Ánh xạ đối ngẫu trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO MỸ HẠNH

ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO MỸ HẠNH

ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU
TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới
sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá
trình nghiên cứu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa
học. Nhân dịp này em cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng
nghiệp trường THPT Xuân Hòa, gia đình và bạn bè đã luôn động viên,
giúp đỡ và tạo điều kiện cho em về mọi mặt trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng không tránh khỏi những
thiếu sót. Em mong được những ý kiến đóng góp từ các Thầy, Cô giáo và
các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018
Đào Mỹ Hạnh

1


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Hoàng Ngọc Tuấn. Luận văn không
trùng lặp với các đề tài khác.
Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả
Đào Mỹ Hạnh

2


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

1

LỜI CAM ĐOAN

2

LỜI MỞ ĐẦU

4

1 ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI VI PHÂN

6

1.1

Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hàm lồi . . . . .

6

1.2

Dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi

1.3

Không gian Banach trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4

Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach

1.5

Ánh xạ đối ngẫu dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

. . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . 22

2 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ LỚP CÁC KHÔNG GIAN
BANACH BỞI ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU

31

2.1

Không gian Banach lồi chặt và lồi đều . . . . . . . . . . . . 31

2.2

Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach phản xạ . . . . . 43

2.3

Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Lp . . . . . . . . . . . . 47

KẾT LUẬN

51

Tài liệu tham khảo

52

3


LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích hàm phi tuyến là một nhánh của giải tích toán học nghiên
cứu về các ánh xạ phi tuyến. Trong toán học và trong khoa học vật lý, hệ
phi tuyến là một hệ mà sự thay đổi của dữ liệu đầu ra không tỷ lệ với sự
thay đổi của dữ liệu đầu vào. Các bài toán phi tuyến nhận được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học, vật lý, kỹ thuật và các nhà khoa học khác
bởi hầu hết các hệ thống trong tự nhiên đều là phi tuyến.
Tích vô hướng có một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu những
vấn đề và hiện tượng diễn ra trong không gian Hilbert. Một trong những
vai trò chính của tích vô hướng là giúp biểu diễn một phần tử x ∈ H như
là một phiếm hàm x∗ trong H , tức là một phần tử trong không gian đối
ngẫu H ∗ . Tuy nhiên, nhiều đối tượng và mô hình không xuất hiện một
cách tự nhiên trong không gian Hilbert.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa trên không gian Banach X , là ánh xạ đa
trị định nghĩa bởi

J : X −→ {x∗ ∈ X ∗ : x∗

2

= x

2

= x∗ , x }

được dùng như một sự thay thế phép đẳng cấu H ∼
= H ∗ trong không gian
Banach. Tổng quát hơn, ta cũng xem xét các ánh xạ đối ngẫu được liên kết
với một hàm trọng. Một sự lựa chọn (không cần liên tục) j của J , nghĩa
là, ánh xạ J : X −→ X ∗ sao cho

x

2

= jx

2

= jx, x

cũng được coi là một ánh xạ đối ngẫu.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa đã trở thành một trong những công cụ toán
học quan trọng nhất trong giải tích hàm phi tuyến, đặc biệt đối với các
4

vấn đề liên quan tới các toán tử phi tuyến đơn điệu, tăng dần và phân tán.
Hiện nay, chủ đề này tiếp tục thu hút sự chú ý của các nhà toán học trên
thế giới.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ánh xạ đối ngẫu trong không gian
Banach, dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, tôi đã chọn đề tài
“Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach” để thực hiện luận văn
của mình.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một số tính chất của ánh xạ
đối ngẫu và đặc trưng của một số lớp các không gian Banach bởi ánh xạ
đối ngẫu. Qua đó, thấy được tầm quan trọng của những kiến thức đã học
và những ứng dụng của chúng. Với nội dung nghiên cứu này, ngoài phần
lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành hai
chương.
Chương 1. Ánh xạ đối ngẫu và dưới vi phân. Trong chương này,
luận văn phần đầu trình bày những kiến thức cần thiết về giải tích lồi
và giải tích hàm. Sau đó, luận văn trình bày về không gian Banach trơn
và ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach cũng như ánh xạ đối ngẫu
dương.
Chương 2. Đặc trưng của một số lớp các không gian Banach
bởi ánh xạ đối ngẫu. Chương này, luận văn trình bày đặc trưng của
một số lớp các không gian Banach, trong đó bao gồm các không gian lồi
chặt, lồi đều và các không gian Banach phản xạ thông qua các tính chất
của ánh xạ đối ngẫu. Cuối chương, luận văn trình bày về các ánh xạ đối
ngẫu trong không gian Lp , trong đó ta quan tâm đến Định lý Clarkson và
ứng dụng của Định lý Asplund.

