skkn một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS lương thế vinh

“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Lí do lý luận: Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự
nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người. Với một xã hội mà
khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai
trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng. Để thực hiện được nhiệm
vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thì
phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việc
dạy học kiến thức, kĩ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người, song hành việc
phát triển trí tuệ của học sinh và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế.
Như vậy, người giáo viên sẽ đóng một vị trí quan trọng trong việc hướng dẫn, tổ
chức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức của nhân loại. Khi đó
thông qua hoạt động dạy và học nói chung, qua việc học toán nói riêng, đặc biệt là
qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ và tái
hiện kiến thức. Nghĩa là học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp và vận
dụng các kiến thức đã học một cách phù hợp trong việc giải quyết các bài toán. Qua
đó rèn trí thông minh, sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệ
toàn diện cho học sinh.
Lí do thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn
Toán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩn
riêng biệt. Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự
đam mê khám phá, tìm hiểu. Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ môn
thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở rộng, nâng
cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có
tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. Đối với học
sinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán. Phần
lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳng thức.
Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập bất

đẳng thức chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyết trừu
tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán. Trong đó điều
cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tập
quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bài
tập liên quan hoặc cùng dạng. Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động
sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên và các trường học.
Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi trong đội tuyển
là khâu hết sức quan trọng và việc chọn lựa các chuyên đề bồi là việc làm quan
trọng nhất. Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số
kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp
8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh” trong chương trình Toán lớp 8, 9 nói riêng
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 1 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

và vận dụng trong Toán học nói chung với mong muốn được tích lũy thêm kiến
thức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhận được thật
nhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để
SKKN này được trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ là quá
cũ, quá quen thuộc, song tôi luôn hy vọng rằng nó sẽ góp được một điều nhỏ bé nào
đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này. Đây là mong
muốn và cũng là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này.
II. Mục đích nguyên cứu.
Trước khi thực hiện SKKN này tôi nhận thấy ở trường nhiều em học sinh giỏi

dự thi kì thi cấp tỉnh đều đạt kết quả rất thấp mọi kì vọng các thầy cô về học sinh
dự thi không như mong đợi dẫn đến các em khóa sau ngại thi bộ môn toán vì thành
tích trường không cao so các môn khác. Các em thấy những bài thầy cô có dạy qua
mà mình không làm được cảm thấy ngại với thầy cô vì thầy cô bỏ tâm huyết công
sức bồi dưỡng cả năm trời không thu lại thành quả. Xuất phát từ nguyên nhân đó
tôi thống kê lại nguyên nhân vì sau các em thất bại hình thành cho mình một con
đường mới trong công tác bồi giỏi. Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ôn
tập hết không có thời gian xuất phát từ đó tôi nhận ra rằng các cấu trúc đề thi hiện
nay không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung ở một số chủ đề chính mà các
SKKN trước đó mang tính chuyên sâu về nội dung từng chủ đề việc người học tiếp
thu được là vấn đề rất khó khăn do đó tôi sắp xếp lại cấu trúc các bài vừa sức học
sinh không quá khó theo từng dạng đặc biệt dạng gần gủi với các em nên việc tiếp
thu không quá khó theo các mảng theo chuyên đề dẫn đến các em hào hứng học tập
hơn với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán của Trường THCS Lương Thế Vinh
phải đạt giải cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh mà bài toán về bất
đẳng thức luôn có đó chính là mục đích nguyên cứu đề tài này.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. Cơ sở lý luận của vấn đề.
Kiến thức về bất đẳng thức được giới thiệu trong chương III đại số 8. Đây là
cơ sở lý luận để nhận biết được bất đẳng thức. Nó còn được vận dụng để giải quyết
một lượng không nhỏ các bài tập liên quan đến bất đẳng thức. Giả sử A và B là hai
biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó
A  B; A  B; A �B; A �B được gọi là các bất đẳng thức.

Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau
A  B  0; A  B  0; A  B �0; A  B �0

Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.
Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó
là một bất đẳng thức đúng.

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 2 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất giao hoán: Cho các số thực A và B bất kì, ta luôn có
A �۳
B

B

A

Tính chất bắc cầu: Cho các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có

A �
B,�B

C

A

C

Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có
A �۱��
B
A

M

B

M

Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
A �B; C �D � A  C �B  D
A �B; C �D � A  D �B  C

Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho các số thực A, B bất kì, ta luôn có
A  B;
�M
A  B;
�M

0
0

A.M
A.M

B.M
B.M

Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
�
0 A  B
�
�
�
� 0  A.C  B.D
�
0

C

D
�

Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo: Cho các số thực dương A, B bất kì, ta
luôn có A �B

