BAI TAP TRI RIENG VECTOR RIENG BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH

BÀI TẬP TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG
TRẦN NGỌC DIỄM


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
A  Mn(K)
 K là trị riêng của A   x Kn, x 0: Ax = x
x được gọi là trị riêng tương ứng với 
E = { x/ Ax = x} : không gian riêng ứng với 


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
1. Trị riêng của A là nghiệm của pt đặc trưng:
p() = det(A- I) = 0 (p() : đa thức đặc trưng.)
2. Với mỗi , vector riêng là nghiệm x0 của hệ pt:
(A- I)x = 0.
3. Cơ sở kg riêng ứng với  là hệ nghiệm cơ bản của hpt
(A- I)x = 0.


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
4 5 2 �
�
1. A  �
5 7 3 �
�
�
�
�
6


9
4
�
�
Vector nào sau đây là vector riêng của A,
hãy chỉ ra trị riêng tương ứng.
1
2
0
��
��
��
X 1  ��
2 , X 2  ��
2 , X 3  ��
1
��
��
��
��
��
��
3
2
1
��
��
��

TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
�1 2 2 �
2. A  �1 2 1�
�
�
�
�

1
1
4
�
�

Tìm m để u=(2,-m,m)T là vector riêng của A


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
3. Tìm trị riêng và vector riêng của
4 2 �
�
A�
�M 2 ( R )
�
�1 1�
4. Tìm trị riêng và cơ sở không gian riêng.
3 1 1�
�
A�
2 4 2�

�
�
�
�
1
1
3
�
�


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
1. Nếu  là trị riêng của A thì n là trị riêng của An.
2. VTR của A cũng là VTR của An
3. Nếu  là trị riêng của A thì
p() = ann + …+ a1 + a0 là trị riêng của
p(A) = anAn + …+ a1A + a0I
4. Nếu A khả nghịch và  là trị riêng của A thì
−1 là trị riêng của A−1


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG MA TRẬN
6. Tìm trị riêng và vector riêng của
a. A3
b. A3  3 A2  A  2 I
c. A

3

4 2 �

�
A�
�M 2 ( R )
�
�1 1�


CHÉO HÓA MA TRẬN
A  Mn(K) chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả
nghịch P sao cho P−1AP là mt chéo.
A chéo hóa được A có n vec tor riêng đltt

Lấy ma trận P với mỗi cột Pi là các vector riêng
đltt của A thì D = P−1AP chéo .
(Đường chéo của D chứa các trị riêng của A)


CHÉO HÓA MA TRẬN
Nhận dạng ma trận chéo hóa được:

Cách 1: Nếu A Mn có n trị riêng phân biệt thì A
chéo hóa được.
Cách 2: Nếu A  Mn ,
p ( )  (  1 ) k1 (   2 ) k2 ...(   r ) kr

và dimEi = ki thì A chéo được


CHÉO HÓA MA TRẬN
Ma trận nào dưới đây chéo hóa được, nếu chéo hóa

được, tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma
trận chéo.

3 1 1�
�
�
�
1)A  1 1 1
�
�
�1 1 1�
�
�

2 1 1�
�
�
�
2)A  1 2 1
�
�
�
�
1
1
2
�
�

CHÉO HÓA MA TRẬN

1 1 0�
�
3)A  �
0 1 0�
�
�
�
�
0
0
1
�
�
�1 2�
5)A  �
�

2
1
�
�

�1 2 2 �
�
�
4) A  1 2 1
�
�

�
�

1
1
2
�
�


CHÉO HÓA MA TRẬN
3 1 1�
�
6. Cho A  �1 1 1�
�
�
�1 1 1�
�
�

Tính A17.


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
f: U  U tuyến tính
 là trị riêng của f  x 0: fx = x
x được gọi là vector riêng ứng với trị riêng 
E = { x/ fx = x} : kg riêng ứng với trị riêng .

TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
Cách tìm trị riêng và VTR của f: U  U
1. Xác định ma trận của f trong 1 cơ sở E của U.
A = [f ]E.
2. Trị riêng của f là trị riêng của A.
3. Với mỗi , nếu X là VTR của A, thì vector u thỏa
[u]E = X là VTR của f.


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
1. f  x1, x2 x3    x1  2x2  2x3 , x1  2x2  x3 , x1  x2  4x3 
a) Vector nào sau đây là vector riêng của f
x   1,2,3 , y   2,1,1
b) Tìm m để vector sau là vector riêng của f
x   3,2, m 


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
3 1 1�
�
2. Cho A  �1 1 1� là ma trận của
�
�
�1 1 1�
�
�

f : R3 � R3

trong cơ sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)}.

Tìm m để u = (m+1, 2, 2) là VTR của f.


TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG AXTT
3. Tìm trị riêng và vector riêng của
f: R2  R2, f(x1,x2) = (4x1 – 2x2, x1 + x2)
4. f(x1,x2,x3) = (2x1+x2+x3, x1+2x2+x3, x1+x2+2x3)
Tìm trị riêng và cơ sở kg riêng của f.
5. Tìm trị riêng và VTR của f: R3  R3 nếu biết ma trận
của f trong cơ sở E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} là
�1 2 2 �
�
�
A  [ f ]E  1 2 1
�
�
�
�

1
1
2
�
�


CHÉO HÓA AXTT
* f: U  U tuyến tính, f chéo hóa được nếu tồn tại 1 cơ
sở E của U sao cho [f]E là ma trận chéo.
* f : U  U tuyến tính, dimU = n

f chéo hóa được  f có n vector riêng đltt
f chéo hóa được  ma trận của f trong cơ sở nào đó
chéo hóa được.


Ví dụ
1. Cho f: R3  R3 , biết ma trận của f trong cơ sở
E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)} là
3 1 1�
�
A  [ f ]E  �
2 4 2�
�
�
�
�
1
1
3
�
�
Tìm một cơ sở B của R3 để ma trận của f trong cơ
sở này là ma trận chéo.


Giải
Trị riêng của A:

1  2, 2  6

Cơ sở không gian riêng của A:


 6 :  P   1,2,1 

1  2 : P1   1,1,0  , P2   1,0,1
T

2

T



T

3

E = {(1,1,-1), (1,1,2), (1,2,1)}
Gọi u1, u2, u3 là các vector sao cho :

 ui  E  Pi , i  1,2,3

Cụ thể u1   0,0,3 , u2   0,1,2  , u3   4,5,4 


Đặt :

B   u1 , u2 , u3 

 f B

thì

2 0 0�
�
�
0 2 0�
�
�
�
�
0
0
6
�
