Chuyên đề hệ thức Viet

Chuyên đề: hệ Thức vi ét
Các kiến thức cần nhớ
1) Định lí Vi ét:
Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a0). Nếu phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thì:
1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =




=


L u ý : Khi đó ta cũng có:
1 2
x x
a

=
2) áp dụng hệ thức Vi et để nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai:
- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm
1 2
c
x 1; x
a
= =
- Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm
1 2
c
x 1; x
a
= =
3) Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phơng trình:
X
2
SX + P = 0
Điều kiện S
2
4P.
Bài tập
Dạng thứ nhất: Lập phơng trình khi biết hai nghiệm:
Bài 1:
a) x
1
=2; x
2

=5 b) x
1
=-5; x
2
=7 c) x
1
=-4; x
2
=-9
d) x
1
=0,1; x
2
=0,2 e)
1 2
1
x 3; x
4
= =
f)
1 2
3
x 5; x
2
= =
g)
1 2
1 3
x ; x
4 2

= =
h)
1 2
1 1
x 2 ; x 3
4 3
= =
i)
1 2
1
x 1 ; x 0,9
3
= =
j)
1 2
x 1 2; x 1 2= = +
k)
1 2
1
x 3 2; x
3 2
= + =
+
l)
1 2
x 5 2 6; x 5 2 6= + =
m)
1 2
x 3 2 2; x 3 2 2= + =
n)

1 2
1 1
x ; x
2 3 2 3
= =
+
o)
1 2
1 1
x ; x
10 72 10 72
= =
+
p)
1 2
x 4 3 5; x 4 3 5= = +
q)
1 2
x 3 11; x 3 11= + =
r)
1 2
x 3 5; x 3 5= = +
s)
1 2
x 4; x 1 2= =
t)
1 2
1
x ; x 2 3
3

= = +
u)
1 2
x 1,9; x 5,1= =
Bài 2: Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
2x 7x 3 0 =
. Không giải phơng trình,
hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
a) 3x
1
và 3x
2
b) -2x
1
và -2x
2
c)
1
1
x
và
2
1
x
d)

2
1
1
x
và
2
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x
f)
1
1
x 1
x
+
và
2
2
x 1
x

+
g)
1
2
x 1
x
+
và
2
1
x 1
x
+
h)
1
2
x
x 1+
và
2
1
x
x 1+
i)
1
2
1
x
x
+

và
2
1
1
x
x
+
j)
2
1
x 2+
và
1
1
x 2+
B i 3 : Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
x px 5 0+ =
. Không giải phơng trình,
hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:
a) -x
1
và -x
2
b) 4x
1

và 4x
2
c)
1
1
x
3
và
2
1
x
3
d)
1
1
x
và
2
1
x
e)
2
1
x
x
và
1
2
x
x

f)
1
1
x 2
x

và
2
2
x 2
x

g)
1
2
x 3
x
+
và
2
1
x 3
x
+
h)
1
2
x
x 1
và

2
1
x
x 1
i)
1
2
1
x
x

và
2
1
1
x
x

j)
2
1
x
và
2
2
x
k)
1
2
1

x
x
+
và
2
1
1
x
x
+
l) x
1
2
x
2
và x
1
x
2
2
Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phơng trình
2
3x 7x 4 0+ + =
. Không giải phơng trình. Hãy
lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:
p
q 1
và
q
p 1

Bài 5: Tơng tự:
a)
2
x 4x 2 0+ + =
b)
2
x 5x 3 0 =
c)
2
2x 6x 7 0+ =
Bài 6:
a) Chứng minh rằng nếu a
1
; a
2
là hai nghiệm của phơng trình:
2
x px 1 0+ + =
, b
1
; b
2
là hai
nghiệm của phơng trình:
2
x qx 1 0+ + =
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 1 2 2

a b a b a b a b q p + + =
b) Chứng minh rằng nếu tích một nghiệm của pt:
2
x ax 1 0+ + =
với mộ nghiệm nào đó của pt
2
x bx 1 0+ + =
là nghiệm pt thì:
2 2 2 2
4 1 1
2
a b a b
=
c) Cho pt
2
x px q 0+ + =
Chứng minh rằng nếu
2
2p 9q 0 =
thì pt có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm:
Bài 1: Cho phơng trình:
2
x 5x 3 0 + =
. Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình không giải
phơng trình hãy tính:

a)
2 2
1 2
x x+
b)
3 3
1 2
x x+
c)
1 2
x x
d)
2 2
1 2
x x
e)
3 3
1 2
x x
f)
1 2
1 1
x x
+
g)
2 2
1 2
1 1
x x
+

h)
1 2
1 2
x 3 x 3
x x

+
i)
1 2
1 1
x 2 x 2
+

j)
1 2
2 1
x 5 x 5
x x
+ +
+
k)
1 2
1 2
1 1
x x
x x
+ + +
l)
1 2
1 2

1 x 1 x
2x 2x

+
m)
2 2
1 2 1 2
x x x x+
n)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bài 2: Tơng tự:
2
2x 5x 1 0 + =
;
2
3x 4x 3 0+ =
;
2
3x 2x 5 0 + + =
Bài 3: Cho phơng trình:
2
x 4x 1 0 + =
. Không giải phơng trình hãy tính:
a) Tổng bình phơng các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm
c) Tổng lập phơng các nghiệm d) Bình phơng tổng các nghiệm
e) Hiệu các nghiệm f) Hiệu bình phơng các nghiệm

