(Luận văn thạc sĩ) Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian bannach

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❍❷■

❚❍❯❾❚ ❚❖⑩◆ ✣■➎▼ ●❺◆ ❑➋ ✣×❮◆● ❉➮❈
◆❍❻❚ ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈
❇■➌◆ P❍❹◆ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❇❆◆◆❆❈❍

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✶✵✴✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ❍❷■

❚❍❯❾❚ ❚❖⑩◆ ✣■➎▼ ●❺◆ ❑➋ ✣×❮◆● ❉➮❈
◆❍❻❚ ●■❷■ ▼❐❚ ▲❰P ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈
❇■➌◆ P❍❹◆ ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆
❇❆◆◆❆❈❍
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❾P ❚❍➎ ●■⑩❖ ❱■➊◆ ❍×❰◆● ❉❼◆

●❙✳❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❇×❮◆●
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍Ó❨ ❍❖❆

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ✶✵✴✷✵✶✽




ử ử
ỵ



ữỡ ợ t t t tự
tr ổ





j ỡ





ổ ỗ

ố t







j ỡ





tỷ





t t tự tr ổ


t t tự j ỡ
ữỡ ữớ ố t

Pữỡ ữớ ố t ữỡ
t ổ ừ

j ỡ

ữỡ Pữỡ ữớ ố t
t t tự




Pữỡ





ợ





Pữỡ sỹ ở tử

Pữỡ







ổ t ữỡ


✐✈

✷✳✷✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✷✳✸

❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛

✸✺

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼
✸✽




ỵ
H
E
E
SE
R
R+

x
D(A)
R(A)
A1
I
d(x, C)
lim supn xn
lim inf n xn
xn x0
xn
x0
J
j
(T )
f

ổ rt tỹ
ổ
ổ ố ừ E
t ỡ ừ E
t số tỹ
t số tỹ ổ
t rộ
ợ ồ x
ừ t tỷ A
ừ t tỷ A
t tỷ ữủ ừ t tỷ A
t tỷ ỗ t
tứ tỷ x t ủ C
ợ tr ừ số {xn }
ợ ữợ ừ số {xn }
{xn } ở tử x0
{xn } ở tử x0
ố t
ố t ỡ tr
t t ở ừ T
ữợ ừ ỗ f





E ổ tỹ ỵ E ổ ủ
ừ E x , x tr ừ t t tử x X
t x E ừ E

ỵ

ã t t

tự tr ổ E ữủ t ữ s
C ởt t ỗ õ rộ ừ ổ tỹ

E F : E E ởt tr E
tỷ x C s F (x ), j(x x ) 0

x C,

j ố t ỡ tr ừ E F
C t r ở
t t tự ữủ ợ t t
P rt t ổ ố ỳ
ự t ừ t tự q tợ
t t tố ữ t
tr ỵ tt ữỡ tr r t t
tự tr ổ ổ ự ử ừ
õ ữủ ợ t tr ố s trt t rt
qts r ts ừ rrr t
t tr ố s rt
srt qts ts t r r Prs
ừ t
tr ữỡ t t tự
tr ổ ỗ õ t

ợ t r ở C t ổ ừ m

j ỡ ở ừ ữủ tr tr ữỡ
ữỡ ợ t ởt số t t ừ ổ
ỗ õ t ố
t j ỡ t tỷ tr ổ ỗ
tớ tr ữỡ ữớ ố t t t
tự tr t t ở ừ ổ ữỡ
ữớ ố t ữỡ t ổ
ừ mj ỡ tr ổ
ữỡ tr ữỡ t ủ ợ ữỡ
ữớ ố t ởt ữỡ ữỡ
t t tự ợ
j ỡ t t r ở t ổ
ừ mj ỡ tr ổ ỗ
õ t
ữủ t t rữớ ồ ồ ồ
t tổ ỷ ớ ỡ t s
s t ữớ ữớ t t ú ù tổ
tr sốt q tr
ổ ỷ ỡ qỵ ổ tr ừ
trữớ ồ ồ t t tr t
tự qỵ tổ tr sốt q tr tổ ồ t
t trữớ
ổ ỷ ỡ qỵ ổ tr Pỏ t ừ
rữớ ồ ồ t t ủ

