BỘ ĐỀ THI HỌC KỲ MÔN TOÁN LỚP 10, 11, 12 ĐỀ CHÍNH THỨC CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT (2018 EDITION)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP

ĐỀ THI HỌC KÌ I
Năm học 2017 - 2018
Môn Toán
Lớp 10
Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (3 điểm)
Câu 1: Cho hai tập hợp 1;3 và  2; 4 . Giao của hai tập hợp đã cho là:
A.  2;3

B.  2;3

C.  2;3

D.  2;3

Câu 2: Cho hàm số y   m  1 x  m  2 . Điều kiện để hàm số đồng biến trên R là:
A. m  2

B. m  1

C. m  1

D. m  2

Câu 3: Cho parabol y  2 x 2  4 x  3 . Tọa độ đỉnh của parabol là:
A.  1; 5 

B. 1;3

C.  2;5 

D.  2;5 

Câu 4: Điều kiện để đồ thị hàm số y  x 2  4 x  m cắt Ox tại hai điểm phân biệt là:
A. m  4

B. m  4

Câu 5: Cho hàm số y  2  x 
A.  ; 2

C. m  4

D. m  4

x
. Tập xác định của hàm số là:
x 1

B. 1; 2

C.  ; 2 \ 1

D.  2;  

x  3  1 2x


Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  x  1
là:
 2  1

A.  4;3

B.  4;3

C.  4;3

D.  4;3

Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác MNP có M  2;1 , N 1;3 , P  0; 2  . Tọa độ trọng
tâm G của tam giác MNP là:

1

 1 
B.  2;  
C. 1; 2 
D.   ; 2 
3

 3 



Câu 8: Trên mặt phẳng tọa độ cho a  1; 3 và b   2; 1 . Giá trị của a.b bằng:
A.  2;1

A. 6

B. 0

C. 5

D. 1


Câu 9: Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c . Biểu thức a 2  b 2  c 2 bằng:
A. 2ab cos C

B. 2bc cos A

Câu 10: Cho góc  thỏa mãn cos  
A.

3
5

B. 

3
5

C. 2bc cos A

D. 2ab cos C

3

. Giá trị của cos 180    là:
5
C.

4
5

D. 

4
5

Câu 11: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng, trong đó C nằm giữa A và B. Xét các
khẳng định sau
 
 
i) AB, AC là hai vectơ cùng hướng
ii) AB, AC là hai vectơ ngược hướng
 
 
iii) CB, AC là hai vectơ cùng hướng
iv) CB, AC là hai vectơ ngược hướng
Số khẳng định đúng là:
A. 3

B. 2

C. 1

Câu 12: Cho hình bình hành ABCD. Xét các khẳng định sau

 
 
 
i) AB  CD
ii) AC  BD
iii) AD  CB

D. 0

  
iv) AC  AD  BA

Số khẳng định đúng là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

PHẦN 2. TỰ LUẬN (7 điểm)
Bài 1 (TH). (1,5 điểm)
Cho parabol  P  : y  x 2  2 x  3
a) Xác định trục đối xứng và tọa độ đỉnh của parabol  P  . Vẽ parabol  P  .
b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số
y  x2  2x  3 .
Bài 2 (VD). (2 điểm)
a) Giải phương trình

2x  9  x  3

b) Trong các đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, các bạn học sinh lớp 10A đã quyên
góp được 1200 000. Mỗi em chỉ quyên góp bằng các tờ tiền 2000, 5000, 10 000. Tổng số tiền
loại 2000 và số tiền loại 5000 bằng số tiền loại 10 000. Số tiền loại 2000 nhiều hơn số tiền loại
5000 là 200 000. Hỏi có bao nhiêu số tiền mỗi loại?
Bài 3 (VD). (3 điểm)


a) Cho tam giác nhọn ABC, AB  2a, AC  3a, BAC  60 . Về phía ngoài tam giác, dựng tam
giác ACD vuông cân tại đỉnh A. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD và các tích vô hướng
   
AB. AC , BD. AC theo a.
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; 2  , B  1; 1 , C  2; 1
. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 4 (VDC). (0,5 điểm) Giải phương trình

x  2x 1  x  4  3 2x 1  2 .


ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

B

A

D

C

A

D

C

D

B

11

12

B

B

21

22

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Phương pháp

A  B  a | a  A; a  B
Cách giải:

Vậy, 1;3   2; 4   2;3 .
Chọn C.
Câu 2:
Phương pháp:
Hàm số y  ax  b đồng biến trên   a  0 .
Cách giải:
Để hàm số y   m  1 x  m  2 đồng biến trên  thì m  1  0  m  1
Chọn B.
Câu 3:
Phương pháp:

 b b 2  4ac 
Tọa độ đỉnh của parabol y  ax  bx  c ,  a  0  là:   ;

4a 
 2a
2

Cách giải:
Tọa độ đỉnh của parabol y  2 x 2  4 x  3 là:  1; 5  .
Chọn A.


Câu 4:
Phương pháp:
Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  4 x  m và trục Ox bằng số nghiệm của phương trình

x2  4x  m  0
Cách giải:
Số giao điểm của đồ thị hàm số y  x 2  4 x  m và trục Ox bằng số nghiệm của phương trình

x2  4x  m  0
 Để đồ thị hàm số y  x 2  4 x  m cắt Ox tại 2 điểm phân biệt thì phương trình
x 2  4 x  m  0 có 2 nghiệm phân biệt   '  0  22  m  0  m  4
Chọn D.
Câu 5:
Phương pháp:

A xác định  A  0
A

xác định  B  0
B
Cách giải:

2  x  0
x  2
Điều kiện xác định: 

x 1  0
x  1
Tập xác định của hàm số là:  ; 2 \ 1 .
Chọn C.
Câu 6:
Phương pháp:
Giải lần lượt các bất phương trình, sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm của từng bất phương
trình.
Cách giải:
x  3  1 2x
2 x  x  1  3  x  4

Ta có:  x  1


 x   4;3
x 1  2
x  3
 2  1

Vậy, tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là  4;3 .

Chọn A.
Câu 7:
Phương pháp:

xM  xN  xP

 xG 
3
Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP: 
 y  yM  y N  y P
 G
3
Cách giải:
Tọa độ trọng tâm G của tam giác MNP có M  2;1 , N 1;3 , P  0; 2  :

xM  xN  xP 2  1  0
1



 xG 
3
3
3

 y  yM  y N  y P  1  3  2  2
 G
3
3

 1 
Vậy, G   ; 2 
 3 
Chọn D.
Câu 8:
Phương pháp:



a   x1 ; y1  và b   x2 ; y2   a.b  x1 x2  y1 y2
Cách giải:

a.b  1.2   3 .  1  5
Chọn C.
Câu 9:
Phương pháp:
Định lý Côsin: a 2  b 2  c 2  2bc cos A
Cách giải:
Ta có: c 2  a 2  b 2  2ab cos C  a 2  b 2  c 2  2ab cos C
Chọn D.
Câu 10:
Phương pháp:


cos 180      cos 
Cách giải:

cos 180      cos   

3

5

Chọn B.
Câu 11: Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng, trong đó C nằm giữa A và B. Xét các
khẳng định sau
 
 
i) AB, AC là hai vectơ cùng hướng
ii) AB, AC là hai vectơ ngược hướng
 
 
iii) CB, AC là hai vectơ cùng hướng
iv) CB, AC là hai vectơ ngược hướng
Số khẳng định đúng là:
A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Phương pháp:
Hai vectơ cùng (ngược) hướng là hai vectơ cùng
phương và cùng (ngược) chiều.
Cách giải:
Có 2 khẳng định đúng là: i) và iii).
Chọn B.
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD. Xét các khẳng định sau
 

 
 
  
i) AB  CD
ii) AC  BD
iii) AD  CB
iv) AC  AD  BA
Số khẳng định đúng là:
A. 0

B. 1

C. 2

Phương pháp:
Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.
  
Sử dụng quy tắc hình bình hành AC  AB  AD
Cách giải:
Có 1 khẳng định đúng, đó là: iv)
    
(Do AC  AD  AB  AD  BA (theo quy tắc hình bình hành))
Chọn B.
PHẦN 2. TỰ LUẬN (7 điểm)

D. 3


Bài 1 (TH). (1,5 điểm) Cho parabol  P  : y  x 2  2 x  3
Phương pháp:

 P  : y  ax 2  bx  c,  a  0 

a) Parabol

nhận x  

b
2a

làm trục đối xứng và có đỉnh

 b b 2  4ac 
I  ;
.
4a 
 2a
 b

b) Hàm số y  ax 2  bx  c có a  0 , đồng biến trên khoảng   ;   và nghịch biến trên
 2a

b 

khoảng  ;   .
2a 

Cách giải:
a) Xác định trục đối xứng và tọa độ đỉnh của parabol P .
Vẽ parabol P .

Parabol  P  : y  x 2  2 x  3 nhận x  1 làm trục đối xứng
và có đỉnh I  1; 4  .
Một số điểm trên  P  :

x

3

2

1

0

1

y

0

3

4

3

0

Đồ thị hàm số (hình bên):
b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số

y  x2  2x  3 .
Hàm số y  x 2  2 x  3 có 1  0 , đồng biến trên khoảng  1;   và nghịch biến trên khoảng

 ; 1 .
Bảng biến thiên của hàm số y  x 2  2 x  3

x



y



1


4

Bài 2 (VD). (2 điểm)




Phương pháp:
a)

 g  x   0
f  x  g  x  

2
 f  x   g  x 

b) Đưa về hệ phương trình để giải.
Cách giải:
a) Giải phương trình

2x  9  x  3 .

x  3
 x  3  0
x  3
x  3

2x  9  x  3  
 2
  x  0  x  8 .
2  
2
2 x  9  x  6 x  9
 x  8x  0
 x  8
2 x  9   x  3

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x  8 .
b) Trong các đợt ủng hộ các bạn học sinh ở vùng bị bão lụt, các bạn học sinh lớp 10A đã
quyên góp được 1200 000. Mỗi em chỉ quyên góp bằng các tờ tiền 2000, 5000, 10 000. Tổng
số tiền loại 2000 và số tiền loại 5000 bằng số tiền loại 10 000. Số tiền loại 2000 nhiều hơn số
tiền loại 5000 là 200 000. Hỏi có bao nhiêu số tiền mỗi loại?
Gọi số tiền loại 2000, 5000, 10 000 lần lượt là x, y, z

Theo đề bài ta có:

 x  y   z  1200 000
 x  y  z  1200 000
 x  y  600 000



  x  y   z  0
  z  600 000
x  y  z
 x  y  200 000
 x  y  200 000
 x  y  200 000



600 000  200 000

x 
 x  400 000
2


  y  200 000
 y  x  200 000
 z  600 000
 z  600 000




Vậy số tiền loại 2000, 5000, 10 000 lần lượt là 400 000, 200 000, 600 000.
Bài 3 (VD). (3 điểm)
Phương pháp:
a) Định lý Côsin: a 2  b 2  c 2  2bc cos A
  
 
Tích vô hướng: a.b  a . b .cos a; b

 


 
 AH .BC  0
b) Xác định tọa độ điểm H  a; b  để   
 BH . AC  0
Cách giải:
a) Cho tam giác nhọn ABC , AB  2a, AC  3a, BAC  60 . Về phía ngoài tam giác, dựng
tam giác ACD vuông cân tại đỉnh A. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD và các tích vô
   
hướng AB. AC , BD. AC theo a.
*) Tính BC , BD :
Ta có: BC 2  AB 2  AC 2  2. AB. AC.cos BAC

  2a    3a   2.2a.3a.cos 60   2a    3a   2.2a.3a.
2

2

2

2

1
2

 4a 2  9a 2  6a 2  7 a 2  BC  a 7
Do tam giác ACD dựng về phía ngoài tam giác ABC nên:
BAD  BAC  CAD  60  90  150

Khi đó:

BD 2  AB 2  AD 2  2. AB. AD.cos BAD
  2a    3a   2.2a.3a.cos150   2a    3a   2.2a.3a.
2

2

2



2

 3
2



 4a 2  9a 2  6 3a 2  13  6 3 a 2  BD  a 13  6 3

   
*) Tính AB. AC , BD. AC :
 
 
AB. AC  AB. AC.cos AB; AC  2a.3a.cos 60  3a 2





          
BD. AC  BA  AD . AC  BA. AC  AD. AC  BA. AC  0 (do AD  AC )





 
 
 BA. AC   AB. AC  3a 2
 
 
Vậy, BC  a 7 , BD  a 13  6 3 , AB. AC  3a 2 , BD. AC  3a 2 .
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba đỉnh

A 1; 2  , B  1; 1 , C  2; 1 . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.


 
 AH .BC  0

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên   
 *
BH
.
AC

0



Giả sử H  a; b  , khi đó: AH   a  1; b  2  , BH   a  1; b  1


Ta có: BC   3;0  , AC  1; 3
a  1
 a  1 .3   b  2  .0  0
a  1  0
a  1




 *  
1
a  1  3b  3  0
3b  1  0
b   3
 a  1 .1   b  1 .  3  0
1


Vậy, H 1;  
3

Bài 4 (VDC). (0,5 điểm)

x  2x 1  x  4  3 2x 1  2 .

