Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH
GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

GV hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Khoa
Lớp

: Ths. Ngô Thị Bích Thủy
: Nguyễn Khánh Hòa
: Toán
: 14ST

Đà Nẵng tháng 4 năm 2018


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Lời cảm ơn!
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa toán trường ĐH Sư

Phạm – ĐH Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt
khóa luận này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô Ngô Thị
Bích Thủy, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các ý kiến đóng góp quý báu, sự động viên giúp
đỡ nhiệt tình của các thầy cô, bạn bè trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp.
Đà Nẵng, tháng 4 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Khánh Hòa

Khóa luận tốt nghiệp


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................... 4
1.1. Một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình trong chương trình toán THPT 4
1.2. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán về hệ phương
trình................................................................................................................................ 5
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC
BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN
THPT ............................................................................................................................. 6
2.1. Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .......................................................... 6
2.2. Dạng 2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn............................................................ 7

2.3. Dạng 3: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình khác ...................................................................................................................... 7
2.4. Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 1............................................................ 8
2.5. Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại 2............................................................ 9
2.6. Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp ................................................................... 10
2.7. Dạng 7: Hệ phương trình không mẫu mực ....................................................... 11
2.7.1 Phương pháp thế .............................................................................................. 11
2.7.2 Phương pháp đặt ẩn phụ .................................................................................. 14
2.7.3 Phương pháp nhân lượng liên hợp ................................................................... 20
2.7.4 Phương pháp lượng giác hóa ........................................................................... 25
2.7.5 Phương pháp biến đổi tương đương ................................................................ 33
2.7.6 Phương pháp hàm số ........................................................................................ 36
2.7.7 Phương pháp đánh giá ..................................................................................... 41
MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ................................................................................... 45
KẾT LUẬN ................................................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................... 47

Khóa luận tốt nghiệp


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là môn khoa học cơ bản, có vai trò quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó,
mang tính tư duy cao, đòi hỏi người học phải chịu khó tìm tòi, khám phá và say
mê nghiên cứu. Kiến thức về hệ phương trình trong chương trình toán ở bậc

trung học là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp
cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lý học, hóa học, sinh
học của bậc học này. Chính vì vậy, học sinh cần nghiên cứu kĩ nội dung này để
có kiến thức cũng như kĩ năng tốt phục vụ cho việc học tập ở trường cũng như
làm tốt các bài thi.
Đối với nhiều học sinh, hệ phương trình là một trong những chuyên đề khá
khó, các em khó nắm được hướng tiếp cận để tìm kiếm lời giải. Do đó, việc đưa
ra một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương trình là
một yêu cầu cần thiết. Vì vậy chủ đề về hệ phương trình là một chủ đề thuận lợi
cho việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh. Ngoài
những hệ phương trình có thuật toán hoặc phương pháp giải sẵn, chúng ta còn
gặp các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng
tạo.
Từ đó, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giúp học sinh giải
tốt các bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán THPT”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đưa ra một số dạng toán về hệ phương trình và phương pháp giải chúng giúp
học sinh nắm vững kiến thức về hệ phương trình và giải tốt các dạng đó.
3. Nội dung nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ những vấn đề sau:
1. Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu, nêu ra một số dạng toán về hệ phương
trình và phương pháp giải.
2. Hệ thống hóa những kiến thức và kĩ năng cần thiết để học sinh nắm vững
các kiến thức về hệ phương trình.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

3. Đề xuất một số ví dụ, bài tập về hệ phương trình và đưa ra một số phương
pháp để nâng cao kĩ năng giải toán.
4. Đưa ra một số sai lầm thường gặp để học sinh nhận biết và tránh khỏi.
4. Phương pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu từ một số tài liệu, sách, báo hay truy cập các Website để thu thập
thông tin, nghiên cứu các đề tài có liên quan trực tiếp đến đề tài của nhóm nhằm
làm rõ các khái niệm cũng như kiến thức cơ bản, ban đầu. Từ đó, hình thành cơ
sở lý luận cho đề tài.
2. Nghiên cứu thực tế:
Thông qua việc quan sát thực tế để có một số đánh giá về thực trạng việc dạy
học Toán ở trường THPT. Tiến hành phỏng vấn, trao đổi trực tiếp để điều tra
tình hình dạy và học về chuyên đề hệ phương trình ở một số trường phổ thông.
5. Bố cục của đề tài: Đề tài gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
1.1. Một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình trong chương trình toán THPT.
1.2. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán về hệ phương
trình.
Chương 2: Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương
trình trong chương trình toán THPT.
2.1.Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
2.2.Dạng 2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.
2.3.Dạng 3: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương
trình khác.
2.4. Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 1.
2.5. Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại 2.