tổ t ữỡ tr ồ t tỹ
ố ũ tổ ỷ ớ ỡ ở
t t ủ tổ t

t





✹

❈❤÷ì♥❣ ✶

●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❝â ❝❤✉➞♥
❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔
t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ▼ö❝ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ❣✐î✐
t❤✐➺✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧❛✐ ❣❤➨♣ ✤÷í♥❣ ❞è❝ ♥❤➜t ❣✐↔✐ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕
❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤✐➸♠ ❣➛♥ ❦➲ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t
t➻♠ ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝
✈✐➳t tr➯♥ ❝ì sð ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✕❬✸❪✱ ❬✶✶❪✕❬✶✹❪ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ✤÷ñ❝ t❤❛♠
❝❤✐➳✉ tr♦♥❣ ✤â✳

✶✳✶ ⑩♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉
❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔

E ∗ ✳ ❚❛ ❞ò♥❣ ❦þ ❤✐➺✉ . ❝❤♦ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ E ✈➔ E ∗ ✈➔ ✈✐➳t t➼❝❤ ✤è✐
♥❣➝✉ x, x∗ t❤❛② ❝❤♦ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ x∗ ∈ E ∗ t↕✐
✤✐➸♠ x ∈ E ✱ tù❝ ❧➔ x, x∗ = x∗ (x)✳ ❱î✐ ♠ët →♥❤ ①↕ A : E → 2E ✱ t❛
s➩ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤✱ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ✈➔ ✤ç t❤à ❝õ❛ ♥â t÷ì♥❣ ù♥❣


✺

♥❤÷ s❛✉✿

D(A) = {x ∈ E : A(x) = ∅},
R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)},
✈➔

G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}.
⑩♥❤ ①↕ ♥❣÷ñ❝ A−1 ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐✿

x ∈ A−1 (y) ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ y ∈ A(x).

✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕✱ ♥➳✉

✈î✐ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû x∗∗ ∈ E ∗∗ ✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ E ✱ ✤➲✉
tç♥ t↕✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ E s❛♦ ❝❤♦

x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ .
◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ t❤➻ ♠å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E
✤➲✉ ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳ ✣â ❧➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉ ✤➙②✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✷ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝

❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
(i) E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
(ii) ▼å✐ ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✤➲✉ ❝â ♠ët ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ②➳✉✳

❑þ ❤✐➺✉ SE := {x ∈ E : x = 1} ❧➔ ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ❝õ❛ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔
❧ç✐ ✤➲✉✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸

(i) ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t
♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x, y ∈ SE ✱ x = y ✱ s✉② r❛
(1 − λ)x + λy < 1 ∀λ ∈ (0, 1).


✻

(ii) ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ε ∈ (0, 2]
✈➔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ x ≤ 1, y ≤ 1✱ x − y ≥ ε t❤ä❛ ♠➣♥
t❤➻ tç♥ t↕✐ δ = δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ (x + y)/2 ≤ 1 − δ ✳
▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕
✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ✤à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙②✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ✤➲✉ ❧➔ ❧ç✐

❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ trì♥ ♥➳✉ ✈î✐
♠é✐ ✤✐➸♠ x ♥➡♠ tr➯♥ ♠➦t ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à SE tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤✐➳♠

❤➔♠ gx ∈ E ∗ s❛♦ ❝❤♦ x, gx = x ✈➔ gx = 1.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻
(i) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉
✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ❣✐î✐ ❤↕♥
x + ty − x
✭✶✳✶✮
lim
t→0
t
tç♥ t↕✐ ✈î✐ x ∈ SE ✱ ❦þ ❤✐➺✉ y,
x ✳ ❑❤✐ ✤â
x ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦
❤➔♠ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ❝❤✉➞♥✳

(ii) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ y ∈ SE ✱
❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✶✮ ✤↕t ✤÷ñ❝ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ SE ✳
▼è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✈➔ t➼♥❤ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉①
❝õ❛ ❝❤✉➞♥ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ✤à♥❤ ❧þ s❛✉✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✼ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ trì♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾

❦❤✐ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① tr➯♥ E \ {0}✳
✶✳✶✳✷ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽ ⑩♥❤ ①↕ Js : E → 2E ,
∗

s > 1 ✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ✤❛

trà✮ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

Js x = {uq ∈ E ∗ :

x, us = x

us , us = x

s−1

},


✼

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ ❑❤✐

s = 2✱ →♥❤ ①↕ J2 ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ J ✈➔ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉
❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝õ❛ E ✳ ❚ù❝ ❧➔
Jx = {u ∈ E ∗ :

x, u = x

u , u = x }.

