Chuyên Đề KS Và Vẽ ĐTHS

¤n Thi TNPT 2009
Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM ĐA THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : HÀM SỐ BẬC BA , HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

x
x
1. TXĐ : D = ? (chẵn, lẻ, tuần hoàn)
2. Giới hạn :
lim f(x) ?
lim f(x) ?
3. ĐH :
: y BBT
(tăng , giảm , cực trò
Ca
)

áp 1
Cấp : y2
→+ ∞
→−∞
= ∞
= ∞
′
→
′
•
•
•
′
•

′
→
y 0 x ? (y ?)
( Tìm điểm uốn )
4. ĐĐB
5. ĐT
′
= ⇔ = =
B.VÍ DỤ
LOẠI 1 : HÀM SỐ BẬC BA
3 2
2 2
1 6 1
3
12 9 3 4 3
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x + 9x (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = 3x x (x x ) ;
→+ ∞ →− ∞
− −
= +∞ = −∞
′ ′
• − + = − +
¡
2
1

0 4 3 0
3
x
y = x x
x

=
⇔ − + = ⇔

=

Bảng biến thiên
Hàm số đã cho :
Đồng biến trên : ( ;1) , (3;+ ) −∞ ∞g

3 Nghòch biến trên : (1; )g

1, 3 3, 1
CĐ CĐ CT CT
Cực trò : x y ; x y = = = = −g

12 12 0 2 y = 6x ; y = 0 6x x
Điểm uốn : I(2;1)
′′ ′′
• − ⇔ − = ⇔ =
4. Điểm đặc biệt :
x 0 1 2 3 4
y
1−
3 1

1−
3
5. Đồ thò
- 1 -
x
−∞
1 3
+∞

y
′
+ 0
−
0 +
y
3
+∞

−∞

1−

¤n Thi TNPT 2009
3 2
2 2
2 3 3
3
6 3 3 2 1 3 1
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x x (C)

Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = 3x x (x x ) (x
→+ ∞ →− ∞
− + −
= −∞ = +∞
′
• − + − = − − + = − −
¡
2
0) , x≤ ∀ ∈ ¡
Hàm số đã cho :
Nghòch biến trên : ( ;+ ) − ∞ ∞

6 1 0 6 1 0 1
1
y (x ) ; y (x ) x
Điểm uốn I(1; )
′′ ′′
• = − − = ⇔ − − = ⇔ =
−

4. Điểm đặc biệt :
x 0 1 2
y 0
1−

2−

5. Đồ thò
3 2
2
3 3 1
3
6 3 2 0 3
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = 3x x x(x ) ; y = x
→+ ∞ →− ∞
− + +
= −∞ = +∞
′ ′
• − + = − − ⇔ −
¡
0
2 0
2
x
(x )
x

=
− = ⇔

=


Bảng biến thiên
Hàm số đã cho :
2 Nghòch biến trên : (0; )g

Đồng biến trên : ( ;0) , (2;+ ) −∞ ∞g


2, 5 0, 1
CĐ CĐ CT CT
Cực trò : x y ; x y = = = =g

6 6 0 1
3
y = 6x ; y = 0 6x x
Điểm uốn : I(1; )
′′ ′′
• − + ⇔ − + = ⇔ =
- 2 -
x
−∞

+∞

y
′

−

y

+∞


−∞

x
−∞
0 2
+∞

y
′

−
0 + 0
−
y
+∞
5
1
−∞
¤n Thi TNPT 2009
4. Điểm đặc biệt :
x
1−
0 1 2 3
y 5 1 3 5 1
5. Đồ thò
3 2
2 2

1
4
3
3
2 1 1 0
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x x (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = x x (x ) , x
→+ ∞ →− ∞
− +
= +∞ = −∞
′
• − + = − ≥ ∀ ∈
¡
¡
Bảng biến thiên
Hàm số đã cho :
Đồng biến trên : ( ;+ ) − ∞ ∞

2 2 0 2 2 0 1
2
3
y x ; y x x
Điểm uốn I(1; )
′′ ′′
• = − = ⇔ − = ⇔ =

4. Điểm đặc biệt :
x 0 1 2
y 0
2
3

2
3
5. Đồ thò
3
2
5 1
3
1 0
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = 3x , x
→+ ∞ →− ∞
+ −
= +∞ = −∞
′
• + > ∀ ∈
¡
¡
Bảng biến thiên

- 3 -
x
−∞

+∞

y
′
+
y

+∞
−∞

x
−∞

+∞

y
′

−

y

+∞

−∞

¤n Thi TNPT 2009
Hàm số đã cho :
Đồng biến trên : ( ;+ ) − ∞ ∞

6 0 6 0 0
1
y x ; y x x
Điểm uốn I(0; )
′′ ′′
• = = ⇔ = ⇔ =
−

4. Điểm đặc biệt :
x
1−
0 1
y
2−

1−
1
5. Đồ thò
LOẠI 2 : HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

4 2
3 2
1 6 2
3
12 12 1
x x

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = 3x x + (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = 12x x x(x ) ; y =
→+ ∞ →− ∞
−
= +∞ = +∞
′ ′
• − = −
¡
2
0
0 12 1 0
1
x
x(x )
x

=
⇔ − = ⇔

= ±

Bảng biến thiên
Hàm số đã cho :
1 Đồng biến trên : ( ;0) , (1;+ ) − ∞g

; 1) , 1 Nghòch biến trên : ( (0; )−∞ −g

0, 2 1 , 1
CĐ CĐ CT CT
Cực trò : x y ; x y = = = ± = −g

1 2
1
12 3 12 0
3
1 1
3
3
,
y = 36x ; y = 0 6x x
Điểm uốn : I ( ; )
′′ ′′
• − ⇔ − = ⇔ = ±
±
4. Điểm đặc biệt :
x
2−

1−
0 1
2

y 2
1−
2
1−

2
5. Đồ thò : Vì là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy
- 4 -
x
−∞

1−
0 1
+∞

y
′

−
0 + 0
−
0 +
y
+∞
2
+∞

1−

1−

¤n Thi TNPT 2009
4 2
3 2
2 2 1

3
4 4 1 0 4
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x + (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = 4x x x(x ) ; y = x
→+ ∞ →− ∞
+
= +∞ = +∞
′ ′
• + = + ⇔
¡
2
1 0 0(x ) x+ = ⇔ =

Bảng biến thiên
Hàm số đã cho :
Đồng biến trên : (0 ;+ ) ∞g

;0) Nghòch biến trên : ( − ∞g

2
4 0 y = 12x , x nên đồ thò hàm không có điểm uốn .
′′
• + > ∀ ∈ ¡
4. Điểm đặc biệt :
x

1−
0 1
y 2
1−
2
5. Đồ thò : Vì là hàm số chẵn nên đồ thò đối xứng qua trục Oy
4 2
3 2
3 2 1
3
4 4 4 1 0
x x
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số : y = x x (C)
Giải
1. TXĐ : D =
2. Giới hạn : lim f(x) ; lim f(x)
. Đạo hàm :
y = x x x(x ) ; y =
→+ ∞ →− ∞
− + +
= −∞ = −∞
′ ′
• − + = − − ⇔ −
¡
2
0
4 1 0
1
x
x(x )

x

=
− = ⇔

= ±


Bảng biến thiên

- 5 -
x
−∞
0
+∞
′
y

−
0 +
y
+∞

+∞

1−
x
−∞

1−

0 1
+∞

y
′
+ 0
−
0 + 0
−
y
2 2

−∞
1
−∞