Bài tập không gian vecto có lời giải

Chuyên đề Không gian vecto

Bài 04.02.1.001.T168
Các tập sau đây là ĐLTT hay PTTT:

a)u1  1,2  và u2   3, 6  trong

2

b)u1   2,3 , u2   5,8 và u3   6,1 trong

2

c) p1  2  3x  x 2 và p2  6  9x  3x 2 trong P2
1 3
 1 3
d)A  
,B  

 trong M2
2
0

2
0





Lời giải:

Họ vecto v1 , v2 ,...., vm  của không gian vecto V là ĐLTT nếu phương trình:
c1v1  c2v2  ...  cmvm   (*)

Đối với các ẩn ci chỉ có nghiệm tầm thường ci  0
Họ trên là phụ thuộc tuyến tính nếu phương trình (*) có nghiệm không tầm thường
tức là nghiệm  c1, c2 ,...., cm  với ít nhất một ci  0
a) Xét

 u1   u2   0,0 
  1, 2     3, 6    0,0 
   3 , 2  6     0,0 
  3  0
Do đó  ,  là nghiệm hệ: 
2  6  0
  3
Hệ phương trình này là một hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường 
  1


Vậy họ u1, u2  là PTTT.
b) Xét

 u1   u2   u3   0,0 
   2,3    5,8     6,1   0,0 
  2  5  6 ,3  8      0,0 
2  5  6  0
Do đó  ,  là nghiệm hệ 
3  8    0

Đây là một hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn nên ta có vô

số nghiệm chẳng hạn xem  tùy ý ta tính được  và  theo  . Do đó nó có
nghiệm không tầm thường.
Vậy hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính.
c) Xét

 p1   p2  0  0 x  0 x 2  P2

   2  3x  x 2     6  9 x  3x 2   0  0 x  0 x 2
  2  6    3  9      3   0  0 x  0 x 2

2  6   0

Do đó  ,  là nghiệm hệ 3  9   0
  3  0


Ba phương trình trên tương đương với một phương trình cuối:

  3  0
  3
Nó có nghiệm không tầm thường 
  1

Vậy họ  p1 , p2  là PTTT.
d) Xét


0 0

0 0

1 3
 1 3   0 0 




 2 0    0 0 
 2 0

 

3  3   0 0 
  



 2   2  0  0    0 0 

A B  

    0
3  3  0

Do đó  ,  là nghiệm hệ 
2  2   0
0  0   0

Bốn phương trình này tương đương phương trình đầu     0
  1
Nó có nghiệm không tầm thường 

  1

Vậy họ  A, B đã cho là PTTT.
Bài 04.02.1.002.T169
Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT:
a) 1,2,3 ,  3,6,7  trong

