Bài tập vật lí thống kê

Câu 1: Hãy chứng minh rằng thể tích không gian pha K của khí lý tưởng gồm N hạt có
khối lượng m đựng trong bình có thể tích V và có năng lượng toàn phần E bằng :
Γ = const.V N ( 2m )

Giải

Không gian

Γ

3N
2

E

3N
2

của hệ N khí là không gian 6N chiều dX=dXpdXq

dX q = dV1dV2 ...dVN ⇒ Γ q =

∫

dX q = V N

( Xq )

E=

1

( P12 + P22 + ... + P32N ) = P 2 ⇒ 2mE = P12 + P22 + ... + P32N = P 2
2m
Γp

Để tính

ta có thể quan niệm một cách đơn giản như là nguyên tố tầng cầu cấu
p → p + dp

tạo bởi các mặt cầu (mặt siêu diện năng lượng) có bán kính

trong không

gian 3N chiều
4
d Γ p = d ( π P 3 N ) = 4π NP 3 N −1dP
3
P 2 = 2mE ⇒ d Γ p = 4π N .
⇒ Γp :

(

2mE

)

(

2mE

)

3N
2

3N
2

3 N −1

.

m
dE
2mE

3N

⇒ Γ = Γ q Γ p = const.V N ( 2m )

E

Câu 2: Viết biểu thức entropi của khí Van de Vanxơ có N phân tử chiếm thể tích V, ở
nhiệt độ T.
Giải:

Tích phân trạng thái đối với khí thực:


N2 

Z = Z lt 1 +
β÷
2
V



Ψ = −kT ln Z ; Zlt = (2π mθ ) 3 N V N
Năng lượng tự do

1
N!


∞

N 2  N 2β N 2  a

ln 1 +
β ÷=
=
− 4V0 ÷ ; β = ∫ 4π f (r )r 2dr

V  kT

 2V  2V
0

V0: thể tích một phân tử

N 2kT  a

Ψ th = Ψ lt −
− b÷

V  kT

a, b là các hằng số không phụ thuộc vào p, T mà chỉ phụ thuộc vào từng loại chất khí.
Entropi:

kN 2b
 ∂Ψ th 
Sth = − 
=
S
−
÷
lt
V
 ∂T V

3
3
3
Slt = kN ln V + kN ln T + S0 ; S0 = kN ln(2π km) + kN − kN ln N
2
2
2
Câu 3: Hãy tính độ cao trung bình của cột không khí ở trên mặt đất(ở
lượng của không khí là 29, lấy g=9,8m/s2, k=1,38.10-23J/K

Giải:

0o

C). Biết phân tử

Áp dụng phân bố Boltzmann trong trường lực:
 U
dW = Bexp -  dxdydz; B=
 kT 

1
 U
∫∫∫ exp - kT  dxdydz

z = ∫ zdW ( z )
∞

z=

 mgz 
 dz
kT 

∫ zexp 0
∞

 mgz 
 dz
kT 

∫ exp 0

z ≈ 7,85km

Câu 4: Sử dụng định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý Virian
hãy tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa tuyến tính chuyển động dưới tác
dụng của lực chuẩn đàn hồi

− kq

ở nhiệt độ T. Trong đó q là tọa độ suy rộng.
Giải


p 2 kq 2
H=
+
2m
2
∂H p ∂H
⇒
= ;
= kq
∂p m ∂q
1 ∂H 1 ∂H 1
p
= q
= kT
2 ∂p 2 ∂q 2

p 2 kq 2
H=
+
= kT
2m
2
U = ax 4

Câu 5: Tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng
ở nhiệt độ T theo
định lý Virian. Với a là hệ số tỉ lệ, k là hằng số Boltzmann và gọi m là khối lượng của dao
tử.
Giải
Năng lượng của dao động tử có thể viết dưới dạng

p2
1
H=
+ ax 4 ; Ed = kT
2m
2

∂H
∂H
= 4ax3 ; x
= 4ax 4
∂x
∂x
1 ∂H
1

∂H 1
x
= 4ax 4 = kT ⇒ x
= kT
2 ∂x
2
∂x 4
1
1
E = kT + kT
2
4

U = ax 4 ⇒

Câu 6: Sử dụng định lý Virian, tìm năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong
U (q ) = α q 2n
trường lực có thế năng
ở nhiệt độ T, với n là số tự nhiên, α là hệ số tỉ lệ, k là
hằng số Boltzmann.
Giải

