Các điều kiện tối ưu cấp hai cho những bài toán với ràng buộc bất đẳng thức (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TÀO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN ĐỨC THỊNH

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI
CHO NHỮNG BÀI TOÁN VỚI
RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC
Demo Version - Select.Pdf SDK

Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS-TS. PHAN NHẬT TĨNH

HUẾ 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng
được công bố trong bất kì một công trình nào
Demo
Version - Select.Pdf SDK
khác.

Trần Đức Thịnh

ii


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn của mình, PGS-TS Phan Nhật Tĩnh. Thầy đã chọn đề tài, cung cấp
tài liệu và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Nhân đây em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy cô giáo trong
khoa Toán học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn, các anh chị trong lớp Giải Tích K21,
khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp cũng như
quá trình soạn thảo luận văn này.
Trân trọng và chân thành cảm ơn!

Demo Version - Select.Pdf SDK

Huế, 2014
Trần Đức Thịnh

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu. . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Bài toán tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Các khái niệm cực tiểu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Demo Version - Select.Pdf SDK

1.2. Hàm thực khả vi và định lý giá trị trung bình. . . . . . . . . . .

7

1.3. Gradient suy rộng trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Đạo hàm theo hướng suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2. Gradient suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Jacobi suy rộng trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5. Đạo hàm theo hướng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.1. Đạo hàm theo hướng Dini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.2. Đạo hàm theo hướng Hardamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6. Hàm tựa lồi, hàm giả lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6.1. Hàm tựa lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6.2. Hàm giả lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.3. Một số ví dụ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7. Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác. . . . . . . . . . . . .

1

14

Chương 2. Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục
15
2.1. Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1. Một số khái niệm và tính chất liên quan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.2. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.3. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.4. Trường hợp nhân tử Lagrange không phụ thuộc vào hướng. . . . . . .

26

2.3. Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. . . . . .

33

2.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.2. Điều kiện đủ cơ bản cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol. . . . . . .

41

2.4.1. Cực tiểu địa phương parabol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.4.2. Cực tiểu địa phương parabol cô lập cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Chương 3. Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương
45
3.1. Điều
kiệnVersion
tối ưu cho
cực tiểu địa
Demo
- Select.Pdf

SDKphương. . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1.1. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1.2. Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2. Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.3. Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2. . . . . . . . .

51

3.3.1. Điều kiện đủ đối ngẫu cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.3.2. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3.3. Điều kiện đủ cơ bản cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.3.4. Điều kiện cần cơ bản cấp 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Kết luận

58

Tài liệu tham khảo

59

2


LỜI NÓI ĐẦU
Tối ưu hóa là một ngành toán học ứng dụng đã và đang được nhiều người
quan tâm, nghiên cứu, tìm hiểu và ứng dụng vào thực tiễn. Bài toán tối ưu là kết
quả của việc mô hình hóa những vấn đề nảy sinh từ thực tế, chúng có thể được
diễn đạt dưới dạng toán học là tìm biến số thỏa mãn những điều kiện nhất định
đồng thời làm cho một hàm số cho trước đạt giá trị cực tiểu (hay cực đại). Năm
1965, A. Ya. Dubovitskii và A. A. Mylyutin đã đưa ra lý thuyết các điều kiện
tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta phương pháp giải tích hàm hiệu
quả để nghiên cứu các bài toán tối ưu và điều khiển. Công trình nổi tiếng của
Dubovitskii- Mylyutin đánh dấu một bước phát triển quan trọng của lý thuyết
tối ưu hóa. Do nhu cầu của kinh tế và kĩ thuật, lý thuyết tối ưu hóa phát triển
ngày càng mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả quan trọng.
Người ta thường quan tâm nghiên cứu các điều kiện tối ưu cấp 1, cấp 2, và

Version
- Select.Pdf
SDK
cấp cao hơn.Demo
Nếu các
điều kiện
cần cấp 1 được
dùng cho việc tìm ra tập tất cả
các điểm dừng thì các điều kiện cần cấp 2 lại rất hiệu quả trong việc loại bỏ các
điểm dừng không tối ưu. Chúng giúp ta xác định được điểm đã cho là một cực
tiểu (hay là một cực đại). Cuối cùng nhờ vào điều kiện đủ ta tìm được nghiệm
của bài toán tối ưu. Do đó điều kiện tối ưu cấp 2 tỏ ra rất hữu ích trong việc
tìm nghiệm của bài toán tối ưu. Sau các điều kiện tối ưu cấp 2 kiểu Fritz John
và Kuhn-Tucker thì lý thuyết các điều kiện tối ưu cấp 2 được mở rộng ra rất
nhiều hướng khác nhau đặc biệt là các bài toán với ràng buộc bất đẳng thức và
ràng buộc tập hợp.
Với mong muốn được tìm hiểu, nghiên cứu thêm về các điều kiện tối ưu và
được sự gợi ý, hướng dẫn của PGS.TS Phan Nhật Tĩnh, tôi chọn đề tài: Các
điều kiện tối ưu cấp 2 cho những bài toán với ràng buộc bất đẳng thức làm đề
tài nghiên cứu cho luận văn.
Về mặt cấu trúc, luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này tác giả trích dẫn một số khái niệm, định lý, tính chất... tổng
hợp lại từ các tài liệu tham khảo [1], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11]. Tất cả đều là
3


những kiến thức bổ trợ cho chương 2 và chương 3. Cụ thể chương này trình bày
những nội dung sau.
1.1: Bài toán tối ưu và các khái niệm cực tiểu.

1.2: Hàm số khả vi và định lý giá trị trung bình.
1.3: Garadient suy rộng trong không gian Banach.
1.4: Jacobi suy rộng trên Rn .
1.5: Đạo hàm theo hướng.
1.6: Hàm tựa lồi, hàm giả lồi.
1.7: Một số khái niệm và tính chất cơ bản khác.
Chương 2: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp khả vi liên tục.
Trong chương này, dựa trên cơ sở các tài liệu tham khảo [2], [4], [5], [6], [7], [9],
[10], tác giả nghiên cứu những nội dung cụ thể sau.
2.1: Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục.
2.2: Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương.
2.3: Điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
2.4: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabol.
Chương 3: Điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán với ràng buộc bất
đẳng thức trong trường hợp Lipschitz địa phương.
Demo
Version
Select.Pdf
SDKnày chủ yếu dựa trên cơ sở các
Những nội dung
được
nghiên -cứu
trong chương
tài liệu tham khảo [12], [3] cụ thể nghiên cứu những vấn đề sau.
3.1: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương.
3.2: Điều kiện tối ưu cho cực tiểu toàn cục.
3.3: Điều kiện cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn
đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có

những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô
và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

4