Đề thi tuyển sinh THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2009

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội
Đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2009
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào khối chuyên)
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1 : Cho biểu thức
64169220
24
++++=
aaaA
B = a
4
+20a
3
+102a
2
+40a+200
a-Rút gọn A
b- Tìm a để A+B=0
Câu 2: Hai công nhân cùng làm một công việc 18 h xong.Nếu ngời thứ nhất làm 6h và ng-
ời thứ 2 làm 12 h thì đợc 50% công việc.Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hoàn thành công
việc trên bao lâu?
Câu 3: Cho Parabol y= x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình y=mx+1
a- Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;B với mọi m
b- Gọi A(x
1

;y
1
) và B(x
2
;y
2
) .Tìm giá trị lớn nhất của
M=(y
1
-1)(y
2
-1)
Câu 4: Cho tam giác ABC với
10;53;5
===
BCACAB
.Phân giác BK của góc ABC (K
thuộc AC) cắt đờng cao AH;trung tuyến AM của tam giác ABC tại O và T (H, M

BC)
a-Tính AH
b-Tính diện tích tam giác AOT
Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức :
(
)
(
)
111
22
=++++

yyxx
Chứng minh x+y=0
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hớng dẫn giải
Câu 1:
10 0A a= +
; B=(a+10)
2
+2(a+10)
2

0
Nhận thấy A+B

0 dấu = xảy ra khi a = -10
Câu 2:cả hai đội là riêng 36 h xong
Câu 3:a/ xét PT x
2
-mx-1=0 có
04
2
>+=
m
b/ y
1
=mx
1
+1;y
2
=mx

2
+1; M=m
2
.x
1
x
2
mà theo Viét x
1
x
2
=-1 nên M=-m
2


0

Vậy maxM = 0 khi và chỉ khi m = 0
Câu 4 :

T
O
A
B
C
F
H M
a/ Đặt AH=x thì BH=10-x ta có AH
2
=25 - x

2
= 45 - (10-x)
2
suy ra x=4 nên AH=3
b/ áp dụng tính chất phân giác
9
5
4
5
===
AH
AO
BH
AB
OH
AO
;
3
10
9
5
==
AHBAOB
SS
;
4
15
2
1
==

ABMABT
SS
;
12
5
==
AOBABTAOT
SSS
Câu 5:
Từ giả thiết, nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của vế trái ta đợc
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1

x x y y x x y y x x y y
x x y y
+ + + + + + = + +
= + +
Kết hợp với GT suy ra

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
1 1
x x y y x x y y
x y y x
+ + + + = + +
+ = +
Suy ra x và y trái dấu
Bình phơng 2 vế đẳng thức trên ta đợc x
2
= y
2
Mà x, y trái dấu suy ra x = -y hay x+y = 0