Giải phương trình
Phương pháp:
+) Nhân cả 2 vế với

2

+) Nhóm hằng đẳng thức thứ hai, phá căn bậc hai.
Cách giải:
ĐKXĐ: x 

1
2

Phương trình

x  2x 1  x  4  3 2x 1  2  2x  2 2x 1  2x  8  6 2x 1  2

 2x 1 2 2x 1 1  2x 1 6 2x 1  9  2 


2x 1 1 





2

2x 1 1 



2x 1  3

2 x  1  3  2 (*)

Giải phương trình:

2x 1 1  0  2x 1  1  2x 1  1  x  1
2x 1  3  0  2x 1  3  2x 1  9  x  5

TH1: Nếu

1
 x  1 thì
2

(*)  1  2 x  1  3  2 x  1  2  4  2 2 x  1  2  2 x  1  1  x  1 (TM)
TH2: Nếu 1  x  5 thì



2

2


 * 

2 x  1  1  3  2 x  1  2  2  2 (luôn đúng)

TH3: Nếu x  5 thì

 * 

2 x  1  1  2 x  1  3  2  2 2 x  1  4  2  2 x  1  3  x  5 (TM)

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm S  1;5 .


SỞ GĐ & ĐT BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2017 - 2018

TRƯỜNG THPT

Môn thi: TOÁN - KHỐI 10
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Mục tiêu:
+) Đề thi HK2 của Sở GD&ĐT Bắc Giang với 20 câu hỏi trắc nghiệm và 3 câu hỏi tự luận với đầy đủ
kiến thức bám sát chương trình HK2 môn Toán lớp 10.
+) Đề thi giúp các em có thể ôn tập một cách tổng quát và đầy đủ kiến thức đã được học trong HK2 lớp

10 và có thể làm quen với mẫu đề thi HK, từ đó có thể làm tốt các bài kiểm tra và bài thi.
+) Đề thi gồm các câu hỏi tương ứng với các mức độ như sau:
Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

5 câu

7 câu

9 câu

2 câu

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 5 điểm) Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:
Câu 1 (NB). Cho tan x  2 . Giá trị của biểu thức P 
A. 2.

B. 13.

4sin x  5cos x
là
2sin x  3cos x

C. –9.

D. –2.

Câu 2 (VD). Bất phương trình 16  x 2  x  3  0 có tập nghiệm là
A.  ; 4   4;   .

B. 3; 4 .

C.  4;   .

D. 3   4;   .

x2 y 2

1.
Câu 3 (NB). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elíp  E  có phương trình chính tắc là
25 9
Tiêu cự của  E  là.
A. 8.

B. 4.

C. 2.

D. 16.

x  y  2
Câu 4 (TH). Cho hệ phương trình  2
, với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ
2
2

x
y

xy

2
m

trên có nghiệm.
A. m   1;1 .

B. m  1;   .

C. m   1; 2 .

D. m   ; 1 .

Câu 5 (VD). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A  3;5  , B 1;3 và đường thẳng

d : 2 x  y  1  0 , đường thẳng AB cắt d tại I . Tính tỷ số
A. 6.

B. 2.

IA
.
IB

C. 4.

Câu 6 (VD). Cho đường thẳng  : 3 x  4 y  19  0 và đường tròn

D. 1.

 C  :  x  1   y  1
2

2

 25 . Biết

đường thẳng  cắt  C  tại hai điểm phân biệt A và B, khi đó độ dài đoạn thẳng AB là
A. 6.

B. 3.

C. 4.

D. 8.

Trang 1


Câu 7 (VDC). Cho a, b, c, d là các số thực thay đổi thỏa mãn a 2  b 2  2, c 2  d 2  25  6c  8d . Tìm giá
trị lớn nhất của P  3c  4d   ac  bd  .
A. 25  4 2.

B. 25  5 2.

C. 25  5 2.

D. 25  10.

Câu 8 (NB). Cho đường thẳng d : 7 x  3 y  1  0 . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của d?




A. u   7;3 .
B. u   3;7  .
C. u   3;7  .
D. u   2;3 .
Câu 9 (TH). Tập nghiệm của bất phương trình

1
1

là
2x 1 2x 1

1 1


A.  ;     ;   .
2 2



1


B.  ;   .
2


 1 1
C.   ;  .
 2 2

1 1


D.  ;     ;   .
2 2



Câu 10 (TH). Cho sin  

3
A. cot   .
4

3
900    1800  . Tính cot  .

