chuyen de ve bai tap hinh hoc

CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

CHUYÊN ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI
Bài 1: Cho đường trịn tâm O đường kính AB. C là một điểm trên đường tròn. Tiếp
tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại P. CH là đường cao của tam giác ABC (H thuộc
AB), M là trung điểm của CH. Chứng minh rằng B, M, P thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh
AB, AC lần lượt tại D, E. BO cắt DE tại F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC,
BC. Chứng minh rằng F, M, N thẳng hàng.
Bài 3:Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh
AB, AC lần lượt tại D, E. BO cắt DE tại F. M, N là trung điểm của AC và BC. MN cắt
DE tại F. Chứng min B, O, F thẳng hàng.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính BC, đường cao AH.
Đường tròn (O) cắt đường tròn (A; AH) tại P và Q. Gọi D, E là hình chiếu của H trên
AB, AC. Chứng minh rằng 4 điểm P, Q, D, E thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung BC không
chứa A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB.
a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
b) Gọi I, J, K lần lượt là các điểm đối xứng của M qua D, E, F. Chứng minh rằng I, J,
K cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm H của tam giác
ABC.
Bài 6: Cho đường trịn (O) và một điểm S nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến
SA, SB đến đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). D là một điểm trên đường tròn (O)
( D khác A và B) SD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng tiếp tuyến của
(O) tại D và E cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng AB.
Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn. Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB và AC tại
E và D . Tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại S. Gọi H là giao điểm của BD và
CE.
a) Chứng minh A, S, H thẳng hàng.
b) SB cắt (O) tại K. Chứng minh 3 đường thẳng DE, AH và CK đồng qui tại một

điểm.
Bài 8: Cho đường trịn tâm O đường kính AB. C là một điểm thuộc đường tròn. Vẽ
. Đường trịn đường kính CH cắt (O) tại F, cắt AB, AC lần lượt tại
D và E. Chứng minh 3 đường thẳng CF, AB và DE đồng qui.
Bài 9: Cho đường trịn (O) và một điểm S nằm ngồi đường trịn. Vẽ hai tiếp tuyến
SA, SB của (O) (A, B là hai tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ AB (MA < MB).
Qua M vẽ tiếp tuyến với (O) cắt SA, SB tại P và Q. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác
SPQ tiếp xúc với SP , PQ tại D và E. Chứng minh rằng 3 đường thẳng DE, AM và SO
đồng qui.
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trịn tâm O đường kính BC cắt
AB, AC lần lượt tại E và D.
a) Chứng minh rằng AD. AC = AE. AB
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của AH và BC. Chứng minh
.
Page 1


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

c) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) với M, N là hai tiếp điểm.
Chứng minh
d) Chứng minh M, H, N thẳng hàng.
Gợi ý :
1. Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng tuy nhiên các bạn có thể dùng
phương pháp sau:
Để chứng minh A, B, C thẳng hàng ta chứng minh
trong đó B, C cùng
phía đối với AD. Suy ra tia AB và AC trùng nhau hay A, B, C thẳng hàng.
Hoặc có thể dùng phương pháp trùng khít: Dựng đường thẳng qua A và C, cắt đường
chứa B tại B’. Sau đó chứng minh B và B’ trùng nhau…

Trên đây chỉ là một vài ý giúp bạn giải tốt dạng toán này.
2. Bài 1: BC kéo dài cắt AP tại Q. Chứng minh P là trung điểm AQ. Gọi M’ là giao
điểm của BP và CH. Chứng minh M’ là trung điểm của CH.
Bài 2: Chứng minh
tứ giác EFCO nội tiếp, suy ta
. Chứng
minh FN và MN song song với AB.
Bài 3: Chứng minh
Bài 4: a) Tự chứng minh.
b) Chứng minh tứ giác AHFB nội tiếp. Suy ra
.
Chứng minh
Từ đó suy ra K, H, J thẳng hàng.
3. Bài 5: Gọi I là giao đểm của P là giao điểm của hai tiếp tuyến tại D và E của (O). I
là giao điểm của OP và DE.
Chứng minh
. Khi đó chứng minh
, suy ra
(1)
Chứng minh 5 điểm S, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn, suy ra
Từ (1) và (2) suy ra P, A, B thẳng hàng.
4. Bài 6: Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh K, I, C thẳng hàng.
Gọi F là giao điểm của AH và BC.
Chứng minh
Suy ra tứ giác BKIF nội tiếp, suy ra
Mà
Suy ra điểu cần chứng minh.
5. Bài 8: Gọi K là giao điểm của DE và SO. Chứng minh K, M, A thẳng hàng.
Chứng minh IKEQ nội tiếp. (giống bài 2)
Chứng minh IPOQ nội tiếp.

