bài tập môn hình học sơ cấp sinh viên CĐ SP Toán

B. MỘT SÓ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1
Cho tam giác đều có là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa , vẽ tia sao cho
góc bằng góc , tia này cắt tại . Chứng minh rằng .
GT
A

KL

1. Phân tích, tìm cách giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi
đến chứng minh được . Sau đây chỉ nêu ra một
cách.
Ta phải chứng minh nhưng (theo gt) nên ta đi
chứng minh cho
(a)
Muốn chứng minh được (a) ta phải chứng
minh được và .
Ta có (gt) và ⇨ đpcm.
2. Lời giải (tóm tắt):
(gt)
(gt) }

E

B

P

C

PE là đường
trung bình ∆ABC

⇨ PE = AB2 = PB.
3. Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Hãy thay điều kiện “tam giác đều ABC” bằng “tam giác cân ABC (cân
ở A)” và thiết lập bài toán tương tự như bài toán 1. Ta có bài toán khác.
Bài toán 1.1

Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa A, vẽ tia Px sao cho góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC tại E. Chứng minh
rằng PB = PE.
gt{AB=AC BAP= CAP CPx= BAC
kl: PB = PE


Xét 3 trường hợp: BAC < 90° ; BAC = 90° ; BAC > 90°.
a. Với BAC < 90°
Xét ∆ABC và ∆PCE có:
C chung CPE=BAC (gt) ⇨ CBA = PEC = BCA
⇨ ∆PEC cân ⇨ PC = PE ⇨ PB = PE
b. Với BAC = 90
∆ cân ABC đã cho trở thành ∆ vuông cân đỉnh A, khi đó E ≡ A. Bạn đọc dễ dàng
nhận ra PB = PE.
c. Với BAC > 90
Chứng minh tương tự như (a) ⇨ PB = PE.
Nhận xét 2: Hãy thay điều kiện “tam giác cân ABC” ở bài toán 1.1 bằng “tam giác
thường ABC” và thiết lập bài toán tương tự. Ta có bài toán tổng quát hơn.
Bài toán 1.2
Cho tam giác ABC có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ

tia Px sao cho góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC ở E. Chứng minh rằng PB = PE.
Xét 3 trường hợp: BAC < 90° ; BAC = 90° ; BAC > 90°.
a. Với BAC < 90
Vẽ PH vuông góc AB và PK vuông góc AC ⇨ PH = PK
o

o

O

BAC= CPE (gt) BAC+ BPE=180°
BPE = HPK
⇨ BPH = EPK ⇨ ∆BPH = ∆EPK (g.c.g) ⇨ PB = PE

BAC+ HPK=180° } ⇨


b. Với BAC = 90 : Chứng minh như câu (a)
c. Với BAC > 90 : Chứng minh như câu (a)
O

O


Bài toán 2
Cho hình vuông ABCD, dựng ra phía ngoài hình vuông ABCD đã cho các hình vuông ABEF,
ADGH. Chứng minh rằng AC = HF
Gt
Kl: AC =HF
1. Phân tích, tìm lời giải

Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi đến chứng minh được AC = HF. Sau đây chỉ
xin nêu ra một cách.
-

Muốn chứng minh AC = HF ta chứng minh

-

Muốn chứng minh ta chứng minh:
= ; AF = AB; AH = BC

Ta có
điều phải chứng minh.
2. Lời giải tóm tắt
Xét có:
AC = HF
3. Khai thác bài toán
Nhận xét 1: hãy thay “hình vuông ABCD” bằng “hình chữ nhật ABCD”. Khi đó AC có
bằng HF nữa không? Ta có bài toán khác tương tự.
Bài toán 2.1
Cho hình chữ nhật ABCD, dựng ra phía ngoài hình chữ nhật ABCD đã cho các hình
vuông ABEF,ABGH. Chứng minh rằng AC = HF.
Gt
Kl: AC = HF
Ta dễ dàng nhận ra việc chứng minh bài toán 2.1 giống như cách chứng minh ở bài toán 2. Ta
có AC = HF.
Nhận xét 2: hãy thay “hình chữ nhật ABCD” ở bài toán 2.1 bằng “hình thoi ABCD” và thiết
lập bài toán tương tự. Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán tương tự.
Bài toán 2.2

Cho hình thoi ABCD, dựng ra phía ngoài hình thoi ABCD đã cho các hình vuông ABEF và
ADGH. So sánh AC và HF.
Gt
Kl: so sánh AC và HF
Từ kết quả của bài toán 2 và bài toán 2.1 gợi cho ta tiếp tục xét .
Dễ dàng nhận ra AB = AF; AH =AD = BC. Như vậy, chỉ cần so sánh góc và góc
Ta có:

+ = 180O (vì = = 90O)
+ = 180O (tính chất hình thoi)
= (c.g.c)
AC = HF
Nhận xét 3: hãy thay “hình thoi ABCD” ở bài toán 2.2 bằng “hình bình hành ABCD” và thiết
lập bài toán tương tự. Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán tương tự.
Bài toán 2.3
Cho hình bình hành ABCD, dựng ra phía ngoài hình bình hành ABCD đã cho các hình vuông
ABEF, ADGH. So sánh đoạn thẳng AC và HF.
Gt
Kl: so sánh AC và HF
Nhận xét 4: hãy thay “hình bình hành ABCD” ở bài toán 2.3 bằng “hình tứ giác lồi ABCD” và
thiết lập bài toán tương tự. Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán
tương tự.
Bài toán 2.4
Cho hình tứ giác lồi ABCD, dựng ra phía ngoài hình tứ giác lồi ABCD đã cho các hình vuông
ABEF và ADGH. So sánh hai đoạn thẳng AC và HF. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để có
được AC = HF
Gt
Kl:
-

Dễ dàng nhận ra không bằng nên HF ≠ AC.