5
4
B. cot   .
3

4
C. cot    .
3

3
D. cot    .
4

x  3  4  2x
Câu 11. (TH). Tập nghiệm của bất phương trình 
là
5 x  3  4 x  1
A.  ; 1 .

B.  4; 1 .

C.  ; 2  .

D.  1; 2  .

Câu 12 (NB). Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC  a, AC  b, AB  c . Gọi ma là độ dài đường
trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh
đề nào sau đây sai?
A. ma2 
C. S 

b2  c2 a 2
 .
2
4

B. a 2  b 2  c 2  2bc cos A.

abc
.
4R

Câu 13 (TH). Bất phương
A.  2;   .

D.

a
b
c


 2 R.
sin A sin B sin C

2x  5 x  3
có tập nghiệm là

3
2
B.  ;1   2;   .

 1

D.   ;   .

 4


C. 1;   .

Câu 14 (VD). Tam thức f  x   x 2  2  m  1 x  m 2  3m  4 không âm với mọi giá trị của x khi
A. m  3.

B. m  3.

C. m  3.

D. m  3.

Câu 15 (VD). Tập nghiệm của bất phương trình 4  3 x  8 là
A.  ; 4 .

 4

B.   ;   .
 3


 4 
C.   ; 4  .
 3 

4

D.  ;     4;   .

3


Câu 16 (NB). Xác định tâm và bán kính của đường tròn  C  :  x  1   y  2   9.
2

A. Tâm I  1; 2  , bán kính R  3.

2

B. Tâm I  1; 2  , bán kính R  9.
Trang 2


C. Tâm I 1; 2  , bán kính R  3.

D. Tâm I 1; 2  , bán kính R  9.

Câu 17 (VD). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x 2   m  2  x  8m  1  0 vô
nghiệm.
A. m   0; 28 .

B. m   ;0    28;   .

C. m   ;0   28;   .

D. m   0; 28  .

Câu 18 (TH). Khẳng định nào sau đây Sai?

x  3
A. x 2  3 x  
.
x  0

B.

x 3
 0  x  3  0. C. x  x  0  x  .
x4

D. x 2  1  x  1.

Câu 19 (TH). Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định trên  , có bảng xét dấu như sau:
x



1

f  x

+

g  x

–

2

0

–
–

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình
A. 1; 2  3;   .

–
0



3

+

0

+
+

f  x
 0 là
g  x

B. 1; 2   3;   .

C. 1; 2    3;   .

D. 1; 2 .

Câu 20 (VD). Cho a, b là các số thực dương, khi đó tập nghiệm của bất phương trình  x  a  ax  b   0
là

b

A.  ; a    ;   .
a


 b 
B.   ; a  .
 a 

b

C.  ;     a;   . D.  ; b    a;   .
a


II. PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm)
Câu I (VD) (3,0 điểm).
1) Giải phương trình

x  x  12  7  x.
2

 1 x
x   1

.
2) Giải hệ bất phương trình  2 4
2
x  4x  3  0


Câu II (VD) (1,5 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  :  x  1   y  4   4 . Viết phương
2

2

trình tiếp tuyến với đường tròn  C  biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng  : 4 x  3 y  2  0 .
Câu III (VDC) (0,5 điểm). Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x  3 x  1  3 y  2  y . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P  x  y.

Trang 3


ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. B

2. D

3. A

4. A

5. A

6. A

7. B

8. C

9. D

10. C

11. D

12. B

13. C

14. D

15. C

16. A

17. D

18. B

19. B

20. C

Câu 1: Đáp án B
Phương pháp:
Từ tan x 

sin x
đưa biểu thức P về biểu thức chỉ chứa 1 đại lượng sin x hoặc cos x, từ đó giản ước để
cos x

tính.
Cách giải:
Ta có : tan x 

sin x
sin x
2
 sin x  2 cos x thế vào P
cos x
cos x

4.2 cos x  5cos x 13cos x

 13
2.2 cos x  3cos x
cos x

P

Chọn B.
Câu 2: Đáp án D
Phương pháp:

Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình.
Cách giải:

16  x 
2

1

x 3  0

ĐKXĐ: x  3  0  x  3
Đặt f  x   16  x 2  x  3 . Ta có bảng:
x

3

16  x 2



4
+

x 3

0

+

f  x

0

+

0

–
+

0

–

x  3
 Tập nghiệm của phương trình là 3   4;   .
Vậy f  x   0  
x  4
Chọn D.
Câu 3: Đáp án A
Phương pháp:
Tiêu cự của elip có phương trình

x2 y 2

 1 là 2c  2 a 2  b 2 .
a 2 b2

Cách giải:
Tiêu cự của  E  là 2 25  9  2 16  2.4  8

Trang 4


Chọn A.
Câu 4: Đáp án A
Phương pháp:
+) Biến đổi hệ phương trình sử dụng phương pháp rút thế.
+) Phương trình bậc 2 có nghiệm    0
Cách giải:

 x  y  2
x  y  2
x  y  2


 2


2
2
2
2
 xy  x  y   2m
 x y  xy  2m
 xy  m
 x  2  y
 x  2  y


 2

2
2
 y  2 y  m  0
 2  y  y  m

1

Để hệ phương trình có nghiệm  1 có nghiệm    12  m 2  1  m 2  0  m 2  1  m   1;1
Chọn A.
Câu 5: Đáp án A
Phương pháp:
Tìm mối quan hệ giữa đường thẳng  AB  và đường thẳng  d  từ đó tính độ dài IA, IB để tính tỉ số.
Cho đường thẳng  : ax  by  c  0 và điểm M 0  x0 ; y0   d M 0 ,  

ax0  by0  c
a 2  b2

.

Cách giải:

 

Ta có AB   4; 2   2  2; 1 đường thẳng  d  có VTCP là u  1; 2   AB  u

 Đường thẳng  AB  vuông góc với đường thẳng  d 
Đường thẳng AB cắt d tại I  IA, IB lần lượt là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d

 IA  d  A; d  

6  5  1
4 1



2  3  1
12
2
IA
; IB  d  B; d  


 6.
IB
5
4 1
5

Chọn A
Câu 6: Đáp án A
Phương pháp:
Tính khoảng cách từ tâm đường tròn  C  đến  từ đó áp dụng
định lý Pitago để tính AB.
Cho

đường

thẳng

M 0  x0 ; y0   d M 0 ,  

 : ax  by  c  0

ax0  by0  c
a 2  b2

và

điểm

.

Cách giải:
Đường tròn  C  có tâm O 1;1 bán kính R  OA  OB  5
Gọi I là hình chiếu của O trên AB.

Trang 5


 OI  d  O;   

3  4  19
32  42



20
4
5

 AB  2. AI  2. OA2  OI 2  2 25  16  6
Chọn A.
Câu 7: Đáp án B
Phương pháp:
Áp dụng công thức cos      cos  cos   sin  sin  để tìm giá trị nhỏ nhất của 3a  4b từ đó tìm
giá trị lớn nhất của P
Cách giải:

 a 2   b2 

b
;cos  
Ta có: a  b  2  

  1  Gọi  là góc có sin  
2
2
 2  2
2

2

2

2

3
4
3  4
Lại có:       1  Gọi  là góc có sin   ;cos  

5
5
5 5


a 3 b 4
. 
.  sin  sin   cos  cos   cos      1
2 5
2 5

 3a  4b  5 2.
Ta có: c 2  d 2  25  6c  8d   c 2  6c  9    d 2  8d  16   0   c  3   d  4   0
2

2

 *

 c  32  0 c
c  3
Mà 
  *  c  3  d  4  0  
2
d  4
 d  4   0 d





Khi đó P  9  16   3a  4b   25   3a  4b   25  5 2  25  5 2
Chọn B.
Câu 8: Đáp án C
Phương pháp:



Đường thẳng d : ax  by  c  0 nhận n   a; b  là 1 VTPT và u    b;a  là 1 VTCP
Cách giải:


Đường thẳng d : 7 x  3 y  1  0 nhận u   3;7  là 1 VTCP
Chọn C.
Câu 9: Đáp án D
Phương pháp:

x  A
Giải bất phương trình: x 2  A  A  0   
 x   A
Cách giải:
ĐKXĐ: x  

1
2
Trang 6


1


x

1
1
1
1
2
1
2



0 2
 0  4x2 1  0  x2   
2x 1 2x 1
2x 1 2x 1
4x 1
4
x   1

2
1 1


Kết hợp ĐKXĐ  tập nghiệm của bất phương trình là  ;     ;   .
2 2


Chọn D.
Câu 10: Đáp án C

Áp dụng công thức sin 2   cos 2   1 để tính cos  , từ đó tính cot  

cos 
sin 

Cách giải:
Ta có: sin  

3
9
9 16
 sin 2  
 cos 2   1 

5
25
26 25

Do 900    1800  cos   0  cos  

4
cos  4
 cot  

5
sin 
3

Chọn C.
Câu 11: Đáp án D

Phương pháp:
Giải từng BPT và kết hợp nghiệm.
Cách giải:

x  3  4  2x
 x  1

 1  x  2  Tập nghiệm của bất phương trình là  1; 2  .