H=

p2
1
+ α q 2 n ; Ed = kT
2m
2

U = α q 2n ⇒

∂U
∂U
= 2α nq 2 n −1; q
= 2α nq 2 n = 2 nU
∂q
∂q

1 ∂U
1
1
q
= 2nU = kT ⇒ U =
kT
2 ∂q
2
2n
1
1
E = kT + kT
2
2n

00

Câu 7: Ở độ cao nào ở C, áp suất không khí giảm đi 3 lần so với ở mặt đất (độ cao
bằng 0) ? Lấy g=9,8m/s2, hằng số Boltzmann k=1,38.10-23J/K. Biết phân tử lượng của
không khí là 29.

Giải
Áp dụng công thức phong vũ biểu:
 mgh 
ph = p0 exp 
 kT 

ph 1
=
p0 3
ph
 mgh  1
= exp −
=
p0
 kT  3
h=

kT
ln 3 ≈ 8, 6km
mg

Câu 8: Tìm năng lượng tự do của N phân tử khí lí tưởng đơn nguyên tử tương đối tính
chiếm thể tích V ở nhiệt độ T, trong đó năng lượng và xung lượng của nó thỏa mãn hệ
thức

ε = cp

, với c là hệ số tỉ lệ.
Giải

Z=

1 N
Zk
N!
∞

Z k = ∫ exp{-H/θ }dX = V ∫ exp{X

0

cp
}4π p 2 dp
kT

∞

ε
4π V −ε / kT 2
(kT )3
p = ⇒ Zk = 3 ∫ e
ε d ε ⇒ Z k = 4π V .2. 3
c
c 0
c
N

1  8π Vk 3T 3 
Z= 

÷
N  c3


 8π Vk 3T 3 
F = −kT ln Z = kT ln N !− NkT ln 
÷
3
 c

Câu 9: Tính năng lượng E, năng lượng tự do và nhiệt dung của khí Van de Vanxơ có N
phân tử ở nhiệt độ T.
Giải

Tích phân trạng thái đối với khí thực: z =


N2 
zlt + 1 +
β÷
2
V



zlt = (2π mθ )3 N V N
Năng lượng tự doFth=-kTlnz,


N 2  N 2β N 2  a


ln 1 +
β ÷=
=
− 4V0 ÷

V  kT

 2V  2V
Flt −
Fth =

1
N!

V0: thể tích một phân tử

2

N kT  a

− b÷

V  kT


∂ ln Z 3
N 2a
= NkT −
∂T

2
V
∂E
3
CV = ( ) = Nk
∂T
2
Eth = kT 2

Câu 10: Hãy viết phân bố Maxwell – Boltzmann cho khí lí tưởng bao quanh một khối
hấp dẫn có bán kinh R. Hãy xét xem việc áp dụng phân bố đó vào trường hợp ta xét có
hợp lí hay không?
Giải


Thế năng của một phân tử riêng lẻ có khối lượng m nằm cách tâm của khối hấp dẫn M
U ( r ) = −a

mM
, R ≤ r<∞
r

một khoảng r bằng:
( a là hằng số hấp dẫn).
Áp dụng một cách hình thức phân bố Boltzmann, ta được:
 amM 1 
n ( r ) = Aexp 
. 
r
 θ

∞

n ( ∞) = A ≠ 0

∫ n(r )4π r dr = ∞
2

R

Do đó,
và
tức là hệ ta đang xét không ở trong trạng thái cân
bằng nhiệt và việc áp dụng phân bố Boltzmann trong trường hợp này là không hợp lý.

Câu 11: Giả sử chất khí lượng tử khối lượng m được chứa trong thể tích V ở nhiệt độ T
tuân theo thống kê Boze-Einstein và Fecmi-Dirac, giả sử độ suy biến
Đặt

B = e α ; F(B) =

∞

1
2

g(ε) = g = const

3
2

∞

2
x
1
x
µ
dx; G(B) =
dx, α= −
x
x
∫
∫
kT
π 0 Be ± 1
3 π 0 Be ± 1

N=

( 2mπkT )
h3

Chứng minh rằng số hạt toàn phần của hệ sẽ là:
tương ứng là hằng số Boltzomann và hằng số Plăng.
Giải

1

nε =
Số hạt trung bình trong 1 ô có năng lượng

ε

e

là

ε −µ
kT

3
2

, trong đó k, h

g (ε )
±1

.