1
A

1
B

Để giải quyết các bài tập này học sinh phải nắm chắc hệ thống lý thuyết cơ bản
bất đẳng thức, biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, hợp lí, qua đó học sinh
có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo trong giải toán.
Kiến thức về bất đẳng thức không chỉ được ứng dụng trong thi học sinh giỏi các
cấp, kì thi đại học mà ngay những bài toán trong các đề kiểm tra một tiết, học kì
chúng ta thường xuyên gặp. Vì vậy muốn nắm chắc được hệ thống lý thuyết cơ bản

bất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương
trình THCS.
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập
cơ bản liên quan đến bất đẳng thức. Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp
8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ. Mỗi
dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức
áp dụng. Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những
sai sót trong trình bày, trong diễn đạt … là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 3 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc
để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa.
II. Thực trạng vấn đề.
Sau hơn mười năm công tác, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức và
học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiều
thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công. Trong
những năm gần đây tôi đã được phân công dạy lớp 8,9. Từ năm học 2015 – 2016,
tôi bắt đầu có ý tưởng tích lũy một số kiến thức về bất đẳng thức và áp dụng vào
dạy các năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019. Qua thời
gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng
bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS

Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi
với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 8, 9 để tích lũy thêm cho SKKN
này. Qua đó, tôi thấy:
Trước khi tiến hành nguyên cứu đề tài tôi tiến hành khảo sát đội ngủ học sinh
giỏi dự thi cấp huyện khảo sát về các bài toán về bất đẳng thức thì 100% học sinh
không làm được, lấy ý kiến thì các em còn mơ hồ về bất đẳng thức trong khi đó hầu
hết các đề thi cấp huyện đều có một bài bất đẳng thức, đặc biệt đề thi cấp tỉnh luôn
có một bài toán bất đẳng thức chính vì lý do đó mà cá nhân tôi mạnh dạn thực hiện
đề tài nguyên cứu này nhằm giúp các em đạt giải cao trong các kì thi huyện tỉnh và
gần như chiếm trọn vẹn điểm về mảng bất đẳng thức.
SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một khoảng thời
gian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các
đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức
nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hôm nay. Với lượng kiến thức này tuy chưa đầy đủ
song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra. Đồng thời thu hút thêm sự
đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận
lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, chú trọng rèn luyện
nhiều ở phương pháp dạy học. Theo thời gian, việc tiếp tục nghiên cứu nội dung
này có phần khó khăn vì công tác bồi mỗi năm một khối lớp khác nhau. Do đó việc
thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi như
mong muốn. Mặt khác, các em học sinh tính tự giác trong học tập đối tự rèn chưa
cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì giáo
viên sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các em
mới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em
có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn.
SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi trong nhiều tiết
theo chuyên đề của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) tại trường đã
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 4 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

đạt kết quả tốt. Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng
trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi
đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này
của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức. Vì thế, năng lực tư duy
logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán
học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do
vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em
là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và
trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biết
cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù
được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử
dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này
là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực
tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG.
Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suy
nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thật
thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết
quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên
những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học

tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút
nhiều. Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao.
Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai
thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều. Một điều nữa là
việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh
chưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà,. Trong mảng kiến thức về bất đẳng thức,
các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu trên. Vì
vậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến ngại làm
bài tập. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng
hiệu quả là luyện giải bài tập.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh và chia sẻ
một số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán
trên địa bàn Krông Ana. Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về
bất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như
sau:
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 5 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

III.1. Trước hết, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản của
bất đẳng thức trong sách giáo khoa.
* Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ
A 2 �0 với  A

A 2k �0 với  A và k là số tự nhiên
A �0

với A

A  B �A  B
A  B �A  B

x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
Dạng 1:

x1  x2  ......xn n
� x1 x2 ...........xn
n

Dạng 2:

x1  x2  ......xn �n

Dạng 3:

�x1  x2  ......xn �
�
� �x1 x2 ...........xn
n
�
�

n

x1 x2...........xn

n

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x1  x2  ............  xn
Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức nền tốt. Giáo dục được ý thức ham
học và nghiêm túc trong học tập, nghiêm khắc với bản thân cho học sinh ngay từ
đầu vì thói quen xấu rất khó bỏ và nề nếp chặt chẽ mau vững bền.
III.2. Đưa ra dạng bài tập cơ bản thường hay gặp.
Ví dụ :



 



2

a2  b2 �2ab; 2 a2  b2 � a  b �4ab





3 a b
a2  b2  ab �
4

2

a2  b2  c2 �ab  bc  ca



 



 





2



3 a2  b2  c2 � a  b  c �3 ab  bc  ca



3 a4  b4  c4 � ab  bc  ca

Giáo viên: Đoàn Công Nam

2





�3abc a  b  c .

