Ôn tập TNPT 12

Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP
• PHẦN 1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng gọi
là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào
chung.
a / /(P) a (P)⇔ ∩ = ∅
a
(P)
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d
không nằm trên mp(P) và song
song với đường thẳng a nằm
trên mp(P) thì đường thẳng d
song song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

⊄

⇒


⊂


d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt
theo giao tuyến song song với
a.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d


⊂ ⇒


∩ =

d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng song song với đường
thẳng đó.
(P) (Q) d
(P) / /a d / /a

(Q) / /a

∩ =

⇒



a
d
Q
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là
song song với nhau nếu chúng
không có điểm nào chung.
(P) / /(Q) (P) (Q)⇔ ∩ = ∅
Q
P
1
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt
phẳng (Q) thì (P) và (Q)
song song với nhau.
a,b (P)
a b I (P) / /(Q)

a / /(Q),b / /(Q)

⊂

∩ = ⇒



I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với
mặt phẳng kia.
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)

⇒

⊂

a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) song song thì mọi mặt

phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =

b
a
R
Q
P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với một mặt phẳng
nếu nó vuông góc với mọi
đường thẳng nằm trên mặt
phẳng đó.
a mp(P) a c, c (P)⊥ ⇔ ⊥ ∀ ⊂
P
c
a

II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d
vuông góc với hai đường thẳng
cắt nhau a và b cùng nằm trong
mp(P) thì đường thẳng d vuông
góc với mp(P).
d a,d b
a,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d
a
b
P
2
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
ĐL2: (Ba đường vuông góc)
Cho đường thẳng a không
vuông góc với mp(P) và đường
thẳng b nằm trong (P). Khi đó,
điều kiện cần và đủ để b vuông
góc với a là b vuông góc với
hình chiếu a’ của a trên (P).
a mp(P),b mp(P)

b a b a'
⊥ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng
chứa một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng khác
thì hai mặt phẳng đó vuông
góc với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)

⊥
⇒ ⊥

⊂

Q
P
a

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) vuông góc với nhau
thì bất cứ đường thẳng a nào
nằm trong (P), vuông góc với
giao tuyến của (P) và (Q) đều
vuông góc với mặt phẳng
(Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d

⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥

d
Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P)
và (Q) vuông góc với nhau và
A là một điểm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua điểm A
và vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
(P) (Q)
A (P)

a (P)
A a
a (Q)

⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥

A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)

∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

a
R
Q
P
3
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường
thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ
điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt
phẳng (P)) là khoảng cáchgiữa hai điểm M và
H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên
đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
a
H
O
H
O
P
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt
phẳng song song: Khoảng cách giữa đường
thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH

a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song: là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
B
A
b
a
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa
hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
và lần lượt cùng phương với a và b.
b'
b
a'
a
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc
với mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’

của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P)
thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P)
là 90
0
.
P
a'
a
4
Tài liệu ơn tập mơn Tốn THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai
đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt
phẳng đó.
b
a
Q
P
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của
đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình
chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
S' Scos
= ϕ
, trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt
phẳng (P),(P’).
ϕ
C
B

A
S
C. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=Bh với
B: diện tích đáy
h : chiều cao



a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V=abc với a, b, c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương: V=a
3
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=
1
3
Bh với
B : diện tích đáy
h : chiều cao



3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý
lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:
SABC
SA ' B'C '
V
SA SB SC

V SA' SB' SC'
=
3. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CỤT:
( )
h
V B B' BB'
3
= + +
với
B, B' : diện tích hai đáy
h : chiều cao



D. DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY:
1. Hình trụ-
Khối trụ:
xq
2
trụ
R : bán kính đáy
S 2 Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy
V R h với
h : đường cao

= π




= π


l
h
R
5
Tài liệu ơn tập mơn Tốn THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
2. Hình nón –
Khối nón
xq
2
nón
R : bán kính đáy
S Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy
1
V R h với
3
h : đường cao

= π



= π



l
h
R
3.Hình nón cụt
– Khối nón cụt:
xq
2 2
nóncụt
S (R R')l
1
V (R R' RR')h
3
R,R' : bán kính 2 đáy
với l : đườngsinh
h : đường cao
= π +
= π + +





l
h
R'
R
4. Mặt cầu –
Khối cầu:
2
3

cầu
S 4 R với R : bán kính mặt cầu
4
V R với R : bán kính khối cầu
3
= π
= π
R
• PHẦN 2: CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
Đáp án và biểu điểm:(1đ)
I
O
D
C
B
A
S
Ta có S.ABCD là khối chóp đều và AB = a nên
đáy là hình vng cạnh a, suy ra diện tích đáy là
S = a
2
.
0,25đ
Gọi O là tâm của hình vng và I là trung điểm
của cạnh BC, ta có
·

0
SIO 60=
là góc giữa mặt
bên và mặt đáy của khối chóp đã cho.
0,25đ
Trong tam giác vng SOI, ta có: 0,25đ
6
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
·
0
a a 3
SO OI tanSIO tan60
2 2
= = =
Thể tích của khối chóp là:
3
2
ABCD
1 1 a 3 a 3
V S .SO a
3 3 2 6
= = =
0,25đ
Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Đáp án và biểu điểm(1đ)
H
G
I
O

D
CB
A
S
Từ giả thiết ta có SAB là tam giác đều cạnh a.
Gọi G và I lần lượt là tâm của tam giác đều
SAB và tâm của hình vuông ABCD. Gọi O là
tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có
OG⊥(SAB), OI ⊥(ABCD)
0,5đ
Từ đó ta suy ra tứ giác OIGH là một hình chữ
nhật ( với H là trung điểm của BC) nên OG =
IH =
a
2
0,25đ
Ký hiệu R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp. Trong ∆OGA vuông tại G ta có:
2 2
2 2
a 3a a 21
R OA OG GA
4 9 6
= = + = + =
0,25đ
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = a
3
, AC = a, mặt bên
SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Đáp án và biểu điểm:(1đ)