-

Điều kiện của tứ giác lồi ABCD: nếu tứ giác lồi ABCD là một trong các hình hình:
hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông với cách thiết lập bài toán
như đã nói ở trên thì ta chứng mình được AC = HF.

Bài toán 1
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hang, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng
BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và DE, đường thẳng qua MN
lần lượt cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng góc MPQ bằng góc MQC.
Gt
Kl: =
1. Phân tích, tìm cách giải.
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi đến chứng minh được : = sau đây chỉ xin
nêu ra một trong số nhiều cách đó. Gọi O là trung điểm của DC.
- Muốn chứng minh : ta chứng minh :

(a)

- Muốn chứng minh được (a) ta chứng minh : = và =

(b)

- Muốn chứng minh được (b) ta chứng minh: ON // QC và OM // AB
(c)
- Muốn chứng minh được (c) ta chứng minh : OD = OC và ND = NE

(d)
OD = OC và MB = MC
Ta có: OD = OC (theo cách đặt vấn đề ở trên)
MB = MC (gt) và ND = NE (gt)
2. Lời giải tóm tắt
Gọi O là trung điểm DC
ON // AC ⟹ = (đồng vị)
// AB = (đồng vị)
Mà ON // và OM // = . Nhưng EC = BD (gt)
OM = ON = = =
3. Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Thay đổi điều kiện của bài toán, chẳng hạn chuyển điều kiện = ở kết luận
thành giả thiết và điều kiện BD = CE ở giả thiết thành kết luận, các điều kiện khác giữ
nguyên và thiết lập bài toán tương tự. Ta có bài toán khác.


Bài toán 1.1
Cho 3 điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Hai điểm D, E theo thứ tự trên các
đoạn thẳng AB và AC. Gọi M, N là trung điểm BC và DE. Một đường thẳng qua MN
lần lượt cắt AB và AC tại P và Q sao cho = . So sánh độ dài hai đoạn thẳng BD và CE.
Gt
Kl: So sánh BD và CE.
Vận dụng kết quả ở bài toán 1. Ta dễ dàng chứng minh được BD = CE. Thật vậy: gọi O là
trung điểm DC.
ON // AC ⟹ =
// DB =
Nhưng = = ON = OM BD = CE.
Vậy hai đoạn thẳng BD và CE bằng nhau.
Nhận xét 2: Góc là góc ngoài của tam giác QAP cân tại A.
=2

=

Phân giác góc song song với đường thẳng MN. Ta có bài toán khác.
Bài toán 1.2
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng
BA và CA sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung điểm BC và DE. Đường thẳng MN lần lượt
cắt AB và AC tại P và Q. Chứng minh rằng MN song song với đường phân giác góc
Dựa vào kết quả đã chứng minh ở bài toán 1 và sau đó dựa vào nhận xét 2 sẽ chứng
minh được MN song song với đường phân giác .
Nhận xét 3: có thể phát biểu bài toán 1 dưới một dạng khác.
Bài toán 1.3
Cho tư giác lồi BDEC có 2 cạnh đối BD = CE. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và
DE. Đường thẳng qua M theo thứ tự cắt BD và CE tại P và Q. Gọi A là giao điểm của BD và
CE. Chứng minh rằng A nằm trên đường trung trực của PQ.
Nhận xét 4: cũng có thể phát biểu bài toán 1 dưới hình thức khác
Bài toán 1.4


Cho góc , trên tia Ax lần lượt lấy hai điểm D và B, trên tia Ay lần lượt lấy hai điểm E và C
(D và E lần lượt nằm giữa AB và AC) sao cho BD = CE. Gọi M, N là trung điểm của BC và
DE. Đường thẳng qua M, N cắt BD, CE tại P và Q. Chứng minh rằng PAQ là tam giác cân tại
A.
Với điều kiện nào của thì PAQ là tam giác đều. Chúng ta dễ dàng chứng minh được PAQ là
tam giác cân nếu = 1200
PAQ là tam giác đều.


