Bộ đề thi thử vào lớp 10 năm 2019 2020 phòng GDĐT Ba Đình, Hà Nội

1/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

PHÒNG GD & ĐT QUẬN BA ĐÌNH

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN 9
Năm học: 2018 – 2019

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày khảo sát: 7/5/2019
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức:
A=

2
x −2

và B =

x
4 x +2
−
với x ≥ 0; x ≠ 4
x + 1 x x − 2x + x − 2

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .

2) Rút gọn biểu thức P = A + B .
3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất.
Bài II. (2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một phòng họp có 300 ghế ngồi, được xếp thành một số hàng có số
ghế bằng nhau. Buổi họp hôm đó có 378 người đến dự họp nên ban tổ
chức đã kê thêm 3 hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp thêm 1 ghế, mới
đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng
ghế có bao nhiêu ghế, biết số hàng ghế ban đầu không vượt quá 20.
Bài III. (2,0 điểm)

 2
+2 y = 8

x
−
1
1) Giải hệ phương trình: 
 11 − 3 y = 2
 x − 1
2) Cho phương trình: x 2 − (m − 3)x − m + 2 = 0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.



/>

2/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài IV. (0,5 điểm)
Một hình cầu có thể tích là 288π (cm 3 ) . Tính diện tích mặt cầu đó.
Bài V. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định ( BC < 2R ), BF là đường
kính. A là điểm di chuyển trên cung lớn BC ( A khác B,C ) sao cho tam
giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD và CE của tam giác ABC
cắt nhau tại H .
1) Chứng minh tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh HF đi qua trung điểm G của đoạn thẳng AC .

AF

3) Chứng minh

không đổi.

sin DEC
4) Cho BC = 1,5R , gọi I là hình chiếu của G trên AB . Hãy tính bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC theo R .
Bài VI. (0,5 điểm)
Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≤ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A =



2
3

+
.
3xy
y +1

/>

3/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài I. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức:
A=

2
x −2

và B =

x
4 x +2
−
với x ≥ 0; x ≠ 4
x + 1 x x − 2x + x − 2

1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
2) Rút gọn biểu thức P = A + B .

3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 .
Thay x = 16 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức A , ta được:
A=

2
x −2

2

=

16 − 2



=

2
2
= =1
4−2 2

/>

4/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

2) Rút gọn biểu thức P = A + B .

B=

x
4 x +2
−
x + 1 x x − 2x + x − 2

B=

x
4 x +2
x
4 x +2
−
=
−
x + 1 x ( x − 2) + ( x − 2) x + 1 ( x − 2)(x + 1)

P = A+B =

P =

P =

P =

P =

P =

P =

2

+

x −2

2(x + 1)
( x − 2)(x + 1)

+

x
4 x +2
−
x + 1 ( x − 2)(x + 1)
x ( x − 2)

( x − 2)(x + 1)

−

4 x +2
( x − 2)(x + 1)

2(x + 1) + x ( x − 2) − 4 x − 2

( x − 2)(x + 1)
2x + 2 + x − 2 x − 4 x − 2
( x − 2)(x + 1)
3x − 6 x
( x − 2)(x + 1)
3 x ( x − 2)
( x − 2)(x + 1)
3 x
x +1



/>

5/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

3) Tìm giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất.
Với x = 0 thì P =

3. 0
=0
0+1
3 x
3
3
=
=

=
x +1 x +1
x
1
+
x
x
x

Với x ≠ 0 , ta có: P =

3
1

x +

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x ;

x
1

ta được:

x

x +

1

≥2

x⋅

1

x
Suy ra: P =

=2

x
3
x +

1

≤

3
2

x

Vậy MaxP =

3
khi x = 1
2

/>

6/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài II. (2,0 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một phòng họp có 300 ghế ngồi, được xếp thành một số hàng có số
ghế bằng nhau. Buổi họp hôm đó có 378 người đến dự họp nên ban tổ
chức đã kê thêm 3 hàng ghế và mỗi hàng ghế phải xếp thêm 1 ghế, mới
đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng
ghế có bao nhiêu ghế, biết số hàng ghế ban đầu không vượt quá 20.
Lời giải
Gọi số hàng ghế lúc đầu là x (đơn vị: hàng ghế, x ∈ ℕ;x ≤ 20 )
Số hàng ghế lúc sau là: x + 3 (hàng ghế)
Số ghế trên một hàng lúc đầu là:

300
(ghế)
x

Số ghế trên một hàng lúc sau là:

378
(ghế)
x +3

Theo đề bài, ta có phương trình:

300
378
+1 =
x
x +3

⇒

300.(x + 3) x (x + 3) 378x
+
=
x (x + 3)
x (x + 3) x + 3

⇒ 300.(x + 3) + x (x + 3) = 378x
⇔ 300x + 900 + x 2 + 3x − 378x = 0
⇔ x 2 − 75x + 900 = 0 (*)

∆ = (−75)2 − 4.900.1 = 5625 − 3600 = 2025 ⇒ ∆ = 2025 = 45
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = 15 (nhận); x 2 = 60 (loại)
Lúc đầu phòng họp có 15 hàng ghế, mỗi hàng ghế có 20 ghế.



/>

7/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài III. (2,0 điểm)

 2
+2 y = 8

x
−
1
1) Giải hệ phương trình: 
 11 − 3 y = 2
 x − 1
2) Cho phương trình: x 2 − (m − 3)x − m + 2 = 0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải

 2
+2 y = 8

x
1
−
1) 
, điều kiện: x ≠ 1;y ≥ 0
11

−3 y =2

 x − 1
 1
=a

Đặt  x − 1
. Khi đó, ta có hệ phương trình:
 y = b, b ≥ 0


2a + 2b = 8

11a − 3b = 2

a + b = 4
3a + 3b = 12
14a = 14
a = 1
⇔
⇔
⇔
⇔
11a − 3b = 2
11a − 3b = 2
a + b = 4
a + b = 4
a = 1
a = 1
⇔
⇔
(thỏa điều kiện)

1 + b = 4
b = 3
Với a = 1;b = 3 , ta có:

 1
= 1 x − 1 = 1 x = 2

⇔
⇔
(thỏa điều kiện)
x
−
1

y
9
y
9
=
=


 y =3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x ;y ) = (2;9)



/>

8/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

2) Cho phương trình: x 2 − (m − 3)x − m + 2 = 0 ( x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải
a) Phương trình: x 2 − (m − 3)x − m + 2 = 0 (*)
2

∆ =  −(m − 3) − 4.1.(−m + 2)
∆ = (m − 3)2 − 4.(−m + 2)
∆ = m 2 − 6m + 9 + 4m − 8
∆ = m 2 − 2m + 1

∆ = (m − 1)2 ≥ 0 với mọi m
Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .
b) Nhẩm nghiệm của phương trình (*), ta được: x 1 = −1;x 2 = m − 2
Phương trình có ít nhất một nghiệm dương ⇔ m − 2 > 0 ⇔ m > 2



/>

9/1
6 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài IV. (0,5 điểm)
Một hình cầu có thể tích là 288π (cm 3 ) . Tính diện tích mặt cầu đó.
Lời giải
4
Công thức tính thể tích mặt cầu: V = π R 3 = 288π (cm 3 )
3
⇒ 4π R 3 = 864π
⇒ R3 =

864π
= 216
4π

⇒ R = 3 216 = 6(cm )

Công thức tính diện tích mặt cầu: S = 4π R 2 = 4π .62 = 144π (cm 2 )



/>

10/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài V. (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định ( BC < 2R ), BF là đường
kính. A là điểm di chuyển trên cung lớn BC ( A khác B,C ) sao cho tam

giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD và CE của tam giác ABC
cắt nhau tại H .
1) Chứng minh tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh HF đi qua trung điểm G của đoạn thẳng AC .

AF

3) Chứng minh

không đổi.

sin DEC
4) Cho BC = 1,5R , gọi I là hình chiếu của G trên AB . Hãy tính bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC theo R .
Lời giải
1) Chứng minh tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp.
A

F
E
O
H

B

C

D

Xét tứ giác AEDC có:

AEC = 900 (vì CE ⊥ AB )
ADC = 900 (vì AD ⊥ BC )
⇒ AEC = ADC = 900
Suy ra: Tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp.


/>

11/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

2) Chứng minh HF đi qua trung điểm G của đoạn thẳng AC .
A

F
G
E
H

B

O

C

D

Ta có: BCF = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ FC ⊥ BC
AD ⊥ BC
⇒ AD / /FC

FC
⊥
BC

Tương tự, ta có BAF = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AF ⊥ AB
CE ⊥ AB
⇒ AF / /CE

AF
⊥
AB

Xét tứ giác AHCF có: AH / /CF ; AF / /CH
Suy ra tứ giác AHCF là hình bình hành.
Hình bình hành AHCF có G là trung điểm của đường chéo AC

⇒ G là trung điểm của đường chéo HF .
Vậy HF đi qua trung điểm G của đoạn thẳng AC .