2.6. Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp.
2.7 Dạng 7: Hệ phương trình không mẫu mực
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 2


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Bài tập đề nghị
Kết luận

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 3


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Một số kiến thức cơ bản về hệ phương trình trong chương trình toán
THPT
1.1.1. Nội dung cơ bản về hệ phương trình trong chương trình toán THPT:
a. Lý thuyết:
- Khái niệm hệ phương trình và các khái niệm liên quan đến hệ phương trình.

- Sử dụng ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp và logic toán (biến đổi tương đương,
hệ quả, kết hợp nghiệm,...)
- Biểu diễn của tập nghiệm khi biến đổi hệ phương trình: mở rộng, thu hẹp,
tương đương, giao, hợp các tập nghiệm.
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
- Thấy được ứng dụng của toán học trong thực tế và việc toán học hóa các bài
toán có nội dung thực tiễn.
- Kĩ năng giải bài toán, trọng tâm là kĩ năng lập và giải hệ phương trình.
b. Bài tập: Gồm các dạng cơ bản sau:
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
- Hệ phương trình gồm phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình khác
- Hệ phương trình đối xứng loại 1
- Hệ phương trình đối xứng loại 2
- Hệ phương trình đẳng cấp
- Hệ phương trình không mẫu mực
c. Yêu cầu, mức độ của sách giáo khoa:
- Học sinh nắm vững kiến thức cơ bản liên quan đến hệ phương trình
- Suy luận logic (chính xác, chặt chẽ), giải được các bài tập ở nhiều mức độ trong
sách giáo khoa
- Tính toán khéo léo, cẩn thận

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 4


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

1.2. Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán về hệ
phương trình
Trong thực trạng hiện nay, khi giải các bài toán về hệ phương trình, học sinh
thường mắc phải một số sai lầm sau:
- Quên điều kiện xác định của nghiệm, quên kết luận nghiệm.
- Không đối chiếu thử lại nghiệm.
- Kí hiệu toán học chưa chính xác.
- Thường đọc qua loa đề bài rồi vội vàng giải ngay, khi giải thì lập luận không
chặt chẽ.
- Thiếu thận trọng trong tính toán.

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 5


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN THPT

2.1. Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1.1 Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng
 ax  by  c


ax  by  c '
trong đó x, y là ẩn.
2.1.2 Cách giải:
Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế,
phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, đặt ẩn phụ,…
2.1.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình:
 4 x  3 y  6 1

 2
2 x  y  4
Giải:
*Cách 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Ta nhận thấy với phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất.
4 x  3 4  2 x   6
 4x  3 y  6
Hệ đã cho ⇔ 
⇔
y  4  2x
 y  4  2x

 2 x  6
 x3
⇔
⇔
 y  4  2x
 y  4  2x
Vậy nghiệm của hệ là: (3;-2)

 x3
⇔

 y  2

*Cách 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số
Ta nhận thấy rằng khử biến x bằng cách: nhân -2 vào hai vế phương trình
(2), sau đó cộng từng vế của hai phương trình.
 4x  3 y  6
 x3
4 x  3 y  6
Hệ đã cho ⇔ 
⇔
⇔
4x  2 y  8
 y  2
 y  2
Vậy nghiệm của hệ là: (3;-2)

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 6


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

2.2. Dạng 2: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
2.2.1 Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng
 a1 x  b1 y  c1 z  d1


a2 x  b2 y  c2 z  d2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3
trong đó x, y, z là ẩn.
2.2.2 Cách giải:
Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế,
phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay,…
2.2.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
x yz 2
1

 2
 x  2 y  3z  1
2 x  y  3z  1  3

Giải:
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được phương trình:
y  2 z  1

Nhân hai vế của (1) với 2 rồi lấy (3) trừ (1) vế theo vế ta được phương trình:
 y  z  5

Suy ra:

 y  2 z  1
⇔


 y  z  5

 y 3
Thay vào (1) ta được x  1

z


2


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm 1;3; 2
2.3. Dạng 3: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một
phương trình khác
2.3.1 Định nghĩa:
Là hệ phương trình có dạng
ax  by  c  0

 f  x, y   0
trong đó x, y là ẩn, f  x, y  là biểu thức hai biến x, y .
2.3.2 Cách giải:
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 7


