TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

CHƯƠNG I : TÍCH PHÂN BỘI
I. TÍCH PHÂN BỘI HAI

∫∫ f ( x; y ) dxdy
D

1. Đổi biến trong tích phân bội hai
 x = x ( u; v )
Xét phép đổi biến : 
. Khi đó miền D trong mặt phẳng Oxy được biến thành D'
y
=
y
u
;
v
(
)

trong mặt phẳng O'uv.
D ( x; y )

xu/
= /
Ta dùng định thức Jacobi : J =
yu
D ( u; v )

Ta có công thức đổi biến :

xv/
≠ 0, ∀ ( u; v ) ∈ D /
/
yv

∫∫ f ( x; y ) dxdy = ∫∫ f  x ( u; v) , y ( u; v) . J
D

D

(1.1)
dudv

(1.2)

/

2. Đổi biến trong hệ toạ độ cực
Công thức liên hệ giữa toạ độ Descartes ( x; y ) và toạ độ cực ( r ; ϕ ) của cùng một điểm M là :
 x = r cos ϕ

 y = r si n ϕ

Ta dùng định thức Jacobi : J =

D ( x; y )
D (r;ϕ )

=

xr/

xϕ/

yr/

yϕ/

=

cos ϕ
si n ϕ

− r si n ϕ
=r
r cos ϕ

(1.3)

Công thức tích phân bội hai trong hệ toạ độ cực :

∫∫ f ( x; y ) dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ; r si n ϕ ) .r .dr dϕ
D

D

(1.4)

/

Các phép đổi biến mở rộng của tích phân bội hai trong toạ độ cực :
a) Kết hợp với phép tịnh tiến và phép đổi biến sang toạ độ cực :
2

2

Biên D là đường tròn ( x − a ) + ( y − b) = R 2 .
 x = a + r cos ϕ
Đặt 
. Khi đó : J = r . Suy ra: Miền D / =
 y = b + r si n ϕ

{( r ; ϕ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; 0 ≤ r ≤ R} .

b) Kết hợp với phép co giãn và phép đổi biến sang toạ độ cực :
Biên D là ellip

x2
a2

+

y2
b2

= 1.

 x = ar cos ϕ
Đặt 
. Khi đó : J = abr . Suy ra: Miền D / =
 y = br si n ϕ

{( r ; ϕ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; 0 ≤ r ≤ 1} .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 1


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

3. Một số ứng dụng của tích phân bội hai
a) Tính diện tích hình phẳng : S =

∫∫ dxdy

(1.5)

D

b) Tính thể tích vật thể : V =

∫∫ f ( x; y ) dxdy hoặc V = ∫∫ f ( x; y ) − f ( x; y ) dxdy
2

D

1

(1.6)

D

c) Tính diện tích mặt cong :
* Nếu mặt cong có phương trình z = f ( x; y ) : S =

∫∫

2

2

( ) + ( z ) dxdy

1 + zx/

/
y

(1.7)

D xy

* Nếu mặt cong có phương trình x = f ( y; z) : S =

∫∫

2

2

( ) + ( x ) dydz

1 + x y/

/
z

(1.8)

D yz

* Nếu mặt cong có phương trình y = f ( x; z) : S =

∫∫

2

( ) ( )

1 + yz/

2

+ yz/ dxdz

(1.9)

D xz

d) Khối lượng của bảng phẳng : m =

∫∫ f ( x; y ) dxdy

(1.10)

D

Nếu f ( x; y ) = ρ0 ( ρ 0 > 0, ρ 0 = const ) thì ta nói bảng phẳng D đồng chất. Khi đó khối
(1.11)

lượng của D là : m = S ρ 0 (S là diện tích của bảng phẳng).
e) Momen quán tính của bảng phẳng :
- Momen quán tính đối với trục Ox : I x =

2
∫∫ y f ( x; y) dxdy

(1.12)

D

- Momen quán tính đối với trục Oy : I y =

2

∫∫ x f ( x; y) dxdy

(1.13)

D

- Momen quán tính đối với gốc O : I O = I x + I y =

∫∫ ( y

)

(1.14)

∫∫ yf ( x; y) dxdy

(1.15)

2

+ x2 f ( x; y ) dxdy

D

f) Momen tĩnh và toạ độ trọng tâm của bảng phẳng :
- Momen tĩnh của bảng phẳng D đối với trục Ox : M x =

D

- Momen tĩnh của bảng phẳng D đối với trục Oy : M y =

∫∫ xf ( x; y ) dxdy

(1.16)

D


My 1
=
 xG =
m
m

- Toạ độ trong tâm G ( xG ; yG ) của bảng phẳng D là: 
y = M x = 1
 G
(m là khối lượng của bảng phẳng)
m
m


TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

∫∫ xf ( x; y) dxdy
D

(1.17)

∫∫ yf ( x; y) dxdy

D

Trang 2


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

II. TÍCH PHÂN BỘI BA

∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz
V

1. Đổi biến tổng quát trong tích phân bội ba
 x = x ( u; v; w )

Xét phép đổi biến  y = y ( u; v; w ) . Khi đó miền V trong mặt phẳng Oxyz được biến thành V'

 z = z ( u; v; w )
trong mặt phẳng O'uvw.

Ta dùng định thức Jacobi : J =

V ( x; y; z)
V ( u; v; w )

xu/
= yu/

xv/
yv/

xw/
yw/ ≠ 0, ∀ ( u; v; w ) ∈ V /

zu/

zv/

zw/

(1.18)

Ta có công thức đổi biến :

∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz = ∫∫∫ f  x ( u; v; w ) , y ( u; v; w ) , z ( u; v; w ) . J
V

dudvdw (1.19)

V/

2. Đổi biến trong hệ toạ độ trụ
 x = r cos ϕ

Công thức liên hệ :  y = r si n ϕ . Điều kiện : 0 ≤ r ≤ +∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; − ∞ < z < +∞ .
z = z

cos ϕ

Định thức Jacobi : J = si n ϕ
0

− r si n ϕ
r cos ϕ
0

0
0 =r

(1.20)

1

Công thức tích phân bội ba trong hệ toạ độ trụ :

∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz = ∫∫∫ f ( r cos ϕ; r si n ϕ; z) .r .dr dϕ dz
V

(1.21)

V/

3. Đổi biến trong hệ toạ độ cầu
 x = r si n θ cos ϕ

Công thức liên hệ :  y = r si n θ si n ϕ . Điều kiện : 0 ≤ r ≤ +∞; 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; 0 < θ < π .
 z = r cos θ

si n θ cos ϕ

Định thức Jacobi : J = r cos θ cos ϕ
− r si n θ si n ϕ

si n θ si n ϕ

r cos θ sin ϕ
r sin θ si n ϕ

cos θ

− r si n θ = − r 2 si n θ

(1.22)

0

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 3


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Công thức tích phân bội ba trong hệ toạ độ cầu :

∫∫∫ f ( x; y; z) dxdydz = ∫∫∫ f ( r si n θ cos ϕ; r si n θ si n ϕ; r cos θ ) .r

2

si n θ .dr dϕ dz (1.23)

V/

V

4. Phép đổi biến mở rộng
x2 y2 z2


Xét miền V là miền Ellipsoid (hoặc một phần) : V = ( x; y; z) : 2 + 2 + 2 ≤ 1 .
a
b
c


Xét hai phép đổi biến sau :

x
X = a
 x = aX

y
x2 y2 z2


a) Phép co giãn : Y = ⇔  y = bY . Suy ra :
+ 2 + 2 ≤ 1 ⇔ X 2 + Y2 + Z2 ≤ 1.