Thể tích không gian pha ứng với 1 phân tử khí lí tưởng:

dε d Γ 0 = 4π mV 2mε d ε

h

Số các ô pha là

h

là

,

gVF(B)

3 3
4π
Γ0 =
V (2m) 2 ε 2
3

Thể tích không gian pha ứng với năng lượng
d Γ 0 4π mV 2mε d ε
=
= dN (ε )
3
3

.


Số hạt có năng lượng trong khoảng từ

dn = nε dN (ε ) =

3
2

ε → ε + dε

1
2

2π V (2m) ε
.nε d ε ; nε =
h3

B = eα = e

3

 µ 
− 
 kT 

1

∞

3

∞

1

2π V (2m) 2 ε 2
N = ∫ dn = ∫
.
h3

0
o
3

1
g(ε)
 ε -µ 
exp 
 ±1
 kT 

2π V (2m) 2 ε 2
⇒ dn =
.
h3

Đặt

là

dε
.g (ε )
ε 
B exp   ± 1
 kT 
3

1

∞

dε
2π V (2m) 2
ε 2 .d ε
.g (ε ) =
.
g
(
ε
)
∫o
h3
ε 
ε 
B exp   ± 1
B exp   ± 1
 kT 
 kT 
3

∞

(2π mkT ) 2
xdx
(2π mkT ) 2
N=
.
Vg
(
ε

)
=
.VgF ( B )
∫o B exp { x} ± 1
h3
h3

x=

Với

ε
kT

Câu 12: Giả sử chất khí lượng tử khối lượng m được chứa trong thể tích V ở nhiệt độ T
tuân theo thống kê Boze-Einstein và Fecmi-Dirac, giả sử độ suy biến
Đặt

B = eα ; F(B) =

∞

1
2

3
2

∞

2
x
1
x
dx; G(B) =
dx
x
x
∫
∫
π 0 Be ± 1
3 π 0 Be ± 1
E=

Chứng minh rằng năng lượng trung bình của hệ sẽ là:

3
G(B)
NkT
2
F(B)

Trong đó k, h tương ứng là hằng số Boltzomann, hằng số Plăng.
Giải

1

nε =
Số hạt trung bình trong 1 ô có năng lượng

ε

là

e

ε −µ
kT

g (ε )
±1

.

g(ε) = g = const

.


Γ0 =

3 3
4π
V (2m) 2 ε 2
3

Thể tích không gian pha ứng với 1 phân tử khí lí tưởng:

dε d Γ 0 = 4π mV 2mε d ε
là

Thể tích không gian pha ứng với năng lượng
d Γ 0 4π mV 2mε d ε
=
= dN (ε )
3
3
h

h

Số các ô pha là
Số hạt có năng lượng trong khoảng từ

dn = nε dN (ε ) =

3
2

ε → ε + dε

1
2

2π V (2m) ε
.nε d ε ; nε =
h3

B = eα = e

 µ 
− 
 kT 

3

3

∞

3

2π V (2m) 2 ε 2
E = ∫ ε dn = ∫
.
h3
0
o
3

1
g(ε)
 ε -µ 
exp 
 ±1
 kT 

2π V (2m) 2 ε 2
⇒ dn =
.

h3

Đặt
∞

1

∞

2π V (2m) 2
=
.g (ε ) ∫
h3
o

là

dε
.g (ε )
ε 
B exp   ± 1
 kT 

dε
.g (ε )
ε 
B exp   ± 1
 kT 

3

ε 2 .d ε
3
G ( B)
= NkT
2
F ( B)
ε 
B exp   ± 1
 kT 

Câu 13: Chứng minh rằng đối với phân bố Boze-Einstein, đạo hàm của thế hóa học theo
nhiệt độ luôn âm.
Giải
ε + dε
ε
Số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ đến
là

dn ( ε ) =

2m3Vg
2π 2 h3

ε dε
;
ε − µ 
exp 
 −1
 θ 

Số hạt toàn phần N là


∞

∞

0

0

N = ∫ dn ( ε ) = ∫

2m3Vg
2π 2 h3

∞
ε dε
2m3Vg
ε dε
=
;
2 3 ∫
2π h 0
ε − µ 
ε − µ 
exp 
exp 
 −1

 −1
 θ 
 θ 

Đạo hàm của thế hoá học theo nhiệt độ là

ε − µ 
exp 
 ε
∞
ε
−
µ
kT


∂
ε dε
dε
2
2
∫
∫
kT

ε
−
µ

ε

−
µ


0
∂T 0


exp 
 −1
 exp  kT  − 1÷
kT

 



