BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG

BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DỪNG
4.1. BIẾN ĐỔI HÀM NGẪU NHIÊN BẰNG TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
Giả sử hàm
ϕ
(
t
)

nhận được từ hàm
f
(
t
)

bằng cách thực hiện một số phép toán nào đó và L là ký
hiệu qui ước các phép toán này, tức là L là qui tắc, theo đó hàm
f
(
t
)

biến đổi thành
ϕ
(
t
)

. Trong toán học,
người ta gọi qui tắc, theo nó một tập hàm được ánh xạ sang một tập hợp hàm khác, là toán tử. Ta sẽ nói
rằng, hàm ϕ
(

t
)
là kết quả tác dụng toán tử L lên hàm f
(
t
)
, tức là
ϕ
(
t
)

=
L
{
f
(
t
)}
. (4.1.1)
Trong kỹ thuật vô tuyến và các ứng dụng kỹ thuật khác, người ta thường gọi hàm f
(
t
)
là tác dụng lối
vào, hàm ϕ
(
t
)
là tín hiệu ra, còn L là toán tử của hệ làm biến đổi tác dụng lối vào. Toán tử L được gọi là

tuyến tính, nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:
1.
L
{
cf
(
x
)}

=
cL
{
f
(
x
)}
(4.1.2)
tức là kết quả tác dụng toán tử lên tích của hàm
f
(
t
)
và một thừa số không đổi c bằng tích của thừa số đó
với kết quả tác dụng toán tử đó lên
f
(
t
)
.
2. L

{
f
1

(
t
)

+
f
2

(
t
)}

=
L
{
f
1

(
t
)}
+
L
{
f
2

(
t
)}
(4.1.3)
tức là kết quả tác dụng toán tử lên tổng hai hàm bằng tổng kết quả tác dụng toán tử lên mỗi hàm riêng biệt.
Toán tử không thoả mãn các điều kiện trên gọi là toán tử phi tuyến.
Ví dụ, toán tử vi phân là toán tử tuyến tính vì nó thoả mãn các đẳng thức
d

{
cf

(
t
)}

=

c

d

{
f
(
t
)}
dt
1

và
dt
1
d
{
f
(
t
)

+

f
(
t
)}

=

d
{
f
(
t
)}
+

d
{
f

(
t
)}

.
dt
1 2
dt
1
dt
2
Toán tử lấy tích phân là toán tử tuyến tính. Toán tử nhận được khi tác dụng liên tiếp một số toán tử
tuyến tính cũng là toán tử tuyến tính. Toán tử lấy kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là toán tử tuyến
tính.
Ví dụ về toán tử phi tuyến là phép toán nâng lên luỹ thừa, toán tử lấy phương sai hàm ngẫu nhiên.
Nếu hàm ngẫu nhiên
Y
(
t
)

là kết quả tác dụng của một toán tử tuyến tính L bất kỳ lên hàm ngẫu nhiên
X
(
t
)

có kỳ vọng toán học
m
x

(
t
)

và hàm tương quan
R
x
(
t
1
,t
2
)

, tức là
thì
nghĩa là
Y
(
t
)

=
L
{
X
(
t
)}
m

y
(
t
)

=
L
{
m
x
(
t
)}
R
y
(
t
1

,t
2

)

=
L
(
t
1

)
L
(
t
2

)
{
R
x
(
t
1

,t
2

)}
m
y
(
t
)

nhận được bằng cách tác dụng toán tử L lên
m
x
(
t
)

,
(4.1.4)
(4.1.5)
(4.1.6)
R
y
(
t
1

,t
2

)

nhận được bằng cách tác
dụng hai lần toán tử L lên hàm
R
x
(
t
1

,t
2

)

, đầu tiên theo đối số thứ nhất t
1

, sau đó theo đối số thứ hai t
2
.

1 1
Thực vậy,
m
y
(
t
)

=
M
[
L
{
X
(
t
)}
]
(4.1.7)

2 2
Toán tử L tác dụng lên biến t, toán tử tìm kỳ vọng toán học tiến hành lấy trung bình tung độ của hàm
ngẫu nhiên (khi cố định t) theo tập hợp tất cả các giá trị có thể của đại lượng ngẫu nhiên
X
(
t

)

, cũng là
toán tử tuyến tính. Vì vậy, có thể đổi chỗ trật tự tác dụng của các toán tử M và L cho nhau, tức là
m
y
(
t
)

=
L
{
M
[
X
(
t
)
]
}

=
L
{
m
x
(
t
)}

, và điều đó đã chứng minh cho đẳng thức (4.1.5).
Tiếp theo
R
y
(
t
1

,t
2

)

=
M
{
[
Y
(
t
1

)

−
m
y
(
t
1

)
][
Y
(
t
2

)

