến đổi
tuyến tính ở dạng một phép nhân ma trận với vectơ.


Trước hết, xét phép biến đổi tuyến tính T : Rn→ Rm. Ta sẽ chỉ ra ma trận A cỡ m×n sao cho
T(v) = Av
Đối với j = 1, ... , n ta xác định vectơ
aj = T(ej) = (a1j, a2j, ... , amj)
Cho
A = (aij) = [a1 a2 ... an]
Với vectơ bất kỳ

v = (x1, x2, ... , xn) ∈ Rn
thì
v = x1e1 + x2e2 + ⋅⋅⋅ + xnen
nên
T(v) = x1T(e1) + x2T(e2) + ⋅⋅⋅ + xnT(en)
= x1a1 + x2a2 + ⋅⋅⋅ + xnan = Av (xem 1.2).
A được gọi là ma trận chính tắc của T.
Ví dụ 1 Cho phép biến đổi tuyến tính T : R3 → R2 xác định bởi
 x + x2 
T(v) =  1
 với v =
 x 2 + x3 

 x1 
x  .
 2
 x3 

Để tìm ma trận chính tắc của T ta phải xác định T(e1), T(e2), T(e3).
1 
T(e1) = T((1, 0, 0)) =  
0
1
T(e2) = T((0, 1, 0)) =  
1
0
T(e3) = T((0, 0, 1)) =  
1 

Ta lấy những vectơ này làm các cột của ma trận chính tắc

1 1 0
A= 
.
0 1 1
Để kiểm tra kết quả, hãy tính Av.
1 1 0
Av = 

0 1 1

 x1 
 x  =  x1 + x2  .
 2  x + x 
3
 x3   2

Ví dụ 2 Cho T : R2 → R2 là phép biến đổi tuyến tính mà quay mỗi vectơ một góc θ theo hướng

ngược chiều kim đồng hồ.


Trong hình vẽ ta có thể thấy rằng e1 được chuyển thành vectơ (cosθ, sinθ), e2 được chuyển thành
vectơ (-sinθ, cosθ). Ma trận chính tắc A của T có vectơ cột thứ nhất là (cosθ, sinθ) và vectơ cột thứ
hai là (-sinθ, cosθ).
cos θ
A= 
 sin θ

− sin θ 
.

cos θ 

Nếu v là một vectơ trong R2, thì để quay v ngược chiều kim đồng hồ một góc θ chỉ cần nhân với A.
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát khi T : V → W là một phép biến đổi tuyến tính, trong đó
V và W là hai không gian có chiều tương ứng là n và m. Ta cũng có thể dùng ma trận để biểu diễn
T. Để làm được việc này, ta cho E = {v1, v2, ... , vn} là một cơ sở của V và F = {w1, w2, ... , wm} là
một cơ sở của W. Nếu v là một vectơ trong V, v có thể biểu diễn qua các vectơ của cơ sở E:
v = x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn
T(v) là vectơ trong W, T(v) có thể biểu diễn qua các vectơ của cơ sở F:
T(v) = y1w1 + y2w2 + ⋅⋅⋅ + ymwm
Ký hiệu [v]E = (x1, x2, ... , xn), gọi là tọa độ của v theo cơ sở E. Ký hiệu [T(v)]F = (y1, y2, ... , ym), gọi
là tọa độ của T(v) theo cơ sở F. Ta sẽ tìm mối quan hệ giữa [v]E và [T(v)]F.
Đối với j = 1, ... , n vectơ T(vj) có thể biểu diễn theo các vectơ của cơ sở F như sau
T(vj) = a1jw1 + a2jw2 + ⋅⋅⋅ + amjwm
Ký hiệu aj = (a1j, a2j, ... , amj), rõ ràng aj = [T(vj)]F (tọa độ của T(vj) theo cơ sở F).
Cho
A = (aij) = [a1 a2 ... an]
Nếu
thì

v = x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn

T(v) = x1T(v1) + x2T(v2) + ⋅⋅⋅ + xnT(vn)
= x1(a11w1 + a21w2 + ⋅⋅⋅ + am1wm)
+ x2(a12w1 + a22w2 + ⋅⋅⋅ + am2wm)
................................................
+ xn(a1nw1 + a2nw2 + ⋅⋅⋅ + amnwm)
= (a11x1w1 + a21x1w2 + ⋅⋅⋅ + am1x1wm)
+ (a12x2w1 + a22x2w2 + ⋅⋅⋅ + am2x2wm)
................................................