Chứng minh KM// PI và MA // PI
Suy ra điều cần chứng minh.
6. Bài 9 là bài khó nhất, khi chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng! Em đã tìm được
PP chứng minh, nhưng nó q dài dịng, mong Thầy post lên pp ngắn gọn nhất em
cảm ơn Thầy!
7. Chứng minh được là hay rồi, đơi khi cách dài dịng nhưng mình tốn thời gian ít, cịn
cách ngắn gọn nhưng tốn thời gian nhiều và đơi khi khơng có lợi trong khi thi.
Bài 9: d) Chứng minh
Suy ra
Page 2


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Từ đó ta có
thẳng hàng$
PS: Ý tưởng này thì thầy cũng nói ở đầu rồi, rất hay sử dụng.
8. Bài 7: Gọi O là giao điềm của CF và AB và I là trung điểm của CH. Chứng minh
( chứng minh I là trực tâm tam giác OCP)
Chứng minh
Suy ra P thuộc DE.
CHUYÊN ĐỀ 2 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SGK ĐẾN CÁC BÀI TOÁN
THI HSG
Trong SGK hình học lớp 9 có bài tốn sau đây:
Bài tốn 1:
Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cố định khơng nằm trên đường trịn. Qua M kẻ
hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt
(O) tại C và D. Chứng minh MA.MB = MC.MD
Gợi ý: Chứng minh bài toán này khơng khó bằng cách xét hai trường hợp M nằm
ngồi và nằm trong đường trịn (O). Trong mỗi trường hợp chứng minh tam giác MAC

và tamg giác MCD đồng dạng, từ đó ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Qua bài tốn này ta có thể chứng minh bài tốn sau:
Bài tốn 2:
Nếu M khơng nằm trên đường trịn (O; R), một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O)
tại A và B. Khi đó tích MA. MB khơng đổi và bằng
Gợi ý: Chứng minh bài tốn 2 chỉ cần vẽ đường thẳng qua M và O cắt (O) tại C, D.
Sau đó chứng minh tương tự bài toán 1 ta được kết quả.
Bài toán 2 cho ta một ý tưởng để giải các bài toán về họ đường tròn đi qua một điểm
cố định. Ta cùng xét các bài toán sau:
Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 - 2005 Chun tốn) Cho đường trịn (O) và một điểm
A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua
O cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi
qua một điểm cố định khác O.
Gợi ý:

Gọi P là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN và tia đối của tia AO. Ta
có
khơng đổi vì A và (O) cố định. Hơn nữa P
thuộc tia đối của tia AO cố định nên P là điểm cố định.
Bài toán 4: (NK 2006 - 2007 Chun tốn) Cho đường trịn (O), AB là một dây cung
cố định và E là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn
tâm O bán kính OE tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP. AQ khơng đổi và đường
trịn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định.
Gợi ý:
Page 3


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Vì E là trung điểm của AB nên OE vng góc với AB, suy ra AB là tiếp tuyến của (O;

OE). Ta chứng minh được
không đổi.
Gọi I là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ và AB. Khi đó ta có:
khơng đổi. Suy ra I là điểm cố định.
Bài tốn 5: (HSG Q. Tân Bình 2005 - 2006) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ
các tuyến ABC (B, C thuộc (O)). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm
đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Gợi ý:

Gọi E là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC và AO. Tương tự như hai
bài trên ta chứng minh được E là điểm cố định. Từ đó suy ra tâm đường trịn ngoại
tiếp tam giác OBC luôn thuộc đường trung trực của OE.
Bài tập
Bài 1: Cho đường trịn (O) và đường thẳng d khơng cắt (O). M là một điểm thay đổi
trên d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O) (A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh
AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm S cố định nằm ngồi đường trịn. AB là
đường kính thay đổi. SA, SB cắt (O) tại C và D.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3: Cho 3 điểm C, A, B thẳng hàng và được xếp theo thứ tự đó. Một đường trịn
(O) thay đổi ln đi qua A và B. CP, CQ là các tiếp tuyến của (O) (P, Q là tiếp điểm).
Chứng minh rằng:
a) P, Q ln thuộc một đường trịn cố định.
b) Trung điểm M của PQ ln thuộc một đường trịn cố định.
CHUN ĐỀ 3 : BÀI TỐN TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc đường thẳng BC.
a) Chứng minh:

.

b) Gọi I và K là hình chiếu của B và C trên AM. Chứng minh:
Page 4

.


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Giải:

a) Vẽ

. Khi đó ta có:

b) Ta có
Hệ quả 1: Cho tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC thì
là
trung điểm BC.
Hệ quả 2: Cho tam giác ABC, và một điểm M bất kì. Khi đó nếu
thì
hoặc AM đi qua trung điểm của BC.
Hệ quả 3: Cho tam giác ABC, G là một điểm bất kì. Khi đó G là trọng tâm của tam
giác ABC khi và chỉ khi
.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC. D và E là hai điểm thuộc cạnh AB và AC. Khi đó
Giải:

Theo bài tốn 1 ta có:

và

Suy ra:
.
Chú ý: Kết quả của bài tốn vẫn cịn đúng nếu D, E thuộc đường thẳng AB và AC.
Hệ quả 1: Nếu hai tam giác ABC và MNP có
hoặc
thì
Hệ quả 2: Tỉ số hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nghĩa là:
nếu tam giác ABC và tam giác MNP đồng dạng thì:
Trên đây là một vài kết quả về diện tích mà cách chứng minh đơn giản nhưng lại
có nhiều ứng dụng khá hay. Sau đây là một vài ví dụ.
Bài 1: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho
AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM.
Hướng dẫn giải:

Page 5


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Ta có

và

Suy ra
, suy ra
Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt
BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh:
Hướng dẫn giải:

Ta có:
Chứng minh tương tự ta có:
Từ đó suy ra:

và

Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngồi tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và
ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác
ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF.
Hướng dẫn giải:

Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần
lượt vng góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được
. Từ đó suy ra:
và
Mà
nên ta có:
. Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF
Bài 4: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy
các điểm M, N, P sao cho:
a) Tính
theo
và
Page 6


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

b) Tính k sao cho

Hướng dẫn giải

đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có:
Vì
Do đó:
Chứng minh tương tự ta cũng có:
Từ đó ta có:
b) Vì diện tích tam giác ABC khơng đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất thì
đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có
Dấu bằng xảy ra khi k = 1.

.

Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng diện tích tam giác ABC khi k = 1.
Bài tập làm thêm
Bài 1: Chứng minh lại các hệ quả đã nêu ở phần 1. Tìm các cách chứng minh khác.
Bài 2: Cho tam giác ABC có
. Đường cao BH và CK. Chứng minh rằng
.
Bài 3: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: AB =
3AM, AC = 3CN. BN và CM cắt nhau tại O, AO cắt BC tại P.Tính
Bài 4: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt
cắt BC, AC, AB tại M, N, P. Chứng minh rằng:
(Định lí Ceva).
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và BC = a. AD, BE và CF là các đường
phân giác trong.
a) Tính BD, CD theo a, b, c.

b) Tính diện tích tam giác DEF theo a, b, c và diện tích tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC lớn hơn 4 lần diện tích tam giác DEF.
d) Phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát.
Bài 6: Cho tam giác ABC, G là một điểm nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là
hình chiếu của G trên BC, AC và AB. Trên các tia GD, GE, GF lấy các điểm M, N, P
sao cho
. Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác MNP.
Bài 7: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. M là một điểm nằm trong tam giác. GM
cắt các đường thẳng AB, AC và BC tại D, E, F. Chứng minh rằng:

Page 7


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Bài 8: Cho hình vng ABCD có AB = 6cm. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM =
2CM. Đường thẳng qua B vng góc với DM tại H cắt CD tại K. Tính diện tích tam
giác CKH.
CHUYÊN ĐỀ 4 : BÀI TOÁN CỰC TRỊ CƠ BẢN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là điểm di chuyển trên cung
lớn AB, H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí của M để MH đạt giá trị lớn nhất.
Giải bài toán trong trường hợp M thuộc cung nhỏ AB.
Hướng dẫn giải:

Vẽ OI vng góc với AB (I thuộc AB). Ta có
. Dấu ” =” xảy ra
khi và chỉ khi M, O, I thẳng hàng hay M là trung điểm cung AB.
Vậy MA + MB đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.
Tương tự đối với trường hợp M là trung điểm cung nhỏ AB.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định. M là một điểm thay đổi trên cung

nhỏ AB. Tìm vị trí của M để tổng MA + MB đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MB = MC. Khi đó ta có MA + MB = AC.
Ta có
Suy ra C thuộc cung chứa góc
dựng trên đoạn AB. Từ đó AC lớn nhất khi AC
là đường kính. Khi đó M là trung điểm cung AB.
Vậy MA + MB lớn nhất khi M là trung điểm cung AB.
Trên đây là hai bài toán cực trị cơ bản của lớp 9, từ hai bài tốn trên ta có thể
giải các bài tốn sau:
Bài 1: Cho đường trịn (O) và dây cung AB cố định. C là điểm thay đổi trên cung lớn
AB. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm vị trí của C để chu vi, diện tích tam
giác HAB có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho đường trịn (O) và AB là dây cố định. Tìm điểm C thuộc cung lớn AB sao
cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Chứng minh rằng trong các tứ giác nội tiếp đường trịn (O) thì hình vng có
chu vi lớn nhất.
Page 8


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Bài 4: ( CT NK 2007 - 200
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C). P là một điểm trên cung BC không chứa
điểm A. Hạ AM, AN lần lượt vng góc với PB, PC.
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi.
b) Xác định vị trí của P sao cho biểu thức AM.PB + AN.PC đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm

M.Đường tròn tâm D qua M và tiếp xúc với AB tại B và đường tròn tâm E qua M tiếp
xúc AC tại C cắt nhau tại I.
a) Tìm vị trí của M để DE có giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IBC có giá trị lớn nhất.
CHUYÊN ĐỀ 5 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có các cách sau:
Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối bằng
.
Cách 2: Chứng minh góc ngồi bằng góc trong đỉnh đối.
Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể cùng nhìn một cạnh hai góc bằng nhau.
Cách 4: Chứng minh 4 đỉnh cách đều một điểm.
Các cách trên chủ yếu là các cách chứng minh dựa vào các chứng minh về góc. Ngồi
các cách trên chúng ta có một vài điều kiện đủ khác để một tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Chúng ta xét bài toán sau:
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo và I là giao điểm hai
cạnh bên AD và BC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
b) Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi IA. ID = IB. IC
Gợi ý: Việc chứng minh bài tốn này khơng có gì khó khăn, chúng ta chỉ việc chứng
minh các tam đồng dạng và suy ra kết quả. Nhưng qua bài toán trên cho ta một ý
tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp : đó là chứng minh một đẳng thức về cạnh.
Hãy dùng ý tưởng đó để giải các bài tốn sau:
Bài 2: Cho đườn trịn (O), A là một điểm nằm ngồi đường trịn. Một cát tuyến qua A
cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu của P
trên OA. Chứng minh 4 điểm O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn giải:

Chúng ta thấy BC và OH cắt nhau tại A, do đó để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp
ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC.
Thật vậy ta có:

(hệ thức lượng trong tam giác vng APO)
(tam giác APB và ACP đồng dạng).
Page 9


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Từ đó ta có
, theo bài 1 ta có điều cần chứng minh.
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB tại B và
tiếp xúc với AC tại C. Gọi H là giao điểm của OA và BC. Vẽ dây cung DE của (O) đi
qua H. Chứng minh rằng tứ giác ADOE nội tiếp.
Hướng dẫn giải

Tam giác OCA vuông tại C, CH là đường cao nên ta có:
Dây cung BC và DE của (O) cắt nhau tại H nên ta có
Từ đó ta có
, chứng minh tương tự bài 1 ta có tứ giác ADOE nội
tiếp.
Bài tập
Bài 1: Cho đườn tròn (O; R) và một điểm I nằm trong đường tròn. Hai dây cung AB
và CD cùng đi qua I. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt
nhau tại Q. Gọi M là giao điểm của OQ và CD, N là giao điểm của OQ và AB. Chứng
minh:
a) Tứ giác MNPQ nội tiếp.
b) OI vng góc với PQ.
Bài 2: Cho hình thang vng ABCD ( AB//CD). Gọi O là trung điểm của AD. Đường
thẳng qua A vng góc với OB cắt đường thẳng qua D vng góc với OC tại K.
Chứng minh OK vng góc với BC.
CHUN ĐỀ 6 : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn
ta dùng các
cách sau đây:
Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ
, chứng minh
.
Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh
.
Trên đây là hai cách chủ yếu, ngồi ra cịn có các cách sau.
Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau:
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia Ax thỏa
(Ax cùng
phía với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của (O).
Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác.
Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít - một phương pháp
rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Và phương pháp này cũng được dùng
nhiều trong các bài tốn chứng minh tiếp tuyến.
Ví dụ 1:
Cho đường trịn (O) đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) .
Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác
Page 10


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song
với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi.
Giải:

Ta thấy rằng đường thẳng d và (O) chưa có giao điểm nào, do đó ta dùng cách 1 để
giải bài tốn này.
Vẽ
. Ta cần chứng minh OH = OC.
Ta có tam giác DMO cân tại D, suy ra
. Mà
(So le trong).
Nên ta có
.
Từ đó ta có
, suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của (O).
Ví dụ 2 :
Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt
tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp
tuyến của (O).
Giải: Ta thấy F là giao điểm của MF và (O). Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh.
Tức là ta cần chứng minh
.

Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC.
Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác
MFA cân tại M, suy ra
.
Ta cũng có:
(Tam giác OCF cân tại O).
Từ đó:
nên MF là tiếp tuyến của (O).

. Suy ra

. Vậy

CHUYÊN ĐỀ 7 : CÁC BÀI TỐN HÌNH ƠN THI 10 CHUN TỐN
Bài 1:
a) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường
thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng đường
trịn ngoại tiếp tam giác OMN ln đi qua một điểm cố định.
b) Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d khơng cắt đường trịn. I là điểm di động
trên d. Đường trịn đường kính OI cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN luôn đi qua
một điểm cố định.
Page 11


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng chứng
minh được AO. AP = AM. AN.
Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường trịn tại D và E. Ta chứng minh
được
.
Khi đó
AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định.
Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định.
b) Đường trịn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có
. Suy ra H cố định.
Ta có (O) và đường trịn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung
trực của MN và
.

Gọi K là giao điểm của MN và OI. Khi đó tam giác IOM vng tại M có MK là đường
cao nên:
MN cắt OH tại Q. Ta có
khơng đổi.
Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định. Vậy MN luôn qua điểm Q cố
định.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ BD, PE, PF lần
lượt vng góc với AB, BC và AC. Tìm tập hợp các điểm P sao cho DEF là tam giác
cân.
Hướng dẫn giải

Page 12


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Ta có tứ giác PEBD nội tiếp đường trịn đường kính BP. Vẽ đường kính EI của
(PEBD). Suy ra
.
Tam giác EDI vng tại D nên ta có

