De thi hsg ca si o

Phòng GD Thọ Xuân Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 thcs
giải toán bằng máy tính CASio năm học 2007-2008
Đáp án chi tiết đề chẵn
(Thời gian làm bài 150 phút )
(Thí sinh làm bài và ghi đáp số vào ngay sau phần đề bài theo chỉ dẫn, thí sinh chỉ đ-
ợc sử dụng các loại máy tính Casio loại fx-570ES trở xuống )
Bài 1: (2 điểm)
1.(1đ) Tìm số d trong phép chia 56758966395349 cho 5675.
2.(1đ) Tính chính xác giá trị A= 241107
3
Giải:
Ta có đặt a=241; b=107 => A=(a.10
3
+b)
3
=a
3
.10
9
+3.10
6
.a
2
.b+3.10
3
.a.b
2
+b
3
Lập bảng dùng máy tính tính ta có:
a

3
.10
9
= 1 3 9 9 7 5 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3.10
6
.a
2
.b= 1 8 6 4 4 0 0 1 0 0 0 0 0 0
3.10
3
.a.b
2
= 8 2 7 7 6 2 7 0 0 0
b
3
= 1 2 2 5 0 4 3
A=
1 4
0 1 6
1 7 3
2 7 9
8 5 2
0 4 3
Vậy A= 14016173279852043
Bài 2: (2 điểm)
1.(1đ) Thực hiện phép chia 5 cho 19 ta đợc một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hãy xác
định chữ số đứng thứ 2007 sau dấu phẩy.
2.(1đ) Cho B= 5,2354354354 là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ (354).
Hãy viết B dới dạng phân số tối giản.

Giải:
1. Thực hiện phép chia 5 cho 19 ta đợc một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hãy xác
định chữ số đứng thứ 2007 sau dấu phẩy.
1. Ta có 5:19=0,263157894 Bấm 5-19.0,263157894=14.10
-9
Lấy 14:19= 0,736842105 =>5:19=0,263157894736842105
Bấm tiếp 14-19.0,736842105=5.10
-9
Lấy 5:19=0,263157894
=>5:19=0,263157894736842105263157894.
Do đó 5:19=0,(263157894736842105) (có chu kỳ là 18 CS)
Vì 2007 mod 18 =9 nên CS cần tìm là CS thứ 9 trong chu kỳ là CS 4
( Thử lại trên máy vi tinh chọn Calculator/View/Scientific cho kết quả
5:19=0,263157894736842105 26315789473684 )
2. Cho B= 5,2354354354 là số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ (354).
Hãy viết B dới dạng phân số tối giản.
Ta có 5,2(354)=5,2+0,(354):10
Đặt A=0,(354) ta có 1000A=0,(354).1000 do đó 1000A=354,(354)
1
3174
14016173279852043
4
8717
1665
Suy ra 1000A=354+0,(354) hay 1000A=435+A
=> 999A=354 =>A= 354:999 do đó B=5,2(354)=5,2+(354:999):10=
52 354
10 9990
+
=

8717
1665
Bài 3: (2,5 điểm) Tính các giá trị sau ( tính chính xác đến 6 chữ số phần thập phân)
1. (1,5đ)
C =
1
1 2+
+
32
1
+
+
43
1
+
+..........+
1
2006 2007+

2. (1đ) D =
2 0 2 0 4
3 0 3 0
cos 35 tg 50 -sin 40
4
cos 35 :0,25cotg 55
5
Giải:
1. C =
1
1 2+

+
32
1
+
+...+
1
2006 2007+
+
1
2006 2007+
=
( 2 1)
( 2 1)( 2 1)

+
+
)23()23(
)23(
+

+...+
( 2007 2006)
( 2007 2006)( 2007 2006)

+
=
2 1 3 2 ............ 2007 2006 + + +
=
2007 1

43,79955357

43,799554
2. D =
2 0 2 0 4
3 0 3 0
cos 35 tg 50 -sin 40
4
cos 35 :0,25cotg 55
5


1,295545139

1,295545
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho đa thức P(x)=x
5
+7,534x
4
-6,325x
3
-3,628x
2
+5,762x+3,193
1.(1,5đ) Tìm số d của đa thức trên khi chia cho (x-4,26)
2.(1đ) Xác định hệ số của x
2
trong đa thức thơng của phép chia trên.