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❧➔ →♥❤ ①↕
✤ì♥ ✈à I ✳ ❑þ ❤✐➺✉ j ❝❤➾ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾ ⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J

: E → E ∗ ❝õ❛

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

(i) ▲✐➯♥ tö❝ ②➳✉ t❤❡♦ ❞➣② ♥➳✉ J ✤ì♥ trà ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö
②➳✉ ✈➲ ✤✐➸♠ x t❤➻ Jxn ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ Jx t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
(ii) ▲✐➯♥ tö❝ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ ♥➳✉ J ✤ì♥ trà ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤
✈➲ ✤✐➸♠ x t❤➻ Jxn ❤ë✐ tö ②➳✉ ✈➲ Jx t❤❡♦ tæ♣æ ②➳✉∗ tr♦♥❣ E ∗ ✳
❚➼♥❤ ✤ì♥ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ✈î✐ t➼♥❤
❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✵ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ →♥❤ ①↕

✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ J : E → 2E . ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔
t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
(i) E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳
(ii) J ❧➔ ✤ì♥ trà✳
(iii) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ E ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✈î✐
x = x −1 Jx✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✶ ✭①❡♠ ❬✸❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝â ❝❤✉➞♥
❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✳ ❑❤✐ ✤â →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ j : E → E ∗
❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➲✉ ♠↕♥❤✲②➳✉∗ tr➯♥ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ E ✳
∗

✶✳✶✳✸ ⑩♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷ ⑩♥❤ ①↕ A : E → E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✽

(i) η ✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè η > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐
x, y ∈ D(A)✱ ♠✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A✱ t❛ ❝â
Ax − Ay, j(x − y) ≥ η x − y 2 , j(x − y) ∈ J(x − y);
(ii) α✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ♥❣÷ñ❝ ✭❤❛② α✲✤ç♥❣ ❜ù❝ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉✮ ♥➳✉ tç♥
t↕✐ ❤➡♥❣ sè α > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)✱ t❛ ❝â
Ax − Ay, j(x − y) ≥ α Ax − Ay 2 , j(x − y) ∈ J(x − y);
(iii) j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ D(A)✱ t❛ ❝â
Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y);
(vi) j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ A ❧➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ✤ç t❤à G(A) ❝õ❛
→♥❤ ①↕ A ❦❤æ♥❣ t❤ü❝ sü ❜à ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❜➜t ❦➻ ♠ët ✤ç t❤à ❝õ❛ ♠ët
→♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ❦❤→❝❀
(v) m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♥➳✉ A ❧➔ →♥❤ ①↕ j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ R(A + I) = E ✱ ð ✤➙②
R(A) ❧➔ ❦þ ❤✐➺✉ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ A✳

❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✸ ✭①❡♠ ❬✼❪✮ ❈❤♦ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥♥❛❝❤ t❤ü❝ ✈➔

trì♥✳ ❑❤✐ ✤â✱

x+y

2

≤ x

2

+ 2 y, j(x + y)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹ ❈❤♦ C

∀x, y ∈ E.

❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ E ✳

(i) ⑩♥❤ ①↕ T : C → E ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ L✲❧✐➯♥ tö❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ ♥➳✉
tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè L ≥ 0 s❛♦ ❝❤♦
Tx − Ty ≤ L x − y

∀x, y ∈ C.

✭✶✳✷✮

(ii) ❚r♦♥❣ ✭✶✳✷✮✱ ♥➳✉ L ∈ [0, 1) t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦❀ ♥➳✉ L = 1
t❤➻ T ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳




T : C E ữủ ồ
t tỗ t số (0, 1) j(x y) J(x y) s

T x T y, j(x y) xy 2 (IT )x(IT )y

2

x, y C,


ợ số ổ ố r = 0 t T ữủ
ồ

t
(i) F : E E t t F L
tử st ợ L = 1 + 1/
(ii) ồ ổ tử

ờ E ổ tỹ

trỡ F : E E j ỡ
t ợ + > 1 õ (0, 1) I F ợ
số 1 , tr õ = 1 (1 )/.
tỷ
t ỳ rst ởt tt ỳ ữủ t r r
ố t ổ t ởt ự ữỡ tr
t t s tứ ự ữỡ tr
r số ởt ừ ữỡ tr t
t số t r ọ tt ữủ t r
rr t ữỡ tr
r
ởt A ữủ ồ tọ

D(A) R(I + A) > 0,
D(A) õ ừ ừ A

E ởt ổ A : D(A)

E 2E ởt j ỡ tọ
õ ợ ộ > 0 JA : R(I + A) D(A)
JA = (I + A)1



ữủ ồ t tỷ ừ A
tỷ ừ A õ t t s

ờ c2 c1 > 0 t

ợ ồ x E.
ờ ợ t ý số ữỡ à t ổ
õ
x JcA1 x 2 x JcA2 x

JA x = JàA

à A
à
x+ 1
J x

x E.