/>

12/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

AF

3) Chứng minh

không đổi.

sin DEC
A

F
G
E
H

B

O

C

D

Tứ giác AEDC nội tiếp có:

DEC = DAC (Hai góc nội tiếp cùng chắn DC )
Mà DAC = ACF ( AH / /CF , hai góc so le trong)
Mặt khác, ta lại có: ABF = ACF (Hai góc nội tiếp cùng chắn AF )

⇒ DEC = ABF
⇒ sin DEC = sin ABF
Ta có: sin ABF =
Suy ra:

AF

AF
AF
⇒ sin DEC =
BF
BF

= AF : sin DEC = AF :

sin DEC
Vậy

AF

AF
BF
= AF ⋅
= BF = 2R
BF
AF

không đổi.

sin DEC



/>

13/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

4) Cho BC = 1,5R , gọi I là hình chiếu của G trên AB . Hãy tính bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC theo R .
A

I

F
G

E
H

B

K

O

C

D

Giả sử IG cắt đoạn thẳng FC tại K .

IG ⊥ AB
⇒ IG / /AF hay GK / /AF

AF
⊥
AB


∆ACF có: GK / /AF ; G là trung điểm của đoạn thẳng AC
Suy ra: K là trung điểm của đoạn thẳng FC .
Vì tứ giác ABCF là tứ giác nội tiếp nên ABC + AFC = 1800
Mặt khác, ta có: AFC = IKC ( IK / /AF , hai góc đồng vị)

⇒ IBC + IKC = 1800
Mà IBC ;IKC là hai góc đối nhau.
Suy ra: Tứ giác BIKC nội tiếp đường tròn đường kính BK .
⇒ Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IBC là:



BK
2

/>

14/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

A

I

F
G

E
H

B

K

O

C

D

Xét ∆BCF vuông tại C , theo định lý Pitago, ta có: BF 2 = BC 2 + CF 2
2

3 
(2R)2 =  R  + CF 2
2 
9
9
7
4R 2 = R 2 + CF 2 ⇒ CF 2 = 4R 2 − R 2 = R 2
4
4
4

⇒ CF =

7 2 R 7
R =
4
2

Vì K là trung điểm của đoạn thẳng FC nên ta có: KC =

FC R 7
=
2
4

Xét ∆BCK vuông tại C , theo định lý Pitago, ta có: BK 2 = BC 2 + CK 2
2

 3   R 7  9 2 7 2 43 2

BK 2 =  R  + 
 = R + R = R


2
4
16
16

 
 4
2

⇒ BK =

43 2 R 43
R =
16
4

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆IBC là:



BK R 43
=
2
8

/>

15/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

Bài VI. (0,5 điểm)
Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x + y ≤ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A =

2
3
+
.
3xy
y +1
Lời giải

Ta có: A =

2
3
2
+
=
+
3xy
y + 1 3xy

3

3(y + 1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 3;y + 1 ta có:
3(y + 1) ≤

3 +y +1 4 +y
=
2
2

Suy ra: A =

Ta có:

2
+
3xy

3
3(y + 1)

≥

2
3
2
6
+
=
+

(1)
3xy 4 + y 3xy y + 4
2

 2
2
6
xy   6
y + 4   xy y + 4 
+
=
+
+
+
+
 
−

3xy y + 4  3xy
6  y + 4
6   6
6 

 2 xy 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương 
; ,
3
xy
6 


 6 y + 4
;

 và (y; x + 1) ta có:
y + 4 6 
2
xy
2 xy 2
+
≥2
⋅
= ;
3xy
6
3xy 6
3
6
y+4
6
y+4
+
≥2
⋅
=2
y+4
6
y+4
6
(y + x + 1)2 42
y(x + 1) ≤

≤ = 4 (vì x + y ≤ 3 )
4
4



/>

16/
16 GV: Nguyễn Hữu Phúc

0888.014.879

⇒

xy + y + 4 4 + 4 4
≤
=
6
6
3

⇒

2
6
2
−4 4
+
≥ +2+

= (2)
3xy y + 4 3
3
3

Từ (1) và (2) suy ra: A =

2
6
4
+
≥
3xy y + 4 3

Dấu “=” xảy ra khi y + 1 = 3 ;

2
xy
6
4+y
= ;
; y = x + 1; x + y = 3
=
3xy 6 4 + y
6

⇔ x = 1;y = 2

Vậy MinA =

4
khi x = 1;y = 2
3



/>