De thi thu va dap an chi tiet 10 chuyen09-10

kì thi vao lớp 10chuyên
năm học 2009 2010
Môn thi : toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu I: ( 2.5 điểm )
Cho phơng trình : x
2
- 2x + 3 - m = 0 , gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình.
Tìm giá trị của m để :
3 2
1 2
2 ( 1) 16x m x+ + =

Câu II: (2.5 điểm )
1) Cho phân số : A =
2
4
5
n
n
+
+
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n thỏa mãn
1 2009n
sao cho A là phân số cha tối giản.
2) Cho
2; 3; 4.a b c

Tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2
1 1 1a b c
P
a b c
+ + +
= + +

Câu III: (2.0 điểm)
Giải phơng trình :

2 2
3 3
3 3
3 2007 3 7 2008 6 2009 2008x x x x x + + =
Câu IV: ( 3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O . Vẽ tia Ax vuông góc với AD cắt
BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F.
1) Trong trờng hợp
ã
BAD
là góc tù . Chứng minh : EF đi qua O.
2) Chứng minh :
. .
. .
AC AB AD CB CD
BD AB CB AD CD
+
=

+

sở giáo dục và đào tạo
Hải Dơng
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn thi : toán
Hớng dẫn chấm
H ớng dẫn chấm:Đề số 2
Câu Nội dung điểm
câu1
2.5 điểm
Điều kiện để phơng trình : x
2
- 2x + 3 - m = 0 có nghiệm :
,
0 2 0 2m m +
Theo hệ thức Viet :
1 2
1 2
2
3
S x x
P x x m
= + =


= =

Ta có :

2
1 1 2 1 1 2 1
3 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
1 1 1
1 1
( )
( )
( ) ( )
(4 3 ) 2(3 ) (1 ) 6 2
x x x x x x Sx P
x x x x Sx P Sx Px
S Sx P Px S P x SP
m x m m x m
= + =
= = =
= =
= + = + +
Và
2
2 1 2 2 1 2 2 2
( ) 2 (3 )x x x x x x Sx P x m= + = =
Nên
3 2
1 2
2 ( 1) 16x m x+ + =
( )

[ ]
1 2
2 1 6 2 ( 1) 2 (3 ) 16m x m m x m + + + + =


1 2
2
1 2
2
2( 1) 12 4 2( 1) (3 )( 1) 16
2( 1)( ) 12 4 3 3 16
6 27 0
3( )
9( )
m x m m x m m
m x x m m m m
m m
m TM
m loai
+ + + + + =
+ + + + + =
+ =
=



=

Vậy m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài
0.25

0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
CâuII
2.5 điểm
1) Gọi d là ớc chung lớn nhất của n
2
+ 4 và n+5
Vì A là phân số cha tối giản nên d > 1
Ta có (n + 5)
2
- ( n
2
+ 4) chia hết cho d
Hay 10(n + 5) - 29 chia hết cho d mà có n + 5 chia hết cho d
Nên 29 chia hết cho d mà 29 là số nguyên tố và d > 1

d = 29
Tồn tại số m nguyên dơng sao cho : n + 5 = 29m. Khi đó:
1 2009 29 5 2009n m

và m nguyên dơng nên các giá trị của
m là 1;2;3 69
Vậy có tất cả 69 số tự nhiên n thỏa mãn
0.25

0.25
0.25
0.25
2)* Ta chứng minh BĐT sau : Với x , y là các số không âm ta có :
2x y xy+
,(1)Đẳng thức xảy ra khi x = y
Thật vậy : (1)
( )
2
2 0 0x y xy x y +
, (BĐT đúng )
Đẳng thức xảy ra khi x = y

Có P =
1 1 1
a b c
a b c
+ + + + +
Ta có :
1 1 3 1 3.2
2 .
4 4 4 4
a a a
a
a a a
+ = + + +
Hay :
1 3 5
1
2 2

a
a
+ + =
,(2) Đẳng thức xảy ra khi a = 2
Tơng tự :
1 8 1 1 8.3 2 8 10
2 .
9 9 9 9 3 3 3
b b b
b
b b b
+ = + + + = + =
, ( 3)
Đẳng thức xảy ra khi b = 3
Và
1 1 15 1 15.4 2 15 17
2 .
16 16 16 16 4 4 4
c c c
c
c c c
+ = + + + = + =
, (4)
Đẳng thức xảy ra khi c = 4
Do đó : P
5 10 17 30 40 51 121
2 3 4 12 12 12 12
+ + = + + =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P =
121

