Nghiên cứu một số phương trình hàm sử dụng công cụ giải tích (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LAN CHI

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
SỬ DỤNG CÔNG CỤ GIẢI TÍCH

Demo Version - Select.Pdf SDK
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Huế, năm 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ
một công trình nào khác.
Học viên

Nguyễn Thị Lan Chi
Demo Version - Select.Pdf SDK


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Huế.
Tác giả xin tỏ lời biết ơn trân trọng nhất đến PGS.TS Huỳnh Thế Phùng đã tận
tình giúp đỡ, hướng dẫn và động viên trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin tỏ lời biết ơn trân trọng đến trường Đại học Sư phạm Huế, trường
Đại học Đồng Nai, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Huế, phòng Nghiên
cứu Khoa học - Sau đại học và Quan hệ Quốc tế trường Đại học Đồng Nai đã tận
tình giúp đỡ tạo điều kiện trong quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Khoa Toán trường Đại học Sư phạm
- Đại học Huế, các đồng nghiệp cùng công tác ở trường PTCS Lý Tự Trọng, các bạn
học viên cùng tham gia học tập tại trường Đại học Đồng Nai đã cổ vũ, động viên và
giúp đỡ trong thời gian làm luận văn.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ và sự cảm thông sâu sắc của
ba mẹ, anh chị em, chồng và hai con của tác giả.

Demo Version - Select.Pdf SDK

Tác giả

Nguyễn Thị Lan Chi


Mục lục
Chương 1. Hàm cộng tính và song cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.Hàm cộng tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.Hàm cộng tính gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1. Hàm cộng tính trên mặt phẳng thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2. Hàm cộng tính trên mặt phẳng phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.Hàm song cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. Ph.trình hàm nhận được từ các định lý giá trị trung bình .

22

2.1.Phương trình hàm từ Định lý Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Demo Version - Select.Pdf SDK

2.1.1. Định lý giá trị trung bình Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.2. Phương trình hàm dẫn xuất từ định lý Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.Phương trình hàm từ Định lý Pompeiu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2.1. Định lý giá trị trung bình Pompeiu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2.2. Phương trình hàm dẫn xuất từ định lý Pompeiu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Chương 3. Phương trình hàm Cauchy và các dạng mở rộng . . . . . . . . . .

49

3.1.Các phương trình hàm Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1.1. Phương trình mũ Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1.2. Phương trình Cauchy - logarit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.1.3. Phương trình Cauchy nhân tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.2.Phương trình hàm Jensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.3.Phương trình hàm Pexider. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

1


LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình hàm xuất hiện khắp mọi nơi. Sự ảnh hưởng và khả năng áp dụng
của nó có thể cảm nhận được ở hầu khắp mọi lĩnh vực – không chỉ trong toán học
mà cả trong các ngành khoa học khác. Các bài toán dạng phương trình hàm thường
xuất hiện trong giải tích, hình học, thống kê, khoa học máy tính, lý thuyết tổ hợp,
vật lý, toán kinh tế, sinh học, lý thuyết về hệ thống thuế, khoa học xã hội . . .
Mặc dù các nhà toán học lỗi lạc – bao gồm Abel (1823), Banach (1920), Cauchy
(1821), Darboux (1895), Euler (1768), Ostrowski (1929), Pexider (1903), Poisson

(1804) – từ thời d’Alembert đã có những đóng góp nhất định vào lĩnh vực này,
đã không có một ấn phẩm chính thức nào về phương trình hàm được công bố cho đến
khi xuất hiện tác phẩm “Lectures on Functional Equations and Their Applications”
của J. Aczél (1966). Kể từ đó, các công trình nghiên cứu về phương trình hàm được
công bố ngày càng nhiều và gắn liền với các ứng dụng thiết thực. Phương trình hàm
xuất hiện khá sớm là Phương trình hàm Cauchy, với bốn dạng cơ bản sau:
∀x, y ∈ R

f (x + y) = f (x) + f (y)

fDemo
(x + y) Version
= f (x)f (y)- Select.Pdf SDK∀x, y ∈ R
f (xy) = f (x) + f (y)