2
b
a
b
c

 z = cZ

z

Z = c

 x = r si n θ cos ϕ

b) Phép đổi biến sang hệ toạ độ cầu :  y = r si n θ si n ϕ .
 z = r cos θ

X2 + Y2 + Z2 ≤ 1 ⇔ r2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1
 x = ar si n θ cos ϕ

Kết hợp hai phép đổi biến trên, ta có phép đổi biến mở rộng :  y = br si n θ si n ϕ
 z = cr cos θ


Khi đó : J = − abcr 2 si n θ . Suy ra : V / =

{( r ; ϕ; θ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 1} .

5. Một số ứng dụng của tích phân bội ba
a) Tính thể tích vật thể : T =

∫∫∫ dxdydz

(1.24)

V

b) Khối lượng, toạ độ trọng tâm :
Cho vật thể V có khối lượng riêng tại M ( x; y; z) ∈ V là ρ ( x; y; z) .
- Khối lượng của V : m =

∫∫∫ ρ ( x; y; z) dxdydz

(1.25)

V

- Toạ độ trọng tâm G ( xG ; yG ; zG )


1
 xG =
m


1

của V :  yG =
m



z = 1
 G m


∫∫∫ x ρ ( x; y; z) dxdydz
V

∫∫∫ yρ ( x; y; z) dxdydz

(1.26)

V

∫∫∫ zρ ( x; y; z) dxdydz
V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 4


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
I. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

∫ f ( x; y ) ds hoặc ∫ f ( x; y; z) ds

AB

AB

1. Cách tính tích phân đường loại 1
 x = x ( t )
a) Trường hợp 1 : Cung AB có phương trình tham số 
; t1 ≤ t ≤ t2 .
y
=
y
t
()


Khi đó :

∫

f ( x; y ) ds =

t2

∫

f  x ( t ) , y ( t )

2

2

( ) ( ) dt
x/

+ y/

(2.1)

t1

AB

b) Trường hợp 2 : Cung AB có phương trình trong hệ toạ độ cực r = r (ϕ ) , ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 .
Khi đó :

∫

f ( x; y ) ds =

ϕ2

∫

2

( ) dϕ

f  r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) si n ϕ  r 2 + r /

(2.2)

ϕ1

AB

c) Trường hợp 3 : Cung AB có phương trình y = y ( x ) , a ≤ x ≤ b .
Khi đó :

∫

b

f ( x; y ) ds =

∫

2

( ) dx

f  x, y ( x )  1 + y /

(2.3)

a

AB

x = x ( t )


d) Trường hợp 4 : Cung AB trong không gian ℝ 3 có phương trình dạng tham số  y = y ( t ) .

t1 ≤ t ≤ t2  z = z ( t )

Khi đó :

∫
AB

f ( x; y ) ds =

t1

∫

f  x ( t ) , y ( t ) , z ( t )

2

2

2

( x ) + ( y ) + ( z ) dt
/

/

/

(2.4)

t2

e) Phương trình tham số của đường tròn, elip :
 x = R cos t
* x2 + y2 = R 2 có phương trình tham số 
.
 y = R si n t
 x = a + R cos t
2
2
* ( x − a ) + ( y − a ) = R 2 có phương trình tham số 
.
 y = b + R si n t

*

x2
a2

+

 x = aR cos t
2
=
R
có
phương
trình

tham
số
.

y
=
bR
si
n
t
b2

y2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 5


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

2. Ứng dụng của tích phân đường loại 1
a) Cho dây phẳng L đi từ A đến B, có khối lượng riêng tại M ( x; y ) ∈ L là ρ ( x; y ) . Khi
đó :

∫ ρ ( x; y) ds

* Khối lượng của dây L là : m =

(2.5)

AB

* Toạ độ trọng tâm G ( xG ; yG )


1
 xG = m

của dây L : 
y = 1
 G m


∫

x ρ ( x; y ) ds

AB

∫

(2.6)
y ρ ( x; y ) ds

AB

b) Đối với dây L trong không gian đi từ A đến B, có khối lượng riêng tại M ( x; y; z) ∈ L là

ρ ( x; y; z) ta cũng có các công thức tương ứng :
* Khối lượng : m =

∫ ρ ( x; y; z) ds

(2.7)

AB


x = 1
x ρ ( x; y; z) ds
 G m
AB


1
y ρ ( x; y; z) ds
:  yG =
m

AB

z = 1
zρ ( x; y; z) ds
 G m

AB

∫

* Toạ độ trọng tâm G ( xG ; yG )

∫

(2.8)

∫

II. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy hoặc ∫ P ( x; y; z) dx + Q ( x; y; z) dy + R ( x; y; z) dz
AB

AB

1. Một số lưu ý về tích phân đường loại 2
* Kí hiệu

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy là tích phân đường loại 2 trên đường cong kín L lấy
L+

theo chiều dương.
* Công sinh ra do lực F = P ( x; y ) i + Q ( x; y ) j tác động lên một chất điểm làm dịch
chuyển chất điểm từ A đến B dọc theo cung AB sẽ là :
W=

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy
AB

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 6


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

2. Cách tính tích phân đường loại 2
a) Trường hợp 1 :
 x = x ( t )
. Viết ngắn
* Cung L đi từ A ( x A ; y A ) đến B ( xB ; yB ) có phương trình tham số 
y
=
y
t
(
)

 x = x ( t )
 x ( t A ) = x A
 x ( t B ) = xB
gọn là L : 
và 
. Công thức tích
; t : t A → t B , trong đó 
 y = y ( t )

 y ( t A ) = y A
 y ( t B ) = yB
phân :
tB

/
/
∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy = ∫  P ( x ( t ) , y ( t )) x ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) ) y ( t ) dt

L

(2.9)

tA

x = x (t )

* Trường hợp cung L trong không gian ℝ 3 có phương trình tham số  y = y ( t ) ; t : t A → t B

 z = z ( t )

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y) dy + R ( x; y) dz
L

(2.10)

tB

=

∫ P ( x ( t ) , y ( t ) , z( t )) x ( t ) + Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) y ( t ) + R ( x ( t ) , y ( t ) , z( t )) z ( t ) dt
/

