Điều kiện tối ưu điểm karush kuhn tucker cho bài toán tối ưu vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ CHÂU

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU ĐIỂM KARUSH-KUHN-TUCKER
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ CHÂU

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU ĐIỂM KARUSH-KUHN-TUCKER
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉCTƠ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuyên

HÀ NỘI, 2018

Lời cảm ơn
Luận văn thạc sĩ “Điều kiện tối ưu kiểu Karush–Kuhn–Tucker cho
bài toán tối ưu véctơ” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng của
bản thân tác giả và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy cô,
bạn bè đồng nghiệp và người thân.
Tác giả xin cảm ơn T.S. Nguyễn Văn Tuyên đã trực tiếp tận tình
hướng dẫn, cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho
luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo giảng viên
Khoa Toán, các thầy cô phòng Sau Đại học và các thầy cô của Trường
Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy cũng như đã tạo điều kiện để
cho tác giả hoàn thành tốt công việc nghiên cứu khoa học của mình.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, đơn vị công
tác, gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập và thực hiện luận văn.


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận
văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng
xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Châu


Mục lục

Mở đầu

4

1 Một số kiến thức chuẩn bị

8

1.1. Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Khái niệm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4. Điều kiện chính quy

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Điều kiện tối ưu

24

2.1. Bài toán trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.1. Điều kiện Karush–Kuhn–Tucker yếu . . . . . . .

24

2.1.2. Điều kiện Karush–Kuhn–Tucker mạnh . . . . . .

28

2.2. Bài toán không trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41
40

1


Một số ký hiệu
N

tập các số tự nhiên

R

tập các số thực

R := R ∪ {±∞}

tập các số thực mở rộng

Rn

không gian Euclide n-chiều

Rn+

tập các véctơ không âm của Rn

Rn−

tập các véctơ không dương của Rn

x∗ , x

tích vô hướng trong Rn

x

chuẩn của véctơ x

domF

miền xác định của F

{xn }, (xn )

dãy số thực, hoặc dãy véctơ

Bρ (x), B(x, ρ)

hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ

Bρ (x), B(x, ρ)

hình cầu mở tâm x, bán kính ρ

N (x)

tập tất cả các lân cận của điểm x

NB (x)

tập tất cả các lân cận cân của điểm x

Lim sup

giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (¯

x; Ω)

nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại x¯

N (¯
x; Ω)

nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x¯

∇f (x)

đạo hàm Fréchet của f tại x

∂f (x)
ˆ (x)
∂f

dưới vi phân Mordukhovich của f tại x
dưới vi phân Fréchet của f tại x

Ω

x → x¯ và x ∈ Ω

f

x → x¯ và f (x) → f (¯
x)

x −→ x¯

x −→ x¯

2


α↓α
¯

α→α
¯ và α

A⊂B

A là tập con của B

A∩B

giao của hai tập hợp A và B

A∪B

hợp của hai tập A và B

A×B

tích Descartes của hai tập A và B

A\B

hiệu của hai tập A và B

int A

phần trong của tập hợp A

A, cl A

bao đóng của tập hợp A

conv (A)

bao lồi của tập hợp A

cone (A)

bao nón của tập hợp A

✷

kết thúc chứng minh

α
¯

3


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong các vấn đề quan trọng nhất trong lý thuyết tối ưu đó

là nghiên cứu các điều kiện cần và điều kiện đủ tối ưu. Các điều kiện tối
ưu không những hữu ích trong việc xác định nghiệm của một bài toán
tối ưu mà còn đóng vai trò cốt yếu trong việc xây dựng các thuật toán
để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán này.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các điều
kiện tối ưu bậc nhất cho các bài toán tối ưu véctơ (VP) có dạng sau
minRl+

f (x)

với ràng buộc x ∈ Q0 := {x ∈ Rn : g(x)

0},

ở đó f := (fi ), i ∈ I := {1, . . . , l}, và g := (gj ), j ∈ J := {1, . . . , m} là
các hàm véctơ xác định trên không gian Euclide Rn .
Như chúng ta biết rằng nếu fi , gj là các hàm khả vi Fréchet tại
x¯ ∈ Q0 và x¯ là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VP), thì tồn tại các nhân
tử Lagrange (λ, µ) ∈ Rl × Rm thỏa mãn
l

m

λi ∇fi (¯
x) +
i=1

(0.1)

0, µj gj (¯

x) = 0,

(0.2)

j=1

µ = (µ1 , . . . , µm )
λ = (λ1 , . . . , λl )

µj ∇gj (¯
x) = 0,

0, (λ, µ) = 0;