E ởt ổ

A ởt j ỡ tr E s D(A) R(I +tA)
ợ ồ t > 0 õ
1 A
1
Jt x JrA JtA x x JtA x ợ ồ x R(I + tA) r, t > 0.
r
t

t t tự tr ổ

t t tự j ỡ ữỡ
ữớ ố t
E ổ tỹ C t ỗ õ rộ
ừ E j : E E ố t ỡ tr ừ E
r t ổ tt F : E E ỡ
tr t t tự j ỡ ợ F
t r ở C ỵ (F, C) ữủ t ữ s
x C tọ

F x , j(x x ) 0 x C.

ỵ t ừ t t tự

S

QC

: E C ữủ ồ rút
ổ t t tứ E C QC tọ
(i) QC rút tr C tự Q2C = QC

(ii) QC ổ
(iii) QC t t tự ợ ồ 0 < t <
QC (QC (x) + t(x QC (x))) = QC (x).
C ữủ ồ t rút ổ t t tỗ t
rút ổ t t QC tứ E C
ỹ tỗ t ừ rút tứ ổ E t ỗ C
ữủ tr ờ ữợ

ờ ồ t C ỗ õ ừ ổ

ỗ E t rút ừ E tự tỗ t
rút tứ E C
ờ C t rộ ỗ õ ừ
ổ trỡ E QC : E C rút tứ E
C õ t s tữỡ ữỡ
(i) QC ổ t t
(ii) x QC (x), j(y QC (x)) 0 x E, y C

C t ỗ õ rộ tr ổ E ỗ s r
õ ỗ t t ự t õ ỗ tr E ởt t




s t y F ix(JAi ) õ tỗ t t

y C s
y y = inf y x .
xC

y = JAi y JAi y C t õ

y JAi y = JAi y JAi y y y ,

õ JAi y = y t tỗ ởt p N
i=1 ZerAi C

ớ tứ ờ s r p ởt ỹ t ừ (x) tr E


àm x p, j(y m p) 0 x E.



t x = F p+ p tr t t y t ợ p tr y m ợ p
tữỡ ự sỷ ử t t ừ j t õ ữủ àm y m p

2

= 0.
tỗ t {y ml } ừ {y m } ở tử p
l ứ t t ừ ố j tr t
tr E t ữủ
F p, j(
p p) 0 p N
i=1 ZerAi .



p p tr N
i=1 ZerAi t ỗ õ t t p tr
sp + (1 s)
p ợ s (0, 1) sỷ ử t t t

j(s(
p p)) = sj(
p p) ợ s > 0 s s 0 t
ữủ

p p) 0 p N
F p, j(
i=1 ZerAi .
t ừ p tọ ợ C = N
i=1 ZerAi
r p = p tt {y t } ở tử tợ p t õ
ự

ờ E, F A rt t ữ tr

õ ồ {xk } E tọ
A

lim JrANN JrNN11 ã ã ã JrA11 xk xk = 0

k




✷✹

✈î✐ ❜➜t ❦➻ ri > ε✱ i = 1, 2, . . . , N ✱ t❛ ❝â
lim sup F p∗ , j(p∗ − xk ) ≤ 0.