/

/

tA

b) Trường hợp 2 :
* Cung L đi từ A ( x A ; y A ) đến B ( xB ; yB ) có phương trình y = y ( x ) . Viết ngắn gọn là
L : y = y ( x ) ; x : x A → xB . Khi đó :
xB

/
∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy = ∫  P ( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x ) ) y ( x ) dx
L

(2.11)

xA

* Nếu L : x = x ( y ) ; y : y A → yB , thì công thức tích phân :
yB

∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy = ∫
L

 P x ( y ) , y x / ( y ) + Q x ( y ) , y  dx




(

)

(

)

(2.12)

yA

3. Công thức Green

∫
L+

P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy =

∫∫
D

 ∂Q ∂P 
−

 dxdy
 ∂x ∂y 

(2.13)

* Chú ý :
a) Khi áp dụng công thức Green, cần lưu ý rằng đường cong L phải là đường cong kín và lấy
theo chiều dương.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 7


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

b) Từ công thức Green, cho P ( x; y ) = − y và Q = ( x; y ) = x . Khi đó ta có công thức tính
diện tích S của miền D là : S =

1

∫∫ dxdy = 2 ∫ xdy − ydx

(2.14)

L+

D

4. Định lý bốn mệnh đề tương đương
a) Bốn mệnh đề tương đương :
Giả sử hai hàm số P ( x; y ) và Q ( x; y ) cùng các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục

trong miền mở và đơn liên D. Khi đó 4 mệnh đề sau đây là tương đương với nhau.
i/

∂P ∂Q
=
, ∀ ( x; y ) ∈ D
∂y
∂x

ii/

(2.15)

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y) dy = 0 , với L là đường cong kín trơn từng khúc bất kì nằm trong D.
L

iii/

∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy , trong đó cung

AB nằm trong D, chỉ phụ thuộc vào 2 điểm

AB

A, B mà không phụ thuộc vào dạng cung AB (tích phân không phụ thuộc đường đi), nghĩa
là:

∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy = ∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy
L1

(với L1, L2 có cùng điểm đầu

L2

A và cùng điểm cuối B).
iv/ P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy là vi phân toàn phần của hai hàm biến u ( x; y ) nào đó trong D,
nghĩa là : du =

∂u
∂u
dx +
dy = P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy .
∂x
∂y

b) Chú ý :
i/ Ta dùng (2.15) để kết luận tích phân

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y) dy không phụ thuộc đường đi.
AB

B

ii/ Kí hiệu

∫ P ( x; y ) dx + Q ( x; y) dy để chỉ tích phân không phụ thuộc đường đi từ điểm A
A

đến điểm B.
c) Cách tính tích phân không phụ thuộc đường đi :

Xét tích phân I =

∫ P ( x; y) dx + Q ( x; y ) dy .
AB

* Cách 1 : Chọn 1 đường đi nào đó (nằm trong miền D và trơn từng khúc) nối A và B. Thông
thường người ta chọn đường gấp khúc.
* Cách 2 : Tìm hàm u ( x; y ) sao cho du = P ( x; y ) dx + Q ( x; y ) dy theo công thức sau :
x

u ( x; y ) =

∫ P ( x; y) dx + ∫ Q ( x ; y ) dy . Trong đó : ( x ; y ) tuỳ ý.
0

x0

Khi đó :

y
0

0

(2.16)

y0

I = u ( x; y )

B
A

= u (B) − u ( A)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

(2.17)
Trang 8


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

CHƯƠNG III : TÍCH PHÂN MẶT
I. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1

∫∫ f ( x; y; z) dS
S

1. Cách tính tích phân mặt loại 1
* Nếu mặt cong S có phương trình : z = z ( x; y ) , ( x; y ) ∈ D xy

∫∫

f ( x; y; z) dS =

S

∫∫

2

2

( ) + ( z ) dxdy

f  x; y; z ( x; y )  1 + zx/

/
y

(3.1)

D xy

* Nếu mặt cong S có phương trình : y = y ( x; z) , ( x; z) ∈ D xz

∫∫

f ( x; y; z) dS =

S

∫∫

2

( ) ( )

f  x; y ( x; z) ; z 1 + y x/

2

+ y z/ dxdz

(3.2)

D xz

* Nếu mặt cong S có phương trình : x = x ( y; z) , ( y; z) ∈ D yz

∫∫

f ( x; y; z) dS =

S

∫∫

2

2

( ) + ( x ) dydz

f  x ( x; z) ; y; z 1 + x y/

/

z

(3.3)

D yz

Chú ý : Nếu những đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt S tại quá một điểm, ta phải
chia mặt S thành những phần nhỏ sao cho những đường thẳng song song với trục Oz cắt mặt
S tại không quá một điểm. Khi đó tích phân bằng tổng các tích phân trên các mặt nhỏ.
2. Một số ứng dụng tích phân mặt loại 1
Trong không gian cho mảnh cong vật chất S. Giả sử ρ ( x; y; z) là khối lượng riêng của S tại
M ( x; y; z) ∈ S .

Diện tích mặt S là : T =

∫∫ dS

(3.4)

S

Khối lượng của mảnh S : m =

∫∫ ρ ( x; y; z) dS

(3.5)

S



1
x G =
m


1

Toạ độ trọng tâm G của mảnh S :  y G =
m


z = 1
 G m


∫∫ xρ ( x; y; z) dS
S

∫∫ yρ ( x; y; z) dS

(3.6)

S

∫∫ zρ ( x; y; z) dS
S

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 9

TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

II. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

∫∫ P ( x; y; z) cos α + Q ( x; y; z) cos β + R ( x; y; z) cos γ  dS
S

Hoặc

∫∫ P ( x; y; z) dydz + Q ( x; y; z) dzdx + R ( x; y; z) dxdy Hoặc ∫∫ F.n.dS
S

S

1. Cách tính tích phân mặt loại 2
a) Vector pháp tuyến của mặt cong :
Cho mặt cong định hướng S trơn, có phương trình F ( x; y; z) = 0 .
Vector pháp tuyến của S tại M ∈ S là : n ( M ) = Fx/ ( M ) ; Fy/ ( M ) ; Fz/ ( M ) 


Vector pháp tuyến đơn vị của S tại M ∈ S là : n dv ( M ) =

(3.7)

n (M )

(3.8)

n (M )

Đặc biệt :
• Nếu S : z = z ( x; y ) ⇒ F ( x; y; z) = z − z ( x; y ) = 0

(

)

n ( M ) = −zx/ ; −zy/ ;1 và n dv ( M ) =

n (M )
n (M )

n (M )

=

2

( ) + (z )

1 + zz/

/
y

(3.9)

2

• Nếu S : x = x ( y; z) ⇒ F ( x; y; z) = x − x ( y; z) = 0

(

)

n ( M ) = 1; − x y/ ; − x z/ và n dv ( M ) =

n (M )
n (M )

n (M )

