Chủ đề:Cực trị của hàm đa thức bậc bốn

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CUỐN SÁCH
Phương pháp giải toán Hàm số
PHẦN V: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

C¸c Em häc sinh h·y tham gia häc tËp theo ph¬ng pháp " Lấy học trò làm trung tâm "
Dới sự hỗ trợ của Nhóm Cự Môn do Ths. Lê Hồng §øc phơ tr¸ch.

1


Phần V: ứng dụng của đạo hàm

B. cực trị của hàm số

chủ đề 2

cực trị của hàm đa thức bậc bốn

và các bài toán liên quan
I. Kiến thức cơ bản
1. Tìm cực trị của hàm số
Bài toán 1 Tìm cực trị của hàm đa thức bậc 4
phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Miền xác định D=R.
Bớc 2: Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y'=0 (bằng cách khéo léo
nhẩm đợc một nghiệm x0 rồi đa phơng trình y'=0 về dạng
(x-x0)g(x)=0).
Bớc 3: Lập bảng biến thiên rồi đa ra kết luận dựa vào định lý 1
Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng, giảm và cực trị của hàm số y=x4-2x2-1.
Giải.
Miền xác định D=R.
Đạo hàm: y'=4x3-4x, y'=0  4x3-4x=0  x =0  x=1.
Giíi h¹n: lim y= lim y =+.
x

x

Bảng biến thiên
x
-
-1
0
1
y'
0
+

0
0
+
+
CT
CĐ
CT
y
-2
-1
-2
Vậy:
- Hàm số đồng biến trong các khoảng (-1, 0) và (1, +).
- Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-, -1) và (0, 1).
- Hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại yCĐ=-1.
- Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm:
Tại x=-1 và giá trị cực tiểu yCT=-2.
Tại x=1 và giá trị cực tiểu yCT=-2.

+
+

Chú ý: Nếu hàm số chứa tham số thì sự biến thiên còn phụ thuộc tham số.
Ví dụ 2 (Đề 2): Cho m Z+, hÃy tìm cực trị của hàm số: y=xm.(4-x)2.
Giải.
Miền xác định: D=R.
Đạo hàm:
y'= mxm-1.(4-x)2-2 xm.(4-x)= xm-1.(4-x)[4m-(m+2)x],
y'=0 xm-1.(4-x)[4m-(m+2)x]=0
Ta xét các trờng hợp sau:

Trờng hợp 1: m=1.
4
Khi đó: y'=0 (4-x)(4-3x)=0 x1=
hoặc. x2=4
3
Ta có bảng biến thiên
x
-
4/3
4
+
y'
+
0
0
+
CĐ
+
y
-
CT
Vậy:
4
256
- Hàm số đạt cực đại tại x1=
và giá trị cực đại yCĐ=
.
3
27
- Hàm số đạt cực tiểu tại x2=4 và giá trị cực tiểu yCT=0.

Trờng hợp 2: m2.
2


Chủ đề 2: Cực trị của hàm đa thức bậc bốn và các bài toán liên quan

Khi đó: y'=0 x1=0, x2=

4m
và x3=4 (có x1m2

Ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: m-1 chẵn.
Khi đó dấu của y' là dấu của (4-x)[4m-(m+2)x].
Ta có bảng biến thiên
x
-
4

4m

y'
y

+
-

+

m2

0
CĐ

-

0

+
+

CT

Vậy:
-

Hàm số đạt cực đại tại x2=

m m 4m 4
4m
và yCĐ=
.
( m 2 )m 2
m2

- Hàm số đạt cực tiểu tại x3=4 và yCT=0.
Khả năng 2: m-1 lẻ.
Khi đó dấu của y' là dấu của x(4-x)[4m-(m+2)x].
Ta có bảng biến thiên

x
-
0

4m

y'
y

+

0
CT

+

4

+

m2

0
CĐ

-

0
CT

+
+

Vậy:
-

4m
m m 4m4
và yCĐ=
.
m2
( m 2 )m 2
Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x1=0 và x3=4 và yCT=0.
Hàm số đạt cực đại tại x2=

2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x, m)= ax4+bx3+cx2+dx+e. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
phơng pháp chung

Ta có:
Miền xác định D=R.
Đạo hàm: y'=4ax3+3bx2+2cx+d, y'=0 4ax3+3bx2+2cx+d=0
(1)
a. Hàm số không có cực trị
y' không đổi dấu
.
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc hàm số có ba điểm cực trị)
phơng trình (1) cã ba nghiƯm ph©n biƯt.
Lùa chän mét trong hai cách:
Cách 1. Nếu (1) (x-x0).g(x)=0 thì điều kiện là: g(x)=0 có hai nghiệm

phân biệt khác x0

0

.