−
m
y
(
t
2

)
]
}
=
=
M
[
(
L
(
t
1

)
{
X
(
t
1

)}
−
L
(
t
1

)
{
m
x
(
t
1

)}
)(
L
(
t
2

)

{
X
(
t
2

)}
−
L
(
t
21

)
{
m
x
(
t
2

)}
)
]
=
=
M
[
L
(

t
1
)
L
(
t
2
)
{

[
X
(
t
1

)

−
m
x
(
t
1

)
][
X
(
t

2

)

−
m
x
(
t
2

)
]

}
=
=
L
(
t
1

)
L
(
t
2

)
{

M
[

[
X
(
t
1

)

−
m
x
(
t
1

)
][
X
(
t
2

)

−
m
x

(
t
2

)
]

]

}
=
=
L
(
t
1

)
L
(
t
2

)
{
R
x
(
t
1

,t
2

)

}
.
Các công thức đã trình bày trong chương 2 đối với kỳ vọng toán học và hàm tương quan của đạo hàm
và tích phân của hàm ngẫu nhiên là các trường hợp riêng của (4.1.5) và (4.1.6).
Việc biết
D
x
(
t
)

là chưa đủ để nhận được phương sai
D
y
(
t
)

của quá trình ngẫu nhiên
Y
(
t
)

. Trước hết
cần phải tìm hàm tương quan
R
y
(
t
1

,t
2

)

theo công thức (4.1.6), sau đó thế vào nó t
1
= t
2
= t.
Để tìm các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên, là kết quả tác dụng toán tử phi tuyến lên hàm ngẫu
nhiên X
(
t
)
, thì
biết
m
x
(
t
)

và
R
x
(
t
1

,t
2

)

cũng chưa đủ, vì trong trường hợp này, qui luật phân bố của hàm
X
(
t
)
đóng một vai trò quan trọng. Đối với các toán tử phi tuyến, có thể nhận được những kết quả tương
đối đơn giản nhưng chỉ trong một số trường hợp riêng.
Trong trường hợp tác dụng toán tử tuyến tính lên hàm X
(
t
)
có qui luật phân bố chuẩn, hàm ngẫu
nhiên Y
(
t
)
= L

{
X
(
t
)}
cũng tuân theo qui luật phân bố chuẩn, bởi vì do tính chất tuyến tính của toán tử L,
hàm Y
(
t
)
có thể chỉ nhận được nhờ tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn hoặc vô hạn các tung độ của
hàm X
(
t
)
. Nhưng từ lý thuyết xác suất ta biết rằng, tổ hợp tuyến tính các đại lượng ngẫu nhiên phân bố
chuẩn phụ thuộc hoặc độc lập đều tuân theo qui luật phân bố chuẩn.
Do vậy, trong trường hợp X
(
t
)
là hàm ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân bố chuẩn, thì Y
(
t
)
cũng
tuân theo qui luật phân bố chuẩn và các đặc trưng
m
y
(

t
)
,
R
y
(
t
1

,t
2

)

tìm được hoàn toàn xác định nó.
Nếu X(t) không phải là hàm ngẫu nhiên phân bố chuẩn, thì Y(t) cũng sẽ không có cùng qui luật phân
bố với X(t). Qui luật phân bố chuẩn cũng sẽ không được bảo toàn nếu toán tử L không tuyến tính.
4.2. BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH DƯỚI DẠNG PHỔ
Ta hãy biểu diễn phép biến đổi tuyến tính dưới dạng phổ. Muốn vậy, ta sử dụng khái niệm hàm delta
Dirac, một hàm được sử dụng rộng rãi trong toán học.
Hàm delta
δ
(
t
)

là hàm có các tính chất sau:
1)
δ
(

t
)

=



∞
t
≠
0
t
=
0
(4.2.1)
tức là δ
(
t
)
bằng không với mọi giá trị t khác không, còn tại điểm t = 0 thì tăng lên vô hạn.
2) Tích phân hàm delta trên toàn miền vô hạn bằng đơn vị
∞
∫

δ
(
t
)

dt

=

1
− ∞
(4.2.2)

Hàm delta không phải là hàm theo nghĩa thông thường, mà là một hàm tượng trưng nào đó. Theo
nghĩa chính xác, hàm có các tính chất (4.2.1) và (4.2.2) không tồn tại. Tuy nhiên có thể xét hàm δ(t) theo
một nghĩa nào đó giống như giới hạn của hàm thông thường.
Ta lấy hàm Gauss làm ví dụ
f
(
t
)

=
1
2
πσ
t
2
−
e
2
σ

2

,
đối với hàm này, hệ thức (4.2.2) được thoả mãn.