(0.3)


xem [11, Theorem 7.4]. Các điều kiện (0.1)–(0.3) được gọi là điều kiện
cần bậc nhất kiểu F.-John. Tính dương của một nhân tử ứng với một
hàm mục tiêu nào đó cho ta thấy ảnh hưởng của mục tiêu này trong
việc xác định nghiệm tối ưu của bài toán. Nếu có ít nhất một nhân tử
Lagrange λi dương, thì ta nói bài toán thỏa mãn điều kiện cần bậc nhất
kiểu Karush–Kuhn–Tucker (KKT ) yếu (W KKT ). Khi mà tất cả các
nhân tử Lagrange của các hàm mục tiêu đều dương, thì ta nói bài toán
thỏa mãn điều kiện (KKT ) mạnh (SKKT ). Điều kiện (KKT ) mạnh
chỉ ra rằng tất cả các hàm mục tiêu đều có vai trò nhất định trong việc
xác định nghiệm tối ưu.
Để đạt được các điều kiện tối ưu kiểu (KKT ) thì bài toán phải
thỏa mãn một số điều kiện chính quy. Trong lý thuyết tối ưu, có hai
kiểu giả thiết chính quy đặt lên các ràng buộc và mục tiêu của bài toán.

Các giả thiết được gọi là các điều kiện chuẩn hóa ràng buộc (constraint
qualifications (CQ)) nếu nó chỉ đặt lên các phiếm hàm ràng buộc của
bài toán này. Chúng sẽ được gọi là các điều kiện chính quy (regularity
conditions (RC)) khi mà chúng đặt lên cả các phiếm hàm ràng buộc và
hàm mục tiêu.
Trong [18, 20], các tác giả đã sử dụng các điều kiện CQ tương tự
như trong tối ưu một mục tiêu để đưa ra các điều kiện tối kiểu KKT
cho bài toán (VP). Tuy nhiên, các điều kiện này không đủ để nhận được
điều kiện tối ưu kiểu SKKT . Năm 1994, Maeda [16] là người đầu tiên
đề xuất một điều kiện chính quy kiểu Guignard suy rộng và đã thiết lập
các điều kiện cần SKKT cho các bài toán tối ưu trơn. Sau đó, điều kiện
chính quy kiểu Guignard suy rộng đã được sử dụng để thiết lập các điều
kiện tối ưu bậc nhất và bậc hai kiểu KKT cho các bài toán tối ưu véctơ
trơn (xem [3, 4]) và không trơn (xem [10, 13, 19]).
Burachik và Rizvi [5,6] đã đề xuất một số điều kiện chính quy mới

5


(điều kiện chính quy Guignard (GRC) và điều kiện chính quy Abadie
suy rộng (GARC)) yếu hơn các điều kiện chính quy được đề xuất bởi
Maeda [16]. Sau đó, các tác giả đã nhận được một số điều kiện cần bậc
nhất W KKT cho các nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện SKKT cho các
nghiệm hữu hiệu chính thường theo nghĩa của Geoffrion và của Borwein
của các bài toán tối ưu véctơ trơn.
Gần đây, các kết quả trong bài báo [5] đã được mở rộng cho lớp
các bài toán tối ưu véctơ không trơn sử dụng dưới vi phân Clarke [21]
và dưới vi phân Mordukhovich [14].
Trên cơ sở các tài liệu tham khảo được trích dẫn ở trên, trong luận
văn này chúng tôi sẽ khảo sát các điều kiện tối ưu bậc nhất kiểu W KKT

và SKKT cho các bài toán tối ưu véctơ với cả hai trường hợp dữ liệu
trơn và dữ liệu không trơn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các điều kiện tối ưu bậc nhất cho các bài toán tối
véctơ.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các điều kiện chính quy và các điều kiện cần tối ưu
bậc nhất kiểu Karush–Kuhn–Tucker cho các bài toán tối ưu véctơ với cả
trường hợp dữ liệu trơn và dữ liệu Lipschitz.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Điều kiện tối ưu bậc nhất
6


• Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết tối ưu véctơ

5. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo và cập nhật những nghiên cứu của các tác giả trong
nước cũng như ngoài nước liên quan đến đề tài.

6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn sẽ trình bày một cách hệ thống các kết quả gần đây về
các điều kiện tối ưu bậc nhất kiểu Karush–Kuhn–Tucker cho các bài
toán tối ưu véctơ.

7

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1.

