Cấu trúc của đại số lie nửa đơn đối xứng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN HIỀN SƠN

CẤU TRÚC CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA
ĐƠN ĐỐI XỨNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04
Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Huế, Năm 2014

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên
cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên
cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Trần Hiền Sơn

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm, chu
đáo của Thầy giáo, PGS.TS. Trần Đạo Dõng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đối với Thầy đã giành nhiều thời gian trao đổi khoa học và những
góp ý quý báu trong quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm
Huế, quý Thầy Cô giáo ở Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào
tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế, Thầy Cô giáo đã tham gia giảng
dạy Cao học Khóa 21. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn những người thân, cùng
bạn bè, các anh chị học viên cao học Toán K21 Trường Đại học Sư phạm Huế
đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Trần Hiền Sơn

Demo Version - Select.Pdf SDK

iii


MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Giới thiệu về đại số Lie nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Đại số Lie nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4. Đại số con Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.5. Hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Cấu trúc của đại số Lie nửa đơn đối xứng . . . . . . . . . .

22

2.1. Đại sốDemo
Lie nửa
đơn đối-xứng
. . . . . . . . .SDK
..............................
Version
Select.Pdf

22

2.2. Cấu trúc của một số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể . . . . . . . . . . .

34

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

1


LỜI MỞ ĐẦU
Việc mô tả cấu trúc của đại số Lie nửa đơn là một trong những nội dung cơ
bản của lý thuyết Lie và không gian đối xứng. Đóng vai trò quan trọng trong
việc khảo sát tính nửa đơn là tiêu chuẩn Cartan được xây dựng từ dạng Killng
của đại số Lie và đại số con Cartan, tức là lớp các đại số Lie con lũy linh trùng
với chuẩn tắc hóa của nó. Trong số các đại số Lie nửa đơn, lớp đại số Lie nửa
đơn đối xứng tức là các đại số Lie sao cho tồn tại một tự đồng cấu đối hợp đang
được nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát, có mối liên hệ mật thiết với các
nhóm Lie nửa đơn đối xứng.
Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, chúng tôi mong muốn được tìm hiểu và
làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie nửa đơn đối xứng, từ đó ứng
dụng để mô tả cấu trúc của một số đại số Lie cụ thể: sl(n, R), so(p, q), su(p, q).
Được sự gợi ý của PGS.TS Trần Đạo Dõng, chúng tôi đã chọn đề tài "Cấu
trúc của đại số Lie nửa đơn đối xứng" làm đề tài nghiên cứu của luận
văn.
Ngoài phần
mở Version
đầu, kết luận
và tài liệu SDK
tham khảo, luận văn được chia làm
Demo

- Select.Pdf
hai chương:
Trong chương I chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của đại số Lie
liên quan đến đề tài. Nội dung chủ yếu của chương này là khảo sát các khái
niệm, tính chất về đại số con Cartan, hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ
ra. Các tính chất của tập căn nghiệm cũng được làm rõ để góp phần khảo sát
các tính chất, khái niệm ở chương sau.
Trong chương II chúng tôi trình bày về đại số Lie nửa đơn đối xứng, sự
phân tích đối xứng của đại số Lie thông qua tự đồng cấu đối hợp, không gian
con Cartan, sự tồn tại không gian con Cartan của đại số Lie nửa đơn đối xứng,
phân tích Iwasawa, một số tính chất, định lí liên quan và áp dụng khảo sát một
số đại số Lie cụ thể đó là sl(n, R), so(p, q), su(p, q) để làm rõ lý thuyết đã trình
bày.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng việc trình bày luận văn khó tránh
khỏi những sai sót. Tác giả mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của
thầy cô và các đồng nghiệp dành cho luận văn.
2


CHƯƠNG 1
Giới thiệu về đại số Lie nửa đơn
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số Lie
nửa đơn, đại số con Cartan và hệ căn nghiệm của đại số Lie nửa đơn chẻ ra. Các
khái niệm và kết quả chủ yếu tham khảo từ những tài liệu [4], [6] và [9].

1.1. Đại số Lie
Định nghĩa 1.1. Cho g là một không gian véc tơ trên trường k. Khi đó g được
gọi là đại số Lie trên k nếu tồn tại phép toán
[, ] :

g×g

−→

g

(X, Y ) −→ [X, Y ]
sao cho
a) [, ] tuyến tính từng biến;

Demo Version - Select.Pdf SDK

b) [X, X] = 0, ∀X ∈ g;

c) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là
[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.
Số chiều của không gian véc tơ g được gọi là chiều của đại số Lie g, kí hiệu
dimk g, [, ] gọi là tích Lie.
k = R : g được gọi là đại số Lie thực.
k = C : g được gọi là đại số Lie phức.
Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g.
Nhận xét 1.1.

1) Mỗi không gian véctơ V trên trường k là một đại số Lie

giao hoán với tích Lie: [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V.
2) Cho g là một đại số Lie, a là một không gian véc tơ con của g. Đặt
Ng (a) = {X ∈ g|[X, Y ] ∈ a, ∀Y ∈ a}
3