(Luận văn thạc sĩ) Một số tính chất của ma trận và áp dụng vào đồ thị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

MẠC ANH VĂN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN VÀ ÁP
DỤNG VÀO ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

MẠC ANH VĂN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MA TRẬN VÀ ÁP
DỤNG VÀO ĐỒ THỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:

8460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên, 10/2018


i

Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Mở đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Khái niệm của đồ thị và phổ của đồ
1.1.1 Khái niệm đồ thị . . . . . .
1.1.2 Phổ của đồ thị . . . . . . .
1.2 Ma trận kề. Ma trận trọng số . . .
1.3 Ma trận liên thuộc . . . . . . . . .

1

thị
. .
. .
. .
. .

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị và các phép toán đồ
thị
2.1 Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ma trận Laplace của đồ thị và một số tính chất cơ bản .
2.1.2 Ma trận Laplace của một cạnh . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phân tích ma trận Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Định lý Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Các phép toán đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Áp

3.1
3.2
3.3

3
3
3
6
10
13

14
14
14
17
19
20
26

dụng một số tính chất của ma trận vào đồ thị
32
Ứng dụng định lý Kirchhoff tìm số cây bao trùm của đồ thị . . . 32
Ứng dụng trong đếm số đồ thị con . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ứng dụng xác định bậc chính quy và tính hai phần . . . . . . . 36

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


ii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt
• G:

Đồ thị n đỉnh, m cạnh.

• A:

Ma trận kề n × n của G có đường chéo chính bằng 0.

• L = D − A:

Ma trận Laplace của G.

• B:

Ma trận liên thuộc n × m · L = B T B.

• Ckk :

Là phần bù đại số của phần tử thứ k của đường chéo
chính của ma trận vuông L.

• [L]k,k :

Là định thức con chính thứ k của ma trận vuông L.


iii

Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu.
Thầy đã hướng dẫn và tạo điều kiện tốt nhất để cho tác giả hoàn thành luận
văn này. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc tới thầy.
Tác giả cũng được xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo
đã tham gia giảng dạy các lớp cao học Toán K10Q, trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, khoa Toán - Tin đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho
tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp cao
học toán K10Q, gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã
giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên
cứu.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng do điều kiện thời gian ngắn,
trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế, nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những đóng góp của
các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tác giả có thể tiếp tục nghiên cứu tốt
hơn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2018
Người viết luận văn

Mạc Anh Văn

1

Mở đầu
Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã hình thành và phát triển
từ khá lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại. Những tư tưởng cơ bản của
lý thuyết đồ thị đã xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ XVIII bởi nhà toán
học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Chính ông là người đã đề xuất mô
hình đồ thị và sử dụng nó để giải bài toán nổi tiếng về cây cầu ở thành phố
K¨onigsberg. Từ đó, lý thuyết đồ thị ngày càng khẳng định được vị trí quan
trọng trong việc áp dụng để giải quyết nhiều bài toán trên mọi lĩnh vực.
Đồ thị mô tả các quan hệ hai ngôi trên tập hợp một cách trực quan sinh
động: giúp chúng ta mô ta các bài toán phức tạp trở lên cụ thể, đơn giản hơn.
Sơ đồ biểu diễn một hệ thống các tuyến bay của một hãng hàng không là một
hình ảnh của đồ thị. Các đối tượng là các sân bay, mỗi đường bay thẳng sẽ
biểu diễn mối liên hệ giữa 2 sân bay đầu cuối của tuyến.
Các tính chất của đồ thị có thể được biểu diễn bằng ngôn ngữ đại số tuyến
tính và những kết quả của đại số tuyến tính sẽ được thể hiện trực quan bằng
đồ thị. Ma trận là một khái niệm của Đại số tuyến tính. Ma trận có ứng dụng
trong hầu hết các lĩnh vực khoa học. Ma trận có vai trò khá quan trọng trong
lý thuyết đồ thị. Có thể nói ma trận là một công cụ kết nối giữa lý thuyết đồ
thị và đại số tuyến tính. Trong phạm vi của luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyên
ngành phương pháp toán sơ cấp từ sự đề xuất hướng nghiên cứu và trực tiếp
hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu, chúng tôi xác định đề tài là “Một
số tính chất của ma trận và áp dụng vào đồ thị”.
Với đề tài này, tôi hy vọng rằng sẽ làm rõ mối liên hệ giữa đại số tuyến tính
và lý thuyết đồ thị dựa trên các biểu diễn ma trận của nó, từ đó tìm ra được
ứng dụng. Kết quả của đề tài cũng là sự thể hiện quá trình tập dượt nghiên
cứu của tôi.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu sự liên hệ giữa ma trận và đồ thị, phổ

