Luận văn nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN KIM THU THẢO

NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN
CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG
CỦA MẠNG TINH THỂ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Hà Nội, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

======

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Để
có được bài luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới các quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và
truyền đạt cho tôi những NGUYỄN
kiến thức KIM
khoa THU
học trong
suốt quá trình học học tập
THẢO

tại trường và đặc biệt xin gửi lời cảm ơn đến cô PGS. TS. Nguyễn Thị Hà
Loan đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, định hướng và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài đã chọn một cách tốt

NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN

nhất.

Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các đồng nghiệp tại trường THPT Lê Văn

CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG

Thịnh, bạn bè và những người thân trong gia đình đã luôn động viên, giúp đỡ,
tạo động lực để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này.

CỦA MẠNG TINH THỂ

Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 6 năm 2018.

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Học viên
Nguyễn Kim Thu Thảo.

Mã số: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

Lời cảm ơn
Hà Nội, 2018


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên cho tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Hà
Loan đã định hướng và hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn phòng Sau đại học, và thầy cô giáo khoa Vật lý
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong thời gian nghiên cứu,
học tập và làm luận văn.
Lời cuối cho tôi cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, khích
lệ và tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận văn giúp đỡ, khích lệ và
tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018.
Học viên
Nguyễn Kim Thu Thảo.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ: “Nhiệt độ suy biến của dao động
biến dạng của mạng tinh thể” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thị
Hà Loan, hoàn thành bởi sự nhận thức của tôi và không trùng khớp các luận
văn khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018.
Học viên
Nguyễn Kim Thu Thảo.


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 1
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 1
6. Đóng góp của đề tài....................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
Chương I. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG
MẠNG TINH THỂ. .......................................................................................... 3
1.1. Dao động mạng tinh thể ............................................................................. 3
1.1.1 Dao động tử điều hòa ............................................................................... 3
1.1.2 Dao động mạng tinh thể ........................................................................... 4
1.2. Phonon âm .................................................................................................. 6
1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa ............................................... 6
1.2.2 Phonon âm ................................................................................................ 6
1.3. Tính chất vật lý của dao động mạng tinh thể ............................................ 9
1.3.1. Hàm phân bố của dao động tử điều hòa. ................................................. 9
1.3.2. Hàm phân bố của dao động mạng tinh thể. ........................................... 10
4.Năng lượng trung bình. ................................................................................ 11
1.4.1.Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa.................................. 11
1.4.2.Năng lượng trung bình của dao động mạng tinh thể.............................. 12
1.5.Nhiệt độ suy biến. ..................................................................................... 13
1.5.1.Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa. ......................................... 13
1.5.2. Nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể. .................................... 13
Chương 2. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q ....................... 15


2.1. Dao động biến dạng của mạng tinh thể .................................................... 15
2.1.1. Dao động biến dạng q ........................................................................... 15

2.1.2. Dao động biến dạng của mạng tinh thể. ................................................ 16
2.1.3. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại. .. 17
2.2.

Phổ năng lượng của dao động biến dạng của mạng tinh thể một

chiều. ............................................................................................................... 18
2.2.1. Phổ năng lượng của dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi
nguyên tử cùng loại. ........................................................................................ 18
2.2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi
nguyên tử khác loại ......................................................................................... 19
Chương III. NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG
CỦA MẠNG TINH THỂ. ............................................................................... 21
3.1. Nhiệt độ Anhxtanh. .................................................................................. 21
3.2. Nhiệt độ Đêbai. ........................................................................................ 23
3.3. Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của mạng tinh thể................. 26
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 31