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 6 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Yêu cầu và bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng các bất đẳng thức thường
gặp để từ đó hình thành tư duy, kỹ năng nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại nào để
đưa ra cách giải hợp lí đở tốn thời gian.
Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiết
dạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi
mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng. Ngoài ra, có thể
tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua trong
học tập. Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học
bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy và để tiến
hành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển.
III.3. Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng
túng khi làm bài trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
Bài 1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a
b
c
3



� (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2

Bài giải: Ta luôn có :

1
3
3(ab  bc  ca) �(a  b  c) 2 � ab  bc  ca �3 �  (ab  bc  ca ) �
2
2

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: 1  b 2 �2b nên
a
ab 2
ab 2
ab
a
�a 
 a  (1)
2
2
1 b
1 b
2b

2

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

b
bc
c
ca
�b  (2);
�c  (3)
2
2
1 c
2
1 a
2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có:

a
b
c
3


�
2
2
2
1 b 1 c 1 a

2

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 2. Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:
a 1 b 1 c 1


�3
1  b2 1  c 2 1  a 2
bc �
ca

) (a b c ) 2
Ta có: 3(ab 

9

a  b  c  ab  bc  ac
2

0

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: 1  b 2 �2b nên

a 1
b 2 (a  1)
b 2 (a  1)
ab  b

a


1

�
a

1

 a 1
(1)
2
2
1 b
1 b
2b
2

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 7 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

b 1

bc  c
c 1
ac  a
�b  1 
(2) ;
�c  1 
(3)
2
2
1 c
2
1 a
2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta cũng có:
a 1 b 1 c 1
a  b  c  ab  bc  ca


�3 
�3
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Nhìn thấy bài tập trên là học sinh nghỉ ngay đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu để
chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài

thậm chí không giải được. Bài tập toán muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng tuy
không có quy tắc tổng quát hoặc phương pháp làm bài riêng, song sau khi giải hoặc
hướng dẫn xong giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để
khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
Giáo viên nên tránh nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay bài
khó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một khó cảm thấy nản chí không đam mê,
không nhận ra và ghi nhớ đợt từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không định
hình được phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang.
Giáo viên không nên coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng,
cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung coi những bài
đó mới là tối ưu, kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được phương pháp tư
duy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại sự việc có một
nguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là giải quyết được hầu
hết các sự việc.
Mục đích hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng của bộ môn cho học sinh
là học ngay tại lớp, thường xuyên ôn lại kiến thức và rèn luyện làm bài tập nhiều,
hiệu quả để khắc sâu kiến thức giúp các em tốn ít thời gian nhất mà nhớ lâu, vận
dụng tốt.
III.4. Lựa chọn một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương
thường hay ra trong đề thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây.
Phân tích: Các bất đẳng thức dưới đây khá quen thuộc, ta có thể giải bằng
cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương.
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh
a) a2  b2  c2 �ab  bc  ca





b) a2  b2  c2  3 �2 a  b  c

Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 8 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”



 



a2  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a2
2
2
2
2
a b  b c  c a

�0
2

a2  b2  c2  ab  bc  ca 



 

 



Suy ra a2  b2  c2 �ab  bc  ca
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
abc

b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

a

2

 



 b2  c2  3  2 a  b  c  a2  2a  1  b2  2b  1  c2  2c  1



 

 

2



2

2

 a  1  b  1  c  1 �0
2
2
2
Suy ra: a  b  c  3 �2 a  b  c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  b  c  1.
12
12
4
4
10
10
6
6
Bài 2. Chứng minh rằng:  x  y   x  y  � x  y   x  y 

( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

x

12

 y12   x 4  y 4  � x10  y10   x 6  y 6  � x16  x12 y 4  x 4 y12  y16 �x16  x10 y 6  x 6 y10  y16

� x12 y 4  x 4 y12  x10 y 6  x 6 y10 �0 � x 4 y 4 ( x 8  x 6 y 2  y 8  x 2 y 6 ) �0

4 4
2
2
6
6
� x4 y 4 �
x 6 ( x 2  y 2 )  y 6 ( x 2  y 2 )�
�
��0 � x y  x  y   x  y  �0

� x4 y 4  x 2  y 2 

2

x

4

 x 2 y 2  y 4  �0

12
12

4
4
10
10
6
6
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y. Vậy  x  y   x  y  � x  y   x  y 

2

a2  b2  c2 �a  b  c �
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
��
�
3
� 3
�

Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức



 



2



 
2

 
2

2
2
2
2
a b  b c  c a
a2  b2  c2 �a  b  c � 3 a  b  c  a  b  c
�


�
3
9
9
� 3
�



2

2

Suy ra:

a2  b2  c2 �a  b  c �
��
�
3
� 3
�

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 9 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  b  c.
Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra
để từ đó có hướng đi hợp lí.
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:





a2  b2  c2  d2  e2 �a b  c  d  e

Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức
trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các
bình phương. Để được các tích ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a
với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến
đổi như sau





a2  b2  c2  d2  e2 �a b  c  d  e



 

 

2

 

2



2

2

� a  kb  a  kc  a  kd  a  ke �0

Trong trường hợp trên ta có thể chọn k  2 , tức là ta phải nhân hai vế với 4.
Lời giải
2
2
2
2
2
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức : a  b  c  d  e  a  b  c  d  e













4 a2  b2  c2  d2  e2  4 ab  ac  ad  ae



4
a2  4ab  4b2  a2  4ac  4c2  a2  4ad  4d2  a2  4ae  4e2



4
2
a  2b  a  2c  a  2d  a  2e

 