Hình 4.1
Ta sẽ giảm đại lượng
σ
xuống, khi đó đồ thị của hàm sẽ nhọn hơn (trong nguyên bản viết là đồ thị
giãn ra −ND) (hình 4.1), giá trị cực đại
f
(
0
)

=
1
2
πσ
sẽ tăng, còn miền giá trị khác không của hàm thu
hẹp lại. Lấy giới hạn khi σ
→
0, ta nhận được hàm có tính chất của hàm delta.
Sử dụng khái niệm giới hạn này có thể biểu diễn hàm delta dưới dạng tích phân. Tương ứng với mục
1.12, mật độ phân bố của đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn có thể được biểu diễn như là phép biến đổi
ω
2
σ

2
ngược Fourier hàm đặc trưng của nó. Theo (1.12.25), hàm này có dạng
hàm này nên ta có đẳng thức
g
(
ω

)

=
e
2
. Do tính chẵn của
t
2
ω
2
σ

2
−1
e
2
σ

2

=

1
∫

e
−
i
ω
t

e
2

d
ω
(4.2.3)
2
πσ
2
π

−∞
Lấy giới hạn hai vế đẳng thức (4.2.3) khi σ
→
0 ta nhận được biểu diễn tích phân hàm delta
∞
δ
( t )
=

1
∫

e
−
i
ω
t
d
ω

(4.2.4)
2
π

−∞
Nếu xét hàm delta của đối số t
−

τ
, với
τ
là một số xác định, thì
δ
(
t
−

τ
)

=



∞
t
≠

τ
t

=

τ
(4.2.5)
Đối với mọi hàm
∞
∫

δ
(
t
−

τ
)

dt
=
1
− ∞
f
(
t
)

bất kỳ liên tục tại t =
τ
, ta có đẳng thức
(4.2.6)
∞

−
∞
−

∫

f
(
τ
)

δ
(
t
−

τ
)

d
τ

=
f
(
t
)
−
∞
(4.2.7)

Điều này được suy ra một cách đơn giản như sau, mặc dù không thật chặt chẽ: Vì
δ
(
t
−

τ
)
khác 0 chỉ
khi t =
τ
, nên tích phân (4.2.7) khác 0 chỉ trong khoảng
[
t
−

ε
,t
+

ε
]
, với
ε
> 0 bé tuỳ ý. Từ đó:
∞
∫

f
(

τ
)
δ
(
t
−

τ
)
d
τ

=
−
∞
t
+

ε
t
+

ε
∫

f
(
τ
)
δ

(
t
−

τ
)
d
τ
t −ε
∞
=
f
(
t
)

∫

δ
(
t
−

τ
)
d
τ

=
f

(
t
)

∫

δ
(
t
−

τ
)
d
τ

=
f
(
t
)
t − ε −∞
đị
n
h
Ký
hiệu
g
(
t ,τ

)
là kết quả tác dụng toán tử tuyến tính L nào đó lên
hàm delta δ
(
t − τ
)
tại điểm
τ
cố
g
(
t ,
τ
)

=
L
{
δ
(
t
−

τ
)}
.
(4.2.8)
Nh
ờ
hà

m
đoạn
[a,b].
g
(
t ,
τ
)
này, ta sẽ biểu thị kết quả tác dụng
toán tử L đã cho lên hàm
f
(
t
)
bất kỳ
cho trên
Tác dụng toán tử tuyến tính L lên hai vế
đẳng thức (4.2.7), ta được
b
L
{
f
(
t
)}

=

∫

g
(
t ,
τ
)

f
(
τ
)

d
τ
a
(4.2.9)
Như vậy, hàm
ϕ
(
t
)

=
L
{
f
(
t
)}
, là kết quả tác
dụng toán tử tuyến tính L lên hàm

diễn dưới dạng
f
(
t
)
, có thể
được biểu
H
à
m
b
ϕ
(
t
)

=

∫

g
(
t
,
τ
)

f
(
τ

)

d
τ
a
g
(
t ,
τ
)

, là kết quả tác dụng
toán tử L lên hàm delta
(4.2.10)
δ
(
t
−

τ
)

, được gọi là
hàm trọng lượng.
(Trong kỹ thuật vô tuyến người ta gọi nó là hàm chuyển xung).
Nế
u
hà
m
f

(
t
)

được cho trong khoảng vô hạn (
−∞
, +
∞
) thì có thể
viết
∞
ϕ
∫

g
(
t ,
τ
)
f
(
τ
)

d
τ
−∞
(4.2.11)
Trong trường hợp riêng, nếu toán tử L là dừng thì hàm trọng
lượng chỉ phụ thuộc vào hiệu t

−
τ. Khi
đó có thể viết
ϕ
(
t
)

=
∞
∫

g
(
t
−

τ
)

f
(
τ
)

d
τ
−

∞

(4.2.12)
Tích phân (4.2.12) được
gọi là tích phân chập của
hàm f
(
t
)
và g
(
t
)
.
Ký hiệu S
f
(
ω
)
và S
ϕ