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chất rắn là 1 hệ các nguyên tử, phân tử nằm sát nhau sắp xếp có tính thống
kê. Để nghiên cứu tính chất nhiệt của vật rắn thì lý thuyết Đêbai là phù hợp đã
tính được nhiệt dung phù hợp với thực nghiệm ở nhiệt độ cao và thấp. Nếu
mở rộng hình thức luận dao động điều hòa thành dao động biến dạng thì ta
cần đi xác định nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể. Để giải quyết
vấn đề đó, ta coi dao động như 1 hệ dao động biến dạng và dùng phương pháp

thống kê biến dạng để tính nhiệt độ suy biến chính là nhiệt độ bắt đầu gây ra
phá vỡ dao động mạng.
Với lý do này tôi chọn “Nhiệt độ suy biến của dao động biến dạng của
mạng tinh thể” làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dao động biến dạng của mạng tinh thể và tìm nhiệt độ suy biến
của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dao động biến dạng của mạng tinh thể:
 Các hệ thức cơ bản.
 Hàm thống kê.
 Tính năng lượng trung bình.
 Tính nhiệt độ suy biến
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu tinh chất vật lý của dao động biến dạng của mạng tinh thể một
chiều.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Dùng phương pháp vật lý thống kê và đại số biến dạng.


2

6. Đóng góp của đề tài
Nghiên cứu và trình bày tổng quan về dao động và dao động biến dạng của
mạng tinh thể. Tìm nhiệt độ suy biến của chúng.


3

NỘI DUNG

Chƣơng 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT VẬT LÝ CƠ BẢN CỦA DAO ĐỘNG
MẠNG TINH THỂ.
1.1. Dao động mạng tinh thể
1.1.1 Dao động tử điều hòa
Ta dùng mô hình dao động tử lượng tử.
Các toán tử sinh a  , hủy a của dao động điều hòa thỏa mãn:

 a, a    1

(1.1)

Toán tử số dao động N :
N  aa

(1.2)

Ta thấy:
[N,a] =

aa

a a

(1.3)

= a
[N,

]=

a

a

(1.4)

=
Ta có:

N n n n

(1.5)

Và:
a 0 0
0 0 1


4

Vậy dãy các vecto riêng đã được chuẩn hóa của toán tử N là:
n 

n
1
a  0

n!

(1.6)

n n '   nn '

(1.7)

1.1.2 Dao động mạng tinh thể
Với a là hằng số mạng tinh thể, M là khối lượng mỗi nguyên tử.
Ta có tọa độ của nguyên tử thứ n:

Và độ dịch chuyển là:
(t) u( ,t)
Năng lượng toàn phần của hệ là:
E

(t) +

Khi lượng tử hóa:
H
Giữa

và

(t) +

(1.8)

có:

Ta thấy các toán tử

[

] = iћ

[

]=0

[

]=0
và

phụ thuộc vào

. Khai triển thì ta được:
(1.9)


5

(1.10)
Theo khai triển Fourier ta có:

Nên:

=

Hay

(1.11)

Tương tự nhân 2 vế của (1.10) với

rồi lấy tổng
(1.12)

Ta có:
[

] = iћ

[

]=0

[

]=0

Mặt khác thay (1.9) và (1.10) vào (1.8) ta được:
=
Thay:

(1.13)


6

1.2. Phonon âm

1.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa
Ta có toán tử năng lượng:
p2 1
H
 m 2 x 2
2m 2

(1.14)

 

Toán tử p và x biểu diễn qua a  ,  a  :
m
a  a 

2

p
xi

a  a 
2m

(1.15)



Và:
1
 p  im x 

2m 
1
a 
 p  im x 
2m 
a

(1.16)

Từ (1.14) và (1.15) ta có :
H


2

 aa



Suy ra phổ năng lượng là En 

 a a 


2

(1.17)

 2n  1 .

1.2.2 Phonon âm
Để tìm phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể ta đặt như sau:
(1.18)


7

= -i
và

(1.19)

là các toán tử mới được biểu diễn qua

và

như sau:

=
Và

[

]=

[

]=0

[

]=0

Từ (1.18) và (1.19) ta được:

Hay ta có:

Suy ra (1.13):

(1.20)


8

(1.21)
Theo (1.20) ta có:
+1
(1.22)

Đưa vào toán tử số dao động

:

=
Hệ thức toán tử

(1.23)

có dạng:
[

]=

(1.24)

[

]=

Từ (1.20) ta có thể chứng minh (1.24)
[

, ]=
=

[

, ]=
=

Gọi

là véc tơ riêng của toán tử
=
=

thì:
(1.25)
(1.26)

9

Ở đây

là trạng thái chân không:
=1

(1.27)

=0
Từ (1.20) và (1.26) có thể chứng minh được rằng:
=

(1.28)

=

(1.29)

Ta giải phương trình:

Hay thay H từ (1.21) vào (1.29) ta thu được:

=
(

)

(1.30)

=

Vậy:
=

(

)

1.3. Tính chất vật lý của dao động mạng tinh thể
1.3.1. Hàm phân bố của dao động tử điều hòa.
Ta có: Z   e

 n
kT

(1.31)

n

1
1
Và :  n  w  n    h  n  


2



(1.32)

2

Thế (1.32 ) vào (1.31) ta có:


 E 
Z   exp  n 
 kT 
n 0


10

 h  
 h 
 exp 
  exp  
 2kT  n0
 kT 

Vì

h
h
 0 nên 
 1 , ta có:
kT
kT

 h 



 exp  kT  
n 0

1
1 e



h
kT

Suy ra tổng thống kê Z là:
 h 
exp 

2kT 

Z
 h 
1  exp 

 kT 

1.3.2. Hàm phân bố của dao động mạng tinh thể.
 n 
Z   exp   k 

n
 kT 

Ta có:
Được tính:




1




(1.33)
1

 n  w k  n    h k  n  
2
2
k





Thay (1.34 ) vào (1.33) ta có:

1 


 h k  n  2  


Z   exp 

kT
nk






 h  
 h 
 exp  k   exp  k 
 2kT  n0
 kT 

Vì

h k
h
 0 nên  k  1 ,ta có:
kT
kT


 h k 

 exp  kT  
n 0

Suy ra tổng thống kê Z là:

1
1 e



h k
kT

(1.34)


11

 h 
exp  k 
 2kT 
Z
 h 
1  exp  k 
 kT 

4. Năng lƣợng trung bình.
1.4.1. Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa.
  
exp  n 

 kT 
  n 1
  
exp  n 

 kT 
n 1




Ta có:

n

(1.35)

Trong đó:



1




1

 n  w  n    h  n  
2

2




Thay (1.36) vào (1.35) ta được:

1 

h  n   

1

2 


h  n   exp  


2
kT

n 1






 


1 

h  n   



2 

exp  


kT
n 1









1 

h  n   


2 


n exp  


kT
n 1




1


 h  h
2

1 

h  n   



2 

exp  


kT
n 1









(1.36)


12

 

h

2

h
 h 
exp    1
 kT 

1.4.2. Năng lượng trung bình của dao động mạng tinh thể.

Ta có:

 n 
exp  k 
n 1
 kT 

  k 
 n 
exp  k 

nk 1
 kT 

Trong đó:

 n  w k  nk    h k  nk  
2
2








k

nk

1





(1.37)

1


Thay (1.38) vào (1.37) ta được:

1 

h k  nk   

1

2 


h k  nk   exp 


2
kT

nk 1






 


1 

h k  nk   



2 

exp 


kT
nk 1









1 

h k  nk   


2 


nk exp 


kT
nk 1




1


 h k  h k
2

1 

h k  nk   



2 

exp 


kT
nk 1









 

h k

2

h k
 h 
exp  k   1
 kT 

(1.38)


13

1.5. Nhiệt độ suy biến.
1.5.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa.
Tổng trạng thái đối với một dao động tử được xác định bằng:

 E 
 h  
 h 
Z   exp  n   exp 

  exp  n 
 2kT  n0
 kT 
 kT 
n 0

(1.39)