của đồ thị, từ đó góp phần làm rõ mối quan hệ giữa đại số tuyến tính với lý


2

thuyết đồ thị. Nhiệm vụ nghiên cứu được đặt ra trong khuôn khổ luận văn này
là nghiên cứu lợi ích khi biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận, từ đó sử dụng
các công cụ đại số nhằm tìm ra các ứng dụng thực tế của ma trận đồ thị. Đối
tượng nghiên cứu của luận văn xoay quanh đồ thị hữu hạn và các biểu diễn
của đồ thị dưới dạng ma trận là: ma trận kề, ma trận liên thuộc, ma trận có
trọng số và ma trận Laplace (xem [1-2], [4-6]).
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, tôi trình bày cách
xây dựng một đồ thị về ma trận đại số và khái niệm phổ của đồ thị.
Chương 2. Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị và các phép
toán đồ thị. Trên cở sở các loại ma trận của đồ thị hướng đến chứng minh
định lí Kirchhoff. Rõ ràng, việc tính số cây bao trùm của một đồ thị trực quan
thường mất thời gian và dễ gây nhầm lẫn, thiếu xót nhưng với định lí Kirrchoff
từ công cụ đại số tác giả xây dựng nên cách tính số cây bao trùm của một
đồ thị một cách chính xác và khoa học hơn bằng phần bù đại số của ma trận
Laplace. Tiếp theo là các phép toán đồ thị để đếm số đồ thị con và xác định
bậc chính quy và tính hai phần.
Chương 3. Áp dụng một số tính chất của ma trận vào đồ thị. Tác
giả trình bày 3 ứng dụng sử dụng tính chất đã nêu ở chương hai. Ứng dụng
đầu tiên sử dụng định lý kirchhoff nhằm giải quyết bài toán xây dựng mạng
lưới đường sắt tàu hỏa một cách kinh tế và tối ưu nhất. Ứng dụng thứ hai và
thứ ba sử dụng tính chất phổ của đồ thị để đếm số đồ thị con và xác định bậc
chính quy và tính hai phần.

3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cho chương
sau. Trước tiên là trình bày khái niệm đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng, từ
đó biểu diễn đồ thị dưới dạng ma trận và ý nghĩa. Mục đích chính của chương
này nhằm giới thiệu một vài khái niệm cơ bản của lí thuyết đồ thị, đặc biệt là
phổ của đồ thị. Kiến thức trong chương này sử dụng tài liệu [1], [2] và [4].

1.1

Khái niệm của đồ thị và phổ của đồ thị

1.1.1

Khái niệm đồ thị

Định nghĩa 1.1.1. Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E),
ở đây V là một tập hữu hạn; còn E là tập với các phần tử là các tập con hai
phần tử trên V ,
E ⊆ {{u, v}|u, v ∈ V, u = v}.
Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, tập đỉnh của G được ký hiệu là
V (G). Các phần tử của E được gọi là các cạnh, tập cạnh của đồ thị vô hướng
G được ký hiệu là E(G). Nhưng để đơn giản hơn ta có thể viết “đỉnh v ∈ V ”
hay “cạnh e ∈ E”. Cho a, b ∈ V , nếu tồn tại e ∈ {a, b} thì khi đó e là một cạnh
của G với hai đỉnh đầu mút là a, b hay a, b là hai đỉnh liên thuộc với e. Cạnh
e = {a, b} thường được ký hiệu ngắn gọn là ab hay ba. Trong luận văn này, ta
chỉ xét tới đơn đồ thị, không xét tới đồ thị có khuyên và đa đồ thị. Do vậy khi

nhắc đến đồ thị, ta ngầm hiểu là đơn đồ thị vô hướng.
Có thể biểu diễn một đồ thị một cách trực quan như sau: Các đỉnh của V
được biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ (rỗng hoặc đặc), còn các cạnh được


4

biểu diễn bằng một đường cong (đường thẳng) nối 2 đầu mút của cạnh.
Ví dụ 1.1.2. Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, f, g}; E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf }.
Khi đó biểu diễn của đồ thị vô hướng G:

Hình 1.1: Đồ thị G

Giả sử một mạng lưới giao thông gồm các trạm xe bus và đường đi giữa
chúng, giữa 2 trạm luôn chỉ có không quá một đường đi trực tiếp, không có
đường quay vòng từ một trạm tới chính nó. Ta biểu diễn mạng lưới giao thông
này bằng mô hình đồ thị như sau: mỗi trạm đỗ xe là một đỉnh, mỗi đường đi
trực tiếp giữa hai trạm là 1 cạnh.
Ta có hình ảnh chính xác của đồ thị.