3

b)  4, 2,6  ,  6, 3,9  trong

3

c)  2, 3,1 ,  3, 1,5 , 1, 4,3 trong
d)  5,4,3 ,  3,3,2  , 8,1,3 trong

3

3

Lời giải:
a) Xét

 1, 2,3    3,6,7    0,0,0 
   3 , 2  6 ,3  7     0,0,0 


  3  0

Do đó  ,  là nghiệm hệ 2  6   0

3  7   0

2  6  0
Hệ này tương đương hệ hai phương trình cuối 
3  7   0

Hệ này có định thức  

2 6
3 7

 14  18  4  0

  0
nên chỉ có nghiệm tầm thường 
  0

Vậy họ vecto 1,2,3 ,  3,6,7  là ĐLTT trong

3

b) Xét

  4, 2,6     6, 3,9    0,0,0 
  4  6 , 2  3 ,6  9    0,0,0 

4  6   0

Do đó  ,  là nghiệm hệ 2  3  0  2  3  0
6  9  0


  3
Nó có nghiệm không tầm thường 
   2

Vậy họ  4, 2,6  ,  6, 3,9  là PTTT.
c) Xét

  2, 3,1    3, 1,5   1, 4,3   0,0,0 
  2  3   , 3    4 ,  5  3    0,0,0 

2  3    0

Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 3    4  0
  5  3  0



2

3

1

Hệ này có định thức   3 1 4  35  0
1 5 3
  0

Nên chỉ có nghiệm không tầm thường    0
  0



Vậy hệ đã cho là ĐLTT.
d)Xét

  5, 4,3    3,3, 2    8,1,3   0,0,0 
  5  3  8 , 4  3   ,3  2  3    0,0,0 

5  3  8  0

Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 4  3    0
3  2  3  0

5 3 8

Hệ này có định thức   4 3 1  0
3 2 3
Nên hệ có nghiệm không tầm thường.
Vậy họ đã cho là PTTT.
Bài 04.02.1.003.T169
Các tập dưới đây là ĐLTT hay PTTT:
a)  4, 5,2,6  ,  2, 2,1,3 ,  6, 3,3,9  ,  4, 1,5,6  trong

4

b) 1,0,0,2,5 ,  0,1,0,3,4  ,  0,0,1,4,7  ,  2, 3,4,11,12 trong
Lời giải:
a) Xét

5

  4, 5, 2,6     2, 2,1,3    6, 3,3,9     4, 1,5,6    0,0,0,0 
  4  2  6  4 , 5  2  3   , 2    3  5 ,6  3b  9  6 

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ
4  2   6  4  0
5  2   3    0


2    3  5  0
6  3b  9  6  0
4

Hệ này có định thức  

2

6

4

5 2 3 1
2

1

3

5

6

3

9

6

0

Nên không có nghiệm tầm thường.
Vậy họ vecto đã cho là PTTT.
b) Xét:

 1,0,0, 2,5    0,1,0,3, 4     0,0,1, 4,7     2, 3, 4,11,12    0,0,0,0,0 
   2 ,   3 ,   4 , 2  3  4  11 ,5  4  7  12    0,0,0,0,0 

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ
  2  0
  2  0
   3  0


   3  0

  4  0
2  3  4  11  0
  4  0


14  0
5  4   7  12  0
  0
  0

Do đó nó có nghiệm duy nhất 
là nghiệm tầm thường.


0

  0


Vậy hệ đã cho là ĐLTT.
Bài 04.02.1.004.T169
Tập nào trong P2 dưới đây là PTTT:

a) 2  x  4 x 2 , 3  6 x  2 x 2 , 1  10 x  4 x 2
b) 3  x  x 2 , 2  x  5 x 2 , 4  3 x 2
c) 6  x 2 , 1  x  4 x 2
d ) 1  3x  3x 2 , x  4 x 2 , 5  6 x  3x 2 , 7  2 x  x 2
Lời giải:
a) Xét:

  2  x  4 x 2     3  6 x  2 x 2    1  10 x  4 x 2   0  0 x  0 x 2  P2
  2  3        6  10  x   4  2   4  x 2  0  0 x  0 x 2

2  3    0


Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ   6   10  0
4  2   4  0

2

3

1

Hệ này có định thức 1 6 10  6  0
4 2 4
  0

Nên chỉ có nghiệm tầm thường    0
  0


Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT.
b) Xét:

  3  x  x 2     2  x  5 x 2     4  3x 2   0  0 x  0 x 2
  3  2   4       x    5  3  x 2  0  0 x  0 x 2


3  2   4  0

Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ     0
  5  3  0

3

2

4

Hệ này có định thức 1 1 0  39  0
1 5 3
  0

Nên chỉ có nghiệm tầm thường    0
  0


Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT.
c) Xét:

  6  x 2    1  x  4 x 2   0  0 x  0 x 2
  6      x     4  x 2  0  0 x  0 x 2

 6    0

 0
Do đó  ,  là nghiệm hệ 
a  4  0

  0
Hệ này chỉ có nghiệm tầm thường 
  0

Vậy họ vecto đã cho là ĐLTT.

d) Xét:

 1  3x  3x 2     x  4 x 2     5  6 x  3 x 2     7  2 x  x 2   0  0 x  0 x 2
   5  7    3    6  2  x   3  4   3    x 2  0  0 x  0 x 2

Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ


  5  7  0

3    6  2  0
3  4   3    0


Đây là một hệ thuần nhất mà số phương trình ít hơn số ẩn nên có nghiệm không
tầm thường.
Vậy họ vecto đã cho là PTTT.
Bài 04.02.1.005.T169
Tập nào trong C  ,   dưới đây là PTTT:
a) 2, 4sin 2 x,cos 2 x

b) x,cos x

c) 1,sin x,sin 2 x

d ) cos 2 x,sin 2 x,cos 2 x

e) 1  x  , x 2  2 x,3

f ) 0, x, x 2

2

Lời giải:
a) Ta có:
1  sin 2 x  cos 2 x
1
4sin 2 x   2cos 2 x

2
1
 2   4sin 2 x   2cos 2 x  0
2

2

Vậy họ đã cho là PTTT.
b) Xét:

 x   cos x  0
Thay x  0    0
Thay x 


2




2

 0  0

Vậy họ đã cho là ĐLTT.
c) Xét:

   sin x   sin 2 x  0


Thay x  0    0
Thay x 
Thay x 


2


4

 0

 0

Vậy họ đã cho là ĐLTT.
d) Xét:

 cos 2 x   sin 2 x   cos 2 x  0
   cos 2 x  sin 2 x    sin 2 x   cos 2 x  0
     cos 2 x       sin 2 x  0

Thay x  0      0
Thay x 


2

    0

  1

Ta suy ra chẳng hạn    1 thỏa mãn, nên có nghiệm không tầm thường.
  1


Vậy họ đã cho là PTTT
e) Xét:

 1  x     x 2  2 x    .3  0
2

   3   2  2   x      x 2  0  0 x  0 x 2

  3  0
  3  0

Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ 2  2   0  
    0
    0


  3

Hệ có nghiệm không tầm thường    3
  1


Vậy họ đã cho là PTTT.
f) Ta thấy

1.0  0 x  0 x 2  0
Vậy họ đã cho là PTTT.
Bài 04.02.1.006.T169
Tìm  thực làm cho các vecto sau đây phụ thuộc tuyến tính trong

1 1

v1    ,  ,  
2 2


1
 1
v2    ,  ,  
2
 2

 1 1 
v3    ,  ,  
 2 2 

Lời giải:
Xét

 v1   v2   v3   0,0,0 

1 1
1

 1
 1 1 
    ,  ,       ,  ,       ,  ,     0,0,0 
2 2
2

 2
 2 2 
1
1
1
1
1
1


       ,       ,          0,0,0 
2
2
2
2

2
2



Do đó  ,  ,  là nghiệm hệ
1
1





 0

2
2

1
 1
       0
2
 2
1
 1



    0
 2

2


Hệ này là một hệ thuần nhất có 3 phương trình phụ thuộc tham số  .
Định thức của hệ là

3



1
2
1

2

 



1
2




1
2

1

2
1
3
1 1
2
   3        1 2  1
2
4
4 4




Vậy:

  1

Nếu 
1 thì   0 hệ chỉ có nghiệm tầm thường,




2
do đó họ đã cho là ĐLTT.

  1

Nếu 
1 thì   0 hệ có nghiệm không tầm thường,





2
Do đó họ đã cho là PTTT.
Bài 04.02.1.007
Cho hệ véctơ 1 , 2 ,..., m ĐLTT trong không gian véctơ V . Chứng minh:
a)Hệ vecto 1  1, 2   2   2 ,..., m  1   2  ...   m cũng ĐLTT
b)Hệ vecto:

 1  a111  ...  a1m m
 2  a211  ...  a2 m m
 m  am11  ...  amm m
ĐLTT khi và chỉ khi det A  0 , trong đó:


 a11
a
A   22


 am1

a12
a22
am 2

a1m 
... a2 m 




... amm 

...