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Thường sử dụng phương pháp thế.
2.3.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
 x  2 y  4 1
 2
2
 x  y  5  2
Giải:
Từ (1) ⇒ x  4  2 y thay vào (2) ta được :

4  2y

2

 y2  5

⇔ 16 16 y  4 y2  y2  5
⇔ 5 y2 16 y 11  0
 y 1
⇔  11
y 
5


Với y  1 ⇒ x  4  2 y  4  2.1  2
11
11
2
Với y  ⇒ x  4  2 y  4  2.  

5
5
5
 2 11 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  2;1 và   ; 
 5 5

2.4. Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 1
2.4.1 Định nghĩa:
Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, từng
phương trình đó không thay đổi.
2.4.2 Cách giải:
Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt tổng
bằng S, tích bằng P (S 2  4P) . Thông thường sau bước này ta được một hệ đơn
giản.
2.4.3 Ví dụ:
 x3  y 3  8
Giải hệ phương trình: 
(I)
 x  y  2 xy  2
Giải:

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 8


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

 x  y   x  y 2  3xy   8


(I) ⇔ 
x  y  2 xy  2

S  x  y
Đặt 
 P  xy

  2
2S 
S
S

3.
 8 1


S  S  3P   8
 
2 
Hệ trở thành 
⇔
2S
 S  2P  2

P


2
Giải (1) ta được S  2 ⇒ P  0
x  y  2
⇒
(II)
 xy  0
2

Hệ (II) có 2 nghiệm (2;0) và  0;2

Vậy kết luận hệ có 2 nghiệm  2;0 và (0;2)
2.5. Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại 2
2.5.1 Định nghĩa:
Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình,
phương trình này biến thành phương trình kia.
2.5.2 Cách giải:
Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung ( x  y ) rồi đưa hệ đã cho về hệ
mới đơn giản hơn.
2.5.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
 x3  2 x  y 1
 3
 y  2 y  x  2 
Giải:
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
x3  y3  3x  3y  0
⇔  x  y   x 2  xy  y 2   3 x  y   0
⇔  x  y   x 2  xy  y 2  3  0
2
2



y  3y
 3  0
⇔  x  y   x   
2
4



Khóa luận tốt nghiệp

(3)

Trang 9


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

2

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

y
3y
Do  x   
 3  0 nên
2
4


(3) ⇔ x  y  0 hay x  y
2

Thay x  y vào (1) ta được:
x3  x  0

⇔ x  x 2  1  0
⇔ x0 ⇒ y 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    0;0
2.6. Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp
2.6.1 Định nghĩa:
Là hệ có dạng
 f1  x, y   f 2  x, y 

 g1  x, y   g2  x, y 
trong đó fi  x, y  , gi  x, y  là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc.
2.6.2 Cách giải:
Xét x  0 , thay vào hệ giải tìm y. Xét x  0 thì ta đặt y  kx , thay vào hệ và
chia vế cho vế ta được phương trình một ẩn k . Tìm được k , ta suy ra x và y .
2.6.3 Ví dụ:
Giải hệ phương trình:
2
2

1 (I)
 x  2 xy  3 y  9
 2
2
 2


2 x  2 xy  y  2
Giải:
 y2  3
3 y 2  9
Nếu x  0 , hệ (I) trở thành:  2
⇔ 2
: Hệ vô nghiệm
y  2
y 2

Nếu x  0 ta đặt y  kx thế vào (I) ta có:
 x2  2kx2  3k 2 x2  9
 2
2
2 2
2 x  2kx  k x  2

 x2 1  2k  3k 2   9
⇔ 2
2
 x  2  2k  k   2

3
 4

Lấy (4) chia cho (3) ta được:
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 10

SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

k 2  2k  2 2

3k 2  2k  1 9

⇔ 9k 2  18k  18  6k 2  4k  2
⇔ 3k 2  14k  16  0
 k1  2
⇔
k2  8
3


Với k1  2 ta có y  2 x thế vào (2), ta có:
2 x2  4 x2  4 x2  2  0

⇔ 2x2  2
Với k2 

 x  1  y  2
⇔ 
 x  1  y  2

8
8
ta có y  x thế vào (2), ta có:

3
3

2 x2 

16 2 64 2
x  x 2
3
9


3 17
8 17
x
y

34 2
17
17
⇔
x 2 ⇔ 
9

3 17
8 17
y
x 
17
17


Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
 3 17 8 17   3 17 8 17 
;
;
; 

17   17
17 
 17

1; 2 ;  1;2 ; 

2.7. Dạng 7: Hệ phương trình không mẫu mực
Hệ phương trình không mẫu mực là hệ phương trình không có cấu trúc
(dạng) cụ thể, do đó cũng không có cách giải tổng quát. Phải tùy vào từng hệ
phương trình mà có cách giải phù hợp.
2.7.1 Phương pháp thế
a. Nhận biết:
- Trong hệ có chứa một phương trình mà ẩn x là bậc nhất hoặc ngược lại.
- Cả hai phương trình trong hệ đều chứa cùng biểu thức x, y.
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 11


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

- Cả hai phương trình trong hệ đều chứa chung một hằng số.
b. Phương pháp:
Ta rút một biến hoặc một biểu thức thích hợp từ một phương trình này thế
vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản như phương trình tích
hoặc một phương trình đẳng cấp hoặc nhờ đó mà ta có cách biến đổi thành một
hệ đơn giản.
c. Ví dụ minh họa:
o VD1:
(1)
x  2 y  3
Giải hệ phương trình:  3 3
 x  y  3xy  2 y  1 (2)
Đầu tiên ta nhìn vào hệ phương trình thấy phương trình (1) bậc nhất có ẩn x
nên ta nghĩ đến trường hợp rút x từ phương trình (1) thế vào phương trình (2).
Giải:
Từ (1) ta rút x  3  2 y , thay vào (2) ta được:

3  2 y 

3

 y3  33  2 y  y  2 y  1

⇔ 27  54 y  36 y2  8 y3  y3  9 y  6 y2  2 y  1
⇔ 7 y3  42 y2  61y  26  0
⇔  y  1  7 y 2  35 y  26   0
y 1

⇔
 y  35  497


14
Với y  1 x  1

Với y 

35  497
14  497
x
14
7

35  497
14  497
x
14
7
 14  497 35  497 
;
Vậy hệ có nghiệm là 1; 1 ; 
;
7
14



Với y 

 14  497 35  497 
;



7
14



o VD2:
 x3  2 xy 2  12 y  0
Giải hệ phương trình:  2 2
8 y  x  12

Khóa luận tốt nghiệp

1
 2
Trang 12


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Đầu tiên nhìn vào hệ phân tích xem nên dùng phương pháp gì cho phù hợp.
Ta thấy phương trình (2) có hằng số là 12 mà phương trình (1) cũng có hằng số
12 nên ta nghĩ đến việc rút từ (2) thế vào (1), ta được:
x3  2 xy 2  8 y 2  x 2  y  0
⇔ x3  2xy2  8 y3  x2 y  0
(3)
Khi tới đây ta nhận ra (3) là phương trình đẳng cấp bậc 3 có dạng:

ax3  bx2 y  cxy2  dy3  0
Ta thấy y  0 không phải là nghiệm của phương trình
Chia (3) cho y3  0 ,ta được:
3

2

 x  2x
 x
 y   y 8 y   0
 
 

Đặt t 

x
được t 3  2t  8  t 2  0
y

t  2

⇔2
t  t  4  0 (Phương trình vô nghiệm)
x
 2 ⇒ x  2 y
Với t  2 ta có
y

Thay vào (2) ta được: 8 y2  4 y2  12 ⇔ y 2  1 ⇔ y  1
Với y  1 ⇒ x  2

Với y  1 ⇒ x  2
Vậy nghiệm của hệ là  2;1 ;  2; 1
o VD3:
4
3
2 2

1
 x  2x y  x y  2x  9
Giải hệ phương trình:  2
 2

 x  2 xy  6 x  6
Nhìn vào hệ trên ta nghĩ đến việc rút thế thì hơi khó vì ẩn x, y từ hai phương
trình đều chứa bậc cao. Nếu ta tinh ý chút thì thấy phương trình (1) có chứa hằng
đẳng thức nên ta biến đổi (1) về dạng bình phương của một tổng.
Giải:
2

( x 2 )2  2 x 2 xy   xy   2 x  9
Hệ đã cho ⇔ 
x 2  2 xy  6 x  6



 ( x2  xy)2  2 x  9
 3
⇔  2
 4
 x  2 xy  6 x  6

Đến đây ta áp dụng phương pháp thế để giải
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 13