=
1+

2

( ) +( )
x y/

x z/

(3.10)

2

• Nếu y = y ( x; z) ⇒ F ( x; y; z) = y − y ( x; z) = 0

(

)

n ( M ) = − y x/ ;1; − y z/ và n dv ( M ) =

n (M )
n (M )

=

n (M )
2

( ) + (y )

1 + y z/

/
z

(3.11)

2

b) Cách tính tích phân mặt loại 2 :
Xét tích phân mặt loại 2 :

∫∫ P ( x; y; z) dydz + Q ( x; y; z) dzdx + R ( x; y; z) dxdy .
S

* Trường hợp 1 : I =

∫∫ R ( x; y; z) dxdy . Với mặt cong S : z = z ( x; y ) , ( x; y ) ∈ D xy .
S

I =

∫∫ R ( x; y; z) dxdy = ± ∫∫ R  x; y; z ( x; y ) dxdy
S

(3.12)

D xy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 10


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN
+

+

(Dấu + nếu n dv , Oz < 90o , dấu – nếu n dv , Oz > 90o )

* Trường hợp 2 : I =

∫∫ P ( x; y; z) dydz . Với mặt cong S : x = x ( y; z) , ( y; z) ∈ D yz .
S

∫∫ P ( x; y; z) dydz = ± ∫∫ P  x ( y; z) ; y; z dydz

I =

S

(3.13)

D yz
+

+

(Dấu + nếu n dv , Ox < 90o , dấu – nếu n dv , Ox > 90o )
* Trường hợp 3 : I =

∫∫ Q ( x; y; z) dzdx . Với mặt cong S : y = y ( x; z) , ( x; z) ∈ D xz .
S

I =

∫∫ Q ( x; y; z) dzdx = ∫∫ Q x; y ( x; z) ; z dzdx
S

(3.14)

D xz
+

+

(Dấu + nếu n dv , Oy < 90o , dấu – nếu n dv , Oy > 90o )
2. Công thức Stokes (Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại 2 và tích phân đường loại 2)

∫ P ( x; y; z) dx + Q ( x; y; z) dy + R ( x; y; z) dz
L+

=

∫∫
S

=

 ∂R ∂Q 
 ∂P ∂R 
 ∂Q ∂P 
−
−
−

 dydz + 
 dzdx + 
 dxdy
∂

y
∂
z
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y







∫∫ ( R

/
y

)

(

)

(

(3.15)

)

− Q z/ dydz + Pz/ − R x/ dzdx + Q x/ − Py/ dxdy

S

* Chú ý : Chiều lấy tích phân trên L là chiều dương.
3. Công thức Gauss – Ostrogradsky (Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại 2 và tích
phân bội ba)

∫∫

P ( x; y; z) dx + Q ( x; y; z) dy + R ( x; y; z) dz

=

S

∫∫∫
V

=

 ∂P ∂Q ∂R 
+
+


 dxdydz
∂z 
 ∂x ∂y

∫∫∫ (

Px/

+

Q y/

+

R z/

) dxdydz

(3.16)

V

Trong đó tích phân lấy mặt loại 2 lấy theo mặt ngoài của S (hướng ra phía ngoài của miền V).
* Chú ý :
Nếu cho P = x ; Q = y ; R = z thì ta có công thức tính thể tích vật thể :
T=

1
3

∫∫ xdydz + ydxdz + zdxdy

(3.17)

S

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 11


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

III. LÝ THUYẾT TRƯỜNG
1. Trường vô hướng
a) Trường vô hướng : Nếu tại ∀M ( x; y; z) ∈ V ⊂ ℝ 3 xác định một đại lượng vô hướng
u ( x; y; z) thì ta nói có một trường vô hướng u ( x; y; z) trong miền V.

b) Mặt mức : Cho trường vô hướng : u ( x; y; z) , ( x; y; z) ∈ V ⊂ ℝ 3 .
- Tập S =

{( x; y; z) ∈ V : u ( x; y; z) = C} được gọi là mặt mức, với C cho trước.

- Nếu V ∈ ℝ 2 thì phương trình : u ( x; y ) = C được gọi là đường mức (đường đẳng trị).
2. Trường vector
a) Thông lượng của trường vector F ( x; y; z) = ( P; Q; R ) qua mặt cong định hướng S ⊂ V :
Φ=

∫∫ F.n.dS = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ F.dS
S

S

(3.18)

S

Trong đó : n = ( cos α; cos β; cos γ ) là vector đơn vị của vector pháp tuyến của mặt S định
hướng được.
F = P ( x; y; z) i + Q ( x; y; z) j + R ( x; y; z) k
dS = ( dydz; dzdx; dxdy )

b) Divergence (Độ phân kì hay phân tán)
Độ phân kì của trường vector F ( x; y; z) = ( P; Q; R ) tại M ( x; y; z) được xác định :
di vF ( x; y; z) =

∂P ∂Q ∂R
+
+
= Px/ + Q y/ + R z/
∂x ∂y
∂z

(3.19)

Công thức Gauss – Ostrogradsky được viết lại :
Φ=

∫∫ F.n.dS = ∫∫∫ di vF ( x; y; z) dxdydz
S

(3.20)

V

Trong đó S là mặt trơn từng mảnh, kính bao quanh miền V trong ℝ 3 .
c) Hoàn lưu
Hoàn lưu của trường vector F theo đường cong L được xác định :
C=

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ F.dr (dr = (dx, dy, dz))
L

(3.21)

L

d) Rotation (Rota hay vector xoáy) của trường vector F ( x; y; z) tại M ( x; y; z) :
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 12


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

 ∂R ∂Q 

 ∂P ∂R 
−
−
r ot F = 
i + 
j
∂z 
 ∂y
 ∂z ∂x 

Theo công thức Stokes :

i
 ∂Q ∂P 
∂
+
−
k =
∂x
 ∂x ∂y 
P

j
∂
∂y
Q

k
∂
∂z

R

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ F.dr = ∫∫ r ot F.n.dS
L

L

(3.22)

(3.23)

S

3. Trường thế
a) Trường thế : Trường vector F ( x; y; z) = ( P; Q; R ) , ( x; y; z) ∈ V ⊂ ℝ 3 được gọi là trường
thế nếu tồn tại một trường vô hướng u ( x; y; z) sao cho : F ( M ) = gradu ( M ) , ∀M ∈ V (3.24)
* Tìm hàm thế vị : u(M) = u(x; y; z)
P=

∂u
∂u
∂u
;Q =
;R =
nghĩa là du = Pdx + Qdy + Rdz .
∂x
∂y
∂z

Suy ra : u ( x; y; z) =

x

∫

y

P ( s; y o; zo ) ds +

xo

∫

Q ( x; t; zo ) dt +

yo

z

∫ R ( x; y; τ ) dτ + C

(3.25)

zo

Trong đó : (xo; yo; zo) ∈ V tuỳ ý.
Lưu ý : Trường vector F ( x; y; z) là trường thế ⇔ rotF ( x; y;z ) = 0, ∀ ( M ) ∈ V .
b) Tính chất : Hoàn lưu của trường F ( x; y; z) theo mọi chu tuyến L kín, trơn từng khúc
trong V đều bằng không, nghĩa là :

∫ F.dr

= 0.