Hình 1.2: Mạng lưới xe bus

Các đường giao thông đôi khi chỉ được chạy theo một chiều. Chúng ta có
thể dùng đồ thị có hướng để mô hình hóa những mạng như thế.
Định nghĩa 1.1.3. Một đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E),
ở đây V là một tập hữu hạn, còn E là một tập con của tích Đề các V × V .


5

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E được gọi
là các cung của đồ thị vô hướng G. Nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) được gọi là cung
của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng từ a tới b. Khi đã cho
G = (V, E) là đồ thị có hướng, cung (a, b) ∈ E thường được ký hiệu ngắn gọn
là ab với a là đỉnh đầu và b là đỉnh cuối; ba là cạnh với b là đỉnh đầu, a là đỉnh
cuối.
Biểu diễn một đồ thị có hướng trên mặt phẳng trực quan tương tự như biểu
diễn đồ thị vô hướng: Các đỉnh của V được biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ
(rỗng hoặc đặc), còn các cung được biểu diễn bằng một đường cong có hướng
(với mũi tên) từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối.
Định nghĩa 1.1.4. Đồ thị có hướng hoặc vô hướng G = (V, E) được gọi là đồ
thị có trọng số (hay thường gọi tắt là trọng đồ) nếu có ít nhất một trong hai
hàm:
f : V → WV và g : E → WE
được xác định. Ở đây Wv và WE là các tập số. Giá trị f (v) cho v ∈ V được
gọi là trọng số của đỉnh v, còn giá trị g(e) cho e ∈ E được gọi là trọng số của
cung hay cạnh e. Người ta cũng thường ký hiệu trọng đồ bằng G = (V, E, f )
hay hay G = (V, E, f, g) tùy thuộc vào việc chỉ một hàm f , chỉ một hàm g hay
cả hai hàm f và g được xác định.
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng ta chỉ sử dụng tới G = (V, E, g).
Biểu diễn một đồ thị G = (V, E, g) có trọng số trên mặt phẳng ta biểu diễn
đồ thị có hướng và gắn giá trị trọng số tương ứng lên trực tiếp sát phía bên
cạnh của cung mang giá trị đó.
Ví dụ 1.1.5. Cho đồ thị có hướng có trọng số với V = {a, b, c, d, f, g}, E =
{ad, db, dc, bc, cf, cg, gf }, g(ad) = g(dc) = g(gf ) = 3, g(db) = g(bc) = 2,
g(cf ) = g(cg) = 4.
Khi đó biểu diễn của đồ thị có trọng số G:

Hình 1.3: Đồ thị có trọng số G

6

1.1.2

Phổ của đồ thị

Cho G là một đơn đồ thị vô hướng hữu hạn và không có khuyên. Giả sử các
đỉnh của G được gán nhãn là 1, 2, . . . , n. Nếu đỉnh i và j được nối với nhau
bởi một cạnh thì ta nói i và j kề nhau và viết i ∼ j. Trước hết ta xem xét ma
trận kề A của đồ thị G được định nghĩa như sau: A = A(G) = (aij ), trong đó
aij = 1 nếu i ∼ j và bằng 0 trong các trường hợp khác.
Do đó A là ma trận đối xứng với các phần tử trên đường chéo chính bằng
0, các phần tử khác có thể lấy các giá trị là 0 và 1 trong trường hợp bất kỳ,
tuy nhiên xuyên suốt luận văn này các phần tử được xem là các số thực. Một
ví dụ về đồ thị và ma trận kề của nó được cho trong Hình 1.4.

Hình 1.4: Một đồ thị được gán nhãn G và ma trận kề A của nó.

Các giá trị riêng của A là các số thực λ thỏa mãn Ax = λx với véc tơ khác
không x ∈ Rn . Mỗi véc tơ x được gọi là một véc tơ riêng của ma trận A (hay
của đồ thì được gán nhãn G) tương ứng với giá trị riêng λ. Quan hệ Ax = λx
có thể được mô tả theo cách sau: nếu x = (x1 , x2 , . . . , xn )T thì
λxu =

xv (u = 1, 2, . . . , n),

(1.1)

v∼u

trong đó tổng lấy qua tất cả các đỉnh kề v của đỉnh u. Chúng ta chú ý hai hệ
quả sau từ phương trình trên mà ta gọi là các phương trình giá trị riêng của
G.
Vì A là một ma trận đối xứng thực, các giá trị riêng là những số thực.
Chúng ta thường ký hiệu các giá trị riêng là λ1 , λ2 , . . . , λn và trừ khi chúng ta
chỉ ra trong những trường hợp khác, chúng ta giả sử rằng λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn .
Khi cần, chúng ta sử dụng ký hiệu λi = λi (G) (i = 1, 2, . . . , n).
Định nghĩa 1.1.6. Tập các giá trị riêng của ma trận kề A của đồ thị G được
gọi là phổ của đồ thị G.