5

Chương 1
ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ DƯỚI
VI PHÂN
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số khái niệm, định nghĩa
và các kết quả cần thiết về giải tích lồi và giải tích hàm như hàm lồi, dưới
vi phân và liên hợp của hàm lồi. Tiếp nữa, luận văn trình bày về không
gian Banach trơn. Và sau cùng, luận văn quan tâm đến ánh xạ đối ngẫu
trong không gian Banach cũng như ánh xạ đối ngẫu dương. Tài liệu tham
khảo chính của chương này là [1], [4] và [8].

1.1

Định nghĩa và một số tính chất cơ bản của hàm
lồi

Định nghĩa 1.1.1 Cho f : X −→ R = ] − ∞, +∞] với X là một không
gian tôpô tuyến tính. Ta ký hiệu tập

domf := {x ∈ X | f (x) < +∞}
là miền hữu hiệu (effective domain) của f . Tập

epif := {(x, t) ∈ X × R | f (x) ≤ t}
được gọi là trên đồ thị (epigraph) của hàm f . Ngoài ra, hàm f được gọi
là chính thường (proper ) nếu domf = ∅.
Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Ta nói f : X −→ R là một hàm lồi nếu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
6

Hơn nữa, f được gọi là một hàm lồi chặt trên X nếu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1).
Chú ý 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2, ta có chú ý sau:

f là hàm lồi nếu và chỉ nếu với mỗi λ1 , · · · , λk ∈ [0, 1],

(1)

k
i=1 λi

=1

và x1 , · · · , xk ∈ X , ta có
k

k

λi xi ≤

f
i=1

λi f (xi );

(1.1)

i=1

Cho f : R −→ R là một hàm lồi. Khi đó, ta có

(2)

f (b) − f (a) f (c) − f (a) f (c) − f (b)
≤
≤
,
b−a
c−a
c−b

(1.2)

với mọi số thực a < b < c;
(3)

Với một hàm lồi f , ta có domf là tập lồi.

Ví dụ 1.1.4 Cho C là một tập trong X . Ta đặt

δC (x) :=

nếu x ∈ C,

0

+∞ nếu x ∈
/ C.

Khi đó, domδC = C và tập C là lồi nếu và chỉ nếu δC là một hàm lồi.
Hàm này có tên là hàm chỉ.
Mệnh đề 1.1.5 Một hàm f : X −→ R là lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị
của nó là một tập lồi trên X × R.
Chứng minh. Giả sử f là một hàm lồi và [x, a], [y, b] ∈ epif . Khi đó,
ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λa + (1 − λ)b,
với mọi λ ∈ [0, 1]. Từ đó,

[λx + (1 − λ)y, λa + (1 − λ)b] ∈ epif.
7


Ngược lại, giả sử epif là lồi. Từ

[x, f (x)], [y, f (y)] ∈ epif

∀x, y ∈ domf,

ta suy ra

λ[x, f (x)] + (1 − λ)[y, f (y)] ∈ epif

với mọi λ ∈ [0, 1].

Do đó, ta có hàm f là lồi trên domf . Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.1.6 Một hàm f : X −→ R được gọi là nửa liên tục dưới
(lower-semi continuous) (viết gọn là lsc) tại x0 ∈ X nếu

f (x0 ) = lim inf f (x) = sup inf f (x),
x−→x0

V ∈Vx0 x∈V

trong đó Vx0 là tập tất cả các lân cận của điểm x0 .
Mệnh đề 1.1.7 Với f : X −→ R, các khẳng định sau là tương tương:
(a)

f là nửa liên tục dưới trên X ;

(b)

Với mọi số thực α, tập mức dưới {x ∈ X | f (x) ≤ α} là một tập
đóng trong X ;

(c)

Trên đồ thị của hàm f là một tập đóng trong X × R.

Hệ quả 1.1.8 (1)

Mọi hàm nửa liên tục dưới f trên một không gian

tôpô compact thì bị chặn dưới và đạt cận dưới lớn nhất của nó trên X .
(2)

Bất kỳ hàm lồi trên một không gian lồi địa phương là nửa liên tục

dưới nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục dưới yếu.
Định lý 1.1.9 Cho f : X −→ R là một hàm lồi bị chặn trên trên một
lân cận của một điểm trong x0 ∈ domf . Khi đó, f liên tục trên domf .
Chứng minh. Trước tiên, ta sẽ đi chứng minh tính liên tục của f tại

x0 . Lấy V ∈ Vx0 và M > 0 sao cho f (x) ≤ M, ∀x ∈ V . Chuyển qua nếu
cần lân cận V ∩ (−V ), ta có thể giả thiết V đối xứng. Ta cũng có thể giả
sử rằng x0 = 0 và f (x0 ) = 0. Thật vậy, f là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu
hàm F (x) = f (x + x0 ) − f (x0 ) liên tục tại gốc với mọi x ∈ X ; hơn nữa