Chứng minh tương tự ta có
Tam giác DEF cân khi và chỉ khi DE = DF, ED = EF hoặc FD = FE PA = PB, PB =
PC hoặc PC = PA P thuộc các đường trung trực của AB, BC hoặc AC.
Vậy tam giác DEF cân khi và chỉ khi P nằm trên các đường trung trực của AB, BC và
AC của tam giác ABC (Phần nằm trong tam giác ABC)
Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O( AB < BC).
Vẽ đường tròn tâm I qua 2 điểm A và C cắt các đoạn AB, BC lần lượt tại M, N. Vẽ
đường tròn tâm J đi qua 3 điểm B, N, M cắt đường tròn (O) tại điểm H. Chứng minh
rằng

a) OB vng góc với MN
b) IOBJ là hình bình hành
c) BH vng góc với IH
Hướng dẫn giải

a) Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Chứng minh Bx // MN.
b) Vẽ tiếp tuyến By của (J), chứng minh By // AC. Suy ra
Ta có OI là đường trung trực của AC, suy ra
Và IJ là đường trung trực của MN, suy
Tứ đó ta có: BJ// IO (cùng vng góc AC) và OB // IJ (cùng vng góc MN)
Suy ra tứ giác BJIO là hình bình hành.
c) Gọi G là giao điểm của BI và OJ, suy ra G là trung điểm của BI.
Page 13


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Ta có OJ là đường trung trực của BH (B, H là giao điểm của (O) và (I)), mà G thuộc
OJ nên GB = GH.
Trong tam giác BHI có HG là trung tuyến và
nên BHI vng tại H.
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và có R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp thoả mãn hệ thức
. Hãy định dạng tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Ta có
Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Mà ta ln có
Suy ra
. Khi đó ta có

.
Từ đó ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC vng tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến
AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D khác E và khác
điểm A).
a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
b) Chứng mình
và
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn
(O). Tứ giá AMOH là hình gì?
d) Cho
. Tính diện tích tam giác HEC theo a.
Hướng dẫn giài

a) Ta có
nên DE là đường kính của đường trịn (H; HA). Suy ra D, H, E
thẳng hàng.
b) Tam giác HAD cân tại H nên
Trong tam giác vng ABC có AM là đường trung tuyến nên
ra tam giác MAC cân tại M, từ đó
.
Hơn nữa
( cùng phụ với góc ABC)
Từ đó ta có:
Page 14

, suy


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Suy ra
.
c) Theo câu b thì ta có
Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc vng)
Gọi O là tâm đường trịn đi qua 4 điểm B, E, C, D.
Vì M, H là lần lượt là trung điểm của DE và BC nên
.
Mà
Suy ra AM // OH và OM // AH, suy ra tứ giác OMAH là hình bình hành.
d) Trong tam giác vng AHC có:

Tam giác AHE cân tại H có
AH = a, suy ra EC = AC - AE = a.

nên là tam giác đều, suy ra AE =

Vậy
Bài 6: Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng đáy lớn AB. M
là trung điểm của CD. Cho biết
. Tính các góc của hình thang.
Hướng dẫn giải

Ta có AC = BD nên ABCD là hình thang cân, suy ra $latex \widehat{DAB} =\
widehat{ABC}.
Mà
Nên ta có:
Gọi N là trung điểm của AD, ta có MN là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra
Từ đó ta có
Page 15

tứ giác NABM là tứ giác nội tiếp, suy ra


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Mặt khác tam giác ADB cân tại B có BN là đường trung tuyến nên cũng là đường cao,
do đó:
Suy ra
Tam giác AMN vng tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là
tam giác vuông cân, suy ra
Tam giác ABC cân tại A, suy ra
$latex =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$
Suy ra
Từ đó ta có
Và
Bài 7: Cho đường trịn (O), bán kính bằng 1. Tam giác ABC thay đổi ln ngoại tiếp
(O). Một đường thẳng qua O cắt các cạnh AB, AC tại M và N. Xác định giá trị nhỏ
nhất của diện tích tam giác AMN.
Hướng dẫn giải

Đặt

.

Khi đó ta có
Và
Ta có
Suy ra
Dấu ” =” xảy ra ra tam giác ABC vng tại A và MN vng góc với AO.