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

6 x  6  x2
(4) ⇔ xy 
thế vào (3), ta được:
2
2

 2 6x  6  x2 
x 
  2x  9
2


⇔ ( x2  6x  6)2  8x  36

⇔ x 4  12 x3  48x 2  64 x  0
⇔ x  x3  12 x 2  48x  64  0
 x( x  4)3  0
 x  0 (Loại vì x  0 không là nghiệm của hệ)
⇔ 
 x  4

Với x  4  y 

17
4


Vậy nghiệm của hệ là  4;


17 

4 

2.7.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
a. Nhận biết:
- Thường áp dụng cho hệ phương trình có chứa căn
- Hệ phương trình có bậc của x hoặc của y là bậc cao
- Cả hai phương trình trong hệ đều chứa chung một biểu thức
b. Phương pháp:
Điều quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
u  f  x, y  ;
v  g  x, y  có ngay trong từng phương trình hoặc sau các phép biến đổi.
Thông thường phép biến đổi thường xoay quanh việc cộng,
trừ hai phương trình của hệ hoặc chia các vế của phương trình cho một
biểu thức khác không có sẵn trong các phương trình của hệ hoặc là phép
biến đổi hằng đẳng thức, chuyển vế…để tìm ra những phần tử chung mà
sau đó ta đặt ẩn phụ.
c. Ví dụ minh họa:
 x  y  x 2  y 2  8

1
o VD1: Giải hệ phương trình 
 2
 xy  x  1 y  1  12
Đầu tiên ta quan sát hệ nếu dùng phương pháp rút thế thì quá phức tạp vì
phương trình (1) và (2) đều chứa bậc cao ở ẩn x và y. Vì thế ta nghĩ ngay đến việc
tìm ở hai phương trình hai đại lượng nào đó rồi đặt ẩn cho hai đại lượng trên.
Sau khi quan sát ta có:
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 14


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

2
2

 x yx  y 8
⇔ 
2
2

 x  x  y  y   12

Lúc này ta thấy cả hai phương trình đều có hai đại lượng giống nhau nên đặt
u  x 2  x


2
v  y  y

u  v  8

Hệ trở thành: 

uv  12

 3
 4

Hệ trên ta sẽ giải bằng cách rút thế
Ở đây nếu hệ chứa tham số thì bắt buộc ta phải đặt điều kiện nhưng hệ trên
có thể không đặt điều kiện cũng được. Để đơn giản thì ta nên đặt để có thể dễ
dàng loại bớt nghiệm.
2
1 1
1

2
Điều kiện: u  x  x   x     
2 4
4

1
4
Từ (3) ⇔ v  8  u thay vào (4), ta được :

Tương tự v  

u (8  u )  12

⇔ u 2  8u  12  0
u  6
⇔
(Thỏa điều kiện)
u

2

Với u  6  v  2 , ta có :
 x2  x  6
 2
y  y  2
 x  2 ; y 1
 x  2; y  2
Giải hệ trên ta được 
 x  3 ; y  1

 x  3; y  2
Với u  2  v  6 , ta có:
 x2  x  2
 2
y  y  6
 x 1 ; y  2
 x  2 ; y  2
Giải hệ trên ta được 
 x  1 ; y  3


 x  2 ; y  3
Vậy ta có nghiệm của hệ là:
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 15


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

(2;1);(2; 2);(3;1);(3; 2);(1;2);(2;2);(1; 3);(2; 3)
5
 4
2
 x  y  xy 1  2 x    4
o VD2: Giải hệ phương trình 
 x 2  y  x3 y  xy 2  xy   5

4

Nhìn vào hệ phương trình trên, ta khó có thể biết dùng phương pháp nào. Ta
nên biến đổi để dễ xác định hơn.
5
 4
2
2
 x  y  xy  2 x y   4
⇔
 x 2  y  x3 y  xy 2  xy   5


4

1
 2

Nếu ta để ý thì sẽ thấy phương trình (1) có chứa hằng đẳng thức nên ta biến
đổi hệ như sau:
5

