Dap an Toan Khoi D - 09

Phần chung cho tất cả thí sinh
Câu I.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0
Khi đó hàm số trở thành:
4 2
y x 2x= −
• TXĐ: R.
• Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy
•
3 2
x 0
y' 4x 4x 4x(x 1) y' 0
x 1
=

= − = − ⇒ = ⇔

= ±

Ta có:
f (0) 0;f( 1) 1.= ± = −
•
2
3 3 5
y'' 12x 4 y'' 0 x ;f
3 3 9
 
= − ⇒ = ⇔ = ± ± = −
 ÷
 ÷
 

• Bảng biến thiên:
Đồ thị lõm trong các khoảng:
3 3
; ; ;
3 3
   
−∞ − +∞
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
và lồi trong
3 3
;
3 3
 
−
 ÷
 ÷
 
.
• Hàm số đạt cực tiểu tại
x 1= ±
; đạt cực đại tại
x 0
=
.
• Vẽ đồ thị: đồ thị tiếp xúc với Ox tại
x 0
=
và cắt Ox tại

x 2= ±
.
1
2. Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình
( )
4 2
3 2 3 1x m x m− + + = −
( )
4 2
3 2 3 1 0x m x m⇔ − + + + =
(*)
Đặt
2
0t x= ≥ thì (*) trở thành:

( )
2
3 2 3 1 0t m t m− + + + =
(**)
Giả sử các nghiệm của (*) là
1
x
<
2
x
<
3
x
<
4

x
< 2
Thì
1 2
x t= −
;
2 1
x t= −
;
3 1
x t=
;
4 2
x t=
với
0
<
1
t
<
2
t
là các nghiệm (**)
Do đó:
1
x
<
2
x
<

3
x
<
4
x
< 2
⇔

0
<
1
t
<
2
t
< 2
0
⇔
<
1
t
<
2
t
< 4
Nhưng (**)
⇔
( ) ( )
1 3 1 0t t m− − − =

⇔

t 1
t 3m 1
=


= +

Do đó bài toán thoả mãn
0 3 1 4
3 1 1
m
m
< + <

⇔

+ ≠

( )
1
1
1
;0 0;1
3
3
0
m
m

m

− < <

 
⇔ ⇔ ∈ − ∪

 ÷
 

≠

.
2
Câu II.
1. Giải phương trình:
3cos 5x -2sin 3x cos2x - sin x = 0
3cos 5x - (sin 5x +sin x) = sin x⇔

( )
( )
3cos 5x - sin5x= 2 sin x
3 1
cos 5x - sin 5x sin x
2 2
sin( 5x) sin x
3
5x x 2k
3
k

5x x 2k
3
k
x
18 3
k Z
k
x
3 2
⇔
⇔ =
π
⇔ − =
π

− = − + π

⇔ ∈

π

− = π+ + π


π π

= +

⇔ ∈


π π

= +


¢
2. Điều kiện xác định:
x 0≠
Hệ phương trình
( )
2
2
3
x y 1
x
5
x y 1 0
x

+ + =


⇔


+ − + =


Đặt
u x y

1
v
x
= +



=


Ta có:
2 2 2 2
u 1 3v u 3v 1
u 5v 1 0 (3v 1) 5v 1 0
+ = = −
 
⇔
 
− + = − − + =
 
2
2v 3v 1 0⇒ − + =
v 1
1
v .
2
=


⇔


=

+) v = 1
⇒
u = 2 Ta có:
x y 2
x 1
1
y 1.
1
x
+ =

=


⇔
 
=
=



3
+)
1 1
v u
2 2
= ⇒ =

Ta có:
1
x 2
x y
2
3
1 1
y .
2
x 2

=
+ =


 
⇔
 
= −
 
=



Kết hợp ĐKXĐ, hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) là :
(1;1)
và
3
2;
2

 
−
 ÷
 
.
Câu III.
Đặt
x x
dt
t e 1 dt e dx dx
t 1
= − ⇒ = ⇒ =
+
3
x 1 t e 1
x 3 t e 1
= ⇒ = −
= ⇒ = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 3
e 1 e 1
e 1 e 1

3
3 3
3
2
2
dt 1 1
I dt
t(t 1) t t 1
e 1
ln t ln t 1
e 1
ln e 1 ln e ln e 1 ln e
ln e 1 ln e 1 2
ln e 1 e e 1 ln e 1 2
ln e e 1 2.
− −
− −
 
= = −
 ÷
+ +
 
−
= − +
−
= − − − − +
= − − − −
= − + + − − −
= + + −
∫ ∫

Câu IV.
4
+) Từ I hạ
IH AC IH (ABC)⊥ ⇒ ⊥
AA'C:
∆

2 2 2 2 2 2
AC A'C -AA' 9a 4a 5a= = − =

2 2
AC 5a AC a 5= ⇒ =
ABC :
∆

2 2 2 2 2 2
BC AC AB 5a a 4a BC 2a= − = − = ⇒ =

⇒

2
ABC
1 1
S AB.BC a 2a a
2 2
∆
= = =
A 'M 1 a 5
A'M
AC 2 2

= ⇒ =
A 'M IK 1 4a
IH 2IK IH
AC IH 2 3
= = ⇒ = ⇒ =
⇒
2 3
IABC
1 a 2a 4a
V
3 3 9
= =
Từ trên
HC 2AH⇒ =
HD CH 2 2
HD a
AB CA 3 3
= = ⇒ =
2 2 2
2 2 2
4a 4a 8a 2a 2
ID IH HD ID
9 9 9 3
= + = + = ⇒ =

2
IBC
1 2a 2 2a 2
S .2a.
2 3 3

∆
= =
5