7

Giá trị riêng lớn nhất λ1 (G) được gọi là chỉ số (index) của G. Với mọi số
nguyên k ≥ 0, moment phổ thứ k của G là ni=1 λki ký hiệu bởi sk . Chú ý rằng
sk là tổng đường chéo của Ak và n moment phổ đầu tiên xác định phổ của G.
Mệnh đề 1.1.7. ([2], [4]). Nếu đồ thị G có bậc lớn nhất là ∆(G) thì |λ| ≤ ∆(G)
với mọi giá trị riêng λ của G.
Chứng minh. Với ký hiệu ở trên, đặt u là một đỉnh mà |xu | là cực đại. Sử dụng
Phương trình (1.1), chúng ta có:
|xu | ≤ |∆(G)||xu |.

|λ||xu | ≤
v∼u

Vì xu = 0, mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.1.8. ([2], [4]). Đồ thị G là chính quy bậc r nếu và chỉ nếu tất cả
các véc tơ 1 là một véc tơ riêng của G (với giá trị riêng tương ứng r).
Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập {x ∈ Rn : Ax = λx} là một không

gian con của Rn gọi là không gian riêng của λ và ký hiệu bởi ε(λ) hoặc εA (λ).
Các không gian riêng của λ được gọi là các không gian riêng của G. Tất nhiên,
việc gán nhãn các đỉnh của G sẽ dẫn đến một hoán vị của các tọa độ trong
véc tơ riêng (và các không gian riêng). Vì A là ma trận đối xứng nên nó có thể
chéo hóa bởi một ma trận trực giao. Vì vậy không gian riêng là các trực giao
từng đôi một và bằng cách ghép với các cơ sở trực chuẩn của các không gian
riêng chúng ta thu được một cơ sở trực chuẩn của Rn gồm các véc tơ riêng.
Ngoài ra, số chiều của εA (λ) bằng bội của λ như một nghiệm của PG (x). Nói
cách khác, bội hình học (geometry multiplicity) của λ tương tự như bội đại số
của λ; do đó chúng ta chỉ đề cập đến bội của λ. Một giá trị riêng đơn là một
giá trị riêng có bội 1. Nếu G có các giá trị riêng phân biệt µ1 , . . . , µm tương
ứng với các bội k1 , . . . , km , chúng ta sẽ viết µk11 , . . . , µkmm là phổ của G. (Chúng
ta thường bỏ sót trường hợp Ki bằng 1).
Ví dụ 1.1.9. Cho đồ thị G trong Hình 1.4, ta có
x −1 0 −1 −1
−1 x −1 0 −1
PG (x) = 0 −1 x −1 −1
−1 0 −1 x −1
−1 −1 −1 −1 x


8

= x5 − 8x3 − 8x2 = x2 (x + 2)(x2 − 2x − 4).
√
Giá trị riêng sắp xếp theo thứ tự không tăng lần lượt là λ1 = 1 + 5, λ2 =
√
0, λ3 = 0, λ4 = 1 − 5, λ5 = −2 với các véc tơ riêng độc lập tuyến tính
√
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , trong đó x1 = (1, 1, 1, 1, −1 + 5)T , x2 = (0, 1, 0, −1, 0)T ,

√
x3 = (1, 0 − 1, 0, 0, )T , x4 = (1, 1, 1, 1, 1 − 5)T , x5 = (1, −1, 1, −1, 0)T . Chúng
√
√
ta có ε(1 + 5) = x1 , ε(0) = x2 , x3 , ε(1 − 5) = x4 và ε(−2) = x5 ,
trong đó các ngoặc là ký hiệu không gian con sinh bởi mỗi véc tơ trong ngoặc.
Ví dụ 1.1.10. Các giá trị riêng của chu trình có độ dài n là 2 cos 2πj
n (j =
0, 1, . . . , n − 1). Để thấy điều này, ta quan sát rằng một ma trận kề có dạng
A = P + P −1 trong đó P là một ma trận hoán vị xác định bởi một hoán vị
vòng độ dài n. Nếu ω căn bậc n của đơn vị thì (1, ω, ω 2 , . . . , ω n−1 )T là một véc
tơ riêng của P với giá trị riêng tương ứng ω. Vì vậy các giá trị riêng của A là
số ω + ω −1 trong đó ω n = 1. Vì vậy giá trị riêng lớn nhất là 2 (với bội 1) và giá
trị riêng lớn thứ hai là 2 cos 2π
n (với bội 2). Giá trị riêng nhỏ nhất là −2 (với
(n−1)π
bội 1) nếu n là chẵn và 2 cos n (với bội 2) nếu n lẻ.
Ví dụ 1.1.11. Đồ thị Petersen (Hình 1.5) có phổ là 31 , 15 , (−2)4 .