5 x  3  4 x  1  x  2
Chọn D.
Câu 12: Đáp án B
Phương pháp:
Áp dụng định lý cosin: Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC  a, AC  b, AB  c

 a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
Cách giải:
Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC  a, AC  b, AB  c
Áp dụng hệ thức hàm số cos của tam giác ta có: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A

 đáp B sai.
Chọn B.
Câu 13: Đáp án C
Phương pháp:
Giải bất phương trình theo quy tắc chuyển vế đổi dấu và quy đồng bỏ mẫu.
Cách giải:

Trang 7

2x  5 x  3
2x  5 x  3
4 x  10  3 x  9



0
 0  x 1  0  x  1
3
2
3
2
6
Tập nghiệm của bất phương trình là 1;   .
Chọn C.
Câu 14: Đáp án D
Phương pháp:
Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0  có biệt thức   b 2  4ac
- Nếu   0 thì với mọi x, f  x  có cùng dấu với hệ số a.
- Nếu   0 thì f  x  có nghiệm kép x  

b
b
, với mọi x  
, f  x  có cùng dấu với hệ số a.
2a
2a

- Nếu   0 , f  x  có 2 nghiệm x1 , x2  x1  x2  và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn

 x1 , x2  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn  x1 , x2 
Cách giải:
Tam thức f  x   x 2  2  m  1 x  m 2  3m  4 không âm với mọi giá trị của x

    m  1   m 2  3m  4   0
2

 m 2  2m  1  m 2  3m  4  0
 m  3  0  m  3.

Chọn D.
Câu 15: Đáp án C
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để giải bất phương trình.
Cách giải:

4
4  3 x  8  8  4  3 x  8  4  3 x  12    x  4
3
 4 
Tập nghiệm của bất phương trình là   ; 4  .
 3 
Chọn C.
Câu 16: Đáp án A
Phương pháp:
Đường tròn  C  :  x  a    y  b   c có tâm I  a; b  , bán kính R  c
2

2

Cách giải:
Đường tròn  C  :  x  1   y  2   9 có tâm I  1; 2  , bán kính R  3.
2

2

Chọn A.
Câu 17: Đáp án D
Phương pháp:
Trang 8


Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c  a  0  có biệt thức   b 2  4ac
- Nếu   0 thì với mọi x, f  x  có cùng dấu với hệ số a.
- Nếu   0 thì f  x  có nghiệm kép x  

b
b
, với mọi x  
, f  x  có cùng dấu với hệ số a.
2a
2a

- Nếu   0 , f  x  có 2 nghiệm x1 , x2  x1  x2  và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn

 x1 , x2  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn  x1 , x2  .
Cách giải:
Bất phương trình f ( x)  x 2   m  2  x  8m  1  0 vô nghiệm

m 2  4m  4  32m  4  0

   m  2 2  4  8m  1  0



1
 f  0   8m  1  0
m 
8

m 2  28m  0
0  m  28




 0  m  28
1
1
m

m



8
8

Chọn D.
Câu 18: Đáp án B
Phương pháp:

Giải bất phương trình có chứa phân thức cần phải lưu ý điều kiện xác định
Cách giải:

x 3
 0  x  3  0. Vì không có điều kiện xác định nên với x  4 chỉ đúng chiều xuôi và không đúng
x4
với chiều ngược lại.
Chọn B.
Câu 19: Đáp án B
Phương pháp:
Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định trên  thì

f  x
 0  g  x   0   f  x  và g  x  cùng dấu
g  x

hoặc f  x   0
Cách giải:
Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định trên  thì

f  x
 0  g  x   0   f  x  và g  x  cùng dấu
g  x

hoặc f  x   0  x  1; 2   3;  
Chọn B.
Câu 20: Đáp án C
Phương pháp:
Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình
Trang 9

Cách giải:

 x  a  ax  b   0
Đặt f  x    x  a  ax  b  . Ta có a, b là các số thực dương  

b
0a
a

Ta có bảng:





x

b
a



a

xa

–

ax  b

–

0

+

f  x

+

0

–

–

0

+
+

0

+

b

x

b


Vậy f  x   0 
a  Tập nghiệm của phương trình là  ;     a;   .