L

4. Trường ống
Trường vector F ( x; y; z) = ( P; Q; R ) , ( x; y; z) ∈ V ⊂ ℝ 3 được gọi là trường ống nếu tồn tại
một trường vô hướng u(M) = u(x; y; z) sao cho :
∂P ∂Q ∂R
di vF ( x; y; z) =
+
+
= 0, ∀M ∈ V
∂x ∂y
∂z
5. Trường điều hoà

(3.26)

a) Trường điều hoà : Trường vector F ( M ) , M ∈ V là trường điều hoà khi nó vừa là trường
r ot F ( M ) = 0

, ∀M ∈ V
ống, vừa là trường thế, tức là : 
di vF ( M ) = 0

(3.27)

b) Tính chất : Hàm thế vị u ( M ) = u ( x; y; z) của trường điều hoà F ( M ) là hàm điều hoà,

nghĩa là hàm u(x; y; z) thoả phương trình Laplace :
∆u ( x; y; z) =

∂ 2u
∂x 2

+

∂ 2u
∂y 2

+

∂ 2u
∂z2

= 0, ∀M ∈ V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

(3.28)
Trang 13


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

CHƯƠNG IV : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
I. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

dy 
dx
dy

F x; y; y / = 0 Hoặc F  x; y;  = 0 Hoặc y / =
= f ( x; y )
= f ( x; y ) Hoặc x / =
dx 
dy
dx


(

)

1. Phương trình vi phân tách biến (biến số phân li)
a) Dạng : g ( x ) dx = h ( y ) dy (1)
g1 ( x ) h1 ( y ) dx = g 2 ( x ) h 2 ( y ) dy (2)

b) Phương pháp giải :
- Dạng (1) : Lấy tích phân 2 vế của (1), ta được :

∫ g ( x ) dx = ∫ h ( y ) dy ⇒ G ( x ) + C1 = H ( y ) + C2 ⇒ y = f ( x,C )
- Dạng (2) :
 h1 ( y ) = 0, Nếu coi x là hàm
+ Biện luận 
để tìm nghiệm riêng hay nghiệm kì dị.
N
ế

u
coi
y
là
hàm
g
x
=
0,
(
)
 2

+ Sau đó đưa về dạng

g1 ( x )
h ( y)
dx = 2
dy ⇒
g2 ( x )
h1 ( y )

∫

g1 ( x )
h ( y)
dx = 2
dy .
g2 ( x )
h1 ( y )

∫

2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1
a) Dạng :

 y  ax + by
y/ = ϕ   =
(1)
 x  cx + dy

 y  ax + by + c1
Hoặc y / = ϕ   =
(2)
 x  cx + dy + c 2

b) Phương pháp giải :
y
x . Đặt z = y ⇒ y = xz ⇒ y / = z + xz / . Sau đó thay vào (1)
- Dạng (1) : Biến đổi y / =
y
x
c+d
x
a+b

ta được phương trình tách biến : z + xz / =

a + bz
a + bz

dz a + bz
⇔ xz / =
−z⇔x
=
− z (3).
c + dz
c + dz
dx c + dz

- Dạng (2) :
ax + by + c1 = 0
+ Xét hệ phương trình : 
. Giả sử hệ phương trình có nghiệm (xo ; yo).
cx
+
dy
+
c
=
0

2
 x = X + x o dx = dX
aX + bY
+ Đặt 
⇒
. Lúc đó, (2) trở thành y / =
(4).
cX + dY
dy = dY

 y = Y + yo
+ Giải phương trình (4) tương tự như giải phương trình (1).

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 14


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
a) Dạng : y / + p ( x ) y = q ( x ) (1)
− p ( x ) dx 
p ( x )dx
b) Nghiệm tổng quát : y = e ∫
C + q ( x ) .e ∫
dx  ,C ∈ ℝ



∫

p( x ) dx
c) Lưu ý : Nếu e ∫
= ax + b

( a,b ∈ ℝ )

(4.1)

 ax + b = ax + b khi ax + b > 0
thì ta phải xét 
.
 ax + b = −ax − b khi ax + b < 0

4. Phương trình vi phân Bernouli
a) Dạng : y / + p ( x ) y = q ( x ) .yα ( α ≠ 0; α ≠ 1) (1)
- Với α = 1, thì (1) là phương trình tách biến.
- Với α = 0, thì (1) là phương trình tuyến tính cấp 1.

b) Phương pháp giải :
- Chia 2 vế của (2) cho y α , ta được : y / .y −α + p ( x ) y1−α = q ( x ) (2).
- Đặt z = y1−α ⇒ z / = (1 − α ) y / y −α . Thay vào (2), ta được: z / + (1 − α ) p ( x ) = (1 − α ) q ( x ) (3)
- Phương trình (3) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo hàm z = z ( x ) , biến x.

5. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân
a) Phương trình vi phân toàn phần :
* Dạng : P ( x; y ) + Q ( x; y ) = 0 (1), thoả điều kiện

∂P ∂Q
=
, ∀ ( x; y ) ∈ D ⊂ ℝ 2 (2)
∂y ∂x

* Phương pháp giải :
- Kiểm tra xem phương trình (1) có thoả điều kiện (2) không.
- Tìm hàm u ( x; y ) :
+ Chọn ( x o ; y o ) bất kì, thường chọn ( x o ; y o ) = ( 0;0 ) .

x

+ Thay vào công thức u ( x; y ) =

y

∫ P ( x; y ) dx + ∫ Q ( x o ; y ) dy . Tìm u ( x; y ) .
xo

(4.2)

yo

- Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : u ( x; y ) = C ,C ∈ ℝ .

b) Thừa số tích phân :
* Dạng : P ( x; y ) + Q ( x; y ) = 0 (1), thoả điều kiện

∂P ∂Q
≠
, ∀ ( x; y ) ∈ D ⊂ ℝ 2 (3)
∂y ∂x

Tồn tại hàm a ( x; y ) sao cho : a ( x; y ) .P ( x; y ) + a ( x; y ) .Q ( x; y ) = 0 (4)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 15

TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

* Phương pháp giải :
- Kiểm tra xem phương trình (1) có thoả điều kiện (3) không.
- Tồn tại thừa số tích phân : Hàm a ( x ) hoặc a ( y )

i/ Trường hợp 1 : a = a ( x ) (Hàm a chỉ phụ thuộc vào x) thì

∫
a = a(x) = e

ii/ Trường hợp 2 : a = a ( y ) (Hàm a chỉ phụ thuộc vào y) thì a = a ( y ) = e

Py/ − Q /x

∫

Q

dx

Q /x − Py/
P

dx

(4.3)

(4.4)

- Kiểm tra lại tính toàn phần :

P * ( x; y ) = a.P ( x; y )
a ( x )
∂P * ∂Q *
, với a = 
. Sau đó kiểm tra :
=
(5)
Tìm 
∂y
∂x
a ( y )
Q * ( x; y ) = a.Q ( x; y )
- Tìm hàm u ( x; y ) :
+ Chọn ( x o ; yo ) bất kì, thường chọn ( x o ; yo ) = ( 0;0 ) .
y

x

+ Thay vào công thức u ( x; y ) =

∫ P * ( x; y ) dx + ∫ Q * ( x ; y ) dy . Tìm u ( x; y ) .
o

xo

(4.5)

yo

- Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : u ( x; y ) = C ,C ∈ ℝ .