✭✷✳✼✮

k→∞

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t ym = yt

m

♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✻✳

❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ JrAi i ✱ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✼ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✸ ✈î✐
m

✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ j ✱ t❛ ❝â

y m − xk

2

A

A

= JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 (I − λm F )y m − JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 xk
m

m

m

k

−x +

m

m

m

A
JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 xk 2
m
m

m
m
k 2

≤ (I − λm F )y − x
A

+ 2 JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 xk − xk , j(y m − xk )
m

m

m

m

k 2

− 2λm F y m , j(y m − xk − λm F y m )

≤ y −x

A

+ 2 JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 xk − xk , j(y m − xk ) .
m

m

m

❉♦ ✤â✱

˜
M
A
F y , j(y − x − λm F y ) ≤
JrANN JrNN−1−1 · · · JrA11 xk − xk ,
m
λm m m
˜ ≥ y m − xk ✳ ❙✉② r❛
tr♦♥❣ ✤â M
m

m

k

m

lim sup F y m , j(y m − xk − λm F y m ) ≤ 0,
k→∞

❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✻✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ F ✈➔ t❤❛♠ sè λm s✉② r❛ ✭✷✳✼✮✳

✷✳✷ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❤✐➺♥
✷✳✷✳✶ ▼æ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ ①➨t ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❤✐➺♥ s❛✉ ✤➙② ✭①❡♠ ❬✻❪✮✳





x1 ∈ E, ❧➔ ♣❤➛♥ tû tò② þ, y0k = xk ,


k
yik = JrAi i (I − tk F )yi−1
+ eki , i = 1, 2, · · · , N − 1,
k



k+1
k
k
x
= JrANN (I − tk F )yN
−1 + eN ,
k

✭✷✳✽✮




{eki } s số i = 1, 2, . . . , N

x1 E, tỷ tũ ỵ, y0k = (I tk F )xk ,


k
+ eki , i = 1, 2, ã ã ã , N 1,
yik = JrAi i yi1
k



k
k
xk+1 = J ANN yN
1 + eN .
r



k

ữỡ ữủ ỹ ỹ tr t ủ ữỡ
ữớ ố t ợ tt t t ồ
ữỡ ữớ ố t s tr sỹ ở tử
ừ ữỡ ữợ s

tk tọ
rki > 0 ợ ồ k 1 i = 1, 2, . . . , N
limk0 eki /tk = 0 ợ i = 1, 2, . . . , N
ỹ ở tử

ỹ ở tử ừ ữỡ ữỡ ữủ
tr ỵ ữợ

ỵ E, F Ai ữ tr

sỷ r t số tk rki s số {eki } tọ
õ {xk } ữủ
ở tử tợ tỷ p t ừ t t
tự

ự ứ JrA p = p ợ t p Ni=1ZerAi tứ t
i

i
k


✷✻

❝❤➜t ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ JrAi i ✱ ✭✷✳✽✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✼ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
k

AN
k
k
xk+1 − p = JrANN (1 − tk F )yN
−1 + eN −JrN p
k

≤

≤
≤
≤

k

k
k
(1 − tk F )yN
−1 − (1 − tk F )p − tk F p + eN
k
k
(1 − tk τ ) yN
−1 − p + tk F p + eN
k
k
(1 − tk τ ) yN
−2 − p + 2tk F p + eN +
N
k
(1 − tk τ ) x − p + N tk F p +
eki
i=1
1

ekN −1

≤ max { x − p , N ( F p + c˜)/τ },

tr♦♥❣ ✤â c˜ ❧➔ ♠ët ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ eki /tk ≤ c˜ ✈î✐ ♠å✐ k ≥ 1

k
✈➔ i = 1, 2, . . . , N ✳ ❉♦ ✈➟②✱ ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✳ ❱➻ t❤➳ ❝→❝ ❞➣② {F yi−1
−
k
k
eki /tk } ✈➔ {zi−1
− p} ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐ p ∈ ∩N
i=1 ZerAi ✱ ð ✤➙② zi−1 =
k
(I − tk F )yi−1
+ eki ✈î✐ i = 1, 2, . . . , N ✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱
❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ❝❤ó♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ M2 ✳ ❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣

♠✐♥❤ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✻ t❛ s✉② r❛
k
−p
JrAi i zi−1

2

k

k
k
− p)/2
≤ (zi−1
− p)/2 + (JrAi i zi−1

2

k

k
k
− p 2 /2
≤ zi−1
− p 2 /2 + JrAi i zi−1
k

−g

k
≤ zi−1
−p

❚❛ ✤→♥❤ ❣✐→ ❣✐→ trà xk+1 − p

xk+1 − p

2

k
− JrAi i zi−1
k
2
k
− g zi−1

k
zi−1

2

k
/4.
− JrAi i zi−1
k

♥❤÷ s❛✉✿

k
= JrANN zN
−1 − p
k

/4

2

k
≤ zN
−1 − p

AN k
k
− g zN
−1 − JrN zN −1 /4
k

= (I −

−g

k
k
2
tk F )yN
−1 + eN − p
AN k
k
zN
−1 − JrN zN −1 /4
k

2


✷✼

❤❛②

xk+1 − p

2

k
≤ yN
−1 − p

2

k
k
k
− 2 tk F yN
−1 − eN , j(zN −1 − p)