H
C
B
A
S
7
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
Gọi H là trung điểm của BC. Do ∆SBC đều nên
SH ⊥ BC. Mà (SBC) ⊥ (ABC) nên SH⊥(ABC)
⇒ SH là đường cao của hình chóp S.ABC.
0,25đ
Diện tích đáy của hình chóp là
2
ABC
1 a 3
S AB.AC
2 2
= =
0,25đ
Ta có ∆ABC vuông tại A nên
2 2 2 2
BC AB AC a 3a 2a= + = + =
Hơn nũa ∆SBC đều ⇒ SH=
BC 3
a 3
2
=
0,25đ
Thể tích của khối chóp là:
3

S.ABC ABC
1 a
V S .SH
3 2
= =
0,25đ
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’= b và đường thẳng AA’
tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a và b.
Đáp án và biểu điểm(1đ)
b
a
60
°
H
C'
B'
A'
C
B
A
Ký hiệu h và V tương ứng là chiều cao và thể
tích của khối lăng trụ đã cho, ta có:
( )
ACA ' B' B'.ACC' A ' B'.ABC
ABC
1 1
V V V V
2 2

1 1 1 1 V
V hS V V
2 3 2 3 3
= = −
   
= − = − =
 ÷  ÷
   
0,25đ
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên
(ABC), ta có A’H = h và
·
0
A'AH 60=
do đó
0
h AA'.sin 60 b 3= =
0,25đ
Thể tích khối lăng trụ là
2
2
ABC
a 3 3
V h.S b 3 a b
4 4
= = =
0,25đ
Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm là
2
ACA ' B'

1
V a b
4
=
0,25đ
• PHẦN 3: CÁC BÀI TẬP ÔN LUYỆN
8
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
1) Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.(ĐS:
3
a 2
12
)
2) Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α. Tính thể tích
khối chóp.(ĐS:
3
1
a tan
6
α
)
3) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC biết AB = a và SA = b. Tính thể tích khối chóp.(ĐS:
2 2 2
1
a 3b a
12
−
)
4) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = a
µ

C
=60
0
. Đường
chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn AC’.(ĐS: 3a)
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS:
3
a 6
)
5) Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc của đường cao với mặt bên là 30
0
.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp cụt.(ĐS:
2
11 3
a
4
)
b) Tính thể tích của khối chóp cụt.(ĐS:
3
7 3a
24
)
6) Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tương ứng.(ĐS:
2 3
xq tru

S 4 R ;V 2 R= π = π
)
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ đã cho.(ĐS: 4R
3
)
7) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 60
0
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. (ĐS:
a 6
3
)
8) Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông
góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.(ĐS: 30
0
)
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS:
3
a 3
8
)
c) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.
9) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’=AB=h và góc của
B’C làm với mặt đáy bằng α.
a) Chứng minh rằng
·
·
BCA B'CB=

.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS:
3
1
h cot
3
α
)
c) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.(ĐS:
2
2
h
1 cos
2sin
+ α
α
)
10) Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp trong đường tròn đường kính AD; SD là đoạn thẳng có độ dài a
và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) Chứng minh SAC và SAB là những tam giác vuông.
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp S.ABDC.(ĐS:
2
4a 3
3
)
c) Tìm một điểm cách đều 5 điểm A, B, C, D, S.
9
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
11) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc
với đáy, góc của cạnh SC với mặt bên SAB là α. Cho SA = a.

a) Chứng minh rằng
·
BSC = α
và
asin
AB
cos2
α
=
α
.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.(ĐS:
3 2
a sin
3cos2
α
α
)
12) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính độ dài đường cao AH của khối tứ dĩện.(ĐS:
a 6
3
)
b) Gọi M là một điểm bất kỳ trong khối tứ diện. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 4
mặt của tứ diện là một số không đổi.
13) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và
·
ASB 2= α
.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.(ĐS:

2
a (1 cot )+ α
)
b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.(ĐS:
3
2
a
cot 1
12
π
α −
)
c) Định α để thể tích khối nón là
3
a
12
π
.(ĐS:
arccot 2
)
14) Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC’
của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc α.
a) Chứng minh rằng
·
AC'B = α
.
b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ. (ĐS:
2
2 2
a 1 cos2

sin
 
+
+ α
 
α
 
 
)
c) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và tính thể tích khối cầu tương ứng.(ĐS:
3
3
a
6sin
π
α
)
15) Một hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón tương ứng.(ĐS:
2 3
xq
1
S R 2 , V R
3
= π = π
)
b) Tính bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong hình nón ấy, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ
là một hình vuông. (ĐS:
R
3

)
16) Cho hình cầu tâm O đường kính SS’= 2R. Mặt phẳng vuông góc với SS’ cắt mặt cầu theo đường tròn
tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH = x (R < x < 2R).
a) Tính độ dài các cạnh của tứ diện S.ABC theo R và x.(ĐS:
AB BC CA 3x(2R x) , SA SB SC 2Rx= = = − = = =
)
b) Tính x để cho S.ABC là một tứ diện đều. Trong trường hợp này, tính thể tích của khối tứ diện
S.ABC. (ĐS:
3
4 8R 3
x R , V=
3 27
=
)
17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.(ĐS:
3
a 3
6
)
10
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
b) Tính góc của cạnh bên SC với mặt phẳng đáy. (ĐS:
15
arctan
5
)
c) Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA tại M; SB tại N. Tứ giác CDMN là hình gì.
18) Trong mp(P) cho tam giác đều ABD nội tiếp đường tròn đường kính AC = 2R. Trên đường vuông góc

với mp(P) tại C, lấy điểm M sao cho CM = 2R.
a) Tính thể tích của khối chóp M.ABCD theo R.(ĐS:
3
2R 3
3
)
b) Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh I.ABD là hình chóp tam giác đều.
c) Tính thể tích khối chóp I.ABD theo R. (ĐS:
3
R 3
4
)
19) Cho hình nón đỉnh S, bán kính đáy R. Trên đáy của hình nón lấy một lục giác đều ABCDEF.
Mp(SAB) hợp với mặt đáy của hình nón góc α.
a) Tính diện tích thiết diện qua trục của hình nón.(ĐS:
2
R 3 tan
2
α
)
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCDEF. (ĐS:
3
3
R tan
4
α
)
20) Một hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h. Xét hình trụ có chiều cao 2x nội tiếp trong hình nón.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối trụ là
2