g( x ) 0
Cách 2. Phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Đồ thị hàm số y=4ax3+3bx2+2cx+d cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt là
Hàm số y=4ax3+3bx2+2cx+d có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT<0
y'=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 vµ y(x1)y(x2)<0
y'  0
 
.
y( x ) y( x ) 0
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thoả mÃn điều kiện K. Ta thực
hiện theo các bớc:
Bớc 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
a 0

  b 0 & c 0 & d 0
  b 0 & 
( 1 ) 0


g

0

1

2

3


Phần V: ứng dụng của đạo hàm

d.
e.
f.
g.

B. cực trị của hàm số

Khi đó (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thoả mÃn hệ thức Viet
Bớc 2: Kiểm tra điều kiện K.
Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt trong khoảng I.
Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a>0.
Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a<0.
Hàm số chỉ có một cực trị
Nếu (1) (x-x0).g(x)=0 thì điều kiƯn lµ:
 g( x ) 0 vo nghiem

  g 0

  g( x ) 0 nghiem kep  

 g( x 0 ) 0

 g( x 0 ) 0

.

h. Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu. Ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Biến đổi phơng trình (1) về dạng: (x-x0).g(x)=0
Bớc 2: Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu


a 0

  g 0

   g  0
  g( x
0 ) 0


.

i. Hàm số đạt cực tiểu t¹i x0
y' ( x
) 0
 
.


)  0
 y' ' ( x
j. Hàm số đạt cực đại tại x0
y' ( x
) 0
 
.

)  0
 y' ' ( x
VÝ dô 3: Cho hàm số y=x4+8mx3+3(1+2m)x2-4. Xác định m để:
a.
Hàm số có cực đại, cực tiểu với tổng bình phơng các hoành độ
bằng 27.
b.
Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm
c.
(Đề 131): Hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.
Giải.
Miền xác định D=R.
Đạo hàm:
y'= 4x3+24mx2+6(1+2m)x=2x[2x2+12mx+3(1+2m)].
0

0

0

0

 x 0

y'=0  

2
 f( x ) 2 x  12 mx  3( 1  2 m ) 0

a. Trớc hết: hàm số có cực đại, cực tiểu
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0


 12 m 
36 m





3( 1  2 m ) 0
 f ( 0 ) 0
f

2

( 1)

6  0

.




1 7
m 
6

.
 1
1 7

m 
6
 2
Khi ®ã: (1) cã hai nghiƯm phân biệt x1, x2 thoả mÃn:
x
6 m
x

3( 1 2 m ) .

x .x


2

Tổng bình phơng hoành độ các cực trị bằng 27
1
1

2

2

m 1
m 5 /6

 x 12 + x 22 +02=27  (x1+x2)2-2x1x2=27  36m2-3(1+2m)=27
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm
phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt dơng

4


Chủ đề 2: Cực trị của hàm đa thức bậc bốn và các bài toán liên quan


0
f


0
af ( 0 )
S / 2

0




 36 m 2

12 m


 3( 1  2 m )  0

6m
 0


6



0



  1 m 1 7 .
2
6

c. Ta xét các trờng hợp sau:
Trờng hợp 1: f(x)0 x
  'f 0  36m2-12m-60  1 

7 m 1  7 .
6
6

Khi ®ã, dÊu cđa y' chØ phụ thuộc vào dấu của 2x.
Ta có bảng biến thiên:
x
-
0
+
y'
0
+
y
+
+
CT
Vậy hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.
Trờng hợp 2: f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt x1Khi đó hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại x1=0 hoặc x2=0
1
'
0
12 m  6  0
36 m
 
 

 m=.


3( 1  2 m ) 0
 f ( 0 ) 0
2

f

2

5


Phần V: ứng dụng của đạo hàm

B. cực trị của hàm số

Tóm lại: với
1 7
1 7
m

6
6


1
m
2

hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.