12
khi
2
3
4
a
b
c
=


=


=


0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III
2.0 điểm
Đặt :
2
3
2
3

3
3 3 3
3 2007
3 7 2008
6 2009
2008
a x x
b x x
c x
a b c
= +
= +
=
+ + =
Thay vào phơng trình và lập phơng hai vế của phơng trình ta đợc :
( )
3
3
3
( ) 2008 2008a b c+ + = =
Nên phơng trình tơng đơng với :

3 3 3 3
3 3 3 3
( )
( ) ( ) 0
3( )( )( ) 0
a b c a b c
a b c a b c
a b b c c a

+ + = + +
+ + + + =
+ + + =
Xét 3 trờng hợp :
1)

2 2
3 3
2 2
0
3 2007 3 7 2008
1
3 2007 3 7 2008
6
a b a b
x x x x
x x x x x
+ = =
+ = +
+ = + =
2)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2
3
3
2

2
0
3 7 2008 6 2009
(3 7 2008) 6 2009
1 13
6
3 1 0
1 13
6
b c b c
x x x
x x x
x
x x
x
+ = =
+ =
+ =

+
=


=


=


3)

2
3
3
2
2
0
3 2007 6 2009
3 2007 6 2009
3 7 4016 0,
c a a c
x x x
x x x
x x PTVN
+ = =
+ =
+ =
+ =
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm là:
1 1 13 1 13
; ;
6 6 6
S

+

=



0.25

0.25
0.25
CâuIV
3 điểm
1)

y
x
t
P
E
F
O
B
C
A
D
Nối EF , gọi P là điểm đối xứng với A qua EF
Trờng hợp O nằm ngoài
AEP
,ta có :
ã ã
,(1)EAF EPF=
Gọi tia At là tia đối của tia AB , ta có
ã
ã
EAF tAD=
(cùng phụ với
ã
DAF

)
Mà
ã
ã
BCD tAD=
( Cùng bù với
ã
BAD
do tứ giác ABCD nội tiếp )
ã
ã
,(2)BCD EAF =
Từ (1) và (2) suy ra :
ã
ã
ã
EPF BCD ECF= =
Nên tứ giác EPCF nội tiếp
ã
ã
0
180DCP FEP + =
Mà có
ã
ã
ã
FEP FEA PAD= =
( cùng phụ với
ã
EAP

)
Nên
ã
ã
0
180DCP PAD+ =


Tứ giác ADCP nội tiếp
Hay P thuộc đờng tròn tâm O .Mà EF là trung trực của AP nên EF
phải qua tâm O của đờng tròn
Trờng hợp O nằm trong
AEP
chứng minh tơng tự
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2)Trớc hết ta chứng minh Bài toán sau :
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng
D
H
O
A
B
C
tròn (O;R) với AB = c; AC = b ;BC = a
Chứng minh : Diện tích tam giác ABC đợc tính theo công thức :

4
ABC
abc
S
R
=
.(*)
Thật vậy : Kẻ đờng cao AH, đờng kính AD
Ta có :
( )ABH ADC g g :
. .2
. . .
4 2
ABC
AB AD
CB AC AH R
AH AC
AB AC BC AH BC
S
R
= =
= =
Hay
4
ABC
abc
S
R
=
Kẻ đờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD ta có

1
ABCD ADB BCD
ABCD ABC ADC
S S S
S S S
+
= =
+
Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD ,áp dụng
công thức trên ta có :
. . . .
. . . .
4 4
1 1
. . . .
. . . .
4 4
AB AD BD CB CD BD
AB AD BD CB CD BD
R R
AB CB AC AD CD AC
AB CB AC AD CD AC
R R
+
+
= =
+
+
. .
. .

AB AD CB CD AC
AB CB AD CD BD
+
=
+
( Đpcm)

0.25
0.5
0.5
0.25