F (0) = 0 và F là hàm lồi.
8


Với mỗi ε ∈ (0, 1) và x ∈ εV , ta có

f (x) = f ε ·

x
x
+ (1 − ε) · 0 ≤ εf
≤ ε · M.
ε
ε

Mặt khác, ta có

1
1
1

·x+ 1−
− x
1+ε
1+ε
ε
1
ε
1
≤
f (x) +
f − x ,
1+ε
1+ε
ε

0 = f (0) = f

1
tức là f (x) ≥ −ε · f − x ≥ −ε · M . Do đó, |f (x)| ≤ εM với x ∈ εV .
ε
Suy ra f liên tục tại 0. Để kết thúc phần chứng minh, ta còn chỉ ra rằng
với mọi y ∈ domf , tồn tại một lân cận mà trên đó f bị chặn trên. Lấy

ρ > 1 sao cho ρy ∈ domf . Nếu V là lân cận gốc được sử dụng ở trên, thì
1
V có thể được viết như sau
bất kỳ x ∈ Vy = y + 1 −
ρ
x=y+ 1−

1
1
1
z = (ρy) + 1 − z,
ρ
ρ
ρ

với z ∈ V nào đó. Vì domf là lồi, ta có x ∈ domf và suy ra Vy ⊆ domf .
Cuối cùng, tính lồi của f suy ra

1
1
1
1
f (x) ≤ f (ρy) + 1 − f (z) ≤ f (ρy) + 1 − M, ∀x ∈ Vy .
ρ
ρ
ρ
ρ
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1.10 Mọi hàm lồi chính thường trên một không gian hữu hạn
chiều X đều liên tục trên domf .
Trong phần còn lại của mục này, ta quy ước X và Y là các không gian
Banach thực; X ∗ , Y ∗ lần lượt là các đối ngẫu định chuẩn của X và Y ;

L(X, Y ) là không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X đến
Y.
Định nghĩa 1.1.11 ([1], [2]) (1) Cho D ⊆ X là một tập mở, F :

D −→ Y và x ∈ D. Nếu giới hạn
lim+

t→0

F (x + ty) − F (x)
= F+ (x, y)
t
9


tồn tại, thì ta nói F+ (x, y) là đạo hàm theo hướng y ∈ X của F tại x.
(2) Nếu tồn tại một toán tử trong L(X, Y ), được ký hiệu bởi F (x) sao
cho

F (x + ty) − F (x)
= F (x)y với mọi y ∈ X,
t→0
t
thì ta nói rằng F là khả vi Gateaux (hay G-khả vi) tại x. (Đôi khi F (x)
lim

còn được gọi là gradient của F tại x.)
(3) Ta nói rằng F : D −→ Y là khả vi Fréchet (F -khả vi) tại x nếu nó
là G-khả vi tại x và

lim sup

t→0 y =1

F (x + ty) − F (x)
− F (x)y = 0.
t

Định lý 1.1.12 Cho X, Y, Z là các không gian Banach và f : X −→

Y, g : Y −→ Z là các khả vi Fréchet tương ứng trên X và trên Y . Khi đó,
g ◦ f : X −→ Z khả vi Fréchet trên X và ta có
(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) · f (x), x ∈ X.
Chú ý 1.1.13 (1) Nếu F là G-khả vi tại x ∈ D, thì F có các đạo hàm
theo hướng tại x với mọi hướng y ∈ X và ta có

F+ (x, y) = F+ (x, −y), ∀y ∈ X.
Nói chung, vì hai véc tơ ở trên là phân biệt, nên ta có thể đặt

F− (x, y) = −F+ (x, −y).
(2) Xét f : D ⊆ X −→ R, G-khả vi tại x ∈ D. Khi đó, f (x) ∈ X ∗ và

f (x), y =

d
f (x + ty)|t=0 , ∀y ∈ X.
dt

Nếu f là G-khả vi hai lần trên D (nghĩa là f (x) tồn tại, ∀x ∈ D và

f : D ⊆ X −→ X ∗ là G-khả vi), thì f (x) ∈ L(X, X ∗ ) và ta có
d2
f (x)y, y = 2 f (x + ty)|t=0 , ∀x ∈ D, y ∈ X.
dt

10


Bổ đề 1.1.14 Cho ϕ : R −→ R là một hàm lồi. Khi đó, ϕ có đạo hàm
một phía tại bất kỳ t ∈ intdomϕ và

ϕ− (t) ≤ ϕ+ (t).

(1.3)

Hơn nữa, với mọi t1 , t2 ∈ intdomϕ sao cho t1 < t2 ; t1 , t2 ∈ intdomϕ, ta có

ϕ+ (t1 ) ≤

ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )
≤ ϕ− (t2 ).
t2 − t1

(1.4)

Chú ý 1.1.15 Trong (1.4) bất đẳng thức đầu tiên thỏa mãn khi t1 ∈

intdomϕ và với mọi t2 ∈ R, trong đó t1 < t2 .
Định lý 1.1.16 ([4]) Cho f : X −→ R là một hàm lồi chính thường.
Khi đó, với mỗi x ∈ intdomf , đạo hàm theo hướng f+ (x, y) tồn tại với
mọi hướng y ∈ X ; hàm y → f+ (x, y) là lồi, thuần nhất dương và thỏa mãn

f− (x, y) ≤ f+ (x, y), ∀y ∈ X.