Nón tiếp tuyến

Định nghĩa 1.1. Một véctơ d được gọi là véctơ tiếp tuyến của tập
X ⊂ Rn tại điểm x ∈ X nếu tồn tại một dãy các điểm xk ∈ X và một
dãy số thực τk > 0, k = 1, 2, . . . , sao cho τk ↓ 0 và
xk − x
.
d = lim
k→∞
τk
Từ định nghĩa trên ta suy ra rằng xk → x vì nếu trái lại thì giới
hạn trên không tồn tại.
Mệnh đề 1.1. Cho X ⊂ Rn và x ∈ X. Tập T (X; x) gồm tất cả các
véctơ tiếp tuyến của X tại x là một nón đóng.
Chứng minh. Giả sử d ∈ T (X; x). Với mọi β > 0 ta có
xk − x
βd = lim
,
k→0 (τk /β)
vì vậy dãy xk và τk /β thỏa mãn Định nghĩa 1.1 với phương βd. Do đó
T (X; x) là một nón.
Lấy dj là một véctơ tiếp tuyến của X tại x và các dãy xj,k và τj,k ,
k = 1, 2, . . . , thỏa mãn Định nghĩa 1.1, và limj→∞ dj = d. Vì dj là một

véctơ tiếp tuyến của X, nên với mọi j, tồn tại k(j) sao cho
xj,k(j) − x
− dj ≤ dj − d .
τj,k(j)
Do đó

xj,k(j) − x
− d ≤ 2 dj − d .
τj,k(j)

Điều đó kéo theo rằng dãy xj,k(j) và τj,k(j) , j = 1, 2, . . ., thỏa mãn Định
nghĩa 1.1 với véctơ d. Vì vậy, nón T (X; x) là đóng.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa của nón tiếp tuyến, ta có thể dễ dàng
chứng minh được các tính chất sau:
(i) (Tính đơn điệu) Nếu X1 ⊂ X2 và x ∈ X1 , thì T (X1 ; x) ⊂ T (X2 ; x);
(ii) (Nón tiếp tuyến của giao) Nếu X = X1 ∩ . . . ∩ Xm và x ∈ X, thì
T (X; x) ⊂ T (X1 ; x) ∩ . . . ∩ T (Xm ; x).
Nếu X là một tập lồi, thì nón tiếp tuyến là một nón lồi đóng và ta
có công thức sau. Chúng ta nhắc lại ở đây rằng, một tập X ⊂ Rn được gọi
là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và α ∈ [0, 1], ta có (1 − α)x1 + αx2 ∈ X.Tập
X được gọi là một nón nếu αx ∈ X với mọi α > 0 và x ∈ X. Tập X
được gọi là một nón lồi đóng nếu nó là một tập lồi đóng và là một nón.
Mệnh đề 1.2. Cho X ⊂ Rn là tập lồi và x ∈ X. Khi đó
T (X; x) = cl cone (X − x),
ở đó cone (X − x) := {d ∈ Rn : d = β(y − x), y ∈ X, β ≥ 0} là nón của
các hướng chấp nhận được tại x.
Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi d ∈ cone (X − x) là một véctơ tiếp
tuyến của X tại x. Hơn nữa, cone (X − x) là nón lồi. Vì nón tiếp tuyến
là đóng, nên
cl cone (X − x) ⊂ T (X; x).

9


Nếu bao hàm thức trên là thực sự, thì tồn tại h ∈ T (X; x)\cl cone (X−x).
Theo Định lí tách [26, Theorem 2.14], tồn tại y = 0 sao cho y, h > 0
và y, d ≤ 0 với mọi d ∈ cl cone (X − x). Từ h là một véctơ tiếp tuyến
của X tại x, ta suy ra tồn tại một dãy xk ⊂ X và một dãy τk ↓ 0 thỏa
mãn Định nghĩa 1.1 với véctơ h. Do đó, ta được
y, h =

1 k
(x − x)
k→∞ τk

y, lim

1
y, xk − x .
k→∞ τk

= lim

(1.1)

Mỗi vectơ xk − x là phần tử của cone (X − x) và vì thế y, xk − x ≤ 0.
Từ điều này và (1.1), ta có y, h ≤ 0, mâu thuẫn với giả thiết về tính
chất tách của y.
Trong trường hợp tổng quát, nón tiếp tuyến của một tập có thể
không lồi và việc tính toán các nón tiếp tuyến là một vấn đề rất khó.
Tuy nhiên trong một số trường hợp tập X thỏa mãn một số điều kiện

chính quy thì chúng ta có thể đưa ra công thức hiển cho các nón này.
Mệnh đề sau cho ta công thức tính nón tiếp tuyến của tập nghiệm của
hệ bất đẳng thức cho bởi các hàm khả vi Fréchet.
Mệnh đề 1.3. Giả sử gj : Rn → R, j = 1, . . . , m, là các hàm số thực
liên tục. Đặt
X := {x ∈ Rn | gj (x) ≤ 0, ∀j = 1, . . . , m}.
Giả sử x ∈ X. Đặt J(x) := {j ∈ 1, . . . , m | gj (x) = 0} và gọi là tập chỉ
số hoạt của tập X tại x. Khi đó,
(i) Nếu J(x) = ∅, thì T (X; x) = Rn .
(ii) Nếu J(x) = ∅ và các hàm gj (·), j = 1, . . . , m, khả vi Fréchet tại x,
thì
T (X; x) ⊂ {d ∈ Rn | ∇gj (x), d ≤ 0, ∀j ∈ J(x)}.