a

x  a
Chọn C.
II. PHẦN TỰ LUẬN
Câu I.
Phương pháp:
1)

 g  x   0
f  x  g  x  
2
 f  x   g  x 

2) Giải từng bất phương trình của hệ và kết hợp nghiệm
Cách giải:
1) Giải phương trình

x 2  x  12  7  x. 1

x  7
7  x  0
x  7
61


Ta có 1   2

61  x  .
2   2
2
13
 x  x  12   7  x 
 x  x  12  49  14 x  x
 x  13
Vậy phương trình có nghiệm x 

61
.
13

 1 x
 x    1 1
2) Giải hệ bất phương trình  2 4
 x2  4x  3  0  2


I 

Ta có 1  4 x  2  x  4  3 x  6  x  2

 2  1  x  3
x  2
 I   
2 x3

1  x  3
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là S   2;3
Trang 10


Câu II.
Phương pháp:
Đường tròn  C  :  x  a    y  b   c có tâm I  a; b  , bán kính R  c
2

2

Đường thẳng ax  by  c  0 song song với đường thẳng ax  by  c 
Cho đường thẳng  : ax  by  c  0 và điểm M 0  x0 ; y0   d M 0 ,  

a b c
 
a b c

ax0  by0  c
a 2  b2

.

Cách giải:
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn  C  :  x  1   y  4   4 . Viết phương trình tiếp tuyến với
2

2

đường tròn  C  biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng  : 4 x  3 y  2  0 .
Đường tròn  C  :  x  1   y  4   4 có tâm I 1; 4  , bán kính R  2 .
2

2

Gọi d là tiếp tuyến cần tìm, do d song song với  : 4 x  3 y  2  0  d có dạng 4 x  3 y  m  0  m  2 
d là tiếp tuyến với đường tròn  C   d I ,d   R  2



4  12  m
42   3

2

 m  2
 2  m  8  10  
 m  18

 tm 
 tm 

Với m  2  d : 4 x  3 y  2  0
Với m  18  d : 4 x  3 y  18  0
Vậy đường thẳng 4 x  3 y  2  0 và đường thẳng 4 x  3 y  18  0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu III.
Phương pháp:
Chứng minh bất đẳng thức 2  a 2  b 2    a  b  từ đó áp dụng tìm giá trị lớn nhất của
2

x 1  y  2

suy ra giá trị lớn nhất của P
Cách giải:
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x  3 x  1  3 y  2  y .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P  x  y.
Điều kiện: x  1; y  2 .
Với a, b ta có: a 2  b 2  2ab  2  a 2  b 2    a  b 

2

1

Dấu “=” của 1 xảy ra  a  b
Ta có:

x  3 x 1  3 y  2  y  x  y  3



x 1  y  2


Trang 11


Áp dụng 1 ta được:

  x  y  9

2





x 1  y  2

x 1  y  2



2



2

 2  x  y  3

 18  x  y  3

  x  y   18  x  y   54  0  x  y  9  3 15
2

3

 x  y  9  3 15
 x  5  2 15


Dấu “=” xảy ra  
x

1

y

2
 y  4  3 15


2
3

 x  5  2 15
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 9  3 15 đạt tại 
 y  4  3 15

2

Trang 12


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI
PHÒNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ

ĐỀ THI HỌC KÌ I NĂM 2017 - 2018
MÔN TOÁN 10
(Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian phát đề)

(40 câu trắc nghiệm và 2 câu tự luận)
Mã đề: 132
PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (gồm 40 câu, 8 điểm, thời gian làm 75 phút)
Câu 1: Phương trình x  2  3 x  1 có tập nghiệm là:

 1 3
A. S   ; 
 2 4

3
B. S   
4

 1
C. S   
 2

D. S  

Câu 2: Cho phương trình x  3m  1   m  1 x  3 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Khi m  0 phương trình vô nghiệm
B. Khi m  2 phương trình có nghiệm duy nhất
C. Khi m  0 và m  2 phương trình có hai nghiệm
D. Khi m  0 phương trình có nghiệm duy nhất
Câu 3: Cho phương trình

3m  x  1
 5m  1 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
x 1

A. Khi m  

1
phương trình có nghiệm bằng 0
8

B. Khi m  

1
8m  1
phương trình có nghiệm duy nhất x 
2
2m  1

1

8m  1
m  
C. Khi 
2 phương trình có nghiệm duy nhất x 
2m  1
m  0

D. Khi m  

1
phương trình có tập nghiệm bằng S  
2

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình x 2  2 x  3  0

A. 2; 2

B. 1;1

C. 1; 2

D. 2;1

  1  
Câu 5: Cho ABC , tập hợp các điểm M thỏa mãn MA  BC  MA  MB là:
2
A. Đường trung trực đoạn BC