 
2

 

 
2

 
2

4

 





�0

2

2
2
2
2
Suy ra: a  b  c  d  e �a  b  c  d  e

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  2b  2c  2d  2e.
Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn
có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.
Bài 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:



abc � a  b  c  b  c  a  c  a  b

a) a2  b2  c2  2 ab  bc  ca
b)

Lời giải
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 10 -




“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9

tại trường THCS Lương Thế Vinh”

a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
�
�
a2  a(b  c)
0 a  b c
�2
�
0 b  a c� �
b  b(a  c)
�
�
�
0 c a b
c2  c(a  b)
�
�
2
2
2
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a  b  c  2 ab  bc  ca

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có





2







a2 �a2  b  c  a  b  c a  b  c  0
2
2
2
2
2
2
Chứng minh tương tự ta được b �b  (c  a)  0; c �c  (a  b)  0

Nhân vế các bất đẳng thức ta được











2
�

a2b2c2 ��
a2  b  c �
b2  c  a
�
�
�
��
�
2
2
 a2b2c2
a b c b c a c







2





2
��
c2  a  b �
�
�

�
��
�
2
a b



Mà ta lại có a  b  c  0; b  c  a  0; c  a  b  0
Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc � a  b  c .  b  c  a .  c  a  b
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Nhận xét: Bất đẳng thức abc � a  b  c  b  c  a   c  a  b không chỉ đúng
với a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực
dương bất kì. Bất đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur.
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
a
b
c
3


�
b c c a a b 2

Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có
rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng phương
pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau
a

1

a b

a c

Thứ nhất ta xét hiệu hai vế và chú ý b  c  2  2 b  c  2 b  c , khi đó ta
   
có 6 phân thức. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi a  b  c , nên ta ghép hai phân
thức làm một nhóm sao cho có thể phân tích được thành bình phương của hiệu hai
trong ba số a, b, c. Để ý là

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 11 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”





2

a b
a b ab



.
b c c a
b c c a







Thứ hai ta để ý đến biến đổi

a
a b c
 1
. Do đó ta cộng vào hai vế của
b c
b c

bất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về

�1
1
1 �


��9 , đến đây ta có thể đơn giản hóa
�b  c c  a a  b �
bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ x  b  c; y  c  a; z  a  b .

dạng như sau  2a  2b  2c �

Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ x  b  c; y  c  a; z  a  b ngay từ đầu,
y z x
z x  y
xyz
;b
; c
và bất đẳng thức cần chứng
2
2
2
y z x z x y x y z


�3 sẽ chứng minh dễ dàng
minh thu được ở đây là
x
y
z

khi đó ta được a 

hơn.
Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
a
1
b

1
c
1
 
 
 �0
b c 2 c a 2 a b 2
a b a c b c b a c a c b
�





�0
b c b c c a c a a b a b
�a  b a  b � �b  c b  c � �c  a c  a �
��



� �
� �
��0
�b  c c  a � �c  a a  b � �a  b b  c �

 a  b   b  c   c  b
�
 b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c
2

2

2

�0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với
a
1
b
1
c
1 9
 
 
 � � 2a  2b  2c
b c 2 c a 2 a b 2 2



�

�

�

�

 �b 1 c  c 1 a  a 1 b ��9

Đặt x  b  c; y  c  a; z  a  b , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
�

�

�

�

 x  y  z �x1  y1  1z ��9 � xy  xy  yz  xz  xz  xz �6

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 12 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”



xy
�x y
� �y z
� �x z
�

� �   2� �   2� �   2��0 �
2xy
�y x
� �z y
� �z x
�



2

 y  z


2

2yz

 z  x


2

�0

2zx

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Cách 3: Đặt x  b  c; y  c  a; z  a  b , khi đó ta được
a

y z x
z x y
x yz
;b
; c
2
2
2

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
y z x z x y x y z


�3
x
y
z



xy
�x y
� �y z
� �x z
�
� �   2� �   2� �   2��0 �
2xy
�y x
� �z y

� �z x
�



2

 y  z

2yz

2

 z  x

2zx

2

�0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .





2
2
Bài 7. Cho biểu thức P  a  b  ab  3 a  b  2013 . Với giá trị nào của a và b

thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2012-2013)
Bài giải:
2P = (a – b – 2)2 + (a – 1)2 + (b + 1)2 + 2.2010 ≥ 2.2010
 P ≥ 2010.

ab20
�
a 1
�
�
a 1  0
��
Dấu “=“ xảy ra khi có đồng thời: �
b  1
�
�
b

1

0
�
Vậy minP = 2010  a = 1 và b = –1
Bài 8. Tìm x (x > 0) để biểu thức y 

x

2

 x  2012  đạt giá trị lớn nhất.

( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2011-2012)
x
1
Theo bài ra ta có x > 0, y  x  2012 2 đạt giá trị lớn nhất khi y đạt giá trị nhỏ nhất


với y � 0.
1  x  2012 
x 2  2.2012 x  20122
20122


 x  4024 
y
x
x
x
2

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 13 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

1
20122
20122
 4024  x 
. Vì 4024 không đổi nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của x 
y
x
x
2
2012
. Ta thấy hai số x và
đều dương và có tích bằng 20122 không đổi nên tổng của
x
2
2012
chúng x 
sẽ nhỏ nhất khi chúng bằng nhau, tức là:
x

hay

20122
x
hay x2 = 20122, x = 2012 (Không lấy giá trị âm).
x

Vậy với x = 2012 thì y đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là
y

2012

 2012  2012 

2



1
8048

Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 5  b5 với a + b = 2.
(Đề thi học sinh giỏi toán 8 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
Bài giải :
Đặt a = 1 + m � b = 2 - ( 1 + m) = 1 – m
Khi đó a 5  b5 =  1  m    1  m 
5

5

 1  5m  10m2  10m3  5m 4  m5  1  5m  10m 2  10m3  5m 4  m5

= 2 + 20m2 + 10m4
Vì 20m2 + 10m4 �0 với  m � 2 + 20m2 + 10m4 �2
Dấu « = » xảy ra khi m = 0 � a= b = 1 , Vậy giá trị nhỏ nhất của a 5  b5 là 2 khi a
=b=1
Bài 10. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  3. Chứng minh
rằng: x x  y  y y  z  z z  x �3 2
(Đề thi học sinh giỏi huyện Krông Ana năm học 2016-2017)
Bài giải:
Trước hết ta chứng minh BĐT Cosy- Bunhiacopxky cho 6 số bất kỳ:

Cho 6 số bất kỳ a, b, c, x, y, z ta luôn có BĐT:
(ax  by  cz ) 2 �(a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) (1)

Dấu “=” xảy ra khi a  tx, b  ty, c  tz (với t là hằng số).
Từ đó ta có kết quả sau: ( x  y  z )2 �(12  12  12 )( x 2  y 2  z 2 )  9
Hay x  y  z �3 (*) . Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z=1
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 14 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Áp dụng BĐT (1) và kết quả (*) cho 6 số x, y, z, x  y , y  z , z  x ta có:
( x x  y  y y  z  z z  x ) 2 �2( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z ) �18

Hay: x x  y  y y  z  z z  x �3 2.
Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 .
III.5. Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc về các bài toán bất đẳng thức.
Bài 1. Cho a �2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S  a 

1
a

Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh: S  a 

1
1
�2 a =2
a
a

1
Dấu “ = ” xảy ra  a   a = 1  vô lí vì giả thiết là a �2.
a
Cách làm đúng
1
để sao cho khi áp dụng
a
BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2. Có các hình thức tách sau:
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử

�
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
�1 1 �
a; � (1) ( sơ đồ điểm rơi (2),(3),(4) học sinh tự làm)
�
�
 a�
�
�
�
� 1�
�1
 a; � (2)
2

�
�
� a
� 1� �
� a�
�

  2  1   = 4.
a, ��
�
�
� 1 �
� a� �
 2
�
a; � (3)
�1  1
�

a
�
�
�
�
�a 2
�

�
�
�a;

� a � (4)
�
� �
�

Vậy ta có : S 

a 1 3a
a 1 3a
3.2 5
  �2

�1 
 .
4 a 4
4a 4
4 2

Dấu “ = ” xảy ra  a = 2.
Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tắc biên để
tìm ra  = 4

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 15 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9

tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Bài

2.

Cho

�
a, b, c  0
�
.
�
a  b  c �3
�
2
�

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

S  abc 1  1  1
a b c
Giải

1 1 1
a b c

1 11
a b c

Sai lầm thường gặp của học sinh: S  a  b  c    �6 6 a.b.c. . .  6
 Min S = 6
Nguyên nhân sai lầm :
Min S = 6  a  b  c 

1  1  1 1 � a  b  c  3  3
trái với gải thiết.
a b c
2

Phân tích và tìm tòi lời giải
Do S là một biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt tại điểm rơi

a bc  1
2

Sơ đồ điểm rơi: a  b  c 

1
2

�
a bc 1
�
�
2
�

�1  1  1  2
�
 a b c 
�

1  2 �  4
2 

Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau :

a bc  1
2

�
 a  b  c  
�
�
2

�
�1  1  1  2
�a b c

�

 2 �  4
1 2 �  4
 
2
2 

Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 sau:
�
1 1 1�
1 11
S  �4a  4b  4c    � 3  a  b  c  �6 6 4a.4b.4c. . .  3  a  b  c 
a b c�
a b c
�

3 15
15
1
�12  3.  . Với a  b  c  thì MinS =
2 2
2
2
Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt
toán học nhưng cách làm trên tương đối cồng kềnh. Nếu chúng áp dụng việc chọn

điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn.