=−
=−
∞
ε − µ 
∂
ε dε
exp 
 ε
∞
∫
1
kT
ε

−
µ


∂µ 0


dε
exp 
2
 −1
∫
kT
kT



ε − µ  
0
 exp  kT  − 1÷

 

∞

∂N
∂µ
= − ∂T
∂N
∂T

∂µ

Bởi vì đối với Bozon
∂µ
<0
∂θ
phân là dương, nên
.
Câu 14:

µ < 0 (dn>0, dN(ε )>0 → µ < 0)

Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N hạt không tương tác ở nhiệt

độ T có thể ở trong hai trạng thái lượng tử không suy biến
Đêbai.
Giải
Z = (e

−

và các biểu thức dưới dấu tích

ε0
k0T

+e

−

ε1
k0T

ε0
ε1 −ε 0
 − k0T

N
) = e (1 + e k0T ) 



N

Nε

Tc
− 0
ε −ε
Tc = 1 0 ⇒ Z = e k0T (1 + e T ) N
k0
T
− c
∂ ln Z
E = k0T
= N ε 0 + Nk0Te T .
∂T

1

2

2

e

T
− c
T

+1

−2

T
T
− c 
∂E
 Tc  − Tc 
CV = ( )V = Nk0  ÷ e 1 + e T ÷
∂T
T 



ε0

và

ε1

, với TC là nhiệt độ


Câu 15: Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N hạt dao động tử điều hoà hai
ε n = hν (n + 1)
chiều độc lập có các mức năng lượng:
suy biến (n+1) lần ở nhiệt độ T.
Giải
Tổng thống kê Z của hệ bao gồm dao động tử điều hoà hai chiều là:
∞
 −hν (n + 1) 
Z = ∑ ( n + 1) exp 

kT


0

−

Đặt

hν
=β
kT

, ta có

∞

Z = ∑ (n + 1) e{ − β ( n+1)} = −
0

∂
∂β

∞

∑ e{ − β (n+1)} = −
0

∂
1
eβ
. β
= β
∂β e − 1 (e − 1) 2

− hν

Z=

e kT
− hν

(1 − e kT ) 2

Năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ được xác định bằng công thức:
E = kT 2


∂ ln Z
2hν ÷
= N  hν + hν

÷
∂T
e kT − 1 


2
 ∂E 
 hν 
−2  hν 
CV = 
÷ = Nk 
÷ sh 
÷
 kT 
 2kT 
 ∂T V

Câu 16: Giả sử chất khí lí tưởng lượng tử (gồm N hạt đựng trong thể tích V) tuân theo
ε 

µ −ε 
n(ε ) = exp -α -  = exp 

thống kê Maxwell-Boltzmann:

nguyên tố trong không gian

µ



kT 

 kT 

. Hãy tìm số các ô pha

của một phân tử, tức là số các trạng thái vi mô của phân tử

ε

đó, tương ứng với khoảng năng lượng từ đến
nguyên tố là h3.
Giải

ε + dε

, biết rằng thể tích của ô pha

Theo thống kê Maxwell-Boltzmann, số hạt trung bình trong 1 ô có năng lượng
µ −ε 
n(ε ) = exp 

 kT 

.
Γ0 =

Thể tích không gian pha ứng với 1 phân tử khí lí tưởng:

3 3
4π
V (2m) 2 ε 2
3

ε

là


dε d Γ 0 = 4π mV 2mε d ε

là
Thể tích không gian pha ứng với khoảng năng lượng
d Γ 0 4π mV 2mε d ε
Số các ô pha là

h3

=

h3

= dN (ε )

Câu 17: Tìm năng lượng cực đại của electron trong kim loại ở nhiệt độ 0K. Với h, m, n
tương ứng là hằng số Plăng, khối lượng và số electron có trong một đơn vị thể tích.
Giải
Số electron có năng lượng nằm giữa E và E+dE là :

dn =

4π (2m)3/2 EdE
h3

Số electron có trong một đơn vị thể tích là :
Emax
4π (2m)3/ 2 EdE
n = ∫ dn = ∫
h3
0