10


(iii) Nếu J(x) = ∅, các hàm gj (·), j = 1, . . . , m, khả vi Fréchet tại x và
điều kiện chính quy sau được thỏa mãn
∃d0 ∈ Rn để

∇gj (x), d0 < 0, ∀j ∈ J(x),

thì
T (X; x) = {d ∈ Rn | ∇gj (x), d ≤ 0, ∀j ∈ J(x)}.

1.2.

Dưới vi phân
Cho mỗi tập Ω ⊂ Rn , ta kí hiệu bao đóng, phần trong, bao lồi và

nón lồi sinh của Ω tương ứng bởi cl Ω, int Ω, conv Ω và cone Ω. Ta nói
Ω ⊂ X là đóng địa phương tại x¯ ∈ Ω nếu có một lân cận U của x¯ sao
cho Ω ∩ cl U là tập đóng.
Kí hiệu
Π(x, Ω) : = {ω ∈ cl Ω | x − ω = dist(x, Ω)}
là tập các chân hình chiếu của x lên Ω tương ứng với khoảng cách Euclide.
Cho F : Rn ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị. Giới hạn trên theo dãy
theo nghĩa Painlevé-Kuratowski tại x¯ của F được xác định bởi
Lim sup F (x) := {x∗ ∈ Rn | ∃xk → x¯, x∗k → x∗ , x∗k ∈ F (xk ), ∀k ∈ N}.
x→¯
x

Định nghĩa 1.2. Cho x¯ ∈ cl Ω, nón đóng sau đây
N (¯
x, Ω) := Lim sup[cone(x − Π(x, Ω))]

(1.2)

x→¯
x

được gọi là nón pháp tuyến cơ bản/nón pháp tuyến Mordukhovich của
tập Ω tại x¯. Nếu x¯ ∈
/ cl Ω, ta đặt N (¯
x, Ω) = ∅.
Từ định nghĩa, ta có thể suy ra nón pháp tuyến cơ bản (1.2) có
tính vững với nhiễu của x¯, tức là ánh xạ đa trị N (., Ω) luôn có đồ thị
đóng.
11

Nếu Ω là một tập lồi, thì nón pháp tuyến cơ bản trùng với nón
pháp tuyến cổ điển theo nghĩa giải tích lồi. Tuy nhiên, trong trường hợp
tổng quát nón pháp tuyến cơ bản có thể không lồi.
Chúng ta biết rằng, nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x¯ là bao lồi
đóng của nón pháp tuyến cơ bản, tức là
NC (¯
x, Ω) = cl conv N (¯
x, Ω).

(1.3)

Như vậy việc qua việc lấy bao lồi đóng trong (1.3) ta thấy nón pháp
tuyến Clarke có thể lớn hơn thực sự nón pháp tuyến cơ bản. Để minh
họa chúng ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.1. Cho tập Ω = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 ≥ −|x1 |} và x¯ = (0, 0) ∈ Ω.
Khi đó, dễ dàng tính được
N (¯
x, Ω) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 = −|x1 |}.
Mặt khác, theo định nghĩa, ta có
NC (¯
x, Ω) = cl conv N (¯
x, Ω) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 ≤ −|x1 |}.
Định nghĩa 1.3. Cho Ω ⊂ X, x¯ ∈ Ω. Nón pháp tuyến Fréchet của Ω
tại x¯ được định nghĩa bởi
ˆ (¯
N
x; Ω) :=

x∗ , x − x¯

x ∈ X | lim sup
x − x¯
Ω
x→¯
x
∗

∗

0 ,

Ω

ở đó kí hiệu x −
→ x¯ có nghĩa là x → x¯ và x ∈ Ω.
ˆ (¯
Theo định nghĩa, dễ thấy N
x; Ω) là một nón lồi đóng.
Mệnh đề 1.4 (Xem [23, Proposition 2.2]). Với bất kì Ω ⊂ Rn và bất kì
điểm x¯ ∈ cl Ω, ta có
ˆ (x; Ω).
N (¯
x, Ω) = Lim sup N
x→¯
x