AN k
k
− g zN
−1 − JrN zN −1 /4
k

k
yN
−1

≤

2

−p

AN k
k
+ 2tk M22 − g zN
−1 − JrN zN −1 /4
k

≤ ···
≤ xk − p

2

k
k
+ 2N tk M22 − g zi−1
− JrAi i zi−1
/4,
k

✈î✐ ♠é✐ i ∈ {1, 2, . . . , N }✳ ❉♦ ✤â✱
k
k
g zi−1
− JrAi i zi−1
/4 − 2N tk M22 ≤ xk − p

2

− xk+1 − p 2 .

k

❈❤ó♥❣ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣✳
k
k
✭❛✮ ❑❤✐ g( zi−1
− JrAi i zi−1
)/4 ≤ 2tk N M22 ✈î✐ ♠å✐ k ≥ 1✱ tø ✤✐➲✉
k

❦✐➺♥ ❝õ❛ tk ✱ t❛ ❝â

k
k
lim g( zi−1
− JrAi i zi−1
) = 0.

✭❜✮ ❑❤✐ g(

k→∞
k
k
zi−1
− JrAi i zi−1
k

k

)/4 > 2N tk M22 ✱ t❛ ✤÷ñ❝

M
k
k
g zi−1
− JrAi i zi−1
/4 − 2N tk M22 ≤ x1 − p

2

− xM +1 − p

2

k

k=1

≤ x1 − p 2 .
❱➻ ✈➟②✱
∞
k
k
g zi−1
− JrAi i zi−1
/4 − 2N tk M22 < +∞.
k

k=1

❉♦ ✤â✱
k
k
lim g zi−1
− JrAi i zi−1
/4 − 2N tk M22 = 0,

k→∞

k

❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ tk s✉② r❛
k
k
lim g zi−1
− JrAi i zi−1
= 0.

k→∞

k

✈➻ t❤➳ tø ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ g ✱ ❝â ✤÷ñ❝
k
k
lim zi−1
− JrAi i zi−1
= 0.

k→∞

k

✭✷✳✶✵✮




k

k
ữ ỵ r zi1
yi1
tk M2
k
k
lim zi1
yi1
= 0, i = 1, 2, ã ã ã , N.

k



k
{zi1
} {yik } ụ r
k
k
k
= JrAi i (I tk àF )yi1
+ eki JrAi i yi1
yik JrAi i yi1
k

k

(I

k

k
tk àF )yi1

+

eki



k
yi1

tk M2 0


k ợ i = 1, 2, . . . , N t ủ ợ s r
k
lim yik yi1
= 0 i = 1, 2, ã ã ã , N.

k



k
t õ
ỷ ử ợ r = ri , t = rki A = Ai x = zi1

ữủ

1 Ai k
1 k
1 k
Ai Ai k
Ai k
Ai k
z
J
J
z

J
z
J
z
.
z
J
z

i
i
i
i1
i1
r
i1
i1
i1

r
rk
rki i1
rk
ri k
rk

ứ t tự t s r
k
k
lim JrAi i yi1
yi1
= 0, i = 1, 2, ã ã ã , N.

k



t i = 1 tr ữ ỵ r

y0k = xk ,

lim JrA11 xk xk = 0.

k

ớ i = 2 tr t ữủ

lim JrA22 y1k y1k = 0.

k

ợ t ủ ợ y0k = xk s r

lim JrA22 JrA11 xk xk = 0.