Suy ra:
 h 
 h 
exp 
exp 


2kT 
2kT 


Z

 h 
 h 
1  exp 
exp 

 1
 kT 
 kT 

Năng lượng trung bình của một dao động tử là


 E 
exp  n 
2
 kT   kT Z
  n 1
Z T
 E 
exp  n 

 kT 
n 1

E

n

 

Ở nhiệt độ rất thấp
tiến tới

h

2

h
 h 

exp 
 1
 kT 

h
h
 1 hay T 
 tsb (nhiệt độ suy biến) thì  sẽ
kT
kT

h
, tức là năng lượng ở mức thấp nhất.
2

1.5.2. Nhiệt độ suy biến của dao động mạng tinh thể.
Tổng trạng thái đối với một dao động mạng tinh thể được xác định
bằng:

 E 
 h  
 h
Z   exp  n   exp  k   exp  k
 kT 
 2kT  n0
 kT
n 0


n



(1.40)


14

Năng lượng trung bình của một mạng tinh thể là:
 

Ở nhiệt độ rất thấp
tiến tới

h k

2

h k
 h 
exp  k   1
 kT 

h k
h
 1 hay T  k  tsb (nhiệt độ suy biến) thì  sẽ
kT
kT

h k
, tức là năng lượng ở mức thấp nhất.

2


15

Chƣơng 2. DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ BIẾN DẠNG q
2.1. Dao động biến dạng của mạng tinh thể
2.1.1. Dao động biến dạng q
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi a+ và a:
ˆ ˆ   qaˆ  aˆ  q  N
aa

(2.1)

Với :
N n

q

n n

(2.2)

q

Đồng thời:
ˆ ˆ 
N
ˆ
 , a   a

`

(2.3)

 Nˆ , aˆ    aˆ 



Ta thấy khi q  1 thì:

 aˆ 

 n

n

Và

 p, x   i

q

N

q



 (q  1)  N q

 n q !

(2.4)

0



(2.5)

Hamilonian được biểu diễn là:

ˆ 
H


2

 aˆ



ˆ  aa
ˆ ˆ  
a


2

 N 

q

  N  1q



(2.6)


16

Với q=1 phổ năng lượng của dao động từ điều hòa biến dạng trở
En 

thành:


2

 2n  1

2.1.2. Dao động biến dạng của mạng tinh thể.
2.1.2.1. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử cùng loại.
Ta có phương trình Hamiltonian của dao động là:

ˆk2
p
1

ˆ
ˆ2
H 
 m 2 x
2m
2

(2.7)

Ta có:
aˆ  


 m  k  uˆk 
2  k  

i

ˆ k 
p
m


aˆ 


 m  k  uˆk 
2  k  

i


ˆk 
p
m


1
1

(2.8)

Suy ra:
1
ˆ   1  1 p
ˆ k p
ˆ k  m 2  k  uˆ k uˆk 
H


2
 2M

k

(2.9)

(2.9) được biểu diễn thành:

ˆ   1
H

k

 k 
2

 aˆ

k

ˆ  k  a
ˆ ka
ˆk 
a

(2.10)


17

2.1.2. Dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi nguyên tử khác loại.
Ta có Hamiltonian của chuỗi nguyên tử là:

pˆ 2
qˆ 2
1
1
Hˆ  k  k  M 11 xˆ12  M 22 xˆ22
2M1 2M1 2
2

(2.11)

Nếu ta thay phương trình từ (2.10) rồi xét hàm Hamiltonian cho bởi:
 1

1
1
1
Hˆ   (1) (
pˆ  k pˆ k  M112 (k )uˆ k uˆk )  (
pˆ  k pˆ k  M 222 (k )uˆ k uˆk ) 
(2.12)
2
2M 2
2
k
 2M1