12


Phần còn lại của mục này, chúng ta xét một hàm số thực mở rộng

ϕ : Rn → R và một số khái niệm dưới vi phân cho hàm này. Tập trên đồ
thị của ϕ được kí hiệu bởi
epi ϕ := {(x, α) ∈ Rn × R | ϕ(x) ≤ α}.
Định nghĩa 1.4. Cho x¯ ∈ dom ϕ := {x ∈ Rn | |ϕ(x)| < +∞}. Tập
hợp
∂ϕ(¯
x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((¯
x, ϕ(¯
x)), epi ϕ)}

(1.4)

được gọi là dưới vi phân hoặc dưới vi phân qua giới hạn của ϕ tại x¯. Nếu
x¯ ∈
/ dom ϕ thì ta đặt ∂ϕ(¯
x) = ∅.
Trong (1.4), nếu ta thay nón pháp tuyến cơ bản bằng nón pháp
tuyến Clarke hoặc nón pháp tuyến Fréchet thì các tập hợp
∂C ϕ(¯
x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ NC ((¯
x, ϕ(¯
x)), epi ϕ)}
và
ˆ x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N
ˆ ((¯
∂ϕ(¯
x, ϕ(¯
x)), epi ϕ)}
tương ứng được gọi là dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Fréchet của
ϕ tại x¯.

Nhắc lại rằng một hàm ϕ : Rn → Rm được gọi là khả vi chặt tại x¯
nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục ∇ϕ(¯
x) : Rn → Rm , được gọi
là đạo hàm Fréchet của ϕ tại x¯, sao cho
ϕ(x) − ϕ(u) − ∇ϕ(¯
x)(x − u)
lim
= 0.
x→¯
x
x
−
u
u→¯
x
Như ta biết rằng, mọi hàm ϕ mà khả vi liên tục trong một lân cận của
x¯ thì khả vi chặt tại điểm này. Bây giờ chúng ta tổng kết một số tính
chất của dưới vi phân Mordukhovich được sử dụng trong các mục sau.
Mệnh đề 1.5 (xem [25, Proposition 6.17(d)]). Cho ϕ : Rn → R là một
hàm nửa liên tục dưới tại x¯. Khi đó, với mọi λ
∂(λϕ)(¯
x) = λ∂ϕ(¯
x).
13

0, ta có


Mệnh đề 1.6 (xem [24, Corollary 1.81]). Nếu ϕ : Rn → R là Lipschitz
địa phương tại x¯ với hệ số Lipschitz L > 0, thì ∂ϕ(¯

x) là một tập compact
khác rỗng và được chứa trong LBn .
Mệnh đề 1.7 (xem [24, Theorem 3.36]). Cho ϕl : Rn → R, l = 1, . . . , p,
p

2, là các hàm nửa liên tục dưới tại x¯ và có ít nhất p − 1 hàm là

Lipschitz địa phương tại x¯. Khi đó, ta có bao hàm thức sau
∂(ϕ1 + . . . + ϕp )(¯
x) ⊂ ∂ϕ1 (¯
x) + . . . + ∂ϕp (¯
x).
Mệnh đề 1.8 (xem [24, Theorem 3.46]). Cho ϕl : Rn → R, l = 1, . . . , p,
là các hàm Lipschitz địa phương tại x¯. Khi đó, hàm φ(·) := max{ϕl (·) :
l = 1, . . . , p} cũng là Lipschitz địa phương tại x¯ và ta có
p

∂φ(¯
x) ⊂

x) : (λ1 , . . . , λp ) ∈ Λ(¯
x) ,
λl ϕl (¯

∂
l=1

ở đó Λ(¯
x) := (λ1 , . . . , λp ) : λl

0,

p
l=1 λl

= 1, λl [ϕl (¯
x) − φ(¯
x)] = 0 .

Mệnh đề 1.9 (xem [24, Theorem 3.41]). Cho g : Rn → Rm là Lipschitz
địa phương tại x¯ và ϕ : Rm → R là Lipschitz địa phương tại g(¯
x). Khi
đó, ta có
∂(ϕ ◦ g)(¯
x) ⊂

∂ y, g (¯
x).
y∈∂ϕ(g(¯
x))

Đặc biệt, nếu m = 1 và ϕ là khả vi chặt tại g(¯
x), thì
∂(ϕ ◦ g)(¯
x) ⊂ ∂(∇ϕ(g(¯
x))g)(¯
x).
Mệnh đề 1.10 (xem [24, Proposition 1.114]). Cho ϕ : Rn → R là hữu
hạn tại x¯. Nếu ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x¯, thì 0 ∈ ∂ϕ(¯
x).