Hình 1.5: Đồ thị Petersen.

Chúng ta nói rằng hai đồ thị là đồng phổ nếu chúng có phổ giống nhau. Rõ
ràng, các đồ thị đẳng cấu là đồng phổ (nói cách khác, phổ là bất biến đồ thị).
Tuy nhiên các đồ thị có phổ giống nhau không nhất thiết là đẳng cấu: các đồ
thị không đẳng cấu trong Hình 1.6(a) có phổ là 21 , 03 , (−2)1 . Đây là ví dụ với
số đỉnh ít nhất. Hình 1.6(b) là đồ thị liên thông không đẳng cấu đồng phổ với
số đỉnh ít nhất: đa thức đặc trưng của chúng là (x−1)(x+1)2 (x3 −x2 −5x+1).
Các đồ thị khác nhau được đặc trưng bởi phổ của chúng hoặc cùng với các bất
biến đại số của chúng.

9

Hình 1.6: Hai cặp đồ thị đồng phổ không đẳng cấu.

Cho đồ thị G với tập đỉnh 1, 2, . . . , n. Gọi D là ma trận đường chéo
diag(d1 , . . . , dn ), trong đó di là bậc của đỉnh i (i = 1, . . . , n). Ma trận Laplacian
của một đồ thị G là ma trận D − A và ma trận Laplacian không dấu là ma
trận D + A. Ma trận Seidel của G là ma trận S = J − I − 2A, trong đó J là
ma trận 1 kích thược n × n. Vì vậy phần tử ở vị trí (i, j) của S là 0 nếu i = j,
−1 nếu i ∼ j và 0 trong các trường hợp khác. Giống như các đồ thị chính quy
đã biết, có rất ít sự lựa chọn giữa các ma trận của nó từ quan điểm phổ đồ
thị. Giả sử rằng G là đồ thị chính quy bậc r và A có các giá trị riêng xếp theo
thứ tự không tăng λ1 , . . . , λn . Từ Mệnh đề 1.1.7 và 1.1.8, ta có λ1 = r và tất
cả các véc tơ gồm toàn 1 có thể mở rộng tới một cơ sở trực giao của Rn gồm
các véc tơ riêng của ma trận A, rI ± A và J − I − 2A. Khi đó D ± A có các giá
trị riêng
r ± r, r ± λ2 , . . . , r ± λn ,
trong đó S có các giá trị riêng n − 1 − 2r, −1 − 2λ2 , . . . , −1 − 2λn .
Ví dụ 1.1.12. Cho đồ thị như trong Hình 1.4. Các giá trị riêng của ma trận
Laplacian là 5, 5, 3, 3, 0. Các giá trị riêng của ma trận Laplacian không dấu là
√
√
√
1
1
1
(9
+
17),

3,
3,
(9
−
17)
và
các
giá
trị
riêng
Seidel
là
3,
(−1
+
17), −1,
2
2
2
√
−1, 21 (−1 + 17).
Ma trận Seidel có liên quan đặc biệt tới graph switching (thường được gọi
là Seidel switching): cho một tập con U các đỉnh của đồ thị G. Đồ thị GU thu
được từ G như sau. Với u ∈ U, v ∈
/ U các đỉnh u, v kề nhau trong GU nếu và
chỉ nếu chúng không kề trong G. Giả sử rằng G có ma trận kề trong G là
A(G) =

AU B T
B C

,

trong đó AU là ma trận kề của đồ thị con cảm sinh bởi U và B T là chuyển vị
của B. Khi đó GU có ma trận kề
T

A(GU ) =

AU B
B C

,


10

trong đó B thu được từ B bằng cách thay 0 bởi 1. Khi G là chính quy thì công
thức này dễ chỉ ra (Xem Ví dụ 1.1.9). Việc tìm kiếm một điều kiện cần và đủ
trên U cho GU là chính quy như sau:
Mệnh đề 1.1.13. ([2], [4]). Giả sử rằng G là chính quy với n đỉnh và bậc r.
Khi đó GU là chính quy bậc r nếu và chỉ nếu U sinh ra một đồ thị con bậc k,
trong đó |U | = n − 2(r − k).
Chú ý rằng đồ thị switching đối với tập con U của tập các đỉnh giống như là
đồ thị switching đối với các hợp phần của nó. Đồ thị switching được mô tả dễ
dàng từ ma trận Seidel S của G: ma trận Seidel của GU là T −1 ST trong đó T
là ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thứ i là 1 nếu i ∈ U và −1 nếu i
không thuộc U . Ta dễ dàng thấy rằng đồ thị switching trên U và V giống như
˙ \U ). Ta thấy rằng switching xác định một quan
switching đối với (U \V )∪(V

hệ tương đương trên đồ thị. Chú ý rằng đồ thị tương đương switching có ma
trận Seidel tương tự và vì vậy có phổ Seidel giống nhau. Xét quan hệ giữa phổ
và phổ Seidel của các đồ thị chính quy, chúng ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.14. ([2], [4]). Nếu và G và GU là chính quy và cùng bậc thì G
và GU có phổ giống nhau.