2
2
2 R
V (h 2x) x
h
π
= −
.
b) Định x để V đạt giá trị lớn nhất.(ĐS:
h
x
6
=
)
---------------------------------
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
***
A/. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
@ Phần chung cho cả nâng cao và cơ bản :
I/. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN :
Hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục x’Ox , y’Oy, z’Oz vuông góc nhau
từng đôi một . Gọi
, ,i j k
r
r r
lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục
x’Ox , y’Oy , z’Oz . Điểm O được gọi là gốc toạ độ .Các mặt phẳng (Oxy) , (Oxz), (Oyz) đôi một vuông
góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ .
Không gian gắn với hệ toạ độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz .
II/. TOẠ ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM :

Trong không gian Oxyz cho một điểm M tuỳ ý .
Khi đó ta có
OM xi yj zk= + +
uuuur
r
r r
và gọi bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã
cho . Ta viết M = ( x ; y ; z ) hoặc M ( x ; y ; z ) .
III/. TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECT Ơ:
Trong không gian Oxyz cho
a
r
với
1 2 3
a a i a j a k= + +
r
r r
r
.
Khi đó bộ ba số (
1 2 3
, ,a a a
) được gọi là toạ độ của
a
r
đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho . Ta viết
a
r
=(
1 2 3

, ,a a a
) hay
a
r
(
1 2 3
, ,a a a
).
IV/. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ :
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b= =
r
r
và một số k . Khi đó ta có :
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
a b a b a b a b
ka ka ka ka
± = ± ± ±
=
r
r
r
11
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
* Lưu ý : a)
1 1

2 2
3 3
a b
a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r
r
.
b)
0 (0;0;0).=
r
c)
a
r
và
( 0)b ≠
r
r
cùng phương
⇔
có một số k sao cho
1 1

2 2
3 3
a kb
a kb
a kb
=


=


=

hay
1 1
2 2
3 3
b ka
b ka
b ka
=


=


=


d) Nếu

( , , ), ( , , )
A A A B B B
A x y z B x y z= =
thì
•
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
uuur
.
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M
+ + +
V/. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG :
a) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b= =
r
r
.
Ta c ó :
1 1 2 2 3 3
.a b a b a b a b= + +
r
r
.

b) Độ dài của một vectơ :
Cho vectơ
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
, ta c ó
2 2 2
1 2 3
.a a a a a a= = + +
r r r
.
c) Khoảng cách giữa hai điểm
( , , ), ( , , )
A A A B B B
A x y z B x y z= =
là
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
uuur

d) Gọi
ϕ
là góc giữa hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b= =
r
r
.

Ta có :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos cos( , )
.
a b a b a b
a b
a b
a b
a a a b b b
ϕ
+ +
= = =
+ + + +
r
r
r
r
r
r
Và
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
r
r
VI/. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU :
Trong không gian Oxyz mặt cầu tâm I = ( a ; b ; c ) bán kính r có phương trình :
2 2 2 2

( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − =
.
Phương trình :
2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
với
2 2 2
0A B C D+ + − >
là phương trình của mặt
cầu tâm I ( -A ; -B ; -C ) có bán kính
2 2 2
r A B C D= + + −
.
* NHẮC LẠI : Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) và mặt cầu ( S ) có phương trình :

2 2 2 2
( ) : 0
( ) : ( ) ( ) ( )
Ax By Cz D
S x a y b z c r
α
+ + + =
− + − + − =
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I ( a ; b ; c ) của (S) trên mặt phẳng (α) thì IH là khoảng cách từ I
đến (α) .
Vậy
2 2 2
( , )
Aa Bb Cc D

IH d I
A B C
α
+ + +
= =
+ +

a) Nếu IH > r thì
( ) ( )S
α
∩ = ∅
, tức là mặt phẳng (α) không có điểm chung với mặt cầu
(S) .
12
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
b) Nếu IH = r thì
{ }
( ) ( )S H
α
∩ =
, ta nói (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H và (α)
gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu . Điểm H gọi là tiếp điểm của mặt
cầu (S) và mặt phẳng (α) .
Lưu ý rằng khi đó (α) vuông góc với bán kính IH tại
( )H S∈
.
c) Nếu IH < r thì giao
( ) ( )S
α
∩

là một đường tròn có tâm là H và bán kính là
2 2
r r IH
′
= −
.
@ Phần riêng dành cho nâng cao :
•
Tích có hướng của hai vectơ :
Tích có hướng (hay tích vecto) của hai vec tơ
( )
, ,u a b c
r
và
( )
', ', 'v a b c
r
là một vecto,kí hiệu là
,u v
 
 
r r

(hoặc
u v∧
r r
),được xác định bằng tọa độ như sau:
( )
, ; ; ' ' ; ' ' ; ' '
' ' ' ' ' '

b c c a a b
u v bc b c ca c a ab a b
b c c a a b
 
 
= = − − −
 ÷
 
 
r r
* Tính chất của tích có hướng :
1.
[ ] [ ]
, ; ;u v u u v v⊥ ⊥
r r r r r r
tức là
[ ] [ ]
, . 0; ; . 0u v u u v v= =
r r r r r r
2.
[ ]
, . .sin( , )u v u v u v=
r r r r r r
.
3.
[ ]
, 0 ,u v u v= ⇔
r
r r r r
cùng phương .

* Ứng dụng của tích có hướng :
a) Tính diện tích hình bình hành :
Nếu ABCD là hình bình hành thì
,
ABCD
S AB AD
 
=
 
uuur uuur
.
b) Tính thể tích khối hộp :
Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì thể tích hình hộp đó là :
, .V AB AD AA
 
′
=
 
uuur uuur uuur
* Lưu ý : Thể tích khối tứ diện ABCD bằng
1
6
thể tích khối hộp có ba cạnh là
BA ,BC ,BD. Như vậy :
1
, .
6
ABCD
V BA BC BD
 

=
 
uuur uuur uuur
.
B/. CÁC BÀI TẬP MẪU:
@ DÀNH CHO CẢ NÂNG CAO VÀ CƠ BẢN :
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz .
1) Cho ba điểm A ( 1 ; 0 ;-2 ) , B ( 2 ; 1 ;- 1 ) , C ( 1 ; -2 ; 2 ) .
a) Chứng minh rằng A , B , C là ba đỉnh của tam giác .
b) Tính chu vi của tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trung điểm I của cạnh BC.
d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
f) Tính góc BAC.
Bài giải :
a)
(1;1;1)
(0; 2;4)
AB
AC
=
= −
uuur
uuur

⇒
Không tìm được số k :
AB k AC=
uuur uuur
tức là hai vectơ

,AB AC
uuur uuur
không cùng phương
⇒
Ba điểm A ,B ,C không thẳng hàng tức là A , B , C là ba đỉnh của tam giác .
b)
13
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh

3
2 5
19
AB
AC
BC
=
=
=

⇒
Chu vi của tam giác ∆ ABC = AB + AC + BC =
3 2 5 19+ +
.
c) Vì I là trung điểm của cạnh BC nên :

3
2
2
1
2 2

1
2
2
B C
I
I
B C
I I
B C
I
I
x x
x
x
y y
y y
z z
z
z
+


=
=




+
 

= ⇔ = −
 
 
+
 
=
=
 


. Vậy
3 1 1
( ; ; )
2 2 2
I −
.
d) G là trọng tâm ∆ ABC
1
( )
3
OG OA OB OC⇔ = + +
uuur uuur uuur uuur
( O là gốc toạ độ )

4
3 3
1
3 3
1
3 3

+ +

= =


+ +

⇔ = = −


+ +

= = −


A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
. Vậy
4 1 1
( ; ; )

3 3 3
− −G
.
e) ABCD là hình bình hành
2 1 1 0
1 0 2 3
1 ( 2) 2 1
D D
D D
D D
AB DC
x x
y y
z z
⇔ =
− = − =
 
 
⇔ − = − − ⇔ = −
 
 
− − − = − =
 
uuur uuur
.
C
A D
B
Vậy D ( 0 ; -3 ; 1 ) .
f) Ta có :

·
. 1.0 1.( 2) 1.4 1
cos cos( , )
3.2 5 15
.
AB AC
BAC AB AC
AB AC
+ − +
= = = =
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
.
Từ đó suy ra:
·
0
75 2'12,42''BAC ≈
2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ,biết A (1; 0 ; 1 ) , B ( 2 ; 1 ; 2 ) ,
D ( 1; -1 ; 1 ) và C’(4 ;5 ; -5 ) . Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại ?
Bài giải :
Ta có :
2 1 1 2
1 0 ( 1) 0
2 1 1 2
C C
C C
C C
x x
AB DC y y

z z
− = − =
 
 
= ⇔ − = − − ⇔ =
 
 
− = − =
 
uuur uuur
. Vậy C (2 ; 0 ;2 ) .
14
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh

B'
A'
C'
C
A
D
B
D'
Tương tự , từ
(3;5; 6)
(4;6; 5)
(3;4; 6)
AA CC A
BB CC B
DD CC D
′ ′ ′

= ⇒ −
′ ′ ′
= ⇒ −
′ ′ ′
= ⇒ −
uuur uuuur
uuur uuuur
uuuur uuuur
3) a) Tìm điểm M thuộc y’Oy sao cho M cách đều A ( 3 ; 1 ;0 ) và B ( -2 ; 4;1 ).
b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho N cách đều A ( 1; 1 ;1 ) ,
B ( -1 ;1 ; 0 ) và C ( 3 ; 1 ; -1 ) .
Bài giải :
a) Vì
M y Oy
′
∈
nên M(0;y;0).
Ta có :
2 2
2 2 2 2 2 2
(3 0) (1 ) (0 0) ( 2 0) (4 ) (1 0)
11
10 2 21 8
6
MA MB MA MB
y y
y y y
= ⇔ =
⇔ − + − + − = − − + − + −
⇔ − = − ⇔ =

Vậy
11
(0; ;0)
6
M
.
b)
( ) ( ;0; )N Oxz N x z∈ ⇒
. Ta có :
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 1) (0 1) ( 1) ( 1) ((0 1)
( 1) (0 1) ( 1) ( 3) (0 1) ( 1)
5
6
7
6
NA NB
NA NB NC NA NB NC
NA NC
x z x z
x z x z
x
y

=


= = ⇔ = = ⇔

=



− + − + − = + + − +

⇔

− + − + − = − + − + +



=


⇔


=−


Vậy
5 7
( ;0; )
6 6
N −
.
4) Viết phương trình mặt cầu (S) biết rằng :

a) (S) có tâm I ( -1 ; 2 ;3 ) và qua điểm A ( -2 ; 1 ; 1 ) .
b) (S) có đường kính AB với A ( 6 ; 2 ;-5 ) và B ( -4 ; 0 ; 7 ) .
c) (S) có tâm I ( 1 ; 4 ; -7 ) và tiếp xúc với mặt phẳng :
( ) : 6 6 7 42 0x y z
α
+ − + =
.
Bài giải :
a) Vì (S) qua A(-2;1;1)
⇒
bán kính của (S) là :
2 2 2
( 2 1) (1 2) (1 3) 6r IA= = − + + − + − =
Vậy phương trình của (S) là :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 6x y z+ + − + − =
.
15
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
b) (S) có đường kính AB nên tâm của mặt cầu (S) là trung điểm I của AB và bán kính
2
AB
r =
.
Ta có :
2
1
1
2
1

2
A B
I
I
A B
I I
I
A B
I
x x
x
x
y y
y y
z
z z
z
+

=

=


+
 
= ⇔ =
 
 
=


+

=


. Vậy tâm I(1;1;1) .
Bán kính
248
62
2 2
AB
r = = =
.
Vậy phương trình của (S) là :
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 62x y z− + − + − =
.
c) (S) tiếp xúc mặt phẳng
( ) : 6 6 7 42 0x y z
α
+ − + =
nên bán kính của (S) là :
6 6 7 42
121
( ,( )) 11
11
36 36 49
I I I
x y z

r d I
α
+ − +
= = = =
+ +
Vậy mặt cầu (S) có phương trình :
2 2 2
( 1) ( 4) ( 7) 121x y z− + − + + =
.
5) Lập phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A ( 1 ; 1 ;0 ) , B ( 3 ; 1 ;2 ) , C ( -1 ; 1 ;2) D ( 1 ; -1 ;2 )
.Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó .
Bài giải :
Giả sử mặt cầu (S) có phương trình dạng :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0( 0)x y z ax by cz d a b c d+ + + + + + = + + − >
Do (S) đi qua A(1;1;0) , B(3;1;2) , C(-1;1;2) , D(1;-1;2) nên ta có :
1 1 0 2 2 0(1)
9 1 4 6 2 4 0(2)
1 1 4 2 2 4 0(3)
1 1 4 2 2 4 0(4)
a b d
a b c d
a b c d
a b c d
+ + + + + =


+ + + + + + =



+ + − + + + =


+ + + − + + =

Lấy (1) - (2) , (1) – (3) , (1) –(4) ta được :
12 4 4 0
4 4 4 0
4 4 4 0
a c
a c
b c
− − − =


− + − =


− + − =

Giải hệ này ta được : a= -1 ; b = -1 ; c = -2 . Thay các giá trị này vào (4) ta được d = 2.
Vậy phương trình mặt cầu là :
2 2 2
2 2 4 2 0x y z x y z+ + − − + + =
Tâm của mặt cầu (S) là I(1;1;2) và bán kính
2 2 2
1 1 4 2 2r a b c d= + + − = + + − =
6 ) Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba đi ểm A ( -2 ; 4 ;1 ) , B ( 3 ; 1 ;-3 ) ,
C ( -5 ;0 ;0 ) và có t âm nằm trên mặt phẳng : (P) : 2x + y – z + 3 = 0 .
Bài giải :

Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0( 0)x y z ax by cz d a b c d+ + + + + + = + + − >
( (S) có tâm I(-a;-b;-c))
Vì (S) qua A ,B ,C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình :
16
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
4 16 1 4 8 2 0
9 1 9 6 2 6 0
25 10 0
2( ) ( ) ( ) 3 0
a b c d
a b c d
a d
a b c
+ + − + + + =


+ + + + − + =


− + =


− + − − − + =

Giải hệ trên ta được : a= -1 ; b = 2 ; c = -3 ; d = -35 .
Vậy mặt cầu (S) có phương trình :
2 2 2
2 4 6 35 0x y z x y z+ + − + − − =

.
7) Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) :
2 2 2
9 0x y z+ + − =
và song song với mặt
phẳng (Q) : x + 2y -2z +15 = 0 .
Bài giải :
• (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính r = 3 .
• (P) song song với (Q) nên phương trình (P) có dạng : x + 2y -2z + m = 0
• (P) tiếp xúc với (S)
( ,( )) 3 9
3
m
d O P r m⇔ = ⇔ = ⇔ = ±
• Vậy có hai mặt phẳng thoả đề bài :
(P) : x + 2y -2z +9 =0 và (P’): x + 2y -2z -9 = 0 .
8) Cho mặt cầu (S) :
2 2 2
4 2 6 5 0x y z x y z+ + − + − + =
và hai đường thẳng
1
2
5 1 3
( ) :
2 3 2
7
( ) : 1
8
x y z
d

x t
d y t
z
+ − +
= =
−
= − +


= − −


=

a) Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
song song
1 2
,d d
và tiếp xúc với (S) .
b) Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) với
( )
α
?
Bài giải :
a) * (S) có tâm I(2 ;-1;3) và bán kính r = 3
*
1
( )d

có vectơ chỉ phương là
1
(2; 3;2)a = −
r
.

2
( )d
có vectơ chỉ phương là
2
(1; 1;0)a = −
r
.
* Vì
( )
α
song song
1 2
,d d
nên
( )
α
nhận
(2;2;1)n a b= ∧ =
r
r r
làm vectơ pháp tuyến .
Do đó phương trình
( )
α

có dạng : 2x + 2y +z + m = 0 .
Vì
( )
α
tiếp xúc với (S) nên :
2 2 2
4 2 3
( ,( )) 3
2 2 1
4
5 9
14
m
d I r
m
m
m
α
− + +
= ⇔ =
+ +
=

⇔ + = ⇔

= −

Vậy có hai mặt phẳng
( )
α

thoả mãn đề bài :
1
2
( ) : 2 2 4 0
( ) : 2 2 14 0
x y z
x y z
α
α
+ + + =
+ + − =
b) Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với
1 2
( ),( )
α α
. Lúc đó (d) có vectơ chỉ phương là
(2;2;1)a n= =
r r
. Phương trình tham số của (d) là :
2 2
( ) : 1 2 ( )
3
x t
d y t t
z t
= +


= − + ∈



= +

¡
17
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
* Tiếp điểm A của (S) với
1
( )
α
chính là giao điểm của (d) và
1
( )
α
và toạ độ của A là nghiệm của hệ :
2 2
1 2
3
2 2 4 0
x t
y t
z t
x y z
= +


= − +


= +



+ + + =

Giải hệ này ta được : A(0;-3;2) .
* Tiếp điểm B của (S) với
2
( )
α
chính là giao điểm của (d) và
2
( )
α
và toạ độ của B là nghiệm của hệ :
2 2
1 2
3
2 2 14 0
x t
y t
z t
x y z
= +


= − +


= +



+ + − =

Giải hệ này ta được : B(4;1;4) .
9) Cho điểm A ( 1 ; 2 ;3 ) và mặt cầu (S) :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 16x y z− + + + − =

a) Tìm các giao điểm M , N của đường thẳng OA với (S) ?
b) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M và N .
Bài giải :
a) Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương là
(1;2;3)OA =
uuur

( ) : 2
3
x t
OA y t
z t
=


⇒ =


=

Toạ độ giao điểm M , N của đường thẳng OA với mặt cầu (S) là nghiệm hệ :
2 2 2

2
3
( 1) ( 2) ( 3) 16(1)
x t
y t
z t
x y z
=


=


=


− + + + − =

Thay x , y , z vào (1) ta được phương trình :
2 2 2
( 1) (2 2) (3 3) 16t t t− + + + − =