Mệnh đề 1.11 (xem [2, Proposition 5.2.28]). Cho ϕ : Rn → R là một
hàm nửa liên tục dưới. Khi đó, ánh xạ đa trị ∂ϕ : Rn ⇒ Rn là đóng.
Mệnh đề 1.12 (Định lý giá trị trung bình; xem [24, Corollary 3.51]).
Cho ϕ là hàm Lipschitz địa phương trên một tập mở chứa [x, y]. Khi đó,
ϕ(y) − ϕ(x) ≤ ξ, y − x
14


với c ∈ [x, y), ξ ∈ ∂ϕ(c).
Bổ đề sau sẽ được sử dụng trong các phần tiếp theo.
Bổ đề 1.1. Cho h : Rn → R là hàm Lipschitz địa phương. Giả sử rằng
(i) xn → x¯,
(ii) h(xn )

h(¯
x),

(iii) v = lim sn (xn − x¯) với sn > 0 với mọi n, khi đó tồn tại ít nhất
n−→∞

một vectơ ξ ∈ ∂h(¯
x) sao cho
ξ, v

0.

Chứng minh. Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại các un ∈ [¯
x, xn ) và
ξn ∈ ∂h(un ) sao cho
h(xn ) − h(¯

x)

ξn , xn − x¯ .

Do vậy, ta có
0

h(xn ) − h(¯
x)

ξn , xn − x¯ .

Đặt un = x¯ + λn (xn − x¯) với λn ∈ (0, 1). Do vậy, un → x¯. Từ h là hàm
Lipschitz địa phương, dãy {ξn } có giới hạn. Suy ra, tồn tại một dãy con
hội tụ trong {ξn }. Không mất tính tổng quát, kí hiệu chúng là {ξn }. Do
vậy, ta có {ξn } → ξ0 . Nhờ Mệnh đề 1.11, ta thu được ξ0 ∈ ∂h(¯
x). Từ
lim sn (xn − x¯) = v, ta có

n→∞

0

lim ξn , sn (xn − x¯) = ξ0 , v ,

n→∞

với ξ0 ∈ ∂h(¯
x).

15


1.3.

Khái niệm nghiệm
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về các điều kiện tối ưu

kiểu Karush–Kuhn–Tucker cho bài toán tối ưu véctơ có dạng sau
minRl+ f (x)

(VP)

với ràng buộc x ∈ S := {x ∈ Rn : g(x)

0},

trong đó f := (fi ), i ∈ I := {1, . . . , l}, và g := (gj ), j ∈ J := {1, . . . , m}
là các hàm véctơ xác định trên Rn . Nhắc lại rằng nón orthant không âm
Rl+ = {(y1 , . . . , yl ) ∈ Rl | yi ≥ 0, i ∈ I}
sinh ra một quan hệ thứ tự bộ phận trên Rl được định nghĩa như sau:
Với x, y ∈ Rl , ta viết x
Ta viết x ≤ y nếu x

y nếu y − x ∈ Rl+ , hay là xi

yi với mọi i ∈ I.

y và x = y. Ta viết x < y nếu y − x ∈ int Rl , hay

là xi < yi với mọi i ∈ I.
Bây giờ ta nhắc lại một số khái niệm nghiệm của bài toán tối ưu
véctơ; xem [1, 8, 9, 11, 15].
Định nghĩa 1.5. Cho x¯ ∈ S. Ta nói:
(i) x¯ là một nghiệm hữu hiệu (tương ứng, một nghiệm hữu hiệu yếu)
của bài toán (VP) nếu không có x ∈ S thỏa mãn f (x) ≤ f (¯
x).
(tương ứng, f (x) < f (¯
x)).
(ii) x¯ là một nghiệm hữu hiệu thực sự Geoffrion (Geoffrion-properly
efficient) (GPE) của bài toán (VP) nếu nó là nghiệm hữu hiệu và
tồn tại M > 0 sao cho, với mỗi i,
fi (x) − fi (¯
x)
≤ M,
fj (¯
x) − fj (x)
cho một số j thỏa mãn fj (¯
x) < fj (x) với mọi x ∈ S và fi (¯
x) > fi (x).
16


Từ định nghĩa, ta thấy rằng mọi nghiệm hữu hiệu thực sự Geoffrion
là một nghiệm hữu hiệu và mọi nghiệm hữu hiệu cũng là một nghiệm
hữu hiệu yếu.
Một nghiệm hữu hiệu không phải là hữu hiệu thực sự được gọi là
một nghiệm hữu hiệu không thực sự (theo nghĩa của Geoffrion) (improperly efficient). Như vậy, một điểm x¯ ∈ S là nghiệm hữu hiệu không thực
sự của bài toán (VP), nếu với mọi M > 0, tồn tại x ∈ S và i ∈ I sao
cho fi (¯