1.2

Ma trận kề. Ma trận trọng số

Xét đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V = {1, 2, . . . , n} và tập cạnh
E = {e1 , e2 , . . . , em }. Ta gọi ma trận kề của đồ thị G là (0;1) - ma trận
A = {aij : i, j = 1, 2, . . . , n}
với các phần tử được xác định theo quy tắc sau đây
aij = 0, nếu {i, j} ∈
/E
aij = 1, nếu {i, j} ∈ E, i, j = 1, 2, . . . , n.
Ví dụ 1.2.1. Cho đồ thị như hình vẽ:


11

Hình 1.7: Đồ thị vô hướng G và đồ thị có hướng G1

Lời giải.

Ma trận kề của đồ thị vô hướng G là:
1 2 3 4 5 6



1 0
2
1

3 1

4 0

5 1
6 0

1
0
1
0
1
0

1
1
0
1
0
0

0
0
1
0

1
1

1
1
0
1
0
1



0
0


0
.
1

1
0

Các tính chất của ma trận kề.
1) Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là đối xứng, tức là
aij = aji ,

i, j = 1, 2, . . . , n.

Ngược lại mỗi (0,1) - ma trận đối xứng cấp n sẽ tương ứng, chính xác đến

cách đánh số đỉnh (còn nói là: chính xác đến đẳng cấu), với một đồ thị
vô hướng n đỉnh.
2) Tổng các phần tử trên dòng i (cột j) của ma trận kề của đồ thị vô hướng
chính bằng bậc của đỉnh i (đỉnh j).
3) Nếu ký hiệu
apij , i, j = 1, 2, . . . , n
là các phần tử của ma trận tích
Ap = A · A . . . A
p


12

Khi đó
apij , i, j = 1, 2, . . . , n
cho ta số đường đi khác nhau từ đỉnh i tới đỉnh j qua p − 1 đỉnh trung
gian.
Ma trận kề của đồ thị có hướng được định nghĩa hoàn toàn tương tự.
Ví dụ 1.2.2. Đồ thị có hướng G1 cho trong Hình 1.7 có ma trận kề là ma trận
sau
1 2 3 4 5 6



1 0
2
0

3 0


4 0

5 0
6 0

1
0
1
0
0
0

1
0
0
0
0
0

0
0
1
0
1
0

0
0
0
0

0
1



0
0


0

0

1
0

Lưu ý rằng ma trận của đồ thị có hướng chưa chắc là ma trận đối xứng.
Trong trường hợp đồ thị có trọng số cạnh hoặc cung, thay vì ma trận kề,
để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số
C = cij : i, j = 1, 2, . . . , n,
với
cij = cji , nếu (i, j) ∈ E
và
cij = θ, nếu (i, j) ∈
/E
trong đó số θ, tùy từng trường hợp cụ thể, có thể được đặt bằng một trong các
giá trị sau: 0, −∞, +∞.
Ưu điểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề (hoặc
ma trận trọng số) là để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u, v có kề nhau trên đồ thị hay
không, chúng ta chỉ phải thực hiện một phép so sánh. Nhược điểm lớn nhất

của phương pháp này là không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải
sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó.


13

1.3

Ma trận liên thuộc

Xét G = (V, E), (V = {1, 2, . . . , n}, E = {e1 , e2 , . . . , em }) , là đồ thị có
hướng. Xây dựng ma trận B = (bij , i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m), trong đó

bij =




1

nếu tồn tại {i, j}, i < j



0

nếu không tồn tại {i, j}.

−1

nếu tồn tại {i, j}, i > j

Ma trận B xây dựng như quy tắc vừa nêu được gọi là ma trận liên thuộc đỉnh
cung.
Ví dụ 1.3.1. Xét đồ thị cho trên hình vẽ sau:

Hình 1.8: Đồ thị vô hướng





1 −1 0
0

0 −1 0  .
1 0
0 −1


B = 1

Ma trận liên thuộc là một trong những cách biểu diễn rất hay được sử dụng
trong các bài toán liên quan đến đồ thị có hướng mà trong đó phải xử lý các
cung của đồ thị.