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 16 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC ,
chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó
còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số.
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S

a
b
c
d
bc d c  d a a bd a bc








bcd c d  a a bd a bc
a
b
c
d

Giải
Sai lầm thường gặp
� a
bcd

�2
�
a
�b  c  d
� b
cd a
�

�2
b
�c  d  a
�
a b d
� c
�2
�a  b  d 
c
�
� d

abc

�2
�
d
�a  b  c

a
bc d
.
bcd
a
b
cd a
.
cd a
b
c
a b  d
.
abd
c
d
a bc
.
abc
d

2
2

2

 S �2 + 2 + 2 + 2 = 8

2

Sai lầm thường gặp của học sinh: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 8 số:
S �8 8

a
b
c
d
b c d c d a a b d a b c
.
.
.
.
.
.
.
8
b c  d c  d  a a b  d a b c
a
b
c
d

Nguyên nhân sai lầm:
�

a bcd
�
bcd a
�
Min S = 8  �
 a + b + c + d = 3(a + b + c + d)  1 = 3  vô lí.
c  d ab
�
�
d  abc
�

Phân tích và tìm tòi lời giải: Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối
xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b =
c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta
4
40
cho trước a = b = c = d dự đoán Min S   12  . Từ đó suy ra các đánh giá
3
3
của BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự
đoán: a = b = c = d > 0 .
Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có:

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 17 -

“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

b
c
d
1
� a




�
�b  c  d c  d  a a  b  d a  b  c 3
�
�b  c  d  c  d  a  a  b  d  a  b  c  3
� a
b
c
d


�

1 3

�   9
3 

Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có :
�

a

bcd �
8 bcd
 � .
�
�
9a � a,b,c,d 9
9a

S

� �b  c  d 
a ,b,c,d �

�8 8

a
b
c
d
b c  d c d a a b d a bc
.
.
.
.
.

.
.
bc d cd a abd a bc
9a
9b
9c
9d

8 �b c d c d a a b d a b c �
 �           �
9 �a a a b b b c c c d d d �
�b c d c d a a b d a b c � 8 8
8 8
40
�  .12.12 � . . . . . . . . . . . �  .12 
3 9
3
�a a a b b b c c c d d d � 3 9

Với a = b = c = d > 0 thì Min S = 40/3.
Trên cơ sở nội dung chương trình toán ở các lớp 8, 9 giáo viên phải hệ thống
hoá kiến thức và kỹ năng tính toán đưa các đề cho học sinh làm thêm tại nhà sau đó
giáo viên phân tích cho học sinh cách chấm bài để hạn chế sai lầm trong quá trình
thi cử. Tăng cường phối hợp các phương pháp, kết hợp đan xen các chuyên đề để
tạo hứng thú học tập, tạo sự hấp dẫn của bài toán đối với học sinh. Tiến hành chấm
bài cùng các em chỉ ra các sai lầm lỗi bị trừ điểm trong bài thi, để các em tự chấm
lẩn nhau tự nhận xét.
III.6. Hướng dẫn phương pháp giải toán thích hợp trong từng trường hợp
cụ thể giúp học sinh có kỹ năng nhận dạng, có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
2

2
2
2
2
2
2 2 2
Bài 1. Chứng minh rằng:  a  b   b  c   c  a  �8a b c a, b, c

Phân tích và tìm tòi lời giải: Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả
được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm.
Cần chú ý rằng: x2 + y2 �2 x 2 y 2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay
dương.
Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên
mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT
Côsi.
Trong bài toán trên dấu “ �”  đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi
ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.
Sai lầm thường gặp của học sinh:
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 18 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Sử dụng:  x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 �0  x2 + y2 �2xy. Do đó:
�

a 2  b2 �2ab
�2
b  c 2 �2bc
�
�
c 2  a 2 �2ca
�
�
2 �2
�
Ví dụ: �3 �5
�
4 �3
�

2
2
2
2
2
2
2 2 2
  a  b   b  c   c  a  �8a b c a, b, c (Sai)

 24 = 2.3.4 �(-2)(-5).3 = 30 ( Sai )

Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 �2 x 2 y 2 = 2|xy| ta có:
�
a 2  b2 �2 ab �0

�
�2
b  c 2 �2 bc �0 
�
�2
c  a 2 �2 ca �0
�
�

a

2

 b2   b2  c2   c2  a 2  �8| a 2b2c2 |  8a2b2c2 a, b, c (đúng)

Bài 2. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) �9ab  a, b �0.
Phân tích và tìm tòi lời giải: 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho
ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ
khử được căn thức cho các biến đó.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) �33 1.a.b. 3.3 a.b.ab  9ab .
Bài 3. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 �9ab2  a, b �0
Phân tích và tìm tòi lời giải: 9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử
7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b 2. Khi đã có định
hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.
Giải
Côsi

Ta có: 3a3 + 7b3 � 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 � 33 33 a3b6 = 9ab2
�

a, b, c, d  0
�
Bài 4. Cho: � 1
1
1
1



�3
�
1 a 1 b 1 c 1 d
�

1
CMR : abcd �
81

Giải
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 19 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Từ giả thuyết suy ra:

� 1 ��
1
1 �� 1 � b
c
d Côsi
��
1
1


1

=


�3
�
��
�
1 a � 1 b �
� � 1 c � � 1 d � 1 b 1 c 1 d

3

bcd
 1 b   1 c   1 d 

Vậy:
�1
bcd

�3 3
�0
�
1 a
 1 b  1 c   1 d 
�

�
cda
�1
�3 3
�0
�
1

b
1

c
1

d
1

a




1

abcd
�
�
�81
�
 1 a  1 b 1 c  1 d
1 a  1 b 1 c  1 d
dca
�1
�
3
�
0
3
�
1 c
1 d  1 c   1 a 
�
�
abc
� 1 �3 3
�0
�
1 d
1

a
1

b

1

c




�



























1
 abcd �
81
Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 1:
Cho:
�x1 , x2 , x3 ,............., xn  0
�
1
1
1
�1


 ......... 
�n  1
�
1  x1 1  x2 1  x3
1  xn
�

CMR : x1 x2 x3...........xn �

1

 n  1

n

Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biến thì
việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh
BĐT dễ dàng hơn.
�
a, b, c  0
�
Bài 5. Cho �
a  b  c 1
�

�1
�
�1 �
�1 �
CMR : �  1�� 1�� 1��8 (1)
�a
�
�b �
�c
�

Giải
VT (1) 

1 a 1 b 1 c b  c c  a a  b
.
.


.
.
a
b
c
a
b
c

Côsi

� 2 bc . 2 ca . 2 ab  8 (đpcm)
a

b

c

Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 2:
Cho:
�
�x1 , x2 , x3 ,..............., xn  0
�
�x1  x2  x3  ........  xn  1

�1
� �1
�1
�

�1
�
�
n
CMR : �

1
........ �

1
�
n

1
�  1�
�
�  1�


�
�
�x
�
�x
�
�x
� �xn
�
�1
�

�2
�
�3
� �

Bài 6.
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 20 -




“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

CMR:

3 ��
1
��
� a  b  c ���
1
�
��1  a
�
3 �
�

�



  1 b   1 c  � 1
��
2�
�
��

3



3 ���3���

abc �8 abc a, b, c �0

Giải



3
� a  b  c � � 1  a   1  b
Ta có: �
1
�
�
�
� �

3
3
�
� �

3

Côsi
   1 c �
� �

�
�

 1 a   1 b   1 c 

(1)

1   ab  bc  ca    a  b  c   abc �
Ta có:  1  a   1  b   1  c   �
�
�
Côsi



 

� 1  33 a 2b2c2  33 abc  abc  1  3 abc



Ta có: 1  3 abc



3

Côsi �



3

(2)

3

� �2 1.3 abc �
�  8 abc
�

(3)

�

Dấu “ = ” (1) xảy ra  1+a = 1+b = 1+c  a = b = c
Dấu “ = ” (2) xảy ra  ab = bc = ca và a = b = c  a = b= c
Dấu “ = ” (3) xảy ra  3 abc =1  abc = 1
Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 3

Cho x1, x2, x3,..., xn �0. CMR:
�
�
1
�
�

n ��
��
��

� �
�
� �
�
� �

2
x1  x2  ....  xn � 1
��
1 x1   1 x2  ...... 1 xn  �1 n x1x2.....xn
� 
n
�
��





��

n ���3���

�2n x1x2......xn

Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài
toán về BĐT lượng giác trong tam giác sau này.
Mục đích phải luôn tạo được tình huống có vấn đề là các bài toán lạ mà quen,
từ đó nâng dần mức độ, buộc các em phải tự tìm cách tháo gỡ có như vậy mới phát
triển được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh.
Rèn cho học sinh kỹ năng phân tích bài toán, nắm được những điều kiện của
bài toán để nhìn thấy dạng bài tập quen thuộc hay lạ, thấy vấn đề tổng quát từ vấn
đề cụ thể.
III.7. Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích các dạng toán bất đẳng thức,
thông qua các bài toán có tính tư duy, thông qua các bài toán trong các đề thi
học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10
chuyên toán các năm gần đây.

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 21 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:

�

�

�

�

 a  b  c �a1  b1  1c ��9
b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c �3. Chứng ming rằng:
1
2009

�670
2
2
a  b  c ab  bc  ca
2

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
a  b  c �3 abc;

1 1 1
1
  �3
3
a b c
abc

�1
�a

Suy ra  a  b  c � 

1 1�
 ��9
b c�

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c
b) Ta có
Suy ra

ab  bc  ca �a2  b2  c2

 a  b  c
� ab  bc  ca �
3

2

�3

2007
�669
ab  bc  ca

Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có
�
� 2

1
1
1
2
2


�2
�a  b  c  2ab  2bc  2ca �9
2
2
�a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca �



1

1



9

�1
2
Suy ra a2  b2  c2  ab  bc  ca �
 a  b  c

Do đó ta được

1
2009

�670.
2
2
a  b  c ab  bc  ca
2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  b  c  1.
1
2

Bài 2. Với số tự nhiên n �3. Chúng minh rằng Sn  .

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 22 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Với Sn 

1



1



 5

3 1 2

2 3



 ... 