Ta có:

 pˆ  k pˆ k  

uˆ k uˆk 

2M11

 qˆ k qˆk  

vˆ k vˆk 

M1 1 (1)
(aˆ k  aˆk(1) )(aˆk(1)  aˆ(1)k  )
2

(aˆ(1)k  aˆk(1) )(aˆk(1)  aˆ(1)k  )

M 2 2 (2)
(aˆ k  aˆk(2) )(aˆk(2)  aˆ(2)k  )
2

2M 22

(aˆ(2)k  aˆk(2) )(aˆk(2)  aˆ(2)k  )


 

Hˆ   (1) ( 1 (aˆ(1)k aˆ(1)k   aˆ(1)k  aˆ(1)k )  2 (aˆ(2)k aˆ(2)k   aˆ(2)k  aˆ(2)k ) 
2
 2

k
Ta có:

 pˆ k uˆk   pˆ k uˆk  uˆk pˆ k
 i (aˆk(1) aˆ(1)k   aˆ(1)k  aˆk(1) )  i  aˆk(1) , aˆ(1)k  

 qˆ k vˆk   qˆ k vˆk  vˆk qˆ k
 i (aˆk(2) aˆ(2)k   aˆ(2)k  aˆk(2) )  i  aˆk(2) , aˆ(2)k  

Như vậy:

(2.13)


18

 pˆ k uˆk   i

aˆk(1) , aˆ(1)k  

(2.14)

 qˆ k vˆk   i

aˆk(2) , aˆ(2)k  

Ta có:

(aˆk(1) ) nk (aˆ(1)k  ) n k (aˆk(2) ) nk (aˆk(2) ) nk
(1)

n 

(1)

(2)

(2)

 n1k  ! n1 k  ! nk2  ! n2k  !
 q 
q  q 
q

2.2. Phổ năng lƣợng của dao động biến dạng của mạng tinh thể một
chiều.
2.2.1. Phổ năng lượng của dao động mang tinh thể biến dạng q cho chuỗi
nguyên tử cùng loại.
Ta có:

Hˆ n  En n
 aˆk aˆk n  (q  Nk 1  q  Nk 3  q  Nk 5  ...  q  Nk 2nk 1 ) n

q nk  q  nk
(
)n
q  q 1
 aˆk aˆk n   nk  q n

* aˆ k aˆ  k n 

(aˆk )nk

 nk  q! n k q!

 aˆ k aˆk n  (q

(aˆ k aˆ  k )(aˆk )n k 0

q n k  q  n k
 q  n k ) n
1
qq

(2.15)


19

 aˆk aˆ k n   n k  1 q n

(2.16)

 k  

Vậy ta có : En n    
1



2

k

n k  1q   nk q 


(2.17)

2.2.2. Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi
nguyên tử khác loại
Phổ năng lượng của dao động mạng tinh thể biến dạng q cho chuỗi hai
nguyên tử khác loại là:

Hˆ n  En n

(2.18)

Thế (2.14) vào (2.18):



k

ˆ 1 ˆ 1

n 

*a k a k
1

 
ˆ 1

a k a k

n k 1

ˆ 1 ˆ 1

ˆ 1 ˆ 1

a k a k







ˆ 1

 

aˆ k aˆ k

Như vậy :

n k
1

ˆ 1

n k
1

k

k

ˆ 1 ˆ 1

0  qa k a k  q

 

1

a  a  a  a 
1
nk 

ˆ 1

ˆ  2 
k

2
nk 

ˆ  2 
k

 nk1  !  n1k  !  nk 2   !  n 2k  !

q

q


q

q

1

 qa k a k a k
1




 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1
2
2
2 2 
a k a k  a k a k  2 aˆ kaˆ k  aˆ k aˆ k  n  En n
2
2


 1 

n k
1

0 q



 N  k
1

n k
1

a 
ˆ 1

1 1

n k

0

1

k

0  qaˆ k aˆ k  q

1

k

a 
ˆ 1

n k

N  k
1

0

 aˆ 
1

k

n k 1
1

0

2
nk 

0