14

Chương 2

Tính chất của ma trận biểu diễn đồ
thị và các phép toán đồ thị
Trong chương này, tôi trình bày khái niệm ma trận Laplace của đồ thị, ma
trận Laplace của một cạnh, ứng dụng của định lý Kirchhoff về đếm số cây bao
trùm thông qua các giá trị riêng của ma trận Laplace của đồ thị cùng các kết
quả liên quan đếm bài toán đếm, sau cùng là một phép toán trên đồ thị. Tôi
tham khảo từ tài liệu [2], [4] - [6].

2.1

Tính chất của ma trận biểu diễn đồ thị

2.1.1

Ma trận Laplace của đồ thị và một số tính chất cơ bản

Định nghĩa 2.1.1. Cho một đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V và
tập hợp cạnh E.
+ Ma trận kề AG = aij của đồ thị G được xác định bởi
aij :=

1

khi {i, j} ∈ E,

0

khi {i, j} ∈
/ E.

+ Ma trận bậc DG = aij là một ma trận đường chéo được định nghĩa:
aij :=

deg (vi )

nếu i = j,

0

nếu i = j.


15

Khi đó, ma trận Laplace của đồ thị G : LG được định nghĩa bởi
LG = DG − AG .
Ví dụ 2.1.2. Cho đồ thị G như hình vẽ

Hình 2.1: Đồ thị G

Khi đó:



0
1

AG = 
1
1



1
0
1
0

1
1
0
1



1

0

1
0



3
0

DG = 
0
0

0
2
0
0

0
0
3
0



0

0

0
2



3 −1 −1 −1
−1 2 −1 0 


Suy ra LG = 
.
−1 −1 3 −1
−1 0 −1 2

Nhận xét 2.1.3. Nếu một đỉnh i ∈ G là đỉnh cô lập thì hàng và cột tương
ứng của ma trận Laplace đều bằng 0.
[LG ]ij = 0, ∀i
[LG ]ji = 0, ∀j.
Nhận xét 2.1.4. Nếu G và H là hai đồ thị với cùng một tập đỉnh và tập cạnh
rời nhau thì
LG∪H = LG + LH .


16

Bổ đề 2.1.5. ([2], [4]) Ma trận Laplace của hai đồ thị G và H bằng tổng trực
tiếp của LG và LH
LG∪H = LG ⊕ LH =

LG 0
0 LH

.

Chứng minh. Xét đồ thị G ∪ v(H) = (VG ∪ VH , EG ) và định nghĩa tương tự
cho v(G) ∪ H.
Theo Nhận xét 2.1.3 ta có
LG 0
0 LH

LG∪v(H) =

0 0
0 LH

và Lv(G)∪H =

.

Theo Nhận xét 2.1.4 ta có
LG∪H = LG ⊕ LH =

LG 0
0 LH

.

Điều này có nghĩa: ma trận Laplace bằng tổng trực tiếp của các ma trận Laplace
của các thành phần liên thông.
Định lý 2.1.6. ([2], [4]). [Hợp của các phổ rời nhau]. Nếu LG có các tập vectơ
riêng (v1 , v2 , . . . , vn ) với các giá trị riêng (λ1 , λ2 , . . . , λn ) và LH có các tập
vectơ riêng (ω1 , ω2 , . . . , ωn ) và các giá trị riêng (µ1 , µ2 , . . . , µn ). Khi đó LG∪H
có các vectơ riêng:
v1 ⊕ 0, v2 ⊕ 0 . . . , vn ⊕ 0, 0 ⊕ ω1 , 0 ⊕ ω2 , . . . , 0 ⊕ ωn
với các giá trị riêng:
λ1 , λ2 , . . . , λn , µ1 , µ2 , . . . , µn .
Chứng minh. Từ Bổ đề 2.1.5 ta có:
LG∪H = LG ⊕ LH =

LG 0
0 LH

.

suy ra
LG∪H ∗ (v1 ⊕ 0) =

LG 0
0 LH

v1
0

=

λ1 v1
0

.


17

2.1.2

Ma trận Laplace của một cạnh

Định nghĩa 2.1.7. Cho đồ thị G = (V, E), e ∈ E. Lấy Le là ma trận Laplace
của n đỉnh mà chỉ bao gồm một cạnh là e.
Ví dụ 2.1.8. Cho đồ thị G như hình vẽ với E = {v1 , v2 , . . . , vn }

Hình 2.2: Đồ thị G

Suy ra



1 −1 0 0 . . .
−1 1 0 0 . . .


0 0 0 ...
Le =  0
 .
.. .. .. . .
 ..
.
. . .
0
0 0 0 ...



0
0


0
.. 
.
0

Do vậy, ta có biểu diễn Laplace của một cạnh e như sau:
Le =

1 −1
−1 1

⊕ 0.

Bởi tính cộng tính LG được xác định bởi công thức
Le .

LG =
e∈E

Ví dụ 2.1.9. Cho đồ thị G = (V, E), E = {1, 2, 3, 4}, V = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)}
như hình vẽ:


18

Hình 2.3: Đồ thị G

Khi đó



1

−1

L(1,2) = 
0

0

−1
1
0
0

0
0
0
0





0

0
,
0
0



L(1,4)

0

0 −1

0
1
0 0





1

0 0

L(1,3) = 
−1 0

1
0

=
0
−1

0
0
0
0



0


0

0
0



0 −1

0 0

0 0
0 1

Suy ra


LG =
e∈E

1

−1

Le = 
0
0



−1
1
0
0

0
0
0
0





0
1


0  0
+
0 −1
0
0



3 −1 −1 −1
−1 −1 0 0 



=
.
−1 0 1 0 
−1 0
0 −1

0 −1 0
1


0 0 0  0
+
0 1 0  0
0 0 0
−1

0
0
0
0



0 −1

0 0

0 0
0 1

19

Nhận xét 2.1.10. L là nửa xác định dương. Thật vậy
1
√


1 −1 = 2  12 
−√
2





Le =

Vì vậy

1 −1
−1 1

1
−1
√ , √
2
2

1
−1

=

1
1
√ −√
2
2

T

là vectơ riêng ứng với giá trị riêng 2.

Sự phân tích này cho ta hệ quả
1
−1

xT Le x = x1 , x2

1 −1

x1
x2

= (x1 − x2 )2 .

Chú ý 2.1.11. Ma trận Laplace là một dạng bình phương, cụ thể
xT LG x = xT

x T Le x =

Le x =
e∈E

e∈E

(xi − xj )2 .
i,j∈E

Điều này có nghĩa LG là nửa xác định dương.
2.1.3

Phân tích ma trận Laplace

Nhận xét 2.1.12.
LG = B T · B.
Chứng minh. Giả sử
[B T B]ij = ( cột thứ i của B)( hàng thứ j của B)
(Bij )nj=1 = (Bij )ni=1 .

=
e

Điều này sẽ cho chúng ta ba trường hợp
• Khi i = j
[B T B]ij =

((Bij )nj=1 )2 =

e

1 = deg(i).
e

liên thuộc

vi

• Khi i = j và không tồn tại cạnh giữa vi và vj
[B T B]ij =

(Bij )nj=1 (Bij )ni=1 = 0,
e

cũng như là mọi cạnh đều không liên thuộc tới ít nhất vi hoặc vj .

.


20

• Nếu i = j và tồn tại cạnh e giữa vi và vj
[B T B]ij =

(Be,vi )(Be,vj ) = (Be ,vi )(Be ,vj ) = −1.
e

2.1.4

Định lý Kirchhoff

Định lý 2.1.13. ([2], [4]). Giả sử L là một ma trận Laplace của một đơn đồ
thị liên thông G với n đỉnh. Khi đó, số lượng cây bao trùm của G, kí hiệu t(G)
được xác định bởi công thức
1
t(G) =
n

n

λi

hay

tG = Ckk (L)

i=1

với λi là các giá trị riêng không âm của LG (ma trận Laplace của đồ thị G).
Nhận xét 2.1.14. Ta thấy rằng tổng của mọi phần tử trên mỗi hàng của ma
trận Laplace G đều bằng 0. Do đó, vectơ [1, 1, . . . , 1]T là vectơ riêng của L với
giá trị riêng 0. Do đó mọi giá trị riêng của L đều không âm và 0 phải là giá trị
riêng nhỏ nhất của L.
2.1.4.1

Hạng của ma trận con của ma trận liên thuộc B

Chú ý rằng mỗi một cột của ma trận liên thuộc có chính xác một giá trị 1
và một giá trị (-1). Do đó, tổng các thành phần của mỗi cột bằng 0. Tên tổng

của tất cả các vectơ hàng của ma trận bằng 0. Do đó nó phụ thuộc tuyến tính.
Vậy hạng của ma trận B phải nhỏ hơn n. Do đó chúng ta có những điều sau
đây.
Hệ quả 2.1.15. ([2], [4]). Nếu G liên thông và BG là ma trận liên thuộc của
G thì rank(BG ) ≤ n − 1.
Bây giờ chúng ta xem xét ma trận con H của G trên k < n đỉnh mà
rank(BH ) = k. Điều đó có nghĩa là mọi hàng của BH là độc lập tuyến tính.
Do đó tồn tại ít nhất một cạnh e = (u, v) mà nối đỉnh của H với đỉnh không
thuộc H. Nói một cách khác, H không thể là một thành phần liên thông của
G. Do đó chúng ta có điều sau đây.
Hệ quả 2.1.16. ([2], [4]). Nếu hạng của ma trận liên thuộc BH là n − 1 với
H là ma trận con (n − 1) đỉnh của G thì G liên thông.