Vậy giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN bằng hai.
Bài 8: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường trịn (O) và có AB <
AC. Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa A. Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của
A trên BC, AB, AC.
a) Chứng minh rằng
b) Tìm vị trí của M để
Hướng dẫn giải

Page 16

đạt giá trị nhỏ nhất.


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

a) Chứng minh
Chứng minh
Chứng minh
Từ đó suy ra
b) Ta có
Suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất khi MH đạt giá trị lớn nhất, khi đó M là điểm chính giữa
cung BC.
Bài 9: Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Hai điểm M, N lưu động trên hai đoạn AB
và AC sao cho
. Đặt
.
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh
c) Chứng tỏ rằng MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải

Page 17


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

a) Trong hai góc
có ít nhất một góc nhọn, do đó ta có thể giả sử
nhọn. Vẽ
, khi đó O nằm giữa AN.
Ta có
và
và
suy ra
(1)
Trong tam giác vng AMO ta có:
(2)
Từ (1) và (2) ta có

hay

b) Ta có

Hơn nữa ta có
suy ra
Suy ra
c) Vì
M nằm giữa A và F.
Vẽ
cắt (O) tại I. Qua I vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC tại M’ và N’. Khi đó

ta chứng minh được
Mà
M trùng M’ và N trùng N’. Vậy MN là tiếp tuyến của
(O).
Bài 10: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao
cho
. Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
cắt đường thẳng BC tại E. Tính AE theo a, b.
Hướng dẫn giải

Ta có
Đặt
Ta có
Và
Page 18

suy ra C nằm giữa B và E.
(Góc ngồi bằng tồng hai góc trong khơng kề)


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Mà +
+
cung đó)
Nên ta có:
Mặt khác ta có

(AD là phân giác của góc A)
(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn

(1)
(2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình :
Vậy
Bài 11: Cho đường trịn (O; R) và đường thẳng (d) khơng qua O cắt đường tròn tại A
và B. Từ một điểm M di động trên đường thằng (d) và nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến MN, MP với (O) (N, P là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố định khi M
lưu động trên đường thẳng (d).
c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình
vng.
d) Chứng minh rằng tâm I của đường trịn nội tiếp tam giác MNP ln di động trên
một đường cố định khi M lưu động trên (d).
Hướng dẫn giài

a) Ta có
(MN là tiếp tuyến của (O))
Và
(MP là tiếp tuyến của (O))
Suy ra
tứ giác ONMP nội tiếp, khi đó ta có
b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Vậy
khi M thay đổi thì đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua O cố định.
c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) và ON = OP (1) suy ra OM là đường trung trực của
NP, do đó
. Tứ giác ONMP có hai đường chéo vng góc nhau nên để là
hình vng khi và chỉ khi nó là hình thơi, do (1) nên điều này tương đương với MN =
OM tam giác MON vuông cân tại N

d) Gọi I là giao điểm của OM và (O). Ta có MI là phân giác của
(t/c hai tiếp
tuyến cắt nhau).
Vì I thuộc OM đường trung trực của NP nên ta có IN = IP, suy ra tam giác INP cân tại
I
Mặt khác
(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng
chắn cung đó)
Do đó
NI là phân giác góc MNP.
Page 19


CÁC CHUN ĐỀ VÀ BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN THI VÀO LỚP 10

Vậy I là giao điểm hai đường phân giác của tam giác NMP nên là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác và I thuộc (O) cố định.
Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường trịn tâm O. Trên cung AC
khơng chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C. Các đoạn thẳng AM và
BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song
song với AC.
Hướng dẫn giải

Ta có
(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
và
(góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà
(tam giác ABC cân tại B).
Do đó

suy ra tứ giác DEMK nội tiếp
Mặt khác
(góc nội tiếp cùng chắn cung AK)
Nên ta có
mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường trịn (O; R). Về phía ngồi tam
giác dựng tam giác đều ACD. BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam
giác ABC tại M.
a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp.
b) Tính DE theo R.
Hướng dẫn giải

Page 20