Giải phương trình trên ta được : t = 1 và
1
7
t = −
Vậy M(1;2;3) và
1 2 3
( ; ; )
7 7 7

N − − −
.
b) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = 4.
Mặt phẳng
1
( )
α
tiếp xúc với (S) tại M ,suy ra
1
( )
α
có vectơ pháp tuyến là
(0;4;0)IM =
uuur
.
Vậy phương trình của mặt phẳng
1
( )
α
là :
0( x – 1 ) + 4( y – 2 ) + 0( z – 3 ) = 0 hay 4y – 8 = 0 .
Mặt phẳng
2
( )
α
tiếp xúc với (S) tại N ,suy ra
2
( )
α
có vectơ pháp tuyến là

8 12 24
( ; ; )
7 7 7
IN = − −
uur
Vậy phương trình của mặt phẳng
2
( )
α
là :
8 1 12 2 24 3
( ) ( ) ( ) 0
7 7 7 7 7 7
x y z− + + + − + =
hay
8 12 24 8 0 2 3 6 2 0x y z x y z− + − − = ⇔ − + + =
.
10) Cho mặt cầu (S) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( ) : 2 2 9 0x y z
α
− − + =

a) Chứng minh rằng (S) và
( )
α
cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T) .
b) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (T) ?

Bài giải :
18
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
a) Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính r = 10 .
Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( ,( )) 6
4 4 1
d I
α
− − − +
= =
+ +
Vậy
( ,( ))d I r
α
<
nên (S) cắt
( )
α
theo giao tuyến là đường tròn (T) .
b) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên
( )
α
.
* Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với
( )
α
. Lúc đó (d) có vectơ chỉ phương là
(2; 2; 1)a n= = − −

r r
. Phương trình tham số của (d) là :
3 2
( ) : 2 2 ( )
1
x t
d y t t
z t
= +


= − − ∈


= −

¡
* Toạ độ của J là nghiệm của hệ :
3 2
2 2
1
2 2 9 0
x t
y t
z t
x y z
= +


= − −



= −


− − + =

Giải hệ này ta được : J(-1;2;3) .
* Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có :
2 2
r r d
′
= −

Với d là khoảng cách từ I đến
( )
α
. Ta có : d = 6
Vậy
100 36 8r
′
= − =
.
Tóm lại : J(-1;2;3) và r’= 8 .
@ BÀI TẬPRIÊNG DÀNH CHO NÂNG CAO :
1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 1) , B(-1 ; 1 ; 2) ,
C(-1 ; 1 ; 0) , D(2 ; -1 ; -2).
a) Chứng minh rằng A , B , C , D là bốn đỉnh của một tứ diện .
b) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó .
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .

d) Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy ra độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A .
Bài giải :
a) Để chứng minh A , B ,C ,D là bốn đỉnh của một tứ diện ta chứng minh A , B ,C ,D không đồng phẳng .
Điều này tương đương với ba vectơ
, ,BA BC BD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng. Ta có :
B
C
D
A
H
K
(2; 1; 1), (0;0; 2), (3; 2; 4).
, (2;4;0).
, . 2.3 4.( 2) 0.( 4) 2 0
BA BC BD
BA BC
BA BC BD
= − − = − = − −
 
=
 
 
⇒ = + − + − = − ≠
 
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
Vậy

, ,BA BC BD
uuur uuur uuur
không đồng phẳng .
19
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
b) Ta có :
2 2 2
0 2 2 0 0 0
1 1
, 13
2 4 4 3 3 2
2 2
BCD
S BC BD
− −
 
= = + + =
 
− − − −
uuur uuur
.
2
2
1 2 13
. 13
2 2
BCD
BCD
BC
S

S BC DK DK
BC
=
= ⇒ = = =
(3; 2; 2)CD = − −
uuur
Nếu gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD 2p là chu vi tam giác đó thì
.
BCD
S p r=
. Ta có :
2p = BC + BD + CD = 2 +
2 29 17
29 17
2
p
+ +
+ ⇒ =

Do đó :
2 13
2 29 17
BCD
S
r
p
= =
+ +
.
c) Gọi

α
là góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Vì
0 0
0 90
α
≤ ≤
nên
α
bằng hoặc bù với góc giữa hai
vectơ
AB
uuur
và
CD
uuur
. Vậy :
.
cos cos( , )
AB CD
AB CD
AB CD
α
= =
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Ta có :
( 2;1;1), (3; 2; 2)
. ( 2).3 1.( 2) 1.( 2) 10
6, 17

10
10
cos
6. 17 102
AB CD
AB CD
AB CD
α
− − −
= − + − + − = −
= =
−
⇒ = =
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Từ đó ta suy ra góc
α
.
d) Ta có :
1 1 1
, . 2
6 6 3
ABCD
V BA BC BD
 
= = − =
 
uuur uuur uuur
.

Gọi AH là đường cao của tứ diện ABCD . Khi đó :
1
3.
3
1 1
3
.
3
13 13
ABCD
ABCD BCD
BCD
V
V AH S AH
S
= ⇔ = = =
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;3;1) và đường thẳng d có phương trình :
2 1 1
1 2 2
x y z
+ − +
= =
−

. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng đường thẳng d .
Bài giải :
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A , tiếp xúc với đường thẳng d .
Ta có :
( , )R d A d=
d qua M(-2;1;-1) và có vectơ chỉ phương là

(1;2; 2)a −
r
(4;2;2)MA
uuur
Vậy
2 2 2
2 2 2
2 2 2 4 4 2
,
2 2 2 1 1 2
10 2
3
1 2 ( 2)
MA a
R
a
+ +
 
− −
 
= = =
+ + −
uuur
r
r
Vậy phương trình mặt cầu là :
2 2 2
200
( 2) ( 3) ( 1)
9

x y z− + − + − =
.
-------------------------------------
20
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
I. Phương trình mặt phẳng:
1. Phương trình mp
( )
α
qua; M(x
0
;y
0
z
0
) có vecto pháp tuyến
( ; ; )n A B C
r
là:
A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
2. Phương trình Ax+By+Cz+D=0 với
2 2 2