(1.5)

Hơn nữa, nếu f là liên tục tại một điểm trong x0 của miền hữu hiệu của
nó, thì y → f+ (x0 , y) là liên tục trên X .
Chứng minh. Cho x ∈ intdomf , y ∈ X và ta định nghĩa

ϕ(t) = f (x + ty).
Khi đó, ϕ là lồi và 0 ∈ intdomϕ. Do đó, theo Bổ đề 1.1.14, ta có ϕ+ (0) và

ϕ− (0) tồn tại và
ϕ− (0) ≤ ϕ+ (0).
Mặt khác, ta có

ϕ+ (0) = f+ (x, y) và ϕ− (0) = f− (x, y),
vì thế (1.5) thỏa mãn.
Hiển nhiên, với λ > 0, ta có

f+ (x, λy) = λf+ (x, y).

11


Ta sẽ chỉ ra y → f+ (x, y) là hàm dưới cộng tính và từ đó ta suy ra tính
lồi của nó. Với y1 , y2 ∈ X , ta có

t
f x + (y1 + y2 ) − f (x)
2
f+ (x, y1 + y2 ) = lim
t
t→0+

2
x + ty1 x + ty2
+
− 2f (x)
2f
2
2
= lim
t→0+
t
f (x + ty1 ) − f (x)
f (x + ty2 ) − f (x)
≤ lim
+ lim
t→0+
t→0+
t
t
= f+ (x, y1 ) + f+ (x, y2 ).
Bây giờ, ta giả sử rằng f liên tục tại x0 ∈ intdomf và cho ε > 0, M > 0
sao cho

B(x0 ) = {x ∈ X : x − x0 ≤ ε} ⊂ intdomf
và

|f (x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x0 ).
Xét hàm ϕ(t) = f (x0 + ty), với mọi y ∈ X . Khi đó,

−

ε
ε
,
y
y

⊆ intdomϕ.

Tiếp theo, ta sử dụng bất đẳng thức (1.4) của Bổ đề 1.1.14 với t1 = 0, t2 =
ε
, ta thu được
y

ϕ
f+ (x0 , y) = ϕ+ (0) ≤

f x0 +
=
≤

2M
y .
ε

12

ε
y

− ϕ(0)

ε
y

ε
y − f (x0 )
y
y
ε


Tương tự, ta cũng có

ϕ(0) − ϕ
f+ (x0 , y) ≥ f− (x0 , y) = ϕ− (0) ≥
f (x0 ) − f x0 +
=

ε
y
y

ε

≥−

ε
y

ε

y

y

2M
y .
ε

Do đó, ta có

|f+ (x0 , y)| ≤

2M
y , ∀y ∈ X.
ε

Điều này có nghĩa là y → f+ (x0 , y) là liên tục tại y = 0. Từ đó, theo Định
lý 1.1.9, hàm y → f+ (x0 , y) liên tục với mọi điểm y ∈ X . Định lý được
chứng minh.
Từ Định lý 1.1.16, ta có một đặc trưng sau:
Hệ quả 1.1.17 Một hàm liên tục lồi là G-khả vi tại x ∈ intdomf nếu
và chỉ nếu f+ (x, y) = f− (x, y), ∀y ∈ X .

1.2

Dưới vi phân và liên hợp của hàm lồi

Trong mục này, ta sẽ xét X là một không gian Banach thực.
Định nghĩa 1.2.1 ([2], [4]) Ta nó rằng f : X −→ R là khả dưới vi
phân (subdifferentiable) tại một điểm x ∈ X nếu tồn tại một phiếm hàm

x∗ ∈ X ∗ , gọi là dưới gradient (subgradient) của f tại x, sao cho
f (y) − f (x) ≥ x∗ , y − x , ∀y ∈ X.

(1.6)

Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được ký hiệu là ∂f (x) và ánh xạ
∗

∂f : X −→ 2X được gọi là dưới vi phân (subdifferential ) của f .
Chú ý 1.2.2 Từ định nghĩa trên, ta có các khẳng định sau là đúng.
(1)

∂f (x) là một tập con lồi đóng yếu* (weak*-closed) của X ∗ ;
13


(2)

f có một giá trị cực tiểu tại x nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂f (x);

(3)

Nếu f là chính thường và ∂f (x) = ∅, thì x ∈ domf .

Định nghĩa 1.2.3 (1) Một siêu phẳng đóng trong X × R có dạng:

H = {(x, t) ∈ X × R | ; x∗ , x + αt = β},
với α, β ∈ R nào đó và x∗ ∈ X ∗ .
(2) Nếu α = 0, thì siêu phẳng được gọi là siêu phẳng không thẳng đứng

và có dạng:

H = {(x, t) ∈ X × R | x∗ , x + α = t},
với α ∈ R nào đó và x∗ ∈ X ∗ .
(3) Một siêu phẳng không thẳng đứng H trong X × R được gọi là siêu
phẳng tựa với trên đồ thị của hàm f tại điểm (x0 , f (x0 )) nếu (x0 , f (x0 )) ∈

H và trên đồ thị của hàm f được giới hạn bởi một trong hai mặt phẳng
con đóng xác định bởi H . Trong trường hợp này, H có dạng:

H = {(x, t) ∈ X × R | x∗ , x − x0 + f (x0 ) = t},

(1.7)

ngoài ra, ta có

epif ⊆ {(x, t) ∈ X × R | x∗ , x − x0 + f (x0 ) ≤ t}.