Bài toán 2
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ nửa

đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường kính AD. Tiếp tuyến tại D của
đường tròn cắt nửa đường tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đường tròn
lớn cắt nhau tại B. Nối P bất kỳ trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đường tròn nhỏ
tại K.
Chứng minh rằng AP là phân giác của góc BAK.
KL
GT

B

1. Phân tích, tìm cách giải

Muốn chứng minh AP là phân giác của góc
BAK ta chứng minh =

-

C
P

N
T

Cách 1:

-

A là phân giác của
Q

K
1

A

2

D

M

Muốn chứng minh = ta chứng minh cung
AP bằng cung PQ.
Muốn chứng minh cung AP bằng cung
PQ, ta chứng minh DP AQ tại K.
+ DP AQ tại K vì chắn nửa đường tròn đường kính AD.

Lời giải ( tóm tắt)
= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, đường kính AD )
Vậy DP AQ tại K nên cung AP bằng cung PQ.
Từ đó suy ra = (cùng chắn hai cung bằng nhau )
Cách 2:
Muốn chứng minh = , ta tạo ra hai tam giác có 2 góc này. Từ P hạ đường PNAB và đi
chứng minh cho tam giác vuông NAP bằng tam giác vuông KAP.
Muốn chứng minh , ta chứng minh, chẳng hạn = và có AP là cạnh huyền.
Muốn chứng minh =, ta chứng minh, chẳng hạn = và =
 = vì ( PN // DA – 2 góc so le trong )
 = ( vì 2 góc đáy của tam giác cân ADP )
Lời giải ( tóm tắt )

DA = DP ( cùng bán kính ) => cân => =mà = (PN // DA – góc so le trong )
Vậy =
vì có AP là cạnh huyền chung và =
Do đó, ta có =
Cách 3 :
Ta chứng minh cho hai góc NAP và KAP cùng bằng hai góc bằng nhau
Nối A với P cắt đường tròn đường kính AD tại T. Nối D với T ta nhanh chóng phát
hiện ra: 1=2. Vì ADP là tam giác cân ở D mà DT vuông góc với đáy AP. Đồng thời ta
lại có =1= 2 .
Ta cần chứng minh 1= 2 = => đpcm
Lời giải ( tóm tắt )
cân ở D mà DT AP => 1= 2
Mà 1= ( chắn cung TK )
= ( 2 góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc )

2

Vậy =( bài toán đã được chứng minh ).
Cách 4:
Ta tìm cách chứng minh góc NAP và KAP cùng bằng một góc nào đó, chẳng hạn cùng
bằng góc 1.
Trên hình vẽ, ta thấy ngay 1= ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung TK của nửa đường tròn
đường kính AD )
Góc NAP là góc giữa tiếp tuyến và một dây, góc NAP chắn chung AP, mà cung AP có
góc tương ứng ở tâm là , ta lại có 1= . Từ đó so sánh được với góc 1 => đpcm.
Lời giải ( tóm tắt )
= ( cùng chắn cung TK )

1

có 1= = (

góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm tương ứng ).

Vậy = => AP là phân giác của góc NAK.
2. Khai thác bài toán


Sau khi giải được bài toán 2, bạn đọc nhìn lại lời giải bài toán 2 có thể suy ra các bài
toán mới tương tư như bài đã cho, bằng cách phát biểu nó dưới một dạng khác và có
lời giải gần như lời giải đã tìm được, chẳng hạn ta có các bài toán tương tự sau :
Bài toán 2.1
Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn đường kính là cạnh AD và vẽ cung AC
mà tâm là D. Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường
kính AD ở K. Chứng minh rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB.
( Đây chính là đề toán số 5 trong kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 19701971)
Việc giải bài toán này hoàn toàn tương tự như cách ta đã làm ở trên. Khi đã chứng
minh được = => AP là phân giác của góc NAK => P cách đều 2 cạnh của góc NAK có
nghĩa là PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB.
Bài toán 2.2
Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính là cạnh AD và vẽ cung AC
mà tâm là D cùng trên nửa mặt phẳng bờ AD. Nối D với P bất kỳ trên cung AC, DP cắt
nửa đường tròn đường kính AD ở K. Kẻ PN vuông góc với AB. Chứng minh tam giác
AKN cân tại A.
Việc giải bài toán này hoàn toàn tương tự như cách đã giải ở bài toán 1. Ở đây việc
chứng minh góc NAP bằng góc KAP được thay bằng việc chứng minh AN = AK.

Bài toán
Cho tam giác vuông góc ở A có nội tiếp trong đường tròn tâm vẽ đường cao và bán kính . Chứng

minh rằng
KL

A

GT

1. B

H

O

C


2. Phân tích, tìm cách giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi đến chứng minh cho . Sau đây chỉ xin nêu ra một cách:
Ta dễ dàng phát hiện ngay (vì cùng bán kính)
+ Muốn chứng minh . Ta phải chứng minh được .
+ Muốn chứng minh ta chứng minh .
Ta có (vì hai góc cùng phụ với )  đpcm.
3. Lời giải (tóm tắt)
(hai góc cùng phụ với )
Ta có . Nhưng và
Nên  đpcm.
4. Khai thác bài toán
5. Nhận xét 1: Với cùng với giả thiết của bài toán ta đã chứng minh được . Hãy xét bài toán trong
trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn , thiết lập bài toán tương tự. Ta được bài toán khác.