0A B C+ + >
là phương trình mặt
phẳng có vecto pháp tuyến
( ; ; )n A B C
r

3. Mp
( )
α
cắt các trục toạ độ tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) thì phương trình
của
( )
α
là :
1
x y z
a b c
+ + =
4. Cho
( )
α
: Ax+By+Cz+D=0
•
( )
α
qua O
0D
⇔ =
•
( )

α
song song hay chứa trục Ox
0A
⇔ =
•
( )
α
song song hay trùng mp(Oxy)
0A B
⇔ = =
Các trường hợp còn lại tương tự.
II. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng (d) qua M(x
0
;y
0
z
0
) có vecto chỉ phương
( ; ; )u a b c
r
• Phương trình tham số của (d) là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +



= +


= +

• Phương trình chính tắc của (d) là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =

nếu a.b.c
0≠
III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho
( )
α
: Ax+By+Cz+D=0
( ')
α
: A’x+B’y+C’z+D’=0
•
( )
α
và
( ')
α
cắt nhau

: : ': ': 'A B C A B C⇔ ≠
•
( )
α
và
( ')
α
song song
' ' ' '
A B C D
A B C D
⇔ = = ≠
•
( )
α
và
( ')
α
trùng nhau
' ' ' '
A B C D
A B C D
⇔ = = =
•
( )
α
và
( ')
α
vuông góc nhau

' ' ' 0AA BB CC⇔ + + =
IV. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho (d) qua A có VTCP
a
r
(d’) qua B có VTCP
b
r
• d cắt d’
0
( ). 0 ( ). 0
a kb a b
a b AB a b AB
 
≠ ∧ ≠
 
⇔ ⇔
 
∧ = ∧ =
 
 
r r r r r
uur r uuur r r uuur
• d // d’
0
' 0
a kb a b
a k AB a AB
 
= ∧ =

 
⇔ ⇔
 
≠ ∧ ≠
 
 
r r r r r
r uuur r uuur
21
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
• d
≡
d’
, ,a b AB⇔
r r uuur
đôi một cùng phương
0a b a AB⇔ ∧ = ∧ =
r r r uuur
• d, d’ chéo nhau
( ). 0a b AB⇔ ∧ ≠
r r uuur
V. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Cho
( )
α
: Ax+By+Cz+D=0
2 2 2
/ /
( , )

M M M
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
2. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ( CT nâng cao)
Cho (
∆
) qua A có VTCP
a
r
( , )
a AM
d M
a
∧
∆ =
r uuuur
r
3. Khoảng cách giửa hai đường thẳng chéo nhau (CT nâng cao)
Cho (
∆
) qua A có VTCP
a
r
(
'∆

) qua B có VTCP
b
r

( ).
( , ')
a b AB
d
a b
∧
∆ ∆ =
∧
r r uuur
r r
VI. Góc ( CT nâng cao)
1. Góc giửa hai đường thẳng:
Cho 2 đường thẳng
∆
và
'∆
có VTCP là
a
r
và
b
r
·
.
cos( , ') cos( , )
a b

a b
a b
∆ ∆ = =
r r
r r
r r
2. Góc giửa hai mặt phẳng:
Cho 2 mặt phẳng
α
và
β
có VTPT là
n
α
uur
và
n
β
uur
·
cos( , ) cos( , )n n
α β
α β
=
uur uur
3. Góc giửa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho (
∆
) qua A có VTCP
a

r
Mp(
α
) có VTPT
n
r

·
sin( , ) cos( , )a n
α
∆ =
r r
B. PHẦN BÀI TẬP:
1. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2) , B(3;0;1),C(-2;1;0).
a) Lập phương trình mp(ABC)
b) Tính chiều cao tứ diện OABC hạ từ đỉnh O.
2. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2),B(3;1;4).
a) Viết phương trình mặt trung trực của đoạn AB.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên
mpOxy.
3. Trong kgOxyz, cho M(1;2;-3).
a) Gọi P,Q,R lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox,Oy,Oz. Viết phương trình mp(PQR)
b) Tính thể tích tứ diện OPQR.
22
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
c) Tính diện tích tam giác PQR
4. Trong kgOxyz, cho
( ) : 7 0x y z
α
+ − − = ( ) : 2 3 7 0x y z

β
− − + =
( ) : 2 5 0x y z
γ
+ + − =
và
( ) : 2
1
x t
d y t
z t
=


= +


= −

a) Tìm điểm chung của ba mặt phẳng
( ),( ),( )
α β γ
b) CMR:
( ) , ( ) , //( )d d d
α β γ
⊥ ⊂
5. Trong kgOxyz, cho A(2;-1;3)
a) Lập phương trình mặt phẳng
( )
α

biết rằng hình chiếu của O lên mp
( )
α
là điểm A
b) Lập phương trình mặt phẳng qua A và:
i) chứa trục Ox
ii) chứa trục Oy
iii) chứa trục Oz
6. Trong kgOxyz, cho mp
( ) : 2 3 13 0x y z
α
− + − =
a) Tìm hình chiếu H của điểm M(-1;0;1) lên mp
( )
α
. Suy ra điểm M’ đối xứng của M qua mp
( )
α
b) Mp(
)
α
cắt các trục toạ độ tại A,B,C.Tính thể tích tứ diện OABC.
7. Trong kgOxyz, cho
( ) : 1
2
x t
y t
z t
=



∆ = −


= +

a) Tìm hình chiếu H của điểm A(1;-1;0) lên
( ).∆
Suy ra điểm A’ đối xứng của A qua đường thẳng
( ).∆
b) CMR :
( )∆
và (d):
1 1
1 2 1
x y z+ −
= =
− −
là hai đường thẳng chéo nhau.
8. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 1 0x y z
α
− + + =
và
( ) : 1
2
x t
d y t
z t
=



= +


= − +

a) CMR: (d) song song với mp
( )
α
b) Tính khoảng cách giửa (d) và mp
( )
α
9. Trong kgOxyz, cho
3
( ) : 2 3
1
x t
y t
z t
= −


∆ = +


= +

và
1 3 '