3. Đờng cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
hàm số
Bài toán 3: Cho hàm số y=ax4+bx3+cx2+dx+e. Giả sử hàm số có ba điểm cực trị. HÃy xác định
phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

phơng pháp chung

Chúng ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Miền xác định D=R.
Bớc 2: Đạo hàm: y'=4ax3+3bx2+2cx+d, y'=0 4ax3+3bx2+2cx+d =0
(1)
Bớc 3: Hàm số có ba cực trị (1) có ba nghiệm phân biệt.
Bớc 4: Khi đó phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3.
Bớc 5: Để xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ
thị hàm số, ta thực hiện theo cách sau:
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc: y=y'.g(x)+h(x).
Ta có: gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì y'(x0)=0.
Do đó: y0=y(x0)=y'(x0).g(x0)+h(x0)= h(x0).
Thấy ngay rằng toạ độ các điểm cực trị cùng thoả mÃn: y0= h(x0).
Vậy phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số có
dạng: y=h(x).
Ví dụ 4: Cho hàm số y=x4+(m+1)x2+1.
a. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.
b. Xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
Giải.
Miền xác định D=R.
Đạo hàm:
y'=4x3+4(m+1)x
y'=0 4x3+4(m+1)x=0
(1)
x 0

 4x(x2+m+1)=0  

2
 f( x ) x  m  1 0 ( 2 )

Hµm sè cã cùc đại, cực tiểu
(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 m+1<0 m<-1
b. Để xác định phơng trình Parabol đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị hàm số, ta thực hiện theo cách sau:
1
m 1 2
Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc y cho y' ta đợc: y=
x.y'+
x +1
2
4
Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì y'(x0)=0. Do đó:
1
m 1 2
m 1 2
y0=y(x0)=
x.y'(x0)+
x 0 +1=
x 0 +1.
2
2
4
m 1 2
ThÊy ngay rằng toạ độ các điểm cực trị cùng thoả mÃn: y=
x +1.
2
m 1

Vậy với mỗi m<-1 các điểm cực trị của đồ thị thuộc Parabol: y=
2
x2+1.
a.

6


Chủ đề 2: Cực trị của hàm đa thức bậc bốn và các bài toán liên quan

4. Xác định các thuộc tính của điểm cực trị
Bài toán 4. Cho hàm số y=f(x, m)= ax4+bx3+cx2+dx+e. Xác định m để điểm cực trị của đồ thị
hàm số thoả mÃn điều kiện K
phơng ph¸p chung

Chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bíc 1: Ta có:

Miền xác định D=R.

Đạo hàm: y'=4ax3+3bx2+cx+d, y'=0 4ax3+3bx2+2cx+d =0 (1)
Bớc 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có ba nghiệm phân biệt.
Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 thoả mÃn hệ thøc Viet :
x

x
x


1

1
1


x
x

2
2

x

2



x

3



3 b / 4a

 x2x3
 x3x
x3
 d / 4 a

1

2 c / 4 a

.
Lu ý: NÕu y' ph©n tích đợc thành y'=(x-x1)(Ax2+Bx+C), ta có:
x 2 x 3   B / A

x 2 x 3  C / A

Bíc 3: Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc y cho y' ta đợc: y=y'.g(x)+h(x).
Do đó: y1=y(x1)=h(x1) , y2=y(x2)=h(x2) & y3=y(x3)=h(x3).
Vậy toạ độ các điểm cực trị là A(x1, y1), B(x2, y2) & C(x3, y3).
Bíc 4: KiĨm tra ®iỊu kiƯn K.
Ví dụ 5: Cho hàm số y=x4+4x3-2mx2-12mx.
a. Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.
b. Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) & C(x3, y3) là các điểm cực trị. Xác định m để
4
y1+y2+y3(*)
x 12 . x 22 . x 23 =-14.
9
Giải.
Xét hàm số y= x4+4x3-2mx2-12mx.
Miền xác định D=R.
Đạo hàm:
y'=4x3+12x2-4mx-12m,
y'=0 x3+3x2-mx-3m=0
(1)
x 1 3

(x+3)(x2-m)=0 

2
 f( x ) x  m 0 ( 2 )

a.

Hàm số có cực đại, cực tiểu (1) có ba nghiƯm ph©n biƯt
m  0

 (2) cã hai nghiƯm phân biệt khác -3
0 f ( 3 ) 0
Khi đó (1) có ba nghiệm phân biệt x1=-3, x2, x3 tho¶ m·n hƯ thøc Viet :
 x
0
x
.

 m
x x
Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc y cho y' ta đợc:
1
1
y=(
x+
).y'-(2m+3)x2-8mx+3m.
4
4
Do đó: y1=y(-3)=9m-27,
y2=y(x2)= -(2m+3) x 22 -8mx2+3m ,

2
2

3

3

y3=y(x3)= -(2m+3) x 23 -8mx3+3m.
Vậy toạ độ các điểm cực trị là A(x1, y1), B(x2, y2) & C(x3, y3).
b. Ta cã:
4
y1+y2+y3x 12 . x 22 . x 23
9
4
=9m-27-(2m+3)( x 22 + x 23 )-8m(x2+x3)+6m(-3)2. x 22 . x 23
9