Lời giải:
a) Giả sử b11  b2 2  ...  bm m  0, bi 
 b11  b2 1   2   ...  bm 1   2  ...   m   0
  b1  ...  bm 1   b2  ...  bm  2  ...  bm m  0

Vì 1,....,m ĐLTT nên ta có:

b1  b2  ...  bm 1  bm

b2  ...  bm 1  bm



bm 1  bm

bm


0
0
0
0

Suy ngược từ dưới lên, ta có: bm  bm1  ...  b1  0
Vậy 1,...., m ĐLTT.
b) Giả sử c1 1  c2 2  ...  cm m  0, c j 
  a11c1  a21c2  ...  am1cm 1   a12c1  a22c2  ...  am 2cm  2
  a1mc1  a2 mc2  ...  ammcm  m  0

 a11c1  a21c2  ...  am1cm  0
 a c  a c  ...  a c  0

22 2
m2 m
  12 1
(*)

a1m c1  a2 mc2  ...  ammcm  0

Hệ vecto  1 ,  2 ,...,  m ĐLTT khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (*) có
nghiệm duy nhất (0, 0, …, 0) khi và chỉ khi ma trận các hệ số của hệ (*) không suy
biến hay det A  0


Bài 04.02.1.008
Cho V là không gian vectơ trên R và x, y, z thuộc V. Chứng minh rằng {x,y,z}
ĐLTT khi và chỉ khi { x + y, y + z, z + x } cũng ĐLTT.
Lời giải:
1) Giả sử x, y, zx, y, z ĐLTT.
Ta sẽ chứng minh x  y, y  z, z  xx  y, y  z, z  x ĐLTT.
Ta có:
1  x  y    2  y  z    3  z  x   0
 1   3  x  1   2  y   2   3  z  0

1   3  0

 1   2  0 vì  x, y, z ĐLTT
    0
3
 2
Vậy x  y, y  z, z  xx  y, y  z, z  x ĐLTT.
2) Giả sử x  y, y  z, z  x ĐLTT. Ta sẽ chứng minh  x, y, z ĐLTT
Ta có:

1x  2 y  3 z  0
   
    
   
  1  2  3  x  y    1  2  3  y  z    1  2  3  z  x  0
2
2
2
2
2
2 
 2
 2
 2
 1  2  3
 2  2  2 0


  

  1  2  3  0 Vì  x  y, y  z, z  x ĐLTT
2
2
 2
 1  2  3
 2  2  2 0


 1   2  3  0
Vậy  x, y, z ĐLTT


Bài 04.02.1.009.T170
Hãy giải thích tại sao các tập sau không phải là cơ sở của không gian tương ứng.
a) u1  1,2  , u2   0,3 , u3   2,7  đối với
b) u1   1,3,2  , u2   6,1,1 đối với

2

3

c) p1  1  x  x2 , p2  x  1 đối với P2
d)

 1 1
A
,
2
3




 6 0
B
,

1
4



5 1 
D
,
4
2



7 1
E= 

 2 9

3 0 
C

1 7 

đối với M 2

Lời giải:
Muốn cho một họ vecto là cơ sở của một không gian hữu hạn chiều thì một điều
kiện cần là số vecto của họ phải bằng số chiều của không gian. Do đó nếu một họ
vecto có số vecto khác số chiều của không gian thì nó không thể là một cơ sở được.
a) Số vecto của họ u1 , u2 , u3 là 3 trong khi số chiều của không gian
b)Số vecto của họ u1, u2  là 2 trong khi số chiều của không gian

3

2

là 2   3

là 3   2

c)Số vecto của họ  p1 ,p2  là 2 trong khi số chiều của không gian P2 là 3   2
d)Số vecto của họ  A, B,C,D,E là 5 trong khi số chiều của không gian M 2 là 4

  5
Bài 04.02.1.010.T170
Họ nào dưới đây là cơ sở trong

2

:

a )  2,1 ,  3,0 

b)  4,1 ,  7,8 

c)  0,0  , 1,3

d )  3,9  ,  4, 12 

Lời giải:


n

Muốn cho một họ gồm n vecto của không gian

là một cơ sở của

n

, điều kiện

cần và đủ là nó ĐLTT. Muốn cho một họ gồm n vecto của n là ĐLTT, điều kiện
cần và đủ là định thức của ma trận có các hàng hay cột tạo bởi các vecto của họ
viết thành hàng hay cột phải khác 0.
a)