( ') : 2 '
2 2 '
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


= −

a) CMR:
( ),( ')∆ ∆
cắt nhau.Tìm giao điểm I của chúng.
b) Lập phương trình mp chứa
( )∆
và
( ')∆
10. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 2 1 0,( ) : 2 2 3 5 0x y z x y z
α β
+ − + = + + − =
a) CMR:
α β
⊥
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (D) là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.
11. Trong kgOxyz, cho A(2;0;-2),B(1;-2;3) và
( ) : 2 3 5 0.x y z

α
− + − =
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
b) Tìm giao điểm của đường thằng AB và mp
( )
α
c) Lập phương trình mp
( )
β
qua AB và vuông góc với mp
( )
α
12. Trong kgOxyz, cho A(4;0;1),B(2;-1;0),C(0;6;1),D(6;3;-2).
a) Viết phương trình mp(BCD), suy ra ABCD là một tứ diện.
23
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
b) Lập phương trình đường thẳng (D) qua trọng tâm G của tam giác BCD và vuông góc với
mp(BCD)
13. Trong kgOxyz, cho
4
( ) : 3 2
5
x t
y t
z t
=


∆ = − +



= −

và
1 '
( ') : 13 3 '
9 2 '
x t
y t
z t
= −


∆ = +


= +

a) CMR:
( )∆
và
( ')∆
vuông góc nhau và không có điểm chung.
b) Lập phương trình mp chứa
( )∆
và vuông góc với
( ')∆
14. Trong kgOxyz, cho
2
( ) : 1 2

4
x t
y t
z t
=


∆ = − −


=

và (D):
1 2
1 1 2
x y z− −
= =
−
a) CMR : Hai đường thẳng trên song song nhau.
b) Lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên.
15. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 1 0x y mz
α
− − + =
và
( ) :d

1 2 3
1 1 1
x y z− + −

= =
−
a) Tìm m để (d) song song với
( )
α
. Tính khoảng cách giửa chúng khi đó.
b) Tìm m để khoảng cách từ A(1;1;1) đến
( )
α
bằng 1.
16. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 1 0x y
α
+ + =
và
( ) : 1 0x y z
β
− + − =
a) CMR
( )
α
và
( )
β
cắt nhau. Viết phương trình tham số của đường thẳng giao tuyến của chúng
b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;2) và song song với hai mặt phẳng
( )
α
và
( )

β
17. Trong kgOxyz, cho A(1;-1;2) , B(3;0;1),C(-2;1;0).
a) Lập phương trình mp
( )
α
qua A,B và song song với OC
b) Lập phương trình mp
( )
β
qua A,B và vuông góc với mp
( ) : 6 0x y z
γ
− + − =
18. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 2 0x y z
α
− + + =
và
( ) : 2 1 0x y z
β
+ + − =
a) Tìm điểm M trên Oy sao cho M cách đều hai mặt phẳng
( )
α
,
( )
β
b) Viết phương trình mp
( )
γ

qua A(-1;2;1) và vuông góc với
( )
α
,
( )
β
19. Trong kgOxyz, cho
1
( ) : 1
3
x t
y t
z t
= +


∆ = −


= −

và
2 '
( ') : 3 '
1 '
x t
y t
z t
= −



∆ = +


= −

a) CMR
( )∆
và
( ')∆
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng (D) nằm trong mpOxy và cắt cả
( )∆
và
( ')∆
20. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng 1.
CMR: AC’
( ' )A BD⊥
21. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh
AD,BB’
CMR:
'A C MN⊥
Từ bài 22 đến bài 30 dành cho học sinh nâng cao.
22. Trong kgOxyz, cho
1
( ) : 1
3
x t

y t
z t
= +


∆ = −


= −

và điểm A(2;-1;0)
24
Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh
a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng
( )∆
.
b) Lập phương trình mặt phẳng chứa
( )∆
và qua A.
23. Trong kgOxyz, cho
1
( ) : 1
3
x t
y t
z t
= +


∆ = −



= −

(D):
1 2
1 2 1
x y z− −
= =
−
a) CMR
( )
∆
và (D) chéo nhau.Tính khoảng cách giửa chúng.
b) Tính góc giửa
( )
∆
và (D)
24. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 2 0x y z
α
− + + =
và (D):
2 1 2
1 2 1
x y z+ − −
= =
−
a) Viết phương trình đường thẳng (D
1

) là hình chiếu của (D) lên mpOxy.
b) Viết phương trình đường thẳng (D
2
) là hình chiếu của (D) lên mp
( )
α
25. Trong kgOxyz, cho A(0;-1;-2),B(-1;2;1),C(1;0;0)
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Tính độ dài đường cao CH trong tam giác ABC
26. Trong kgOxyz, cho
( ) : 2 0x y z m
α
+ + − =
a) Tìm m để hình tứ diện giới hạn bởi
( )
α
và các mặt toạ độ có thể tích bằng
2
3
b) Tính góc tạo bởi
( )
α
và mp
( ) : 1 0x y
β
+ − =
27.
a) Lập phương trình mp
( )
α

cắt các trục toạ độ tại A,B,C biết trọng tâm tam giác ABC là G(1;-1;1)
b) Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau
1
( ) :
4
x t
y at
z t
= +


∆ =


= −

, (D):
2 1
1 1
y z
x
− −
= =
−
28. Trong kgOxyz, cho
3
( ) : 1
1
x t
y t

z t
= −


∆ = −


= +

(D):
2 1
1 2
x y
z
− −
= =
−
a) CMR
( )
∆
và (D) chéo nhau.
b) Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của
( )
∆
và (D)
29. Trong kgOxyz, cho
( ) : 1
1
x t
y t

z
=


∆ = −


=

(d):
2 1
1 2
x y
z
− −
= =
−
và mp
( ) : 2 1 0x y z
α
+ − + =
a) Tính góc tạo bởi (d) và mp
( )
α
b) Lập phương trình đường thẳng nằm trong mp
( )
α
và cắt cả hai đường thẳng (d) và
( )
∆

30. Trong kgOxyz, cho
1 2
( ) : 1
x t
y t
z t
= −


∆ = +


=

(d):
2 1
1 2
x y
z
− −
= =
−
a) Lập phương trình đường thẳng (D) qua gốc toạ độ và vuông góc với hai đường thẳng
( )
∆
và (d)
25