7


Phần V: ứng dụng của đạo hàm

B. cực trị của hµm sè

=9m-27-(2m+3)[(x2+x3)2-2x1x2]-8m(x2+x3)+6m-

4
(-3)2. x 22 . x 23
9

=9m-27-2m(2m+3)+6m-4m2=21m-27-8m2.
VËy:
(*)  8m2-21m+13=0  m=1 m=

13
.
8

II.Các bài toán chọn lọc
Bài 1 (ĐH Kiến Trúc-99): Cho hàm số y=kx4+(k-1)x2+1-2k.
Xác định các giá trị của tham số k để hàm số chỉ có một điểm cực trị.
bài giải

Miền xác định D=R.
Đạo hàm:
y'= 4kx3+2(k-1)x=2x(2kx2+k-1).
x 0

y'=0  2x(2kx2+k-1)=0  

 f( x ) 2 kx

2

 k 1 0

Hàm số chỉ có một điểm cực trị
f( x ) 0 vo nghiem

 

.
 f( 0 ) 0
(I)
Trờng hợp 1: f(x)=0 vô nghiệm
Với k=0, ta có f(x)=0 -1=0 mâu thuẫn.
Vậy với k=0 phơng trình f(x)=0 v« nghiƯm.
 Víi k0, ta cã f(x)=0 v« nghiƯm
k  1

 <0  -8k(k-1)<0  
.
k  0
Trêng hỵp 2: f(0)=0  k-1=0  k=1.
VËy hµm sè chØ cã mét điểm cực trị khi k1 k0.
Bài 2. CMR các điểm cực trị của hàm số : y=

(2)

1 4 3 2
x -x - 3x +8x nằm trên một Parabol xác định.
4
bài giải

Miền xác định D=R.
Đạo hàm:
y'=x3-3x2-6x+8, y'=0 x3-3x2-6x+8=0 x1=-2, x2=1, x3=4
Đó chính là hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu.
Để xác định phơng trình Parabol đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị hàm số, ta thực hiện theo cách sau:
1

9 2 9
Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc : y=
y'(x-1)x+
x+2.
4
4
2
Gọi (x0, y0) là toạ độ điểm cực trị của đồ thị thì y'(x0)=0. Do đó:
9
9
9
9
y0=y(x0)=y'(x0).(x0-1)x+2=x+2.
x 02 +
x 02 +
4
2
4
2
Thấy ngay rằng toạ độ các điểm cực trị cùng thoả mÃn phơng trình:
9 2 9
y=x+
x+2.
4
2
9 2 9
Vậy Parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị là: y=x+
x+2.
4
2

Bài 3 (HVQHQT - 97): Xác định m để hàm số y= x4-2mx2+2m+m4 có cực đại, cực tiểu lập thành
một tam giác đều.
8


Chủ đề 2: Cực trị của hàm đa thức bậc bốn và các bài toán liên quan

bài giải

Miền xác định D=R.
Đạo hàm:
y'= 4x3-4mx=4x(x2-m),
y'=0 x(x2-m)=0
(1)
Hàm số có cực đại, cực tiĨu  (1) cã ba nghiƯm ph©n biƯt  m>0.
Khi ®ã: (1) cã ba nghiƯm ph©n biƯt x=0, x=  m và toạ độ ba điểm cực
trị:
A(0, 2m+m4), B(- m , m4-m2+2m) , C( m , m4-m2+2m)
Ta cã: ABC ®Ịu
AB AC ( ld )
 
 AB2=AC2  m= 3 3 .

AB BC
Vậy, với m= 3 3 thoả mÃn điều kiện đầu bài.

III. Bài tập đề nghị
Bài tập 1. Tìm cực trị, nếu có, của các hàm số:
1 4 3
1 4 2

c. y=x4-4x3-2x2+12x-1
a. y=
x -x + 3.
b. y=
x -3x +
2
4
5
.
2
Bµi tËp 2. Tìm m để hàm số
a. y=x4+(m-1)x2+1-m chỉ có một điểm cực trị.
b. (Đề 121/ĐHY TP.HCM -94): y=x4+(m+3)x3+2(m+1)x2 có cực đại. Chứng
minh điểm cực đại của đồ thị không thể có hoành độ dơng.
Bài tập 3. (Đề 30): Tìm m ®Ĩ hµm sè y=x 4+4mx3+3(m+1)x+1 chØ cã mét cùc
tiĨu vµ không có cực đại.
Bài tập 4. Tìm m để hàm số y=x4-6x2+4x+6 có 3 cực trị khi đó viết phơng
trình Parabol (P) đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

9