2 1
3 0

 3  0

Vậy họ  2,1 ,  3,0  là một cơ sở
b)

4

1

7 8

2

 32  7  25  0

Vậy họ  4,1 ,  7, 8 là một cơ sở
c)

0 0
1 3

2

0

Vậy họ  0,0  , 1,3 không phải là cơ sở
d)

3

9

4 12

2

0

Vậy họ  3,9  ,  4, 12  không phải là cơ sở
Bài 04.02.1.011.T170
Họ nào dưới đây là cơ sở trong
a) 1,0,0  ,  2, 2,0  ,  3,3,3
b)  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1, 4,8 
c)  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1
d ) 1,6, 4  ,  2, 4, 1 ,  1, 2,5 

Lời giải:

3

:

2


1 0 0

a) 2 2 0  6  0
3 3 3
Vậy họ 1,0,0  ,  2,2,0  ,  3,3,3 là một cơ sở của

3

3 1 4

b) 2 5
1 4

6  26  0
8

Vậy họ  3,1, 4  ,  2,5,6  , 1,4,8 là một cơ sở của

3

2 3 1

c) 4 1 1  0
0 7 1
Vậy họ  2, 3,1 ,  4,1,1 ,  0, 7,1 không phải là cơ sở của
1

6

3

4

d) 2 4 1  0
1 2 5
Vậy họ 1,6,4  ,  2,4, 1 ,  1,2,5  không phải là cơ sở của
Bài 04.02.1.012.T170
Họ nào dưới đây là cơ sở trong P2 :

a) 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x
b) 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2
c) 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2
d )  4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2
Lời giải:
P2 là một không gian 3 chiều. Muốn cho 3 vecto:

3


p  a0  a1 x  a2 x 2
q  b0  b1 x  b2 x 2
r  c0  c1 x  c2 x 2

Là một cơ sở của P2 điều kiện cần và đủ là   0 :
  0 thì họ  p, q, r là một cơ sở
  0 thì họ  p, q, r không phải là cơ sở của P2

1

1

1

a) 3 1 7  0
2 4 0
Vậy họ 1  3x  2 x 2 ,1  x  4 x 2 ,1  7 x không phải là một cơ sở của P2..
4 1

b) 6

1

5

4

2 0

2

1

Vậy họ 4  6 x  x 2 , 1  4 x  2 x 2 ,5  2 x  x 2  không phải là một cơ sở của P2..
1 0 0

c) 1 1 0  1  0
1 1 1
Vậy họ 1  x  x 2 , x  x 2 , x 2  là một cơ sở của P2..
4 6 8

d) 1
3

5 4  26  0
2 1

Vậy họ 4  x  3x 2 ,6  5 x  2 x 2 ,8  4 x  x 2  là một cơ sở của P2..
Bài 04.02.1.013.T170
Chứng minh rằng họ sau đây là cơ sở trong M 2

3 6   0 1  0
a) 
 ,  1 0  ,  12
3

6

 
 
1 0   0 1  0 0  0
b) 
 ,  0 0  , 1 0  ,  0
0
0

 
 
 

8   1 0 
,
4   1 2 
0
1 

Lời giải:
M 2 là không gian 4 chiều.

Một họ 4 ma trận cấp hai  A, B, C , D là cơ sở của M 2 nếu  A, B, C , D độc lập

tuyến tính tức là nếu phương trình

 A   B   C   D  0 (*)
Chỉ có nghiệm tầm thường         0
a) Phương trình (*) viết thành:
3 6 
 0 1
 0 8 
 1 0  0 0 

 
 



  0 0 
3

6

1
0

12

4

1
2








 

3  
6    8  0 0 


  0 0 
3




12




6


4


2



 




Do đó  ,  ,  ,  là nghiệm hệ
3    0
6    8  0


3    12    0
6  4  2  0


Hệ này có định thức



3

0

0

1

6

1

8

0

3

1 12 1

6

0

4

 48  0

2

Do đó hệ chỉ có nghiệm tầm thường         0
Vậy họ  A, B, C , D đã cho là một cơ sở của M 2
b) Phương trình (*) viết:
1 0 
0