k

tữỡ tỹ t ữủ {xk }
tọ tr ờ


✷✾

❇➙② ❣✐í✱ t❛ ✤→♥❤ ❣✐→ ❣✐→ trà xk+1 − p∗

xk+1 − p∗

2

2

♥❤÷ s❛✉✿

AN
k
k
= JrANN (I − tk F )yN
−1 + eN −JrN p∗
k

2

k

k
k
≤ (I − tk F )yN
−1 + eN − p∗

2

k
k
= (I − tk F )yN
−1 − (I − tk F )p∗ − tk F p∗ + eN
k
≤ (1 − tk τ ) yN
−1 − p∗

2

2

k
k
k
+ 2tk F p∗ − ekN /tk , j(p∗ − yN
−1 + tk F yN −1 − eN )
k

≤ (1 − tk τ ) yN
−2 − p∗

2

+ 2tk F p∗ − ekN −1 /tk ,

k
k
k
j(p∗ − yN
−2 + tk F yN −2 − eN −1 )
k
k
k
+ 2tk F p∗ − ekN /tk , j(p∗ − yN
−1 + tk F yN −1 − eN )

≤ (1 − bk ) xk − p∗

2

+ bk ck ,
✭✷✳✶✺✮

tr♦♥❣ ✤â bk = tk τ ✈➔
N

F p∗ , j(p∗ − xk )

ck = (2/τ )
i=1

N

+ F p∗ , j(p∗ −
+ F p∗ −

k
yi−1
)

eki /tk , j(p∗

k

− j(p∗ − x ) +
−

k
yi−1

+

k
−eki /tk , j(p∗ − yi−1
)

i=1
k

tk F yi−1 − eki )

− j(p∗ − xk ) .

❚ø ✭✷✳✽✮ ✈➔ ✭✷✳✶✶✮ s✉② r❛ yik − xk → 0 ❦❤✐ k → ∞✳

= ∞✱ ∞
k=1 bk = ∞✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✶✸✮✱ ✭✷✳✶✺✮✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ j ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ tk ✱ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✺ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✼ t❛
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ limk→∞ xk+1 − p∗ 2 = 0✱ s✉② r❛ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❱➻

✭❝✮

∞
k=1 tk

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✷ ✭①❡♠ ❬✻❪✮ ❈❤♦ E, F ✈➔ Ai ♥❤÷ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶✳✻✳

●✐↔ sû ❞➣② {tk }, {rki } ✈➔ {eki } ♥❤÷ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣②
{xk }✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ✭✷✳✾✮✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tî✐ ♣❤➛♥ tû p∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠
❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭✶✳✻✮✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø JrA p = p ✈î✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý p ∈ ∩Ni=1ZerAi✱ tø t➼♥❤
i

i
k

✸✵

❝❤➜t ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ❝õ❛ JrAi i ✱ t❛ ❝â
k

AN
k
k
xk+1 − p = JrANN yN
−1 + eN −JrN p
k

k

k
yN
−1
k
yN
−2

≤
≤

−p +
−p +

ekN
ekN

+ ekN −1 ≤ · · ·

N

≤ y0k − p +

eki
i=1
N
k

eki

= (I − tk F )x − p +
i=1

N
k

eki

≤ (1 − tk τ ) x − p + tk F p +
i=1
1

≤ max { x − p , ( F p + N c)/τ }.
k
❉♦ ✤â✱ ❞➣② {xk } ❜à ❝❤➦♥✱ ✈➻ t❤➳ ❝→❝ ❞➣② {xk −p−tk F xk } ✈➔ {zi−1
−p}
k

k
k
❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ✈î✐ p ∈ ∩N
i=1 ZerAi ✱ tr♦♥❣ ✤â zi−1 = yi−1 + ei ✱ i =

2, . . . , N ✳ ❚❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❝❤ó♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❜ð✐ ❤➡♥❣ sè ❞÷ì♥❣ M3 ✳ ❚✐➳♣
t❤❡♦ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶ t❛ ✤÷ñ❝

xk+1 − p

2

k
= JrANN zN
−1 − p

2

k

k
≤ zN
−1 − p

2

AN k
k
− g zN
−1 − JrN zN −1 /4

k

=

k
yN
−1

≤

k
yN
−1

−g

+

ekN

−p

2

AN k
k
− g zN
−1 − JrN zN −1 /4
k

2

k
− p + 2 ekN , j(zN
−1
AN k
k
zN
−1 − JrN zN −1 /4

− p)

k

≤

k
yN
−1

−p

2

AN k
k
+ 2˜ctk M3 − g zN
−1 − JrN zN −1 /4
k

≤ ···
≤ y0k − p

2

k
k
+ 2˜cN tk M3 − g zi−1
− JrAi i zi−1
/4
k

k

= (I − tk F )x − p

2

+ 2˜cN tk M3

k
k
− g zi−1
− JrAi i zi−1
/4
k


✸✶

❤❛②

xk+1 − p

2

≤ (1 − tk τ ) xk − p

2

− 2tk F p, j(xk − p − tk F xk )