Bài 4: Cho pt:
2
x 4 3x 8 0+ + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải pt hãy tính:
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6x 10x x 6x
A
5x x 5x x
+ +
=
+
Dạng thứ ba: Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Bài 1:
a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180.
b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.
c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 33 , tích của chúng bằng 270.
d) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 4, tích của chúng bằng 50.
e) Tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng 6 , tích của chúng bằng -315.
Bài 2 Tìm hai số u, v biết:
a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105
c) u + v = 2; uv = 9 d) u + v = 42; uv = 441
e) u - v = 5; uv = 24 f) u + v = 14; uv = 40
g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24

i) u + v = 4; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24
k) u
2
+ v
2
= 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180
m) u
2
+ v
2
= 5; uv = -2 n) u
2
+ v
2
= 25; uv = -12
Dạng thứ bốn: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm:
Bài 1: Cho pt
2
x 6x m 0 + =
. Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả:
a)
2 2
1 2
x x 36+ =
b)
1 2

1 1
3
x x
+ =
c)
2 2
1 2
1 1 4
x x 3
+ =
d)
1 2
x x 4 =
Bài 2: Cho pt
2
x 8x m 0 + =
. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả một trong
các hệ thức sau:
a)
2 2
1 2
x x 50+ =
b)
1 2
x 7x=
c)

1 2
2x 3x 26+ =
d)
1 2
x x 2 =
Bài 3: Cho pt
2
x (m 3)x 2(m 2) 0 + + + =
. Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
x 2x=
.
Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt?
Bài 4:
a) Tìm k để pt:
2
x (k 2)x k 5 0+ + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2
x x 10+ =
b) Tìm m để pt:

2
x 2(m 2)x 5 0 =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
2 2
1 2
x x 18+ =
c) Tìm k để pt:
2
(k 1)x 2(k 2)x k 3 0+ + + =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả

1 2
(4x 1)(4x 1) 18+ + =
d) Tìm m để pt:
2
5x mx 28 0+ =
có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2

5x 2x 1+ =
Bài 5 Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm khác 0 của pt:
2
mx (m 1)x 3(m 1) 0+ + =
. Chứng minh:
1 2
1 1 1
x x 3
+ =
Dạng thứ năm: Các bài toán tổng hợp.
Bài 1: Cho pt:
2 2
x (2m 3)x m 3m 2 0 + + + + =
a) Giải pt trên khi m = 1
b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó?
c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2 2
1 2
x x 1+ =
e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia?
Bài 2: Cho pt

2
x 2(m 1)x m 0 =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m 0. Hãy lập pt ẩn y có 2 nghiệm là:
1 1
2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +
c) Định m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
x 2x 3+ =
Bài 3: Cho pt
2

x 2(k 3)x 2k 1 0 + + =
a) Giải pt khi
1
k
2
=
b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy?
c) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x
1
; x
2
với mọi k.
d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?
e) Tìm k để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2 1 2
1 1 3
2
x x x x
+ + =
f) Tìm k để tổng bình phơng các nghiệm có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho pt
2
(m 1)x 2mx m 1 0 + + =
a) CMR pt luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m 1.
b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?

d) Tìm m để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả
1 2
2 1
x x 5
0
x x 2
+ + =
Bài 5: Cho pt
2
x 2(m 1)x 2m 10 0 + + + =
a) Giải và biện luận pt trên.
b) Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại?
c) Tìm m sao cho hai nghiệm x
1
; x
2
của pt thoả
2 2
1 2 1 2
10x x x x+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 6: Cho pt
2
x 2mx 2m 1 0 + =
a) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x

1
; x
2
với mọi m.
b) Đặt
2 2
1 2 1 2
A 2(x x ) 5x x= +
+) Chứng minh
2
A 8m 18m 9= +
+) Tìm m sao cho A = 27.
c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?
Bài 7: Cho pt
2
x 2(m 1)x m 4 0 + + =
a) Giải pt khi m = -5
b) CMR pt luôn có nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng.
e) CMR biểu thức
1 2 2 1
A x (1 x ) x (1 x )= +
không phụ thuộc m.
f) Tính giá trị của biểu thức
1 2

x x
Bài 8: Cho pt
2
x 2(m 2)x m 1 0 + + + =
a) Giải pt trên khi
3
m
2
=
b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu?
c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm?
d) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của pt. Tìm m để
2
1 2 2 1
x (1 2x ) x (1 2x ) m + =
Bài 9: Cho pt
2 2
x 2(m 1)x m 4m 9 0 + + =
(x là ẩn)
a) Giải và biện luận pt.
b) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm đợc hãy tìm nghiệm còn lại
của pt.
c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu.
Bài 10: Cho pt
2
(m 4)x 2mx m 2 0 + + =

a) Tìm m để pt có nghiệm
x 2=
. Tìm nghiệm kia
b) Tìm m để pt có nghiệm
c) Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
d) Tính
3 3
1 2
x x+
theo m.
e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo các nghiệm.
Bài 11:
a) Pt
2
x 2px 5 0 + =
có nghiệm
1
x 2=
. Tìm p và tính nghiệm kia.
b) Pt
2
x 5x q 0+ + =
có một nghiệm bằng 5. Tìm q và tính nghiệm kia.
c) Biết hiệu hai nghiệm của pt
2
x 7x q 0 + =

bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
d) Tìm q và hai nghiệm của pt
2
x qx 50 0 + =
, biết pt có hai nghiệm và nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.