x) > fi (x) và
fi (x) − fi (¯
x)
>M
fj (¯
x) − fj (x)
với tất cả j thỏa mãn fj (¯
x) < fj (x).
Khái niệm của nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein
dựa vào định nghĩa của nón tiếp tuyến được trình bày trong Định nghĩa
1.1.
Định nghĩa 1.6 (Xem [1]). Một điểm x¯ ∈ S được gọi là nghiệm hữu
hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein (Borwein-properly efficient) (BPE)
của bài toán (VP) nếu nó là hữu hiệu và
T f (S) + Rl+ , f (¯
x) ∩ −Rl+ = {0} .
Nhận xét 1.2. Trong trường hợp tổng quát, ta luôn có
BPE ⊇ GPE;
xem [1, Proposition 1]. Nếu bài toán là lồi, tức là, S là tập lồi và fi là
những hàm lồi, thì ta có
BPE = GPE;
xem [8, Theorems 2.45(2) và 2.48].
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng một nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa
của Borwwein có thể không phải là nghiệm hữu thực sự theo nghĩa của
Geoffrion.
17


Ví dụ 1.2. (Xem [8, Exercise 2.13]) Cho hàm f : R2 → R2 xác định bởi
f (x) := x, và xét bài toán minx∈S f (x), ở đó

S := {x ∈ R2 | x1 + x2

0} ∪ {x ∈ R2 | x1

1} ∪ {x ∈ R2 | x2

1},

và S = f (S). Dễ ràng kiểm tra được rằng x¯ = (0, 0) là một nghiệm hữu
hiệu của bài toán trên và
T (f (S) + R2+ , f (¯
x)) ∩ (−R2+ ) = {x ∈ R2 |x1 + x2

0} ∩ (−R2+ ) = {0} .

Vì vậy, x¯ là một nghiệm BPE. Chú ý rằng
cl (cone(f (S) + R2+ − f (¯
x))) ∩ (−R2+ ) = L1 ∪ L2 = {0} ,
với
L1 := {x ∈ R2 | x2 = 0, x1

0} và L2 := {x ∈ R2 | x1 = 0, x2

0}.

Ta chỉ ra x¯ không là nghiệm GPE. Thật vậy, lấy x = (−a, 1), a > 0, ta
có

f1 (x) − f1 (¯
x)

= a.
f2 (¯
x) − f2 (x)

(1.5)

Giá trị của (1.5) có thể lớn tùy ý bởi việc chọn a > 0. Vì vậy, x¯ không
phải là nghiệm GPE.

1.4.

Điều kiện chính quy
Trước hết, ta nhắc lại một vài kí hiệu được giới thiệu bởi Maeda

[16], và Burachik và Rizvi [5]. Trong mục này, ta giả thiết rằng các hàm
f và g có các hàm thành phần là Lipschitz địa phương trên Rn . Lấy điểm
x¯ ∈ S, i ∈ I, ta kí hiệu
Qi = x ∈ Rn | g(x)

0, fk (x)

fk (¯
x), k ∈ I và k = i ,

M i = {x ∈ Rn | g(x)

0, fi (x)

fi (¯
x)} , i ∈ I,

M i (¯
x).

M=
i∈I

18


Định nghĩa 1.7. Cho x¯ ∈ S. Nón tuyến tính hóa của M i (¯
x) và M (¯
x)
tại điểm x¯ tương ứng là các tập hợp được định nghĩa bởi
L(M i , x¯) = {d ∈ Rn | ξ, d

0, ∀ξ ∈ ∂fi (¯
x),
0, ∀η ∈ ∂gj (¯
x), j ∈ J(¯
x)}, i ∈ I,

η, d
L(M, x¯) = {d ∈ Rn | ξ, d

0, ∀ξ ∈ ∂fi (¯
x), i ∈ I,
0, ∀η ∈ ∂gj (¯
x), j ∈ J(¯
x)},

η, d

ở đó J(¯
x) là tập chỉ số hoạt tại x¯, tức là, J(¯
x) := {j ∈ J | gj (¯
x) = 0}.
Ta cũng có thể viết L(M i , x¯) và L(M, x¯) ngắn gọn như sau:
L(M i , x¯) = {d ∈ Rn | ∂fi (¯
x), d
∂gj (¯
x), d

0,
0, j ∈ J(¯
x)}, i ∈ I,

L(M, x¯) = {d ∈ Rn | ∂fi (¯
x), d

0, i ∈ I,
0, j ∈ J(¯
x)}.

∂gj (¯
x), d

Trong trường hợp f và g là các hàm khả vi liên tục thì các nón
tuyến tính hóa L(M i , x¯) và L(M, x¯) được xác định bởi:
L(M i , x¯) = {d ∈ Rn | ∇fi (¯

x), d
∇gj (¯
x), d
L(M, x¯) = {d ∈ Rn | ∇fi (¯
x), d
∇gj (¯
x), d

0,
0, j ∈ J(¯
x)}, i ∈ I,
0, i ∈ I,
0, j ∈ J(¯
x)}.

