MR khai niem luy thua

ĐẠI SỐ 11
IẢI TÍCH
VÀ
G


Bài: MỞ RỘNG
KHÁI NIỆM LŨY THỪA


I. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN.


1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Cho a ∈ R, n ∈ Z Định nghĩa 1.
an+1=an.a; a1=a
a là cơ số; n: số mũ của lũy thừ.


 Tính chất.

(a.b) = a .b
n

n

n

a
= a (m > n)
a

m

m −n

n

(a ) = (a ) = a
a .a = a
m

n

n

m

m

m+n

n

n

m.n

a
a
(b ≠ 0)
  =

b
b
n

n


2. Hàm số: y=xn (n≥1).



MXĐ: D=R,
Nếu n=2k thì:
 y=xn là hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua
trục tung.
 MGT: T=[0,+∞).
 Hàm số tăng trên (0,+∞) và giảm trên
(∞,0).




Nếu n=2k+1 thì:
 y=xn là hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc
tọa độ O.
 MGT: T=R.
 Hàm số luôn tăng trên R.


ĐỒ THỊ MINH HỌA

f(x)
f(x)

Hàm y=x^(2k)
Ham y=x^2k
Ham y=x^(2k+1)

8
8
6
6
4
4
2
2

x
x
-8
-8

-6
-6

-4
-4

-2
-2

2
2
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8

4
4

6
6

8
8


3. Lũy thừa với số mũ nguyên.


Định nghĩa 2: Cho a≠0, ta có:
1
−1 1
a0 = 1; a = ; a = (n ∈ Z , n > 1)
a
n

−n

+

n



Tính chất: Tương tự như lũy thừa số mũ nguyên
dương.


II. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ.


1. Căn bậc n.






Định nghĩa 3:
a∈R, n∈Z+, n>1: x là căn bậc n của a khi xn=a
a có duy nhất một căn bậc lẻ, ký hiệu: x ;
a>0 có căn bậc chẵn đối nhau, ký hiệu: x ;− n x
Với a>0; m, n ∈ R; m, n>1. Ta có các tính chất
sau:
n

n




m

n

a=

m.n

a;

 ( a) = a ;
m

n




n

2n

m

n

a =a ;
n.m

m

a = a;
2n

n.k

a

= a ;

m.k

n

m

a.b = a . b ;
a
a
= (a, b > 0);
b b
a > b > 0 ⇒ a > b;

n

n

n

n

n

n

n

n


2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ.


Định nghĩa 4:

a = a
a > 0; a ∈ R; m, n ∈ Z ; m, n > 1 : 
0 = 0

m
n

+

m

n



Đặc biệt:
1
n

a =

n

a

n

m


III. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC.


1. Định nghĩa.


Cho a>0, a∈R, x là số vô tỷ dương, (xn) là dãy số
tùy ý dần về x, ta định nghĩa: a = lim a
xn

x

n →∞

1
a =
a
x



Nếu x<0 thì –x>0, ta định nghĩa:



Tính chất: Tương tự như lũy thừa số mũ nguyên
dương.

−x


2. Định lý
Cho a∈R+; x,t∈R
ax>0 nếu a>1 và x>0 thì ax>1
 Nếu a>1, x>t thì ax>at
 Nếu 0

3. Hàm số lũy thừa.








Hàm số y=xα, trong đó α là một số thực tùy ý,
được gọi là hàm số lũy thừa.
Hàm số này xác định với mọi số thực x>0.
Khi α=0 thì y=x0=1 với mọi x>0.
Khi α≠0, nó lấy tất cả các giá trị dương.
Khi α>0, nó là một hàm số đồng biến.
Khi α<0, nó là một hàm số nghịch biến.


 Vấn đề bài tập.
a.

Chuyển đổi cơ số của lũy thừa.

a

k.x

= (a )
−k

m
n

a = (a )
x

b.

−x

m
.x
n

1
= ( ) hay
a
−x

k

=( a )
n

m

m
.x
n

Đưa một đẳng thức về lũy thừa có cùng cơ số.

HẾT