Giải đề thi Toán khối A kỳ thi đại học năm 2009

GII THI MễN TON KHI A
K THI TUYN SINH H C NM 2009
I. Phn chung cho tt c thớ sinh
Cõu I: (2,0)
Cho hm s:
x 2
y (1)
2x 3
+
=
+
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit tip tuyn ú ct trc
honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A, B v tam giỏc OAB cõn ti gc
to O.
Bi gii
( )
3
x
2
x
2
3
1. TXé: \
2
S bi n thiờn
x 2 3
Tỡm ti m c n ng: lim th hm s (1) cú ti m c n ng x
2x 3 2
x 2 1 1

Tỡm ti m c n ngang: lim th hm s (1) cú ti m c n ngang y
2x 3 2 2
1
Tớnh y' 0 v
2x 3







+
= =
+
+
= =
+

= <
+
Ă
ự ế
ệ ậ đứ đồ ị ố ệ ậ đứ
ệ ậ đồ ị ố ệ ậ
ớ
3 3 3
i x hm s luụn ngh ch bi n trờn ; v ; khụng cú c c tr
2 2 2

+
ữ ữ

ố ị ế ự ị.
Bng bin thiờn
th:
bng bin thiờn ph
V th:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
Nhn xột: th nhn giao im ca 2 tim cn l im
3 1
I ,
2 2


ữ

lm tõm i xng.
( ) ( )
2. G i A a;0 Ox; B 0;b Oy theo gi thi t ta cú: |a| |b|
nh ng vỡ hm s lu n ngh ch bi n nờn ti p tuy n ch cú th cú d ng
y kx m v i k < 0 nờn a b 0.
x y

Ph ng trỡnh ng th ng AB: 1
a b
x y
1 y x a ti p xỳc v
a a
=
= + =
+ =
+ = = +
ọ ả ế
ư ố ô ị ế ế ế ỉ ể ạ
ớ
ươ đườ ẳ
ế ớ
2
2
x 2
x a
2x 3
i (1)
1
1
(2x 3)
x 1 a 0 (lo i)
1
T ph ng trỡnh 1 2x 3 1
(2x 3) x 2 a 2
V y ph ng trỡnh ti p tuy n c a (1) l y x 2
+

= +

+





=

+

= =


= + =

+ = =

=
ạ
ừ ươ
ậ ươ ế ế ủ
Cõu II: (2,0 )
1. Gii phng trỡnh:
( )
( ) ( )
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx

=
+

2. Giải phương trình:
( )
3
2 3x 2 3 6 5x 8 0 x− + − − = ∈ ¡
Bài giải
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
x k2
6
1
1 2sinx 0
sinx
7
u ki n : x k2
2
1 sinx 0 6
sinx 1
x k2
2
1 2sinx cosx
3
1 2sinx 1 sinx

cos x 2sinxcos x 3 1 sinx 2sinx 2sin x
cosx 2sinxcosx 3 2sin x sinx +1
cos x 3 sin x 3 cos2x s
π

≠ − + π



+ ≠
≠ −

π
 
⇔ ⇔ ≠ + π
  
− ≠

 
≠

π

≠ + π


−
=
+ −
⇔ − = − + −

⇔ − = − +
⇔ − = +
1. §iÒ Ö
( )
in2x
1 3 3 1
cos x sinx cos2x sin2x
2 2 2 2
sin x sin 2x
6 3
k2
x 2x k2
x
6 3
18 3
2
x 2x k2
x k2 lo i
6 3
2
⇔ − = +
π π
   
⇔ − = +
 ÷  ÷
   
π π π π


− = + + π

= − +


⇔ ⇔


π π π


− = − + π
= + π




¹

( )
( )
3
3
3
2
3
3 2
2
3
2
3 2
2

2
2) 2 3x 2 3 6 5x 8 0
Ð t 3x 2 u 3x 2 u
6 5x v 0 6 5x v
3
u 4 v
2u 3v 8
2
3
5u 3v 8
5 4 v 3v 8
2
3
Gi i ph ng trình: 5 4 v 3v 8
2
135v 1104v 2880v 2496 0
v 4 135v 564v 624 0
v 4
Vì 135v
− + − − =
− = ⇒ − =
− = ≥ ⇒ − =

= −

+ =


⇔
 

+ =
 


− + =
 ÷

 

 
− + =
 ÷
 
⇔ − + − =
⇔ − − + =
⇔ =
−
Æ
¶ ­¬
564v 624 0 VN
u 2
6 5x 16 x 2
+ =
= −
⇔ − = ⇒ = −
Câu III: (1,0 đ)

( )
( )
/2

3 2
0
/2 /2
5 2
1 2
0 0
/2 /2
5 4
1
0 0
/2
2
2
0
/2
4 2
0
5 3
Tính tích phân I (cos x 1)cos x dx
Gi i
I cos x dx cos x dx I I
Tính I cos x dx cos x.cosx dx
1 sin x d(sinx)
sin x 2sin x 1 d(sinx)
/ 2
sin x 2sin x
sinx
5 3 0
1 2 8
1

5 3 15
π
π π
π π
π
π
= −
= − = −
= =
= −
= − +
π
 
= − +
 ÷
 
= − + =
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
¶
( )
/2 /2
2
2
0 0
1 2
1

Tính I cos x dx 1 cos2x dx
2
/ 2
1
sin2x
4 4 0 4
8
Ta c : I I I
15 4
π π
= = +
π
π π
= + =
π
= − = −
∫ ∫
®­î
Câu IV: (1,0điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D ; AB = AD
= 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài giải
Hình thang ABCD.