(1.8)

Chú ý 1.2.4 (1) (x, t) ∈ epif dẫn đến (x, t+n) ∈ epif , với mọi n ∈ N.
Do đó, với mọi (x, t) ∈ epif , không thể xảy ra bất đẳng thức

x∗ , x − x0 + f (x0 ) ≥ t.
(2) ∂f (x0 ) = ∅ ⇐⇒ tồn tại một siêu phẳng tựa với epif tại (x0 , f (x0 )).
Mệnh đề 1.2.5 Cho f : X −→ R là một hàm lồi chính thường và

x ∈ intdomf . Khi đó, x∗ ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếu
f− (x, y) ≤ x∗ , y ≤ f+ (x, y), ∀y ∈ X.

14

(1.9)


Chứng minh. (=⇒).

Giả sử x∗ ∈ ∂f (x). Khi đó, với mỗi y ∈ X , ta

có

f (x) − f (x − ty)
f (x + ty) − f (x)
≤ x∗ , y ≤
, ∀t > 0.
t
t
Bây giờ, qua giới hạn khi t −→ 0+ , ta thu được (1.9).
(⇐=).

Cho y ∈ X, z = y − x và ϕ(t) = f (x + tz), t ∈ R. Khi đó, theo

Bổ đề 1.1.14, với t1 = 0, t2 = 1, ta thu được

ϕ+ (0) ≤

ϕ(1) − ϕ(0)
.
1−0

Mặt khác, (1.9) cho ta

f (x + z) − f (x) ≥ f+ (x, y) ≥ x∗ , z ,
hay f (y) − f (x) ≥ x∗ , y − x . Từ đó, suy ra x∗ ∈ ∂f (x). Mệnh đề được
chứng minh.
Định lý 1.2.6 Các khẳng định sau là đúng:
(1) Một hàm khả dưới vi phân f là lồi và nửa liên tục dưới trên mọi tập
lồi mở D ⊂ domf .
(2) Một hàm nửa liên tục dưới lồi, chính thường là khả dưới vi phân trên

intdomf .
Hệ quả 1.2.7 Một hàm lồi, liên tục, chính thường f là G-khả vi tại

x ∈ intdomf nếu và chỉ nếu nó có duy nhất một dưới gradient tại x; trong
trường hợp này ta có ∂f (x) = f (x).
Định lý 1.2.8 Giả sử f1 , f2 là hai hàm lồi trên X sao cho tồn tại một
điểm x0 ∈ domf1 ∩ domf2 , trong đó f1 liên tục. Khi đó, ta có

∂(f1 + f2 )(x) = ∂(f1 )(x) + ∂(f2 )(x), ∀x ∈ X.
Ví dụ 1.2.9 Cho f (x) =

1
x 2 . Khi đó, với mọi x = 0, ta có
2

∂f (x) = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x = x

15

2

= x∗

2

.


Thật vậy, nếu x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn x∗ , x = x

2

= x∗ 2 , thì với mọi

y ∈ X , ta có
x∗ , y − x = x∗ , y − x 2 ≤ x y − x 2
1
y 2 − x 2 = f (y) − f (x),
≤
2
nghĩa là x∗ ∈ ∂f (x).
Ngược lại, nếu x∗ ∈ ∂f (x), thì

x∗ , y − x ≤

1
2

2

y

− x

2

∀y ∈ X.

,

Chọn y = x + kz, k ∈ R, z ∈ X , từ bất đẳng thức trên ta thu được

k x∗ , z ≤

1
2

x + kz

2

− x

2

≤

1 2
k z
2

Qua giới hạn khi k −→ 0+ , ta có x∗ , z ≤ x

2

+ 2|k| x

z

.

(1.10)

z với mọi z ∈ X . Do đó,

| x∗ , z | ≤ x z với mọi z ∈ X . Khi đó, cho z = x, ta được
| x∗ , x | ≤ x

2

và

x∗ ≤ x .

(1.11)

Tiếp theo, trong bất đẳng thức đầu tiên của (1.10), ta cho z = x và k < 0.
Khi đó, ta nhận được

x∗ , x ≥

k+2
x 2.
2

Cuối cùng, cho qua giới hạn khi k −→ 0− , đồng thời kết hợp với (1.11),
ta thu được x∗ , x = x

2

= x∗ 2 .