∀x, y ∈ R

f (xy) = f (x)f (y)

∀x, y ∈ R

Ngoài ra, với các ứng dụng khác nhau, người ta còn nghiên cứu nhiều phương
trình khác, như Phương trình hàm dạng Jensen, dạng Pexider,. . . Để tiếp cận các
phương trình này, ngoài các công cụ giải tích cổ điển như giới hạn, liên tục, đạo hàm,
nhiều công cụ của giải tích hiện đại cũng được sử dụng để nhận được các kết quả có
tính ứng dụng cao hơn.
Vì nhận thấy phương trình hàm là một lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn, có nhiều
ứng dụng trong thực tế, hơn nữa đây cũng là một dạng toán thường được sử dụng
trong chương trình toán phổ thông cho các học sinh khá, giỏi luyện tập, chúng tôi
chọn đề tài : “Nghiên cứu một số phương trình hàm sử dụng công cụ giải tích” cho

luận văn thạc sĩ chuyên ngành giải tích của mình, một mặt để rèn luyện thêm các kỹ

2


năng về toán, mặt khác trang bị thêm cho bản thân một số phương pháp hiệu quả
trong việc giải quyết các bài toán phổ thông.
Bố cục của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1 trình bày các hàm cộng tính và song cộng tính. Ngoài các hàm cộng
tính, song cộng tính liên tục, việc biểu diễn tường minh các hàm cộng tính và
song cộng tính không liên tục cũng được thực hiện.
• Chương 2 trình bày các phương trình hàm nhận được từ các định lý giá trị trung
bình. Đó là các phương trình hàm từ các định lý Lagrange, định lý Pompeiu.
• Chương cuối cùng trình bày các dạng mở rộng của phương trình hàm Cauchy,
phương trình hàm Jensen và phương trình hàm Pexider.
Đây là một đề tài tương đối rộng và mới so với kiến thức được trang bị nên tác
giả đã gặp phải nhiều khó khăn khi thực hiện. Mặc dù đã nỗ lực rất nhiều, luận văn
khó tránh khỏi các thiếu xót đáng tiếc. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của
quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!

Demo Version - Select.Pdf SDK
Tác giả

Nguyễn Thị Lan Chi

3


Chương 1

Hàm cộng tính và song cộng tính
Mục tiêu của chương này là trình bày một vài kết quả liên quan đến hàm cộng
tính và song cộng tính. Nghiên cứu hàm cộng tính đã được đề cập bởi A.M. Legendre,
người đầu tiên cố gắng tìm cách giải phương trình hàm Cauchy:
f (x + y) = f (x) + f (y)
với mọi x, y ∈ R. Tài liệu của Kuzma (1985) cũng đã đề cập rất kỹ đến những hàm
cộng tính. Ngoài ra các hàm cộng tính cũng được đề cập trong các tài liệu của Aczél

Demo Version - Select.Pdf SDK

(1966), Aczél (1987), Aczél và Dhombres (1989), và Smital (1988). Các nghiệm tổng
quát của những phương trình hàm có hai hay nhiều biến có thể thể hiện trong giới
hạn cộng tính, nhân tính, tính logic hoặc tính hàm mũ.

1.1.

Hàm cộng tính liên tục

Trong tiểu mục này, ta định nghĩa các hàm cộng tính và nghiên cứu trạng thái
của chúng dưới những giả thiết ổn định khác nhau như tính liên tục, tính khả vi, tính
khả nghiệm, tính đơn điệu.
Định nghĩa 1.1. Hàm f : R → R, với R là tập các số thực được, gọi là cộng tính
nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy
f (x + y) = f (x) + f (y),

4

∀x, y ∈ R

(1.1)