4π (2m)3/2
n=
h3

Emax

4π (2m)3/2 2 Emax 3/2
EdE =
h3
3

∫
0

2/3

Emax

h 2  3n 
=
 ÷
2m  8π 

I=

+∞

 ∂f 

∫  ∂E ÷dE = −1

−∞

Câu 18: Chứng minh rằng:
Dirac.

trong đó f(E) làm hàm phân bố Fermi-

Giải:
f (E) =

I=

+∞

1
∂f
1
E − µ 
⇒
=−
exp 

2
∂E
E − µ 
 KT 

E−µ 

exp 
+
1

KT  exp 
 + 1
 KT 
 KT  

∞

 ∂f 
∫−∞  ∂E ÷dE = −−∞∫

E − µ 
exp 
dE
 KT 

E − µ  
KT exp 
 + 1
 KT  

1

2

1
E − µ 
E −µ 
x = exp 
exp 
 ⇒ dx =
 dE
KT
 KT 
 KT 

Khi E → -∞ thì x→ 0; E→+∞ thì x→+∞


∞

I = −∫
0

dx
1 ∞
=
= −1
( x + 1) 2 x + 1 0

+∞

 ∂f 
∫−∞  ∂E ÷dE = −1

Câu 19: Tính số toàn phần của trạng thái lượng tử của chất khí ở nhiệt độ T. Chứng minh
rằng nếu số hạt khí nhỏ hơn nhiều so với số trạng thái thì điều kiện sau thỏa mãn:

(

2π mkT 3/ 2
) ≥N
h2

Với h, k, m, N tương ứng là hằng số Plăng, hằng số Boltzomann, khối lượng và số phân
tử khí có trong một đơn vị thể tích.
Giải
Ở nhiệt độ T, giá trị trung bình của xung lượng của phân tử là:
p:

2 mε :

mkT
3

∆Γ : V p 3 : ( mkT ) 2 V

Thể tích không gian pha:
Số trạng thái Ở nhiệt độ T, giá trị trung bình của xung lượng của phân tử là:
p:

2 mε :

mkT
3

Thể tích không gian pha:

∆Γ : V p 3 : ( mkT ) 2 V
3

∆Γ ( mkT ) 2
Ω= 3 :
V
h
h3

Số trạng thái
số hạt khí nhỏ hơn nhiều so với số trạng thái
3

3

( mkT ) 2 V ≥ N ⇒  2π mkT  2 ≥ N
h3




h2

÷


trùng với điều kiện suy biến


Câu 20: Chứng minh rằng ở nhiệt độ cao khi
U=

thức

3
9
Nhν max + 3 NkT + NkTc
4
8

ν max

Boltzomann. N, Tc và
 − hν 



e 2 kT 

Z=

1− e

3N =

ν max

∫
o

 − hν 


 kT 

⇒ ln Z =

dn(ν ) =

ν max

∫

T ? TC

, nội năng của vật rắn tuân theo công

. Biết rằng h, k, tương ứng là hằng số Plăng, hằng số

là số nguyên tử, nhiệt độ và tần số Đêbai trong vật rắn.
Giải

ln Z (ν )dn(ν ) ; ln Z (ν ) =

0

− hν


− hν
− ln 1 − e kT 
2kT



4π Vν 3max
4π Vν 3max
12π Vν 2 dν 9 Nν 2 dν
3
⇒
υ
=

⇒
dn
(
ν
)
=
=
υ3
3N
υ3
ν max 3

hν
kT

 x = kT ⇒ dν = h dx

T = hν max
 c
k

3

ln Z =

T 
−9 N Tc
− 9N  ÷
8 T
 Tc 

Tc
T

∫x

2

ln(1 − e− x ) dx

0

Khi nhiệt độ cao một cách gần đúng
Tc
T

Tc
T

3

3

1T  T  1T 
∫0 x ln(1 − e )dx = ∫0 x ln xdx = 3  Tc ÷ ln  Tc ÷ − 9  Tc ÷
2

−x

ln Z =

2

−9 N Tc 9 N  Tc
−
ln 
8 T
3
T

Nội năng của vật rắn ở nhiệt độ cao
U = kT 2

 9 N Tc 9 NTc T  9 N
∂ ln Z
= kT 2 
+
kTc + 3 NkT
=
∂T
3T 2 Tc 
8
 8 T

Nếu tính cả E0 thì ta có
9
3
U = E0 + 3 NkT + NkTc ; E 0 = Nhν max
8
4


÷+ N