+ (a1nxnw1 + a2nxnw2 + ⋅⋅⋅ + amnxnwm)
= (a11x1 + a12x2 + ⋅⋅⋅ + a1nxn)w1


+ (a21x1 + a22x2 + ⋅⋅⋅ + a2nxn)w2
................................................
+ (am1x1 + am2x2 + ⋅⋅⋅ + amnxn)wm
So sánh biểu thức vừa tính của T(v) với
T(v) = y1w1 + y2w2 + ⋅⋅⋅ + ymwm
ta có
yj = aj1x1 + aj2x2 + ⋅⋅⋅ + ajnxn = (hàng j của A)⋅⋅[v]E
Như vậy, theo quy tắc nhân ma trận ta có
[T(v)]F = (y1, y2, ... , ym) = A[v]E.
Đây là mối quan hệ giữa [v]E và [T(v)]F. Vậy là, ta đã thiết lập được định lý sau đây.
Định lý 7.2.1 Nếu E = {v1, v2, ... , vn} và F = {w1, w2, ... , wm} lần lượt là cơ sở của những không
gian vectơ V và W , thì ứng với mỗi phép biến đổi tuyến tính T : V → W có một ma trận A sao cho
[T(v)]F = A[v]E đối với mỗi v∈V
A là ma trận của T theo các cơ sở E và F, có cột thứ j là
aj = [T(vj)]F j = 1, 2, ... , n
Định lý này được minh họa trong sơ đồ sau

Nếu A là ma trận của T theo các cơ sở E và F và
x = [v]E (tọa độ của v theo cơ sở E)
y = [w]F (tọa độ của w theo cơ sở F)
thì T chuyển v thành w khi và chỉ khi A chuyển x thành y.
Ví dụ 3 Cho T : R3 → R2 là phép biến đổi tuyến tính xác định bởi
T(v) = x1w1 + (x2 + x3)w2
3
đối với mỗi v = (x1, x2, x3)∈R , trong đó
1

− 1
w1 =   và w2 =  
1
1
Hãy tìm ma trận A của T theo các cơ sở {e1, e2, e3} và {w1, w2}.
Giải

T(e1) = 1w1 + 0w2
T(e2) = 0w1 + 1w2
T(e3) = 0w1 + 1w2
Cột j của A là tọa độ của T(ej) theo cơ sở {w1, w2}. Như vậy
1 0 0
A= 
 ☺
0 1 1 
Ví dụ 4 Cho T : R2 → R2 là phép biến đổi tuyến tính xác định bởi
T(xw1 + yw2) = (x + y)w1 + 2yw2


trong đó {w1, w2} là cơ sở ở Ví dụ 3. Hãy tìm ma trận A biểu diễn T theo cơ sở {w1, w2}.
Giải
T(e1) = 1w1 + 0w2
T(e2) = 1w1 + 2w2
Như vậy
1 1 
A= 

0 2

☺

Ví dụ 5 Cho phép biến đổi tuyến tính D : P2 → P1, xác định bởi D(p) = p' (đạo hàm của p). Cho

{x2, x, 1} và {x, 1} là cơ sở của P2 và P1 tương ứng. Hãy tìm một ma trận biểu diễn D.
Giải

D(x2) = 2x + 0⋅1
D(x) = 0x + 1⋅1
D(1) = 0x + 0⋅1
2

Như vậy ma trận của D theo các cơ sở {x , x, 1} và {x, 1} là
 2 0 0
A= 

0 1 0 

Nếu p(x) = ax2 + bx + c, thì tọa độ của p theo cơ sở {x2, x, 1} là (a, b, c). Để tìm tọa độ của vectơ
D(p) trong cơ sở {x, 1}, ta chỉ cần nhân
a 
 2 0 0    2 a 
0 1 0  b  =  b  .

 c   
 

Như vậy, D(ax2 + bx + c) = 2ax + b. ☺
Nhận xét
1) Ma trận chính tắc A của T : Rn → Rm chính là ma trận theo các cơ sở chính tắc. Ngoài ra, với
v∈Rn, thì [v]Rn = v, [T(v)]Rm = T(v), nên [T(v)]Rm = A[v]Rn chính là T(v) = Av.

2) Mặc dù có rất nhiều phép biến đổi tuyến tính khác nhau từ một không gian hữu hạn chiều này
vào một không gian hữu hạn chiều khác, nhưng chúng đều giống nhau ở chỗ: có thể biểu diễn ở
dạng một ma trận nhân với một vectơ.
NHỮNG Ý CHÍNH TRONG
BÀI GIẢNG TUẦN 9
1. Khái niệm phép biến đổi tuyến tính.
2. Ảnh và hạt nhân của một phép biến đổi tuyến tính.
3. Ma trận biểu diễn một phép biến đổi tuyến tính.