6. Phương trình vi phân cấp 1 khuyết

( )

a) Phương trình vi phân khuyết y : x = f y /
- Đặt t = y / =

( I)

dy
. Suy ra, ta có : x = f ( t ) .
dx

x = f ( t )

- Nghiệm dạng tham số của ( I ) là : 
( t,C ∈ ℝ )
/
y
=
t.f
t
dt
+
C

()


∫

( )

b) Phương trình vi phân khuyết x : y = f y /
- Đặt t = y / =

(4.6)

( II )

dy
. Suy ra, ta có : y = f ( t ) .
dx


f / (t)
dt + C
x =
- Nghiệm dạng tham số của ( II ) là : 
( t,C ∈ ℝ )
t
y = f ( t )


∫

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

(4.7)

Trang 16


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

(

)

c) Phương trình vi phân khuyết x dạng tổng quát : F y, y / = 0
 y = a n cos n t

- Tham số hoá phương trình ( III ) : Đặt  / dy
, thu được :
m
m
=
=
y
b
sin
t

dx



( III )
 y = f ( t )
.
 /
y
=
g
t
(
)



f / (t)
dt + C
x =
g(t)
- Nghiệm dạng tham số của ( III ) là : 
( t,C ∈ ℝ )

y = f ( t )

∫

(

)

d) Phương trình vi phân khuyết y dạng tổng quát : F x, y / = 0
 x = a n cos n t

- Tham số hoá phương trình ( III ) : Đặt  / dy
, thu được :
m
m
y
b
sin
t
=
=

dx


(4.8)

( IV )
 x = f ( t )
.
 /
y
=
g
t
(
)


x = f ( t )

- Nghiệm dạng tham số của ( III ) là : 
( t,C ∈ ℝ )
/
=
+
y
g
t
.f
t
dt
C
(
)
(
)


(4.9)

∫

7. Phương trình vi phân Clairaut

( )

y = x.y / + f y /

(1)

dy
, từ (1) suy ra : y = x.t + f ( t )
( 2) .
dx
 dt
=0
- Lấy đạo hàm 2 vế của ( 2 ) ta được :  dx
.

/
 x + f ( t ) = 0
- Đặt t = y / =

y = Cx + f ( C ) ; C ∈ ℝ

- Các nghiệm của phương trình (1) là :  x = −f / ( t )

/
 y = f ( t ) − t.f ( t )

(4.10)

8. Phương trình vi phân Lagrange

( ) ( )

y = x.g y / + f y /

( I)

dy
, từ ( I ) suy ra : y = x.f ( t ) + f ( t ) ( II ) .
dx
dx
- Lấy đạo hàm 2 vế của ( II ) ta được : g ( t ) − t  + g / ( t ) .x = −f / ( t )
dt
- Đặt t = y / =

( III ) .

Phương trình ( III ) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 ; hàm x, biến t.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 17


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

 x = x ( t )
- Các nghiệm của phương trình ( I ) là : 
 y = x ( t ) .g ( t ) + f ( t )

(4.11)

II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

(

)

Dạng tổng quát :

F x; y; y / ; y / / = 0

Dạng tuyến tính thuần nhất :

a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = 0

Dạng tuyến tính không thuần nhất :

a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = f ( x )

1. Phương trình vi phân giảm cấp (Phương trình vi phân khuyết)

(

)

a) Phương trình vi phân khuyết y : F x; y / ; y / / = 0
- Đặt z = y / =

( I)

dy

⇒ z/ = y/ / .
dx

(

)

- Thay vào ( I ) ta được phương trình vi phân cấp 1 : F x;z;z / = 0 .

(

)

b) Phương trình vi phân khuyết x : F y; y / ; y / / = 0
- Đặt z = y / =

( II )

dy
dz
⇒ y / / = z.z / = z .
dx
dy


dz 
- Thay vào ( II ) ⇒ phương trình vi phân cấp 1 với biến y hàm số z = z ( y ) : F  y;z;z  = 0 .
dy 


(

)

c) Phương trình vi phân khuyết cả x và y : F y / ; y / / = 0
- Đặt z = y / =

( III )

dy
dz
⇒ y/ / = z/ =
.
dx
dx

 dz 
- Thay vào ( III ) ⇒ phương trình vi phân cấp 1 với biến x hàm số z = z ( z ) : F  z;  = 0 .
 dx 
2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
a) Các dạng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
* Dạng tuyến tính thuần nhất : a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = 0

(1)

* Dạng tuyến tính không thuần nhất : a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = f ( x )

( 2)

b) Các định lí về nghiệm tổng quát :

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 18


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

* Định lí 1 : (Về nghiệm tổng quát của phương trình (1))
Nếu y1 ( x ) và y 2 ( x ) là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1) thì nghiệm tổng
quát của nó là :

y = C1y1 + C2 y2 , ∀C1,C2 ∈ ℝ .

* Định lí 2 : (Về nghiệm tổng quát của phương trình (2))
Nếu y1 ( x ) , y 2 ( x ) là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất
tương ứng của (2) và y r là một nghiệm riêng của (2) thì nghiệm tổng quát của nó là :
y = C1y1 + C 2 y 2 + y r , ∀C1,C 2 ∈ ℝ

* Định lí 3 : (Nguyên lí chồng chất nghiệm)
Xét 3 phương trình vi phân không thuần nhất :

a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = f1 ( x )

(1*)

a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = f 2 ( x )

( 2 *)

a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = f1 ( x ) + f 2 ( x )

( 3*)

Giả sử y r1 ( x ) , yr2 ( x ) tương ứng là nghiệm riêng của (1*) và (2*). Khi đó, nghiệm
riêng của (3*) là : y r = yr1 ( x ) , yr2 ( x ) và nghiệm tổng quát của (3*) là :
y = C1y1 + C2 y 2 + y r1 ( x ) + y r2 ( x ) , ∀C1,C2 ∈ ℝ

3. Tìm nghiệm riêng thứ hai khi biết nghiệm riêng thứ nhất của phương trình vi phân
tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Xét phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất :
a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = 0

(1 )

Giả sử y 1 ( x ) ≡ 0 là 1 nghiệm riêng của phương trình (1). Nghiệm riêng thứ 2 có dạng:
y 2 ( x ) = u ( x ) .y 1 ( x ) . Để tìm u ( x ) ta có 2 cách :

 y 2 = u.y 1

* Cách 1 : Ta tính  y 2/ = u.y 1/ + u / .y 1
. Sau đó thay vào (1), ta được phương trình
 //
//
/ /
//
 y 2 = u.y 1 + 2u .y 1 + u .y 1

(

)

vi phân xác định u : ay 1 .u / / + 2ay 1/ + by 1 .u / = 0 ( 2 ) . Giải phương trình (2) tìm u ( x ) .