(
ω
)
l
biến đổi Fourier (mật độ phổ
tương ứng của các hàm
đó ta có:
f
(
t

)

và
ϕ
(
t
)
. Khi
f
ϕ
∞
∫

S

f

(
ω
)

e
i
ω
t

d
ω
−

∞
∫

S
ϕ

(
ω
)

e
i
ω
t
d
ω
− ∞
(4.2.13) (4.2.14)
Đặt các biểu thức trên vào (4.2.12), ta nhận được
∞ ∞


∞

∫

S
ϕ
(
ω

)

e
i
ω
t
d
ω

=
∫

g
(
t
−

τ
)



∫

S
f
(
ω
)

e
i
ωτ

d
ω

d
τ
(4.2.15)
− ∞
− ∞


−

∞
Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân hai lớp và
làm phép đổi biến t
−
τ =τ
1
, ta được
∞ ∞


∞

∫

S
ϕ

(
ω
)

e
i
ω
t
d
ω

=
∫

S
f
(
ω
)

e
i
ω
t


∫

g
(
τ

)
e
−
i
ωτ
1

d
τ



d
ω
(4.2.16)
− ∞ −∞
1 1


−∞
Ký hiệu G
(
ω
)
là biến đổi Fourier (mật độ phổ) của hàm trọng lượng g

(
t
)
∞
G
(
ω
)

=

1
∫

g
(
t
)

e
−
i
ω
t
dt
(4.2.17)
2
π

−

∞
Tích phân trong móc vuông (4.2.16) bằng 2πG(
ω
), từ đó có thể viết
∞
∫

[
S
ϕ
(
ω
)

−
S
f
(
ω
)

.2
π
G
(
ω
)

]

e
i
ω
t
d
ω

=
0
−
∞
Điều này chứng tỏ rằng, biến đổi ngược Fourier hàm
đẳng thức sau cần được thoả mãn
(4.2.18)
S

ϕ

(
ω

)

−

S

f

(

ω

)

.2

π

G

(
ω

)

bằng 0, và do
đó
S
ϕ

(
ω
)

=
S
f
(
ω
)

.2
π
G
(
ω
)

. (4.2.19)
∞
Hàm
L
(
ω
)

=
2
π
G
(
ω
)

=
∫

g
(
t

)

e
−
i
ω
t
dt
−∞
(4.2.20)
được gọi là hàm truyền của toán tử tuyến tính L. Từ đó có thể viết (4.2.19) dưới dạng
S
ϕ

(
ω
)

=
S
f
(
ω
)
L
(
ω
)
(4.2.21)
Như vậy, mật độ phổ

mật độ phổ
S
f
(
ω
)

của hàm
S
ϕ

(
ω
)
, kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính L lên hàm
f
(
t
)
và hàm truyền L
(
ω
)
của toán tử.
f
(
t
)
, bằng tích
4.3 MẬT ĐỘ PHỔ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH QUÁ TRÌNH NGẪU

NHIÊN DỪNG
Bây giờ ta xét quá trình ngẫu nhiên dừng
X
(
t
)

có kỳ vọng toán học bằng 0 và hàm tương quan
R
x
(
t
)
cho trước. Và giả sử một quá trình ngẫu nhiên
Y
(
t
)

khác là kết quả tác dụng toán tử tuyến tính dừng L lên
quá trình ngẫu nhiên
X

(
t
)
Y
(
t
)

=
L
{
X
(
t
)}
. (4.3.1)
Khi đó ta có thể biểu diễn quá trình ngẫu nhiên Y
(
t
)
dưới dạng
∞
Y
(
t
)

=
với
g
(
t
−

τ
)

là hàm trọng lượng.
∫

g
(
t
−

τ
)
X
(
τ
)
d
τ
−∞
(4.3.2)
Thật vậy, mỗi thể hiện
y
i
(
t
)
của quá trình ngẫu nhiên
Y
(
t
)
, kết quả tác dụng toán tử L lên

hàm
không ngẫu nhiên
x
i
(
t
)

, là thể hiện tương ứng của quá trình ngẫu nhiên
X
(
t
)
, và do đó đối với chúng hệ
thức (4.3.2) là đúng, khi đó nó cũng đúng đối với tập tất cả các thể hiện.
Trong trường hợp toán tử tuyến tính L được cho dưới hình thức một bộ biến đổi thực nào đó, thì
nguyên tắc cần thoả mãn là khả năng thực hiện được về mặt vật lý, mà theo đó phản ứng của bộ biến đổi
lên tác dụng lối vào không thể xuất hiện trước khi bắt đầu có tác động xảy ra, tức là hàm trọng lượng
g
(
t − τ
)

cần phải đồng nhất bằng 0 khi t < τ.
Xuất phát từ đó, đối với bộ biến đổi thực, công thức (4.3.2) cần phải viết dưới dạng