( x 2  y)2  xy 

4
Hệ ⇔ 
 x 2  y   xy  x 2  y   xy  5

4

Lúc này, cả hai phương trình đều chứa hai đại lượng giống nhau ta cũng có
thể dùng phương pháp rút thế nhưng tối ưu nhất là ta nên đặt ẩn phụ:
u  x 2  y
Đặt 
thay vào hệ, ta được:
v

xy

5
 2
 u  v   4


u  uv  v   5

4
5
Từ hệ này ta rút v    u 2 thay vào phương trình còn lại được:
4
5
 5
  5

u  u    u2      u2   
4
 4
  4

3
2
⇔ 4u  4u  u  0
 u0
u0

⇔  2
⇔ 
u   1
4u  4u  1  0

2
5
Với u  0 ⇒ v   , ta có hệ:

4

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 16


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy


5
 x 3
4

⇔ 
 y   3 25

16

 x2  y  0


5
 xy   4

Với u  

1

2

3
2

⇒ v   , ta có hệ:

1
 2
 x  y   2

 xy   3

2

 x 1

⇔ 
3
y



2

25 
 3  5
Vậy nghiệm của hệ là 1;   ;  3 ;  3 
16 
 2  4


 11x  y  y  x  1 (1)
o VD3: Giải hệ phương trình 

7 y  x  6 y  26 x  3 (2)
Đây là hệ chứa căn nên việc rút thế rất khó, ta nên nghĩ đến việc đặt ẩn phụ
và biến đổi bằng cách tách các phần tử trong phương trình (2) sao cho giống hai
phần tử của phương trình (1) (dùng hệ số bất định)
Xét vế trái phương trình (2), ta đi tìm a,b sao cho :

7 y  x  6 y  26x  7 y  x  a( y  x)  b(11x  y)

a  4
⇒
b  2

Giải:
11x  y
Điều kiện : 
y  x

11x  y  y  x  1

Hệ đã cho ⇔ 

7 y  x  4  y  x   2 11x  y   3
Lúc này ta đặt:

 u  11x  y
u  0 ; v  0


v

y

x


u  v  1
 3
Thay vào

2
2
7v  4v  2u  3  4 

Rút u  1  v từ (3) thay vào (4) ta được:
7v  4v 2  2 1  v   3
2

(Thỏa)
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 17


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

 v 1
⇔ 
v   5

2
Với v  1  u  2 ta có:

(Loại)

1

x


11
x

y

2
11
x

y

4



2

⇔ 
⇔ 

 y  x 1

y  3
 y  x 1

2
1 3

Vậy nghiệm của hệ là  ; 
2 2
  x2  x  y 2  y  1  4 y 2
o VD4: Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
3
 xy  x y  1  x y  4 y
Đầu tiên phân tích xem nên áp dụng phương pháp nào, đối với bài này khi
nhìn vào thì thấy bậc của x và của y đều cao nên không thể rút thế được. Ta sẽ
nghĩ đến trường hợp đặt ẩn phụ mà khi đó ta lưu ý là bên vế phải của hai phương
trình có chứa ẩn y nên ta xét thử y  0 có phải là nghiệm không, nếu không thì

ta chia cho y và sau đó biến đổi.
Giải:
Ta thấy: y  0 không là nghiệm của hệ
1 1
 2
x


x

 2 4

y
y

Do đó y  0 ta có: 
2
 x  x  1  x3  4
 y 2 y y 3
2


1 
1
x

x y x y  2 y  4


 

⇔ 
3
 
1
x2
x

x 1

x

x


3
3 2  4
 

y y
y
y
y
 
 
2

1 
1
x
 x     x    2  4
y 
y
y

⇔ 
3
1

x
1

 x y 2 yx y  4





Đặt u  x 

1
x
và v  thay vào hệ ta được:
y
y

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 18


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

2

u 2  u  2v  4
 2v  u  u  4

⇔  3
 3
2
u  u  u  u  4   4
 u  2uv  4


u2  u  4
v

v 1

⇔ 
⇔ 
2
u  2
u 2  4u  4  0
 1
 x  y  2
 x2  2 x  1  0
x 1
Hay 
⇔ 
⇔ 
x y
y 1

 x 1
 y

Vậy nghiệm của hệ là 1;1

2
2

  x  y  xy  78 (1)
o VD5: Giải hệ phương trình  4 4
(2)

 x  y  97
Đầu tiên nhìn vào hệ này ta phải khai triển hằng đẳng thức của phương trình
(2) rồi tìm mối liên hệ giữa hai phương trình.