Các kiểu điều kiện chính quy sau đây được đưa ra trong [5, 14].
(EARC) Điều kiện chính quy kiểu Abadie suy rộng:
T (M i , x¯);

L(M, x¯) ⊂
i∈I

19


(ARC) Điều kiện chính quy kiểu Abadie:
T (Qi , x¯);

L(M, x¯) ⊂
i∈I

(GRC) Điều kiện chính quy kiểu Guignard:
L(M i , x¯) ⊂ cl conv T (M i , x¯);
với ít nhất i ∈ I;
(CRC) Điều kiện chính quy kiểu Cottle: Với mỗi i ∈ I, hệ sau
∂fk (¯
x), d < 0, k ∈ I\ {i} ,
∂gj (¯
x), d < 0, j ∈ J(¯
x),
có ít nhất một nghiệm di ∈ Rn .
Định lý dưới đây chỉ ra một số mối quan hệ giữa các điều kiện
chính quy.
Định lý 1.1 (Mối quan hệ giữa các điều kiện chính quy). Cho x¯ ∈ S.
Khi đó, ta có
(i) (ARC) kéo theo (EARC);
(ii) (CRC) kéo theo (GRC);
(iii) (CRC) kéo theo (ARC).
Chứng minh. (i) Từ định nghĩa của các tập M i (¯
x) và Qi (¯
x) và tính đơn
điệu của nón tiếp tuyến ta có
T (Qi , x¯) ⊂
i∈I

T (M i , x¯).
i∈I

Do đó, (ARC) kéo theo (EARC);
(ii) Từ (CRC) đúng, khi đó với i cố định bất kì, i ∈ I, tồn tại di ∈ Rn

sao cho
∂fk (¯
x), di < 0, k ∈ I\ {i} ,
∂gj (¯
x), di < 0, j ∈ J(¯
x).
20


Khi đó, lấy bất kì k ∈ I\ {i} và với mọi v k ∈ L(M k , x¯), ta có
∂fk (¯
x), v k

0,

và
∂gj (¯
x), v k

0, j ∈ J(¯
x).

Cho bất kì tn ↓ 0(n −→ ∞), ta đặt dkn = v k + tn di . Khi đó,
∂fk (¯
x), dkn = ∂fk (¯
x), v k + tn di = ∂fk (¯
x), v k + tn ∂fk (¯
x), di < 0,
(1.6)
∂gj (¯

x), dkn = ∂gj (¯
x), v k + tn di = ∂gj (¯
x), v k + tn ∂gj (¯
x), di < 0,
ở đó, k ∈ I\ {i} , j ∈ J(¯
x). Với mỗi dkn và dãy dương {sknm }∞
m=1 → 0,
ta đặt xknm = x¯ + sknm dkn , do vậy dkn =

1
(xknm
sknm

− x¯). Khi đó, ta suy ra

xknm → x¯(m → ∞). Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại v0k thuộc
k
[¯
x, xknm ) và ξnm
∈ ∂fk (v0k ) sao cho
k
fk (xknm ) − fk (¯
x) ≤ ξnm
, xknm − x¯ ,

ở đó, v0k = x¯ + λknm (xknm − x¯) với λknm ∈ [0, 1).Vì vậy, v0k → x¯ khi m → ∞.
k
} có giới hạn. Nên tồn
Từ fk (x) là hàm Lipschitz địa phương, dãy {ξnm
k

tại một dãy con hội tụ trong {ξnm
}. Không mất tính tổng quát, ta kí
k
k
} −→ ξ0 . Theo Mệnh đề 1.11,
}. Do vậy, ta có thể giả sử {ξnm
hiệu là {ξnm

ta có ξ0 ∈ ∂fk (¯
x). Vì vậy, ta được
1
sknm

(fk (xknm ) − fk (¯
x))

k
ξnm
,

1
sknm

(xknm − x¯) .

Do (1.6), ta có
lim

1

m→∞ sk
nm

(fk (xknm ) − fk (¯
x))

k
lim ξnm
,

m→∞

1
sknm

(xknm − x¯) = ξ0 , dkn < 0.

Vì vậy, tồn tại N0 > 0, khi m > N0 , ta có fk (xknm ) < fk (¯
x).
Tương tự, tồn tại N1 > 0, khi m > N1 , ta có gj (xknm ) < gj (¯
x) = 0, j ∈
J(¯
x). Khi j ∈
/ J(¯
x), nhờ tính liên tục của gj (x) nên tồn tại N2 ∈ N sao
21