Đề thi toán chuyên PTNK 2009

Chuyên toán PTNK 2008-2009
Bài 1:1) Cho phương trình
a) Chứng minh rằng phương trình không thể có hai nghiệm đều âm.
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:
không phụ thuộc vào m.
2) Giải hệ phương trình:
Bài 2: Cho tam giác ABC không phải tam giác cân. Đường tròn (I nội tiếp tam giác và tiếp xúc
với các cạnh BD, AC và AB lần lượt tại D, E, F. EF cắt BC và ID lần lượt tại K và J.
a) Chứng minh tam giác DIJ và AID đồng dạng.
b) Chứng minh IK vuông góc với AD.
Bài 3: Cho góc xAy vuông tại A. B thuộc Ax và C thuộc Ay. Hình vuông MNPQ với M thuộc
AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC.
a) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo BC = a và AH = h với AH là đường cao hạ từ A của tam
giác ABC.
b) Cho không đổi. Tình giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ
Bài 4: Gọi số bạch kim là số nguyên dương có tổng các bình phương các chữ số bằng chính số
đó.
a) Chứng minh rằng không có số bạch kim có 3 chữ số.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương bạch kim n.
Bài 5: Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt. Đội thắng được 3
điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm. Sau khi kết thúc số điểm của các đội lần lượt là
thỏa và
. Biết rằng đội có số điềm thua đúng một trận. Tính