Tiếp theo, trong mục này ta sẽ quan tâm đến các hàm lồi liên hợp và
song liên hợp.
Định nghĩa 1.2.10 ([4]) Cho f : X −→ R, hàm f ∗ : X ∗ −→ R =

[−∞, +∞] được định nghĩa bởi
f ∗ (x∗ ) = sup ( x∗ , x − f ∗ (x∗ ))
x∗ ∈X ∗

được gọi là hàm liên hợp của f .
16


Một hàm song liên hợp (biconjugate function) của f , f ∗∗ : X −→ R
được định nghĩa như sau:

f ∗∗ (x) = sup ( x∗ , x − f ∗ (x∗ )).
x∗ ∈X ∗

Mệnh đề 1.2.11 (Tính chất của các hàm liên hợp và song liên hợp)
Các tính chất dưới đây được suy ra từ định nghĩa trên:
(1)

f ∗ (0) = − inf x∈X f (x).

(2)

f ≤ g =⇒ f ∗ ≥ g ∗ .

(3)

(inf i∈I fi )∗ = supi∈I fi∗ .

(4)

(λf )∗ (x)∗ = λf ∗ (x∗ /λ), λ > 0.

(5)

(f + λ)∗ = f ∗ − λ, λ ∈ R.

(6)

(τy f )∗ (x∗ ) = f ∗ (x∗ ) + x∗ , y , y ∈ X , với (τy f )(x) = f (x − y), với
mọi x ∈ X .

(7)

f ∗∗ ≤ f .

(8)

f ∗ là hàm lồi trên domf ∗ .

Mệnh đề 1.2.12 Nếu f : X −→ R là hàm lồi, chính thường và nửa liên
tục dưới, thì f ∗ cũng là hàm chính thường.
Chứng minh. Với mọi x0 ∈ domf và ε > 0, ta có (x0 , f (x0 )−ε) ∈
/ epif .
Vì trên đồ thị của hàm f là một tập con lồi đóng trong X × R, nên tồn
tại (x∗0 , α) ∈ X ∗ × R sao cho

sup ( x∗0 , x + αt) < x∗0 , x0 + α(f (x0 ) − ε).

(1.12)

(x,t)∈epif

Từ x0 ∈ domf , nên α = 0. Hơn nữa, ta có α < 0. (Vì nếu α > 0 thì
vế trái của (1.12) là +∞). Bây giờ, ta có thể giả sử rằng α = −1. Do

(x, f (x)) ∈ epif , nên theo (1.12), ta có
f ∗ (x∗0 ) = sup ( x∗0 , x − f (x)) ≤ x∗0 , x0 − f (x0 ) + ε,
x∈domf

17


điều này có nghĩa là x∗0 ∈ domf ∗ . Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.13 Cho f : X −→ R là hàm chính thường. Khi đó, x∗ ∈

∂f (x) nếu và chỉ nếu
f (x) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x .
Bổ đề 1.2.14 (Tính đối ngẫu Fenchel )
Cho hai hàm lồi f, g : X −→ R. Khi đó, nếu g là liên tục, thì ta có

inf [f (x) + g(x)] = max
[−f ∗ (x∗ ) − g ∗ (−x∗ )].
∗
∗
x ∈X

x∈X

Định lý 1.2.15 Giả sử f1 , f2 : X −→ R là các hàm lồi và f1 là hàm
liên tục. Khi đó, ta có

(f1 + f2 )∗ (x∗ ) = min
[f1∗ (x∗ − z ∗ ) + f2∗ (z ∗ )].
∗
∗
z ∈X

Chứng minh. Ta cố định x∗ ∈ X ∗ và định nghĩa trên X các hàm

f (x) = f2 (x) và g(x) = f1 (x) − x∗ , x .
Khi đó, g là hàm lồi và liên tục. Hơn nữa, ta có

−g ∗ (−z ∗ ) = − sup[ −z ∗ , x + x∗ , x − f1 (x)] = −f1∗ (x∗ − z ∗ ).
x∈X

Từ đó, bằng cách sử dụng Bổ đề 1.2.14, ta thu được

(f1 + f2 )∗ (x∗ ) = − inf [f1 (x) + f2 (x) − x∗ , x ] − max
[−f ∗ (z ∗ ) − g ∗ (−z ∗ )]
∗
∗
z ∈X

x∈X

= − max
[−f1∗ (x∗ − z ∗ ) − f2∗ (z ∗ )]
∗
∗
z ∈X

= min
[f1∗ (x∗ − z ∗ ) + f2∗ (z ∗ )].
∗
∗
z ∈X

Định lý được chứng minh.
Từ Hệ quả 1.1.8 (2) và Mệnh đề 1.2.12, ta suy ra định lý sau:
Định lý 1.2.16 Cho f : X −→ R là một hàm chính thường. Khi đó,

f ∗∗ = f nếu và chỉ nếu f là lồi và nửa liên tục dưới.
18

Để kết thúc mục này, ta sẽ xét lại hàm f (x) =
Ví dụ 1.2.17 Với hàm f (x) =

1
x
2

f ∗ (x∗ ) =

2

1
x
2

2

trong Ví dụ 1.2.9.

thì hàm liên hợp f ∗ có dạng:

1 ∗ 2
x .
2

Thật vậy, với mọi x ∈ X và x∗ ∈ X , ta có

x∗ , x ≤ x∗
Do đó, ta có

x∗ , x −

x

1
2

1
x
2

x∗

2

Suy ra

f ∗ (x∗ ) = sup( x∗ , x −
x∈X

≤

2

2

+ x

.

