DE VA HD GIAI TOAN THI VAO 10 LE QUI DON BINH DINH 2007-2008

SỞ GD-ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
--------------------- TrườngTHPT Chuyên Lê Qúi Đôn, năm học 2007-2008
Đề chính thức Môn: TOÁN (Chung)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi: 21/6/2007.
--------------------------------------------------------------
Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh đẳng thức:
3 1 3
1 .
2 2
+
+ =

Câu 2: (3, 0 điểm).
Cho phương trình bậc hai: 4x
2
+ 2(2m + 1)x + m = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x
1,
x
2
với mọi giá trò của
tham số m.
b) Tính x
1
2
+x
2
2
theo m.

Câu 3 (1, 5 điểm).
Cho hàm số y = ax + b. Tìm a và b biết rằng đồ thò của hàm số đã cho song song với đường
thẳng y = x + 5 và đi qua điểm M(1; 2).

Câu 4: (3, 0 điểm).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm của đoạn AO. Các đường
thẳng vuông góc với AB tại M và O cắt nửa đường tròn đã cho lần lượt tại D và C.
a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.
b) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
c) Gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng HI
vuông góc với AB.

Câu 5: (1,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho a + b
2
chia hết cho a
2
b – 1.
----------------------Hết-------------------------
Tào Quang Sơn - GV Trường THCS Tây Vinh - Tây Sơn- Bình Đònh
H
I
D
M O
A
B
C
Hướng dẫn giải
Câu1:

Ta có vế trái:
( )
2
1 3
3 4 2 3 1 1 1 3
1 1 2 3 3 1 3
2 4 2 2 2 2
+
+ +
+ = = + + = + = =
Là vế phải .
(Vì : 1 3 0+ f )
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu2:
a) Chứng minh pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trò của m:
Pt: 4x
2
+ 2(2m + 1)x + m = 0 (1)
(a = 4; b’ = 2m +1 ; c = m).
( )
2
'
2 1 4m m∆ = + −
= 4m
2
+ 4m + 1 - 4m = 4m
2
+ 1 > 0 với mọi m
( Vì m
2

≥
0 với mọi m).
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x
1 ;
x
2
với mọi m.
b) Tính x
1
2
+ x
2
2
theo m:
Theo câu a) pt (1) luôn có hai nghiệm x
1 ;
x
2
với mọi m
Đònh lí Viét ta có: x
1
+ x
2
=
2 1
2
m +
−
; x

1
x
2
=
4
m
.
Vậy :
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2

)
2
- 2x
1
x
2
=
2
2 2
2 1 2 4 4 1 2 4 2 1
2 4 4 4 4

m m m m m m m+ + + + +
 
− − = − =
 ÷
 
.
Câu 3:
Vì đthò hàm số y = ax + b // đthò hàm số y = x + 5 . Nên a = 1.
Hàm số lúc đó là: y = x + b.
Vì đthò hàm số y = x + b đi qua điểm M(1; 2) . Nên : 2 = 1 + b => b = 1
Vậy hàm số cần tìm là: y = x +1.
Câu 4:
a) Tính AD, AC, BD và DM theo R:
Ta có:
·
·
90ACB ADB= =
o
(Nội tiếp nửa đường tròn (O))
Xét
ABD∆
vuông tại D có DM là đường cao (Vì DM
⊥
AB)
Ta có: AD
2
= AB.AM = 2R.(R-
2
R
) = 2R.

2
R
= R
2
. 2R
=> AD = R.
Và BD
2
= AB.BM = 2R.(2R -
2
R
) = 2R.
3
2
R
= 3R
2
=> BD = 3R .
Và: DM. AB = AD.BD => DM =
.AD BD
AB
=
. 3 3
2 2
R R R
R
= .
Tào Quang Sơn - GV Trường THCS Tây Vinh - Tây Sơn- Bình Đònh
Xét
ABC∆

vuông tại C, có CO là đường cao (Vì CO
⊥
AB)
=> AC
2
= AB.OA = 2R.R = 2R
2
.
=> AC =
2R
.
b) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD :
Ta có:
ABD∆
vuông tại D => Sin
·
BAD
=
·
3 3
60
2 2
BD R
BAD
AB R
= = => =
o

ABC∆
vuông tại C => Sin

·
ABC
=
AC
AB
=
2 2
2 2
R
R
=
=>
·
45ABC =
o
.
Mặt khác tứ giác ABCD nội tiếp (Do bốn đỉnh A, B, C, D nằm trên một đường tròn (o) )
Nên từ :
·
60BAD =
o
=>
·
120BCD =
o
Và :
·
45ABC =
o
=>

·
135ADC =
o
.
c) Chứng minh HI
⊥
AB:
Xét
ABI∆
có AC và BD là đường cao (do
·
·
90ACB ADB= =
o
)
=> H là trực tâm của
ABI∆
=> IH là đường cao của
ABI∆
=> IH
⊥
AB .
Câu 5:
Nếu a = b = 1 thì a
2
b – 1 = 0, không thoã mãn đề bài. Vậy a, b không đồng thời bằng 1.Vì a,b nguyên
dương => a + b
2
và a
2

b – 1 là nguyên dương.
Mà: a + b
2

M
a
2
b – 1 => tồn tại số nguyên dương q sao cho: a + b
2
= (a
2
b – 1)q
<=> a + q = b(a
2
q – b). Vì a,b q nguyên dương => a
2
q – b là nguyên dương .
Đặt: m = a
2
q – b, => m là nguyên dương.
Vậy: a + q = bm (1)
Và a
2
q = b + m (2)
Xét: (m – 1)(b -1) = bm – (b + m) + 1 = a + q – a
2
q + 1 = (a + 1)(1 + q – aq).
Hay (m – 1)(b -1) = (a + 1)(1 + q – aq). (3).
Vì b, m nguyên dương => (m – 1)(b -1)
≥

0 => (a + 1)(1 + q – aq)
≥
0 => 1 + q – aq
≥
0
(Vì a > 0 => a +1 > 0)
q(a -1)
≤
1 . Mà a nguyên dương => a - 1 là số nguyên không âm => q(a – 1) là số nguyên không âm.
Tức là: q(a – 1) là số nguyên thoã: 0
≤
q(a – 1)
≤
1 => q(a – 1) = 0, hoăc
q(a – 1) = 1 => a = 1 (do q > 0) hoặc q = 1; a = 2
+ Nếu a = 1 : Từ (3) ta có (m -1)(b -1) = 2 . Vì m, b nguyên dương. Nên các số : m – 1,
b -1 nguyên không âm. Vậy : b – 1 = 1 hoặc b – 1 = 2 => b = 2 hoặc b = 3.
Vậy : a = 1 a = 1
b = 2 , b = 3
+ Nếu q = 1 ; a = 2 : Từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 0 => m = 1 , hoặc b = 1.
- Khi m = 1 Từ (1) => b = 3 => a = 2
b = 3
- Khi: b = 1 => a = 2
b = 1
Vậy các giá trò cần tìm của a và b là: (a, b) = (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2; 3) , (2 ; 1)

Tào Quang Sơn - GV Trường THCS Tây Vinh - Tây Sơn- Bình Đònh