* Cách 2 : Tính trực tiếp u ( x ) bằng công thức u ( x ) =

∫

1
y 12 ( x )

b( x )

dx
∫
a( x )
e
dx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

−

(4.12)
Trang 19


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

4. Giải phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất bằng phương pháp biến thiên
hằng số
Xét phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính không thuần nhất :
a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = f ( x )

(1 )

Phương trình (1) có phương trình thuần nhất tương ứng là :
a ( x ) .y / / + b ( x ) .y / + c ( x ) .y = 0

( 2)

Phương pháp giải :

- Bước 1 : Tìm 2 nghiệm riêng của phương trình (2), suy ra nghiệm tổng quát của phương
trình (2) : y = C1y1 + C2y 2 , ∀C1 , C2 ∈ ℝ .
C / y + C / y = 0
2 2
 1 1
- Bước 2 : Ta coi C1 = C1 ( x ) ; C2 = C2 ( x ) . Xét hệ : 
f (x)
/ /
/ /
C1y1 + C2 y 2 =
a (x)

C / = g ( x )
 1

- Bước 3 : Giải hệ (3), thu được 
⇒
C2/ = h ( x )

( 3) .


C1 = g ( x ) dx + K 1
.

C2 = h ( x ) dx + K 2


∫
∫

- Bước 4 : Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình (1) là :
y =  g ( x ) dx + K 1  y1 +  h ( x ) dx + K 2  y 2 , ∀K 1 , K 2 ∈ ℝ





∫

∫

5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng thuần nhất
ay / / + by / + cy = 0 ( a ≠ 0 )

(1 )
Phương trình đặc trưng của (1) có dạng : ak 2 + bk + c = 0 ( 2 ) . Giả sử phương trình (2) có
2 nghiệm phân biệt k 1 và k 2 .

a) Trường hợp 1 : k 1 ≠ k 2 (Hai nghiệm phân biệt)
k 1x

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính y 1 = e

k 1x

- Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là : y = C1e

k 2x

và y 2 = e
k 2x

+ C2 e

.

, C1 , C2 ∈ ℝ .

b) Trường hợp 2 : k 1 = k 2 = k (Nghiệm kép)
- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính y 1 = ekx và y 2 = xekx .
- Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là : y = ( C1 + xC2 ) ekx , C1 , C2 ∈ ℝ .

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 20


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

c) Trường hợp 3 : k 1,2 = α ± i β (Nghiệm phức)
 y = eαx cos β x

- Phương trình (1) có 2 nghiệm độc lập tuyến tính  1
.
αx
 y 2 = e si n βx

- Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là : y = ( C1 cos βx + C2 si n βx ) eαx , C1 , C2 ∈ ℝ .

6. Phương vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không thuần nhất
ay / / + by / + cy = f ( x ) ( a ≠ 0 )

(1 )
( 2)

Phương trình (1 ) có phương trình thuần nhất tương ứng là : ay / / + by / + cy = 0
Phương trình ( 2 ) có phương trình đặc trưng : ak 2 + bk + c = 0

( 3) .

* Bước 1 : Giải phương trình (2). (Xem lại mục 5)
Tìm được nghiệm tổng quát của (2) là : y = C1y 1 + C2 y 2 , ∀C1 , C2 ∈ ℝ .

* Bước 2 : Tìm nghiệm tổng quát cho phương trình (1 ) .
a) Cách 1 : Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số. (Xem lại mục 4)
b) Cách 2 : Áp dụng phương pháp hệ số bất định để tìm một nghiệm riêng y r cho phương
trình (1) .
i/ Trường hợp 1 : f ( x ) = Pn ( x ) .eαx
- Nếu α không là nghiệm của (3) thì y r có dạng y r = Qn ( x ) .eαx .
- Nếu α là 1 nghiệm đơn nghiệm của (3) thì y r có dạng y r = x.Qn ( x ) .eαx .
- Nếu α là nghiệm kép của (3) thì y r có dạng y r = x 2 .Qn ( x ) .eαx .
Trong đó : Qn ( x ) là đa thức cùng bậc với Pn ( x ) .
ii/ Trường hợp 2 : f ( x ) = eαx Pm ( x ) cos β x + Qn ( x ) si n β x 
- Nếu α ± i β không là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng y r có dạng :
y r = eαx  R k ( x ) cos β x + Sk ( x ) si n βx  , k = max {m; n}

- Nếu α ± i β là nghiệm của (3) thì nghiệm riêng y r có dạng :
y r = xeαx  R k ( x ) cos βx + Sk ( x ) si n β x  , k = max {m; n}

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 21


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Sau khi tìm được nghiệm riêng y r , ta tính y r/ và y r/ / rồi thế vào phương trình (1) tìm các
ẩn số trong nghiệm riêng.
/


/
/
( u.v ) = u .v + u.v
Lưu ý : Các công thức tính đạo hàm : 
.
//
/
/
/
/
/
/
( u.v ) = u .v + 2.u .v + u.v


Nghiệm tổng quát của (1) có dạng : y = y + y r = C1y 1 + C2 y 2 + y r , C1 , C2 ∈ ℝ

7. Phương trình vi phân Euler – Cauchy
ax 2 y / / + bxy / + cy = f ( x )

(1 )

( a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 )

dt
Đặt x = et ⇔ t = l n x . Ta có : dx = et dt ⇒
= e− t .
dx

Suy ra : xy / =

dy
d 2 y dy
và x 2 y =
. Thay vào (1), ta được phương trình vi phân tuyến
−
2
dt
dt
dt

tính cấp 2 hệ số hằng với hàm y biến t : a

d 2y
dt 2

+ ( b − a)

( )

dy
+ cy = f et
dt

( 2) .

Giải phương trình ( 2 ) , tìm được nghiệm của y theo t, sau đó thay t = l n x ta được nghiệm
của phương trình (1).

8. Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng

a) Dạng thuần nhất :
a oy

( n ) + a y ( n −1) + a y ( n − 2) + ... + a
1

2

ny = 0

(1)

( ak ∈ ℝ; k = 0, n; ao = 0)

Phương trình (1) có phương trình đặc trưng: aok n + a1k n −1 + a2k n − 2 + ... + an = 0

( 2)

Giả sử k 1 , k 2 , ..., k m là các nghiệm thực của phương trình (2).
Ta xét 3 trường hợp (Xem lại mục 5) như phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
thuần nhất, ta có các nghiệm của phương trình (2) là y 1; y 2 ; ...; y m .
Suy ra nghiệm tổng quát của (2) là: y = C1y1 + C2 y 2 + ... + Cm y m , ∀C1 , C2 , ..., Cm ∈ ℝ

b) Dạng không thuần nhất : y

( n ) + a y ( n −1) + a y ( n − 2) + ... + a
1

2

( ) ( 3)

ny = f x

i/ Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứng tìm nghiệm tổng quát y .
- Phương trình (3) có phương trình thuần nhất là phương trình (1).

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 22


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

- Giải phương trình (1) , suy ra nghiệm tổng quát của phương trình ( 3) là :
y = C1y 1 + C2 y 2 + ... + Cm y m , ∀C1 , C2 , ..., Cm ∈ ℝ

ii/ Bước 2 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (3).
* Cách 1 : Áp dụng phương pháp biến thiên hằng số.

 C/ y = 0
i i


/ /
 Ci y i = 0

- Giải hệ phương trình : .......................

⇒ Ci/ = ϕi ( x ) ⇒ Ci ( x ) =

( n − 2) = 0
 Ci/ y i

f (x)

/ ( n −1 )
=
 Ci y i
a


∑
∑

∫ ϕi ( x ) dx + K 1

∑
∑

n

- Nghiệm tổng quát của (3) là : y =

∑ ( ∫ ϕi ( x ) dx + K i ) y i , K i ∈ ℝ, i = 1, n .

i =1

* Cách 2 : Tìm một nghiệm riêng y r bằng phương pháp hệ số bất định.

- Trường hợp 1 : f ( x ) = Pm ( x ) .eαx
+ Nếu α không là nghiệm của (2) thì y r của (3) có dạng y r = Q m ( x ) .eαx
+ Nếu α là một nghiệm bội ℓ của (2) thì y r của (3) có dạng y r = x ℓ .Q m ( x ) .eαx
- Trường hợp 2 : f ( x ) = eαx Pm ( x ) . cos β x + Qn ( x ) . si n β x 
+ Nếu α ± i β không là nghiệm của (2) thì nghiệm riêng y r có dạng :
y r = eαx  R k ( x ) . cos βx + Qn ( x ) .si n βx  , k = max {m; n}

+ Nếu α ± i β là một nghiệm bội ℓ của (2) thì nghiệm riêng y r có dạng :
y r = x ℓ .eαx  R k ( x ) . cos βx + Qn ( x ) . si n β x  , k = max {m; n}

iii/ Bước 3 : Kết luận.
n

- Nghiệm tổng quát của (3) là : y = y + y r =

∑ Ci y i + y r (Ci ∈ ℝ; i = 1, n ) .
i =1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 23


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1
 y / = a y + a y + ... + a y
11 1

12 2
1n n
 1
 y / = a y + a y + ... + a y
21 1
22 2
2n n
 2
..................................................
 /
 y n = an1y 1 + an2 y 2 + ... + ann y n

(I )

* Phương pháp giải : Áp dụng phương pháp khử.
Đưa hệ đã cho về một phương trình vi phân cấp cao đối với một hàm phải tìm, giải
phương trình vi phân này cho hàm đó, từ đó tìm các hàm còn lại.
 y / = −2y − 4z + 4x + 1

Ví dụ : Giải hệ phương trình vi phân sau : 
3
z / = − y + z + x 2

2

Từ phương trình (1) , ta có : z =

(1 )
( 2)

)

(

1
1
1
− y / − 2y + 4x + 1 ⇒ z/ = − y / / − y / .
4
4
2

Thay vào phương trình ( 2 ) , ta được :
−

(

)

1 // 1 /
1
3
− y / − 2y + 4x + 1 + x 2
y − y = −y +
4
2
4
2

⇔ − y / / − 2y / = −4y − y / − 2y − 4x − 1 + 6x 2

⇔ y / / + y / − 6y = −6x 2 − 4x + 3

( 3)

Phương trình ( 3) có phương trình thuần nhất tương ứng là : y / / + y / − 6y = 0
Phương trình ( 4 ) có phương trình đặc trưng : k 2 + k − 6 = 0

(4)

(5)

k = 2
⇔ 1
 k 2 = −3
⇒ Nghiệm tổng quát của phương trình ( 4 ) là : y = C1e2x + C2e−3x ( C1 , C2 ∈ ℝ )

Ta có : f ( x ) = −6x 2 − 4x + 3 = eαx .Pn ( x ) ⇒ α = 0; n = 2
Mà α = 0 không là nghiệm của phương trình ( 5 ) , nên nghiệm riêng y r có dạng :
y r = Ax 2 + Bx + C
 y / = 2Ax + B

⇒ r
 y r/ / = 2A

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 24


TÀI LIỆU GIẢI TÍCH 2

BIÊN SOẠN : TRẦN LÊ MÂN

Thế vào phương trình ( 3) , ta được :

)

(

2A + 2Ax + B − 6 Ax 2 + Bx + C = −6x 2 − 4x + 3
⇔ −6Ax 2 + ( 2A − 6B ) x + 2A + B − 6C = −6x 2 − 4x + 3
−6A = −6

⇔ 2A − 6B = −4
2A + B − 6C = 3

A = 1

⇔ B = 1
C = 0


Nghiệm riêng của phương trình ( 3) là : y r = x 2 + x .
Suy ra : Nghiệm tổng quát của phương trình ( 3 ) là :
y = C1e2x + C2e−3x + x 2 + x

( C1, C2 ∈ ℝ )

 y = C e2x + C e−3x + x 2 + x
1

2

Suy r a : 
1
− y / − 2y + 4x + 1
z =

4
y = C e2x + C e−3x + x 2 + x
1
2

⇔
1
−2C1e2x + 3C2e−3x − 2x − 1 − 2C1e2x − 2C2e−3x − 2x 2 − 2x + 4x + 1
z =

4
y = C e2x + C e−3x + x 2 + x
1
2

⇔
1
−4C1e2x + C2e−3x − 2x 2
z =

4
y = C e2x + C e−3x + x 2 + x
1

2

⇔
( C1, C2 ∈ ℝ )
−3x 1 2
2x 1
− x
z = −C1e + C2e

4
2

(

)

(
(

)

)

Vậy : Nghiệm của hệ phương trình đã cho là :
 y = C e2x + C e−3x + x 2 + x
1
2


1

1
z = −C1e2x + C2e−3x − x 2

4
2

(C1, C2 ∈ ℝ )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HCM

Trang 25