 2n  1 

1



n  n1

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010
Lời giải
Với n �3 , ta có

 2n  1 

1



n  n1




n  1 n

2n  1

4n2  4n  1

n 1 n

n +1- n

4n2  4n

n  1 n



2 n  1. n



1 �1

1 �
� 
�
2� n
n  1�

Do đó ta được
Sn 

1� 1
1
1
1
1 � 1�
1 � 1
1


 ... 

1
�
� �
�
2�
2
2
3
n
n  1� 2�

n  1� 2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
ab  bc  ca
a2b  b2c  c2a

P  a2  b2  c2 

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010
Lời giải
Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a  b  c  1 và giá trị nhỏ nhất của
P là 4. Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức
a2  b2  c2 

ab  bc  ca
�4
a2b  b2c  c2a

Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có



 



3 a2  b2  c2  a  b  c a2  b2  c2



 a  b  c  a b  b2c  c2a  ab2  bc2  ca2
3

3

3

2

Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có
a3  ab2 �2a2b;b3  bc2 �2b2c;�
�
c3  ca2 �2c2a

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 23 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”



 



3 a2  b2  c2 ��
3 a2b  b2c  c2a  0

Suy ra

Do đó ta được a2  b2  c2 

ab  bc  ca
ab  bc  ca
2
2
2
�
a

b

c

a2b  b2c  c2a
a2  b2  c2

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
a2  b2  c2 

ab  bc  ca
�4
a2  b2  c2

a b c 
2

Hay

2

2



9  a2  b2  c2



2 a2  b2  c2



 �4

Đặt t  a2  b2  c2 .
Từ giả thiết a  b  c  3 � a2  b2  c2 �3 , do đó ta được t �3
Bất đẳng thức trên trở thành
t

9 t
�4 � 2t2  9  t �8t � t  3 2t  3 �0
2t







Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t �3. Vậy bài toán được chứng minh xong.
Bài 4. a) Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:
�1
1 �
 2� 
�
k
k  1�
�k

1

 k  1

b) Chứng minh rằng:

1
1
1
1
88


L 


2 3 2 4 3
2010 2009 45

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010
Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với



1



k1

k



2 k 12 k
k. k  1





� 2k  1  2 k k  1  0 �



k  1 k



2

0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi k nguyên dương.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 24 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

b) Áp dụng kết quả câu a ta có
VT 

1



1



1

1

L 

2 1 3 2 4 3
2010 2009
�1
� 1
1 � �1
1 �
1 �
 2� 

� 2� 
� L  2�
�
2� � 2
3�
2010 �
�1
� 2009
�
1 � � 1 � 88
 2�
1

1  �
 VP
� 2�
2010 � � 45 � 45
�

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Mục đích để các em thấy rằng các đề thì về bất đẳng thức không khó các em
không nản lòng và thấy thích thú vì các dạng toán này còn liên quan đến dãy số ...
Các em cảm thấy thú vị từ đó tạo động lực niêm đam mê bất đẳng thức cho các em
Trên đây giải pháp tôi chọn thông qua việc áp dụng dụng một số bất đẳng thức
cơ bản để giải bài tập, học sinh sẽ nắm kiến thức một cách chắc chắn, rèn luyện
cho học sinh khả năng tư duy toán học một cách logic, có căn cứ, đồng thời gây
hứng thú học tập, thúc đẩy khả năng tìm tòi sáng tạo của học sinh trong môn toán
nói riêng và các môn học khác nói chung. Đồng thời giúp các em biết cách xử lý
một cách linh hoạt, tối ưu các tình huống trong đời sống hàng ngày khi vận dụng
kiến thức đã học vào thực tế. Việc chọn bất đẳng thức vì tất cả các đề thi học sinh
giỏi đều có bất đẳng thức nên việc chọn chủ đề này trong công tác bồi giỏi là việc
làm tất yếu.
IV. Tính mới của giải pháp.
Việc chọn bất đẳng thức vì tất cả các đề thi học sinh giỏi đều có bất đẳng thức
nên việc chọn chủ đề này trong công tác bồi giỏi là việc làm tất yếu, học sinh nắm
vững có được điểm chắc chắn trong phần này làm các em tự tin hơn trong qua trình
làm bài.
Các giải pháp trên có sự tương tác bổ trợ lẫn nhau, có quan hệ tác động lẫn
nhau. Giải pháp (1) là tiền đề cơ bản cho quá trình dạy - học. Giải pháp (2) tạo sự
bền vững cho kết quả của sáng kiến kinh nghiệm. Giải pháp (3) là nhân tố tác động
có tính bổ trợ, có tác dụng trực tiếp đem lại hiệu quả cho người học khi người học
có ý thức tự giác và cố gắng. Giải pháp (4) các dạng toán hay gặp trong kì thi gần
nhất đó chính giải pháp tối ưu cho kì thi học sinh giỏi những năm gần đây giúp hoc

sinh có điểm cao trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Giải pháp (5) giúp học sinh
nhận thấy sai lầm mắc phải hình thành kinh nghiệm cho bản thân. Giải pháp (6) cho
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 25 -