Giải:
1. Số d của P(x) khi chia cho (x-4,26) chính là P(4,26)
- Dùng máy tính thay vào tính ta có P(4,26)

3357,103159
Vậy số d là 3357,103159
2. Phân tích đa thức f(x) ra thừa số theo sơ đồ Horner :
Chia đa thức f(x)= a
0
x
5
+a
1
x
4
+a
2
x
3
+a
3
x
2
+a
4
x + a
5
cho nhị thức (x-c) đợc thơng là
một đa thức bậc 4.
f(x)=a

0
x
5
+a
1
x
4
+a
2
x
3
+a
3
x
2
+a
4
x + a
5
=(x-c)( b
0
x
4
+b
1
x
3
+b
2
x

2
+b
3
x + b
4
)+r
Do đó hệ số của x
2
trong đa thức thơng của phép chia trên là b
2
Ta có b
0
= a
0
; b
1
=b
0
c+a
1
; b
2
=b
1
c+a
2
. ; trong đó b
0
= a
0

=1; a
1
=7,534 ; a
2
=-6,325
Thay số vào ta có : b
1
=1. 4,26 +7,534 =11,794
b
2
=11,794.4,26 6,325=43,91744
Vậy hệ số của x
2
trong đa thức thơng là 43,91744
Bài 5: (2 điểm)
2
C

43,799554
D

1,295545

3357,103159
43,91744
1.(1đ) Biết
3
1 1
1 4
1 1

2 3
1 1
3 2
4 2
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
hãy tìm x viết dới dạng phân số.
2.(1đ) Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 70573, 57829 và 52213 cho a ta đ-
ợc cùng một số d.
Giải:
1. Ta có
1
1
1
2
1
3
4
+
+
+
=
43
30
;
1
4

1
3
1
2
2
+
+
+
=
73
17
do đó ta có
3
43 73
30 17
x x
+ =
suy ra
3
73 43
17 30
x x
=
=> x=
1 1
3: ( )
73 43
17 30

=

17 30
3: ( )
73 43

=
9417
1459

. Vậy x=
9417
1459

2. Tìm số tự nhiên a lớn nhất để khi chia các số 70573, 57829 và 52213 cho a ta đợc
cùng một số d.
Giải:
Vì các số 70573; 57829 và 52213 khi chia cho a ta đợc cùng một số d nên ta có
các hiệu 70573 57829 ; 57829 52213 đều chia hết cho a, do đó các số 12744 và
5616 đều chia hết cho a, mà a là số tự nhiên lớn nhất nên a chính là
ƯCLN(12744,5616)=216
Vậy a=216
Bài 6 :(2 điểm)
Cho đa thức P(x)=x
4
+ax
3
+bx
2
+cx+d
Biết P(1)=2; P(2)=5; P(3)=10; P(4)=17
Hãy tính P(100); P(1001)

Giải:
Đặt Q(x)=P(x)-(x
2
+1) nh vậy Q(x) là đa thức bặc 4.
Ta có Q(1)=P(1)-(1
2
+1)=2-2=0 ; Q(2)=P(2)-(2
2
+1)=5-5=0
Q(3)=P(3)-(3
2
+1)=10-10=0 ; Q(4)=P(4)-(4
2
+1)=17-17=0
Do đó Q(x) có 4 nghiệm là 1, 2, 3, 4 => Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
Mà Q(x)=P(x)-(x
2
+1) => P(x)-(x
2
+1) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
=> P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +(x
2
+1)
Thay số vào ta có P(100)=99.98.97.96+100
2
+1=90355025 (1đ)
P(1001)=1000.999.998.997+1001
2
+1=994010994000+1002001+1
=994011996002 (1đ)

Bài 7: (2 điểm)
Cho 4 điểm A, B, C, I sao cho I thuộc miền trong tam giác ABC và IA=3cm; IB=2cm;
IC=5cm; AB=4cm; AC=6cm.
1.(1đ) Tính gần đúng (chính xác đến 3 chữ số phần thập phân) khoảng cách IH từ I đến
AB.
2.(1đ) Tính chính xác nhất (làm tròn theo độ, phút, giây) số đo góc BAC.
3
x=
9417
1459

216
P(100)=9035502
P(1001)=994011996002
IH

1,452 cm
Giải:
1. Ta có:
ABI
S
=IH.AB:2 => IH=
ABI
S
:AB.2
Mà
ABI
S
=
4,5.0,5.2,5.1,5

2,90473751 => IH

2,90473751:4..2

1,452368755

1,452 (cm) Đáp số: 1,452 cm
2. Từ I hạ IK vuông góc với AC. Tơng tự ta tính đợc IK=
AIC
S
:AC.2=
7.1.2.4
:AC.2

7,483314774:6..2

2,494438258(cm)
Mà
ã
BAC
=
ã
HAI
+
ã
IAK
. Ta dễ ràng tính đợc các góc HAI và IAK nhờ vào hàm ngợc của
hàm sin trên máy Casio, hàm sin các góc này sẽ tính đợc khi biết IH và IK.
- Ta có sinA

