đề thi học sinh giỏi lớp 9

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN LAM SƠN
Năm học : 2009-2010
Bài 1 : 2 điểm
Tìm tất cả các số thực x thoả mãn :
( )
( )
2
22
1
183
11
+
++
<
+−+
x
xx
xx
x
Bài 2 : 2 điểm
Giải hệ phương trình :
)32)((92
23
+−=−
xyyxyx
3
22
=+−
yxyx
Bài 3 : 1,5 điểm
Hàm số f : N

→
N (N là tập các số nguyên dương ) thoả mãn :
(1) f(ab) = f(a)f(b) với a,b là hai số nguyên dương có ươc số chung lớn nhất
của chúng bằng 1
(2) f(p+q) = f(p)+f(q) với mọi số nguyên tố p,q .
Chứng minh rằng f(2) =2 , f(3) =3
Bài 4 : 2 điểm
Cho 2001 số
200121
,,........., xxx
thoả mãn
nnn
xxxx
+==
+
2
11
;
2
1
với 1
2000
≤≤
n
Hãy tìm phần nguyên của số
1
1
..........
1
1

1
1
200021
+
++
+
+
+
=
xxx
N
( Phần nguyên
[ ]
x
của số x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x )
Bài 5 : 2,5 điểm
Cho tam giác ABC , đường thẳng d cắt hai cạnh AB , AC và trung tuyến AM theo
thứ tự tại E,F,N
a- Chứng minh :
AN
AM
A
AC
AE
AB 2
F
=+
b- Giả sử đường thẳng d song song với bc ,trên tia đối của tia FB lấy điểm
K , đường thẳng KN cắt AB tại P , đường thẳng KM cắt AC tại Q . Chứng
minh PQ song song với BC

............................................................