1 ∗ 2
x .
2

1
1
x 2 ) ≤ x∗ 2 .
2
2

Lấy yn ∈ X, yn = 1 sao cho

x∗ , yn −→ x∗ = sup | x∗ , y |.
y =1

Khi đó, với xn = x∗ yn , ta thu được

x∗ , xn −

1
xn
2

2

= x∗ x∗ , yn −

1
xn

2

2

−→

1 ∗ 2
x .
2

Từ đó, ta suy ra khẳng định trên là đúng.

1.3

Không gian Banach trơn

Ta sẽ bắt đầu với định nghĩa và một số chú ý về các không gian Banach
trơn.
Định nghĩa 1.3.1 ([4]) Một không gian Banach X (thực hoặc phức)
được gọi là trơn nếu với mọi x = 0 tồn tại duy nhất một x∗ ∈ X ∗ sao cho

x∗ = 1 và x∗ , x = x .
Chú ý 1.3.2 Trong trường hợp X là một không gian Banach phức, ta
sẽ ký hiệu bởi XR , không gian X được xét như một không gian thực.
19


Với mỗi x∗ ∈ X ∗ , ta ký hiệu bởi Rex∗ ∈ XR∗ , hàm thực được định nghĩa
như sau:

Rex∗ , x = Re x∗ , x , ∀x ∈ X.
Khi đó, ta có x∗ = Rex∗ . Hơn nữa, với mọi x∗ ∈ X , ta có

x∗ , x = Rex∗ , x − i Rex∗ , ix .
Suy ra X ∗

x∗ → Rex∗ ∈ XR∗ là một phép đẳng cấu, đẳng cự R-tuyến

tính (R-linear isometric isomorphism). Từ đó, ta đi đến kết luận rằng một
không gian Banach phức X là trơn nếu và chỉ nếu XR là trơn. Do đó, trong
các phần dưới đây, ta có thể giả thiết rằng X là một không gian Banach
thực.
Với r > 0 và x0 ∈ X , hình cầu mở và hình cầu đóng được ký hiệu lần
lượt là:

Sr (x0 ) = {x ∈ X | x − x0 < r} và S r (x0 ) = {x ∈ X | x − x0 ≤ r}.
Mệnh đề 1.3.3 Với mọi x = 0, ta có

∂ x = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x = x , x∗ = 1}.
Chứng minh. Ta thấy rằng, nếu x∗ ∈ X ∗ sao cho x∗ , x = x và

x∗ = 1, thì với mọi y ∈ X , ta có
x∗ , y − x = x∗ , y − x ≤ y − x ,
tức là x∗ ∈ ∂ x .
Ngược lại, nếu x∗ ∈ ∂ x , thì

x∗ , y − x ≤ y − x ≤ y − x ,
với mọi y ∈ X . Suy ra x∗ ∈ X ∗ và x∗

(1.13)

≤ 1. Bây giờ, chọn y = 0

trong (1.13), ta nhận được x∗ , x ≥ x . Từ đó, ta có x∗ , x = x và

x∗ = 1. Mệnh đề được chứng minh.
Định lý sau đây được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.3.3.
20


Định lý 1.3.4 X là trơn nếu và chỉ nếu chuẩn là G-khả vi trên X \ {0}.
Mệnh đề 1.3.5 X là trơn nếu và chỉ nếu với mọi x = 0, tồn tại duy
nhất một siêu phẳng tựa của hình cầu S

x

(0) tại x.

Định nghĩa 1.3.6 Với τ > 0, ta định nghĩa

1
sup ( x + τ y + x − τ y − 2) ;
2 x = y =1
1
ρ(τ, x) = sup ( x + τ y + x − τ y − 2 x ) , ∀x ∈ X.
2 y =1
ρ(τ ) =

Các hàm R+

τ → ρ(τ ) và R+

τ → ρ(τ, x) lần lượt được gọi là mô đun

của tính trơn (modulus of smoothness) của X và mô đun của tính trơn tại

x. (Để tránh nhầm lẫn, đôi khi ta sử dụng ký hiệu ρX để chỉ mô đun của
tính trơn của không gian X ).
Định nghĩa 1.3.7 Cho X là một không gian Banach.
(1)

X được gọi là trơn đều (uniformly smooth) nếu
ρ(τ )
= 0;
τ −→0 τ
lim

(2)

X được gọi là trơn đều địa phương (locally uniformly smooth) nếu
ρ(τ, x)
= 0, ∀x ∈ X \ {0}.
τ −→0
τ
lim