0 0 
0
    0


  0



 



1

0 
0
0 

0 0 
0 0  0 0 
1 0     0 1    0 0 



 


Ta suy ra         0
 1 0   0 1   0 0   0 0  
Vậy họ  
 , 0 0  , 1 0  , 0 1   là một cơ sở của M 2
0
0

 
 
 



Bài 04.02.1.014.T171
Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau:
2 x1  x2  3 x3  0

x  y  z  0
1)  x1  2 x2  0
3 x  2 y  z  0
x  x  0

3
 2
3) 2 x  4 y  z  0
 x1  3 x2  x3  0
4 x  8 y  3 z  0


2) 2 x1  6 x2  2 x3  0
2 x  y  2 z  0
3 x  9 x  3 x  0
2
3
 1
Lời giải:
1) Xét hệ

2 x1  x2  3 x3  0

 x1  2 x2  0
x  x  0
3
 2

Hệ này có 3 phương trình 3 ẩn với định thức
2 1 3
 1 2 0 60
0 1 1

Vậy hệ đã cho chỉ có nghiệm tầm thường  0,0,0

W   0,0,0   dim  W   0 và W không có cơ sở.
2) Xét hệ
 x1  3 x2  x3  0

2 x1  6 x2  2 x3  0
3x  9 x  3x  0
2
3
 1

Ba phương trình này tương đương một phương trình đầu
x1  3x 2  x3  0

Vậy nghiệm hệ có dạng x2 và x3 tùy ý, x1  3x 2  x3

Do đó W  3x2  x3 , x2 , x3 x2 , x3 tùy ý.
Ta nhận thấy  3x 2  x3 , x2 , x3   3x 2 , x2 ,0    x3,0, x3 

 x2  3,1,0   x3  1,0,1
Vậy hai vecto u   3,1,0  và v   1,0,1 sinh ra W.
Chúng lại độc lập tuyến tính vì từ
3    0

 u   v    3,1,0    1,0,1   0,0,0    0
  0



Nghĩa là từ  u   v   0,0,0       0
Vì u, v sinh ra W và độc lập tuyến tính nên W là không gian hai chiều và u, v là
một cơ sở.
3) Xét hệ
x  y  z  0
3 x  2 y  z  0

2 x  4 y  z  0
4 x  8 y  3z  0

 2 x  y  2 z  0

Đây là một hệ thuần nhất có 5 phương trình 3 ẩn. Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp:
1 1 1
 3 2 1

 2 4 1


 4 8 3
 2 1 2

0
1 1
0  h 2  3h1 h 2 0 1


h 3  3 h1 h 3
 0 6
0  
h 4  4 h1 h 4
 h 5  2 h1 h 5 
0
0 4
0 1
0 

1
4
1
7
4

0
1
1 1
0



0 1 4
h3 6 h 2  h3


0  
h4 4h2h4
0 0 23

0

0 0 23
0 

Vậy hệ chỉ có nghiệm tầm thường x  y  z  0
Do đó

W   0,0,0   dim  W   0 W không có cơ sở.

Bài 04.02.1.015.T171
Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm các hệ sau:
3x1  x2  x3  x4  0
1) 
5 x1  x2  x3  x4  0
3x1  x2  2 x3  0

2) 4 x1  5 x3  0
 x  3x  4 x  0
2
3

 1

Lời giải:
1) Ta có hệ:

2 x1  4 x2  x3  x4  0
 x  5x  2 x  0
2
3
 1
3) 2 x2  2 x3  x4  0
 x  3x  x  0
2
4
 1
 x1  2 x2  x3  x4  0

0
0

0

0


3x1  x2  x3  x4  0

5x1  x2  x3  x4  0

Xét định thức của ma trậ các hệ số của x1 , x2  

3

1

5 1

 8  0

Do đó ta xem x3 , x4 là ẩn tự do có thể lấy giá trị tùy ý và giải hệ trên đối với cấc ẩn
chính x1 , x2 ta được:

1

 x1   4 x3

x   1 x  x
3
4
 2
4

Vậy nghiệm của hệ có dạng

1
1

 1
  1


x    x3 ,  x3  x4 , x3 , x4      x3 ,  x3 , x3 ,0    0,  x4 ,0, x4  
4
4
 4
  4


 1 1

 x3   ,  ,1,0   x4  0, 1,0,1
 4 4


 1 1

Vậy hai vecto u    ,  ,1,0  , v   0, 1,0,1 sinh ra tập W.
 4 4

Hơn nữa chúng lại ĐLTT vì từ  u   v   0,0,0,0 
1
1
    0,      0,  0,   0
4
4

Tức là điều kiện  u   v   0,0,0,0 chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi     0
Vậy W có số chiều bằng 2 và nhận u, v làm một cơ sở.
2) Xét hệ:
3 x1  x2  2 x3  0


4 x1  5 x3  0
 x  3x  4 x  0
2
3
 1

Đây là một hệ thuần nhất 3 phương trình ba ẩn, có định thức:


3

1

2

 4

0

5  10  0

1 3 4

do đó hệ chỉ có nghiệm tầm thường  0,0,0   W   0,0,0 
Vậy không gian các nghiệm của hệ đã cho có số chieièu bằng 0 và không có cơ sở.
3) Xét hệ:
2 x1  4 x2  x3  x4  0
 x  5x  2 x  0
2
3

 1
2 x2  2 x3  x4  0
 x  3x  x  0
2
4
 1
 x1  2 x2  x3  x4  0

Đây là một hệ thuần nhất có 5 phương trình 4 ẩn. Ta giải nó bằng biến đổi sơ cấp:
2
1

0

1
1

4

0
1
0
5 2 0 0 


doi  hang
 1
2 2 1 0  



3 0 1 0
1
 2
2 1 1 0 
0
1 5 2

h3 4 h 2  h3
0 2 2
1
3

h4 h2h4
2

 0 0 10
3
h 5  3h 2  h 5

0 0 6 1 / 2
0 0 9
2
1

1

5

0
1 5

2 2 1 0  h 3  h1 h 3 0 2


h 4  h1 h 4
 0 8
3 0 1 0  
h 5  2 h1 h 5


2 1 1 0 
0 3
0 6
4 1 1 0 
0
0
1 5 2


0
0 2 2
1
 h 4  3 h 3 h 4 
5
 0 0 10
0  
3
9
h 5  h 3 h 5



10
0
0 13 / 10
0 0
0 0
0 
0
7 / 10
2

0

 x1  0
x  0
 2
Vậy hệ chỉ có nghiệm tầm thường 
 x3  0
 x4  0

Do đó W   0,0,0,0   dim  W   0 W không có cơ sở.

2
2
2
3
3
0
0

0


0
0 

0
1 0 

1 0

1 0
1 0 
0


Bài 04.02.1.016.T171
Xác định cơ sở của các không gian con của

3

a) Mặt phẳng 3x  2 y  5 z  0
b) Mặt phẳng x  y  0
 x  2t

c) Đường thẳng  y  t
 z  4t


-  t  

d) Các vecto có dạng  a, b, c  trong đó b  a  c

Lời giải:
a) Xét phương trình:

3x  2 y  5z  0

Xem y và z tùy ý ta có:

x

Vậy

1
 2 y  5z 
3


5
2

W   x, y, z    y  z, y, z   y,z tùy ý
3
3



5
2
 2
  5


Ta có:  y  z, y, z    y, y,0     z,0, z  
3
3
 3
  3


2

 5

y  ,1,0   z   ,0,1
3

 3


2

 5

Vậy hai vecto u   ,1,0  , v    ,0,1 sinh ra W.
3

 3

2

 5


Chúng ĐLTT vì từ  u   v    ,1,0      ,0,1   0,0,0 
3

 3

Ta suy ra

2
5
    0,  0,   0
3
3

Tức là từ  u   v   0,0,0  chỉ suy ra     0
Vậy dim W  2 và u, v là một cơ sở.
b) Xét phương trình

x y0