1
=IH:IA

1,452368755:3

0.484122918 =>
ã
HAI

28
0
5718,09
- Ta có sinA
2
=IK:IA

2,494438258:3

0.831479419 =>
ã
IAK

56
0
153,64
=>
ã
BAC

28

0
5718,09+56
0
153,64

85
0
1221.73

85
0
1222
Đáp số: 85
0
1222
Chú ý: Khi tính toán, để đợc kết quả chính xác nhất có thể thì đến cuối cùng mới nên làm
tròn theo yêu cầu.
Bài 8: (2 điểm) (Kết quả đợc làm tròn số đến đơn vị đồng)
1.(1đ) Một ngời gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi xuất 0,65% một tháng. Hỏi
sau 10 năm ngời đó có nhận đợc số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết
rằng ngời đó không rút lãi ở tất cả các kỳ trớc đó.
2.(1đ) Một ngời khác, hàng tháng đều đặn gửi vào ngân hàng số tiền là 1,2 triệu đồng
với lãi xuất là 0,63% một tháng. Hỏi sau đúng 4 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) ngời đó đi
rút tiền cả gốc lẫn lãi về thì sẽ có số tiền là bao nhiêu? Biết rằng hàng tháng ngời đó
không rút lãi ra.
Giải:
1. Gọi số tiền ban đầu ngời đó gửi vào là a, lãi xuất hàng tháng là m% ta có:
Sau 1 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a+a.m%=a(1+m%)
Sau 2 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a(1+m%)+a(1+m%).m%=a(1+m%)
2

... . .
Tuơng tự ta có : Sau n tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng là : a(1+m%)
n
Thay a=100000000; m=0,65 và n=10.12=120
Sau 10 năm ngời đó có số tiền ở ngân hàng là 100000000.(1+0,0065)
120

217597302,4đ

217597302đ. Đáp số: 217597302đ
2. Gọi số tiền hàng tháng ngời đó gửi vào là a, lãi xuất là m%/tháng ta có:
Sau 1 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là :
4
ã
BAC

85
0
1222

217597302đ.

67435411đ
(a+a.m%)+a=a[(1+m%)+1]=
(1 %) 1
a
m+
[(1+m%)
2
-1]=

%
a
m
[(1+m%)
2
-1]=
Sau 2 tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là :

%
a
m
[(1+m%)
2
-1](1+m%)+a=
%
a
m
[(1+m%)
3
-1(1+m%)+m%]=
%
a
m
[(1+m%)
3
-1]
. . .
Tuơng nh vậy tự ta có :
Sau k tháng, số tiền ngời đó có ở ngân hàng (kể cả vừa gửi vào định kỳ) là :

%
a
m
[(1+m%)
k
-1](1+m%)+a=
%
a
m
[(1+m%)
k+1
-1(1+m%)+m%]=
%
a
m
[(1+m%)
k+1
-1]
Sau n tháng ngời đó đi rút tiền về, ngời đó sẽ không gửi định kỳ nữa thì số tiền ngời đó
rút về đợc là
%
a
m
[(1+m%)
n+1
-1]-a.
Thay a=1200000 đ; m=0,63 ; n= 4.12= 48
ta có số tiền ngời đó rút đợc về là

1200000

0,0063
[(1+0,0063)
49
-1]-1200000

67435410,91đ

67435411đ
Bài 9: (3điểm)
Cho U
n
=
( ) ( )
2 3 2 3
2 3
n n
+
với n=0, 1 , 2 , 3 , 4
1.(1đ) Tính các giá trị U
0
, U
1
, U
2
, U
3
, U
4
U
0

=0 U
1
=1 U
2
=4 U
3
=15 U
4
=56
2.(1đ) Lập công thức truy hồi tính U
n+2
theo U
n+1
và U
n
.
3.(1đ) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n+2
theo U
n+1
và U
n
.
Giải:
1. Thay n=0,1,2,3,4 ta đợc U
0
=0, U
1
=1 , U
2

=4 , U
3
=15 , U
4
=56 ( mỗi ý 0,2đ)
2. Cách 1: Dùng phơng pháp biến đổi:
Ta có: đặt a=
2 3+
; b=
2 3
, suy ra U
n+1
=
1 1
2 3
n n
a b
+ +

; U
n
=
2 3
n n
a b
và a+b=4; a.b=1
Ta có U
n+2
=
2 2

2 3
n n
a b
+ +

=
2 2
1
( )
2 3
n n
a b
+ +

=
1
2 3
[(a+b)(a
n+1
-b
n+1
)-a
n+1
.b+a.b
n+1
]
=
1
2 3
[(a+b)(a

n+1
-b
n+1
)-a.b (a
n
-b
n
)]=(a+b)
1 1
2 3
n n
a b
+ +

-a.b
2 3
n n
a b
=4 U
n+1
- U
n
Vậy công thức truy hồi là U
n+2
=4 U
n+1
- U
n
Cách 2:Dùng phơng pháp quy nạp:
Giả sử ta có công thức truy hồi tính U

n+2
theo U
n+1
và U
n
là U
n+2
=aU
n+1
+bU
n
+c
Thay n=0, 1, 2, 3, 4 vào và áp dụng câu 1 ta có hệ PT sau:
2 1 0
3 2 1
4 3 2
U aU bU c
U aU bU c
U aU bU c
= + +


= + +


= + +

<=>
4 .1 .0
15 .4 .1

56 .15 .4
a b c
a b c
a b c
= + +


= + +


= + +

giải hệ ( bấm máy tính) ta đợc
4
1
0
a
b
c
=


=


=

Vậy công thức truy hồi là U
n+2
=4U

n+1
- U
n
5
U
n+2
=4U
n+1
- U
n