Nhận xét 1.3.8 Ta có thể thấy rằng ρ(τ ) ≥ 0 và ρ(τ, x) ≥ 0, ∀τ > 0.
Thật vậy, với x, y ∈ X cố định, áp dụng Bổ đề 1.1.14 cho hàm lồi

ϕ(τ ) = x + τ y , τ ∈ R+ ,

ta thu được

x − x − τy
x + τy − x
≤ ϕ− (0) ≤ ϕ+ (0) ≤
.
τ
τ
Từ đây, ta suy ra x + τ y + x − τ y − 2 ≥ 0.
Mệnh đề 1.3.9 Nếu X trơn đều địa phương thì X trơn.
21

(1.14)


Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng X không trơn. Khi đó, tồn tại

x0 ∈ X, x0 = 1 và x∗1 , x∗2 ∈ X1∗ , x∗1 = x∗2 , với
x∗1 = x∗2 = 1 và

x∗1 , x0 = x∗2 , x0 = 1.

Lấy y0 ∈ X sao cho y0 = 1, x∗1 , y0 > 0 và y0 ∈ Ker(x∗1 + x∗2 ). Khi đó,
với mọi τ > 0, ta có
1
( x0 + τ y0 + x0 − τ y0 − 2)
2
1
≥ [( x∗1 , x0 + τ x∗1 , y0 ) + ( x∗2 , x0 − τ x∗2 , y0 ) − 2]
2

τ
= ( x∗1 , y0 − x∗2 , y0 ) = τ x∗1 , y0 .
2
(Ở đây, trong đẳng thức cuối, ta đã sử dụng x∗2 , y0 = − x∗1 , y0 .) Do đó,
ta có

ρ(τ, x0 )
≥ x∗1 , y0 > 0.
τ
Điều này mâu thuẫn với giả thiết X trơn đều địa phương. Vậy X là trơn.
Mệnh đề được chứng minh.

1.4

Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach

Định nghĩa 1.4.1 ([3], [4]) Cho X là một không gian Banach.
(1)

Một hàm tăng ngặt và liên tục ϕ : R+ −→ R+ , sao cho ϕ(0) = 0
và limt−→+∞ ϕ(t) = +∞ được gọi là hàm trọng số (weight function);

(2)

∗

Ta gọi ánh xạ đối ngẫu trọng số ϕ là ánh xạ J : X −→ 2X được
định nghĩa bởi

Jx = x∗ ∈ XR∗ | x∗ , x = x∗

x , x∗ = ϕ( x ) .

Ánh xạ đối ngẫu tương ứng với trọng số ϕ(t) = t được gọi là ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc hóa (normalized duality mapping);
(3)

Một lựa chọn của ánh xạ đối ngẫu (selection of the duality mapping)

J là một ánh xạ đơn trị J : X −→ X ∗ thỏa mãn Jx ∈ Jx, với mọi
x ∈ X.
22


Nhận xét 1.4.2 Với mọi x ∈ X , ta có Jx = 0. Thật vậy, ta xét y =

x.ϕ( x ). Khi đó, theo Định lý Hahn-Banach, tồn tại y ∗ ∈ X ∗ sao cho
y ∗ = 1 và y ∗ , y = y . Từ đó, hiển nhiên x∗ = y ∗ .ϕ( x ) ∈ Jx.
Định lý 1.4.3 (Asplund ) ([2], [4]) Nếu J là một ánh xạ đối ngẫu có
trọng số ϕ, thì Jx = ∂ψ( x ) với mọi x ∈ X .
Ta sẽ sử dụng kết quả của Bổ đề 1.4.4 dưới đây để chứng minh Định lý
1.4.3.
Bổ đề 1.4.4 Giả sử ϕ là một trọng số trên R+ và
t

ψ(t) =

ϕ(s)ds.
0

Khi đó, ψ là một hàm lồi trên R+ .
Chứng minh Định lý 1.4.3 . Giả sử x∗ ∈ Jx và y ∈ X sao cho

y > x . Khi đó, theo Bổ đề 1.4.4, ψ là một hàm lồi. Thành thử, nhờ
vào Bổ đề 1.1.14, ta có

x∗ = ϕ( x ) = ψ ( x ) ≤

ψ( y ) − ψ( x )
.
y − x

Do đó

ψ( y ) − ψ( x ) ≥ x∗ ( y − x ) = x∗

y − x∗ , x ≥ x∗ , y − x .

Nếu y < x , thì bằng cách sử dụng bất đẳng thức

ψ( x )≥

ψ( x ) − ψ( y )
,
x − y

ta thu được cùng kết quả như trên. Như vậy, với mọi y ∈ X , ta có ψ( y )−

ψ( x ) ≥ x∗ , y − x . Từ đó, x∗ ∈ ∂ψ( x ).
Ngược lại, ta xét x∗ ∈ ∂ψ( x ) và y ∈ X với y = x . Khi đó, ta có

x∗ , y ≤ x∗ , x . Do đó
x∗

x = sup x∗ , y ≤ x∗ , x ,
y = x

23