k
k
+ 2˜cN tk M3 − g zi−1
− JrAi i zi−1
/4
k

k

≤ x −p

2

+ 2tk

F p + c˜N M3

k

k
− g zi−1
− JrAi i zi−1
/4
k

✈î✐ ♠é✐ i ∈ {1, 2, . . . , N }✳ ❉♦ ✤â✱
k
k
g zi−1
−JrAi i zi−1
/4−2tk

F p +cN M3 ≤ xk −p 2 − xk+1 −p 2 .

k

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✷✳✶ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
k
k
lim g zi−1
− JrAi i zi−1
= 0.

k→∞

k

❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ g s✉② r❛
k

k
lim zi−1
− JrAi i zi−1
= 0.

k→∞

k

✭✷✳✶✻✮

k
k
✣➸ þ r➡♥❣ zi−1
− yi−1
≤ c˜tk ✱
k
k
lim zi−1
− yi−1
= 0, ∀i = 1, 2, . . . , N.

k→∞

✭✷✳✶✼✮

k
❱➻ ❞➣② {zi−1
} ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ❞➣② {yik } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â✱
k

k
k
yik − JrAi i yi−1
= JrAi i yi−1
+ eki −JrAi i yi−1
≤ c˜tk → 0
k

k

k

❦❤✐ k → ∞ ✈î✐ i = 1, 2, . . . , N ✳ ❑➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ✭✷✳✶✻✮✱ ✭✷✳✶✼✮ s✉② r❛
✭✷✳✶✸✮ ✈➔ ✭✷✳✶✹✮✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ❜✤→♥❤ ❣✐→ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✣à♥❤
❧þ ✷✳✷✳✶ t❛ ✤÷ñ❝ ❞➣② {xk }✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ✭✷✳✾✮✱ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✼✳


✸✷

❇➙② ❣✐í ❣✐→ trà xk+1 − p∗

xk+1 − p∗

2

2

✤÷ñ❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ♥❤÷ s❛✉✿

AN
k
k
= JrANN yN
−1 + eN −JrN p∗

2

k

k

k
k
2
≤ yN
−1 + eN − p∗
k
2
k
k
≤ yN
− 2 ekN , j(p∗ − yN
−1 − p∗
−1 − eN )
k
2
k
k
≤ yN

− 2 ekN −1 , j(p∗ − yN
−2 − p∗
−2 − eN −1 )
k
k
− 2 ekN , j(p∗ − yN
−1 − eN )
N
k
≤ y0k − p∗ 2 − 2
eki , j(p∗ − yi−1
− eki )
i=1
≤ (1 − tk τ ) xk − p∗ 2 + 2tk F p∗ , j(p∗ − xk + tk F xk )
N
k
eki /tk , j(p∗ − yi−1
− eki )

− 2tk
i=1

= (1 − bk ) xk − p∗

2

+ bk c k ,
✭✷✳✶✽✮

tr♦♥❣ ✤â bk = tk τ ✈➔

ck = (2/τ ) F p∗ , j(p∗ − xk ) + F p∗ , j(p∗ − xk + tk F xk )
N
k
eki /tk , j(p∗ − yi−1
− eki ) .

− j(p∗ − xk ) −
i=1

❚ø ✭✷✳✾✮ ✈➔ ✭✷✳✶✼✮ s✉② r❛ yik −xk → 0 ❦❤✐ k → ∞✳ ❱➻
∞
k=1 bk

∞
k=1 tk

= ∞✱

= ∞✱ ♥➯♥ tø ✭✷✳✶✼✮✱ ✭✷✳✶✽✮✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ j ✈î✐ tk ✈➔ ❇ê ✤➲
✷✳✶✳✺✱ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✳✼ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ limk→∞ xk+1 − p∗ 2 = 0✳ ❙✉② r❛ ✤✐➲✉
♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✸ ❑❤✐ N = 1 t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✷✳✽✮ ❝â ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥
❤ì♥

xk+1 = JrAk (I − tk F )xk + ek ,

✭✷✳✶✾✮

tr♦♥❣ ✤â A ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ❝â m✲j ✲✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ E ✳ ✣➦t y k = (I −