Giải:
78

 xy  x2  y 2
Hệ ⇔ 
( x2  y 2 )2  2 x2 y 2  97


3
 4

Thế (3) vào (4) ta được
2


 97 (5)
 x  y   2  x2 78

2 

y


Không phải lúc nào ta cũng tìm hai đại lượng chung của hai phương trình
rồi đặt hai ẩn mà bây giờ từ hai phương trình ta có một đại lượng chung thì ta đặt
một ẩn theo đại lượng chung đó rồi giải ra.
2

2 2

Đặt t   x2  y2 

2

t  0 thay vào (5) ta được:

2.782
t
 97 ⇔ t 2  97 t  12168  0
t
(Thõa)
t  169
⇔ 
(Loại)
 t  72

Với t  169 ta có:

Khóa luận tốt nghiệp

x

2

 y 2   169
2

Trang 19


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

⇔ x2  y2  13
Thay vào (3) ta được xy  6
 xy  6
Lúc này ta có hệ:  2
2
 x  y  13
xy  6

⇔ 
2
( x  y)  2 xy  13

 xy  6
⇔

2
( x  y)  25



⇔ 



 5  y  y  6

 x y 5
 5  y  y  6

 x  y  5



⇔ 




 xy  6

x  y  5
 xy  6

 x  y  5

  y  2
 
  y 3
  x  y  5
⇔ 
   y  2
 
   y  3
  x  y  5


 x  3

 y  2
 x  2

 y  3
Hay 
 x  3
 y  2

 x  2
 y  3


Vậy nghiệm của hệ là: 3;2;  2;3;  3; 2;  2; 3
2.7.3 Phương pháp nhân lượng liên hợp
a. Nhận biết: thường là các hệ có chứa căn
b. Phương pháp:
Nhìn vào một phương trình ta thấy được mối quan hệ giữa x

và y ta liên hợp để tìm ra nhân tử chung

Khóa luận tốt nghiệp

Trang 20


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

Thông thường ta phải biến đổi hoặc thêm bớt rồi mới liên hợp

được

Sau khi liên hợp xong thì ta sẽ được một phương trình hoặc
hệ phương trình đơn giản hơn và sau đó ta dùng các phương pháp như
đặt ẩn phụ, phương pháp thế, liên hợp tiếp…để tìm nghiệm
- Một số công thức cần nhớ:






AB





A  B  A  B2

 A  B   A  B
A  B   A m AB  B   A  B
A  B   A mB A  B   A  B
A B

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2

2

3

c. Một số ví dụ:

1
 x  2 y  2
o VD1: Giải hệ phương trình 
 2

 y  2 x  2
Nhìn vào hệ trên ta thấy đây là hệ đối xứng loại 2, thì bây giờ ta trừ hai
phương trình trên thì xuất hiện một phương trình chứa toàn căn. Bây giờ thì ta
nhân lượng liên hợp để làm mất căn.
Giải:
0  x  2
Điều kiện: 
(*)
0  y  2
Lấy (1) trừ (2) ta được:
x  y  2 y  2 x  0

⇔
⇔

x y
x y

0

x y
2 y  2 x



1
1

0
2  y  2  x 
 x  y

 x  y 

 0  do * 

⇔ x y
Thay vào (1), ta được:
x  2 x  2
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 21


SVTH: Nguyễn Khánh Hòa

GVHD: Ths. Ngô Thị Bích Thủy

⇔ x  2  x  2 x  2  x  2
⇔ 2 x  2  x  0 ⇔

x  2  x  0

x  0  y  0
⇔ x  2  x  0 ⇔ 
x  2  y  2

Vậy nghiệm của hệ là:  0;0 ;  2;2
 x 2  91  y  2  y 2
o VD2: Giải hệ phương trình 
2
2
 y  91  x  2  x

1
 2

Giải:
Tương tự như bài tập trên ta cũng nhân liên hợp
x  2
Điều kiện: 
(*)
y  2
Lấy (1) trừ (2), ta được:
x2  91  y 2  91  y  2  x  2  y 2  x 2

⇔

⇔

⇔

⇔

x2  91  y 2  91
x2  91  y 2  91
x2  y 2
x  91  y  91
2

2

 x  y  x  y 
x2  91  y 2  91


 x  y 



y 2 x2
 y 2  x2
y2  x2



 x  y
  x2  y 2 
y2  x2



 x  y
y2  x2

x y

2
2
 x  91  y  91



  x  y  x  y   0


1
  x  y   0
y2  x2


 0  do * 

⇔

x y

Thay vào (1) ta được:
Khóa luận tốt nghiệp

Trang 22